TAXAS RELACIONADAS EXERCICIOS GABARITADOS

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Universidade Federal do Oeste da Bahia - Campus Reitor Edgard Santos
Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias
Disciplina: Cálculo Diferencial I Prof.: Lauriclécio F. Lopes
Apoio: Taxas Relacionadas
Exercícios de derivação
(A) Suponha que o raio r e a área A = pir2 de um circulo sejam funções diferenciáveis de t. Escreva
uma equação que relacione dA/dt a dr/dt.
(B) Suponha que o raio r e a área da superfície S = 4pir2 de uma função sejam funções diferenciáveis
de t. Escreva uma equação que relacione dS/dt com dr/dt.
(C) O raio r e a altura h de um cilindro circular estão relacionados com o volume V do cilindro pela
fórumla V = pir2h.
(a) Como dV/dt está relacionada a dh/dt se r é constante?
(b) Como dV/dt está relacionada a dr/dt se h é constante?
(c) Como dV/dt está relacionada a dr/dt e dh/dt se nem r nem h são constante?
(D) O raio r e altura h de um cone circular estão relacionados com o volume V do cone pela fórmula
V =
pir2h
3
.
(a) Como dV/dt está relacionada a dh/dt se r é constante?
(b) Como dV/dt está relacionada a dr/dt se h é constante?
(c) Como dV/dt está relacionada a dr/dt e dh/dt se nem r nem h são constante?
(E) A potência P (em watt) dissipada em um circuito elétrico está relacionada à resistência R (em
ohms) e à corrente I (em ampères) que circula nesse circuito pela equação P = RI2.
(a) Como estão relacionadas dP/dt, dR/dt e dI/dt se P , R e I não são constantes?
(b) Como dR/dt está relacionada com dI/dt se P é constante?
(F) Sejam x e y funções diferenciáveis de t e seja s =
√
x2 + y2 a distância entre os pontos (x, 0) e
(0, y) no plano xy.
(a) Como ds/dt está relacionada com dx/dt se y é constante?
(b) Como ds/dt está relacionada com dx/dt e dy/dt se y e x não são constante?
(c) Como dx/dt está relacionada a dy/dt se s é constante?
(G) Se x, y e z são os comprimentos dos lados de uma caixa retanhular, o comprimento comum das
diagonais caixa é s =
√
x2 + y2 + z2.
(a) Considerando-se que x, y e z são funções diferenciáveis de t, como está relacionado ds/dt,
dx/dt, dy/dt e dz/dt, se nenhuma variável é constante.
(b) Como ds/dt está relacionada com dy/dt e dz/dt se x é constante?
Diretrizes para resolver problemas de taxas relacionadas.
1. Ler o problema cuidadosamente várias vezes e analisar os dados e as quantidades que devem ser deter-
minadas;
2. Esboçar o gráfico do problema e rotulá-lo adequadamente, introduzindo variáveis para representar
quantidades desconhecidas;
3. Escrever todos os fatos conhecidos, expressando as taxas conhecidas e desconhecidas com derivadas das
variáveis introduzidas em 2;
4. Formular uma equação geral relacionando as variáveis;
5. Diferenciar a equação obtida em 4. implicitamente em relação a t, obtendo uma relação geral entre as
taxas;
6. Fazer a substituição pelos valores e taxas conhecidos, obtendo a taxa de variação desejada.
Observação: Um erro comum consiste em antecipar a introdução de valores numéricos específicos para as
taxas e quantidades variáveis. Tenha em mente que se deve, primeiro, obter uma fórmula geral que relacione
as taxas de variação, em um instante arbitrário t. Os valores númericos só devem ser introduzidos
no estágio final do processo de resolução do problema.
Exercícios Numéricos
1. Duas variáveis x e y são funções de uma variáveis t e estão ligadas pela equações
x3 − 2y2 + 5x = 16.
Se dx/dt = 4 quando x = 2 e y = −1, determine dy/dt.
2. Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada
começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0, 6 m/s, com que velocidade o topo da escada
percorre a parede, quando está a 4 m do solo?
3. À 1 h o navio A está a 25 milhas ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à
razão de 16 mi/h e o navio B está navegando para o sul à razão de 20 mi/h, determine a razão
na qual varia a distância entre os navios à 1 h 30 mim.
2
4. Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 metros de altura e 2 m de
raio da base. Se a água entra no tanque à razão de 0,001 m3/min, calcule aproximadamente a
razão na qual o nível da água está subindo quando a profundidade é de 1 m.
5. Um farol giratório faz uma revolução em 15 segundos. O farol está a 60 m do ponto mais próximo
P em uma praia retilínea. Determine a razão na qual um raio de luz do farol está se movendo
ao longo da praia em um ponto a 150 m de P.
6. A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical com raio da base
igual a 10 metros, se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto?
7. Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro
colocado a 500 pés de distância do ponto de decolagem. No momento em que o ângulo de
elevação do telêmetro é pi/4, o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade
o balão sobe nesse momento?
8. A voltagem V (volt), a corrente I (em ampères) e a resistência R (ohms) de um circuito elétrico
estão relacionadas entre si pela equação V = IR. Suponha que V esteja aumentando a uma
taxa de 1 volt/s, enquanto I está diminuindo a uma taxa de 1/3 A/s. Representaremos o tempo
t em segundos.
(a) Qual é o valor de dV/dt?
(b) Qual é o valor de dI/dt?
(c) Qual equação relaciona dR/dt a dV/dt e dI/dt?
(d) Encontre a taxa com a qual R está variando quando V = 12 V e I = 2 A. A resistência R
está aumentando ou diminuindo?
9. Considere um triângulo cujos lados de comprimentos a e b formam um ângulo θ. Os lados a e
b aumentam a uma taxa de 0,5 cm/min e 0,3 cm/min, respectivamente, e o ângulo θ diminui a
uma taxa de 1◦/min. Determine a taxa de variação da área do triângulo quando a área mede
20 cm2, o lado b mede 8 cm e o ângulo mede 30◦.
10. Uma viatura de polícia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto,
está perseguindo um carro em alta velocidade, que no cruzamento toma a direção leste. Quando
a viatura está a 0,6 mi ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 mi a leste, o radar da
polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20 mi/h. Se a
viatura está se deslocando a 60 mi/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?
11. Um menino empina uma pipa a 300 pés de altura, o vento afasta a pipa horizontalmente em
relação ao solo uma velocidade de 25 pés/s. A que taxa ele deve soltar a linha, quando a pipa
está a 500 pés de distância?
12. Você está filmando uma corrida de um lugar a 132 pés de distância da pista, seguindo um carro
que se desloca a 180 mi/h (264 pé/s). Quando o carro estiver exatamente na sua frente, a que
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velocidade o ângulo θ da sua câmera variará? E meio segundo depois? (Considere que a pista
não tem curvas em seu frente)
13. Suponha que o você tenha enchido o filtro cônico com água quente para fazer um café. Em
seguida, o café escoa para uma cafeteira cilíndrica a uma taxa de 10 pol3/min.
(a) A que taxa o nível na cafeteira varia quando o café no filtro tiver a 2/3 pol de profundidade?
(b) A que taxa o nível do café no filtro varia nesse momento?
14. A noite, um homem caminha em direção a um poste de luz (cuja lâmpada está ligada) a uma
velocidade de 4 m/s. O homem mede 1,80 m e a lâmpada do posto está a uma altura de 4
m. Determine a taxa de variação do tamanho do sombra do homem, quando ele estive a 5m do
poste.
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GABARITO TAXAS RELACIONADAS - Exercícios de derivação.
(A) dA
dt
= 2pir dh
dt
(B) dS
dt
= 8pir dr
dt
(Ca) dV
dt
= pir2 dh
dt
(Cb) dV
dt
= 2rhpi dr
dt
(Cc) dV
dt
= 2rhpi dr
dt
+ pir2 dh
dt
(Da) dV
dt
= pir
2
3
dh
dt
(Db) dV
dt
= 2rhpi
3
dr
dt
(Dc) dV
dt
= 2rhpi
3
dr
dt
+ pir
2
3
dh
dt
(Ea) dP
dt
= I2 dR
dt
+ 2IRdI
dt
(Eb) I2 dR
dt
+ 2IRdI
dt
= 0
(Fa) ds
dt
=
x dx
dt√
x2+y2(Fb) ds
dt
=
x dx
dt
+y dy
dt√
x2+y2
(Fc) xdx
dt
+ y dy
dt
= 0
(Ga) ds
dt
=
x dx
dt
+y dy
dt
+z dz
dt√
x2+y2+z2
(Ga) ds
dt
=
y dy
dt
+z dz
dt√
x2+y2+z2
GABARITO TAXAS RELACIONADAS - Exercícios Numéricos
1. −17
2. O topo da escada está descendo a uma taxa de 3
√
5/10 m/s.
3. A distância entre os navios está diminuindo a uma taxa de −172/17 mi/h.
4. A água está subindo a uma taxa de 0, 004/pi m/min.
5. O feixe de luz distancia (ou se aproxima) de P a uma taxa de 58pi m/s.]
6. −3/300pi
7. 140 pés/min
8. (a) 1 (b) -1/3 (c) dV
dt
= RdI
dt
+ I dR
dt
(d) A resistência aumenta a taxa de 3/2 ohms/seg.
9. A área cresce a uma taxa de 63+2
√
3pi
36
cm2/min.
10. 70 mi/h
11. 20 pés/seg
12. 2 rad/seg e 1 rad/seg
13. (a) 10/9pi pol/min (b) −40/h2pi (entregue em sala), −40
(144)2/3pi
(corrigido no enunciado).
14. -7,2/2,2 m/s
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