PFM Aula 002 JHF 2014.1

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Princípios e Fenômenos 
da Mecânica 
Prof. José Henrique Fernandez 
EC&T 
AULA 2 
Movimento em Uma Dimensão (1-D) 
AULA 2: Movimento em Uma Dimensão 
O que é o movimento? 
• Percepção sensorial do espaço e tempo 
• Percepção sensorial do espaço e tempo (FALHA) 
Movimento 
 CINEMÁTICA: 
Mesmo radical da palavra CINEMA (Movimento): 
Trata da descrição dos Movimentos 
DINÂMICA: 
DINAMUS (ALMA): 
Trata das causas (origens) dos Movimentos 
Descrição do Movimento 
Sistemas de Referência 
REFERENCIAIS 
Posição 
 A posição do ciclista é definida em termos de um 
sistema de referência 
Referência A: 
x
0
01 x
Posição 
 A posição de um objeto é definida em termos de 
um sistema de referência 
Referência B: 
x
0
01 x
Posição 
 A posição de um objeto é definida em termos de 
um sistema de referência 
Referência C: 
x
01 x
Deslocamento e Distância Percorrida 
Deslocamento 
12 xxΔx 
Deslocamento 

Distância percorrida 

m 40 m 100m 30m 70 
0
1x 2x
1t 2t
A letra grega Δ 
indica 
VARIAÇÃO 
Teste 1 
Considere três pares de posições iniciais e finais, 
respectivamente ao longo do eixo x. Quais dos pares 
correspondem deslocamentos negativos? 
 
(a) -3 m, +5 m 
(b) -3 m, -7 m 
(c) +7 m, -3 m 
(1 min.) 
Resposta: 
x 
x 
x 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 
m 835)3(5 )  if xxxa
m 437)3(7 )  if xxxb
m 1073)7(3 )  if xxxc
(a) -3 m, +5 m 
(a) -3 m, -7 m 
(a) +7 m, -3 m 
A importância do REFERENCIAL 
 Nos exemplos anteriores vimos como é o 
VETOR DESLOCAMENTO 
 Este possui SINAL (+ ou -) indicando a 
direção que se deu o deslocamento: na 
direção do sistema de referência estabelecido 
(+) ou contrária a ela (-) 
 Como a velocidade é definida como 
 e como é sempre positivo, então a 
velocidade acaba tendo sempre o mesmo 
sinal de 
 
 
t
x
v



t
x
Gráfico da Posição vs Tempo 
)(tx
Função 
)m(x
Função Horária 
Não seja Toupeira, esta curva 
NÃO é a trajetória do Tatu !!! É a: 
Esta é a TRAJETÓRIA, uma reta, neste caso !!! 
Velocidade Média 
Velocidade média 
12
12
tt
xx
Δt
Δx
vm



Toda informação acerca do movimento de um objeto 
está em princípio contida na dependência no tempo de 
sua posição x(t), ou seja, na sua função horária. 
Exemplo 1 
Um cachorro que você está treinando correu 5,0 s 
afastando-se de você em 20 m, para alcançar um 
graveto e voltou caminhando 15 m em 8,0 s. Calcule 
(a) a “rapidez” do cachorro e (b) a velocidade média 
do cachorro para a viagem total. 
Solução: 
distância percorrida 
tempo total 
Rapidez = 
20 m +15 m 
5,0 s + 8,0 s 
= 
Rapidez = 2,7 m/s 
12
12
tt
xx
Δt
Δx
vm



Velocidade média 
0s 0,13
0m 5


 m/s 4,0
grurr... 
iˆ m/s 4,0v

dt
dx
Δt
Δx
v
Δt

0
lim
Velocidade Instantânea 
Velocidade 
instantânea 
Toda informação acerca do movimento de um objeto 
está em princípio contida na dependência no tempo de 
sua posição x(t). 
Tangente em P 1 
v é a derivada de x no 
tempo: 
)()( tx
dt
d
tv 
Velocidade instantânea é a inclinação da reta 
tangente no gráfico posição versus tempo no 
ponto (instante) em questão 
P
o
si
çã
o
 (
m
) 
Tempo (s) 
 Derivada = 
= Taxa de variação = 
= Inclinação da reta 
 tangente ao ponto! 
Teste 2 
Suponha que a posição de uma 
pessoa ao pular de um penhasco 
seja descrita aproximadamente 
por 
 
onde x está em metros e t em 
segundos. O sentido +x é para 
baixo e a origem está no topo do 
penhasco. Encontre a velocidade 
da pessoa, durante a queda, como 
uma função do tempo t. Quanto 
vale esta velocidade em km/h 
decorridos 4 s? (5 min.) 
,5 2tx 
Aceleração: Variação da velocidade 
no tempo 
Aceleração instantânea: 
dt
dv
Δt
Δv
a
Δt

0
lim
Se conhecemos x(t) podemos determinar a velocidade 
instantânea v(t), e daí a aceleração média, aceleração 
instantânea, força resultante, energia cinética… 
Aceleração média: 
12
12
tt
vv
Δt
Δv
am



Δt
Δv
am 
dt
dv
a 
2
2
:
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dv
aquetambémTemos 






Aceleração vs Velocidade 
Exemplo 2 
Um guepardo pode acelerar de 0 a 96 km/h em 2,0 s, 
enquanto um bom automóvel requer 4,5 s. Calcule as 
acelerações médias do guepardo e do automóvel e 
compare com a aceleração de queda livre: 
 g = 9,8 m/s 
vs 
2 
Solução: 
Vamos comparar as acelerações com a de queda 
livre que está dada em metros por segundo ao 
quadrado... Vamos então converter a velocidades 
dadas em km/h para m/s. 
m/s 7,26
3600s
1000m
96
h
km
96 
Aceleração média do felino: 
2m/s 13
s 0,2
m/s0m/s 7,26



Δt
Δv
a gm
22 m/s 6m/s 9,5
s 5,4
m/s0m/s 7,26



Δt
Δv
aam
Aceleração média do automóvel: 
g,agm 31
Para comparar as acelerações médias com g, divida 
estas acelerações por 9,8 m/s 2 
g,aam 60 g
Sou melhor do que 
um “jaguar” ... 
Teste 3 
(3 min.) 
A posição de uma partícula é dada por , onde 
C é uma constante. Encontre as dimensões de C. Além 
disto, encontre a velocidade e a aceleração em função 
do tempo. 
3Ctx 
Agora, que tal aplicarmos Cálculo e deduzirmos 
algumas famosas equações de cinemática? 
Movimento com aceleração constante 
(MUV) 
dt
dv
a 
dvdta  
 
2
1
2
1
 
t
t
t
t
dvdta
vvvdta
t
t
 12
2
1
 

2
1
 
t
t
dtav
Se eu conheço a função da aceleração 
com o tempo, eu posso calcular a 
velocidade via integração! 
tavv  12 tattadtadtav
t
t
t
t
  )( 12
2
1
2
1
Se a aceleração é constante (por exemplo, a aceleração 
de queda livre é!): 
É comum definir: 
010  tt
atvv  0
10 vv 
2vv 2tt 
E como varia a posição x em função do tempo? 
atvv  0 atv
dt
dx
 0 dtatvdx )( 0 
 
2
1
2
1
)( 0
t
t
t
t
dtatvdx
Novamente com: 
010  tt
2
2
1
00 attvxx 
10 xx 
2xx 2tt 
   
2
1
2
012
2
1
t
t
attvtxtx 






2
00
2
1
attvxxou 
Equação horária do MUV 
Queda livre 
Físico italiano 
(1564-1642) 
Método experimental 
Experimento mental de Galileu 
Aceleração 
constante!!! 
2m/s 8,9g
Aceleração 
da 
gravidade 
Teste 4 
(5 min.) 
(a) Se você arremessa uma bola verticalmente para 
cima, qual é o sinal do deslocamento da bola 
durante a subida, desde o ponto inicial até o ponto 
mais alto da trajetória? 
(b)Qual é sinal do deslocamento durante a descida, 
desde o ponto mais alto da trajetória até o ponto 
inicial? 
(c) Qual é a aceleração da bola no ponto mais alto da 
trajetória? 
Demonstrar 
 
 
 
 usando as equações 
 
 
 
 
Equação de Torricelli 
atvv  0
2
2
1
00 attvxx 
Físico italiano (1608-1647) 
xavv  220
2
Orientando de Galileu! 
Evangelista Torricelli 
(2 min.) 
Exemplo com Solução: 
Um jovem arremessa uma bola 
de tênis para cima, ao longo da 
vertical, com uma velocidadeinicial de 12,0 m/s. (a) Quanto 
tempo a bola leva para atingir a 
altura máxima? 
atvv  0
0v
ga 
ga 
velocidade 
diminui 
velocidade 
aumenta 
bola 
0y
y
Sistema de referência 
s 2,1
m/s 8,9
m/s 0,12
2
0 


g
v
t
tgv )(0 0 
(b) Qual é a altura máxima 
alcançada pela bola em relação 
ao ponto de lançamento? 
yavv  220
2
)0)((20 max
2
0
2  ygv
0v
ga 
ga 
velocidade 
diminui 
velocidade 
aumenta 
bola 
0y
y
m 3,7
)m/s 8,9(2
)m/s 0,12(
2 2
22
0
max 


g
v
y
(c) Quanto tempo a bola leva 
para atingir um ponto 5,0 m 
acima do ponto inicial? 
0v
ga 
ga 
velocidade 
diminui 
velocidade 
aumenta 
bola 
0y
y
2
2
1
00 attvyy 
2
2
1
0 )(00,5 tgtv 
00,50,129,4 2  tt
s 9,1
ou
s 5,0


t
t
Existem dois tempos possíveis! 
Por quê??? Explique!!! 
Exercício 
Uma nave espacial é lançada, na vertical, na superfície de 
Marte. Quando a altura é de 320m e a velocidade é de 80 m/s, 
no instante t=0, os motores são desligados. A nave continua a 
se deslocar na vertical, sob a ação exclusiva da gravidade 
marciana, que é aproximadamente constante e igual a gm=3,72 
m/s2. No instante em que os motores foram desligados (t=0) 
imagine que você está em outra nave a 1500 m de altura da 
superfície de Marte. Esta nave está baixando, na mesma 
vertical da primeira, a 25 m/s, no instante mencionado, com 
uma desaceleração constante de 0,80 m/s2. (a) Quando as duas 
naves se encontram? (b) A que altura da superfície ocorrerá o 
encontro? (c) Qual a velocidade de cada nave no instante do 
encontro? 
Tente fazer o gráfico das equações horárias !!! Vamos lá, você consegue !!! 
 
 
Gráfico das funções horárias das naves 
Você conhece algum programa gráfico? 
Tente você também fazer esse gráfico em casa ...