Escoamento Incompressível de Fluidos Não Viscosos (2)

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Escoamento Incompressível 
de Fluidos Não Viscosos 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Campus Pau dos Ferros
Fenômenos de Transporte
Prof. Bel. William Vieira
Roteiro de Aula
1. Descrição e classificação do escoamento de fluidos;
2. Equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível e invíscido; 
3. Equação de Euler para uma linha de corrente;
4. Equação de Bernoulli;
5. Pressão Estática, de Estagnação e Dinâmica;
6. Equação de Bernoulli como um balanço energético;
7. Linha de Energia e Linha Piezométrica. 
2
Podemos classificar o escoamento de um fluido da seguinte forma
[Classificação de FOX (2011)].
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
1. Descrição e classificação do escoamento de fluidos
3
Mecânica dos Fluidos dos 
Meios Contínuos (?)
Não Viscoso
µ=0 Viscoso
Laminar Turbulento
Compressível Incompressível Interno* Externo*
Meio Contínuo?
Não Viscoso?
Incompressível?
Interno?
Externo?
▪ Fluido como Contínuo: Estamos familiarizados com fluidos lisos e
suaves, como água e o ar. Entretanto, na natureza molecular esta
premissa não é válida (incerteza microscópica).
Na escala de estudo para o escoamento de fluidos, estes podem ser
aproximados para contínuos (como se não houvessem espaços vazios
em seu interior).
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
1. Descrição e classificação do escoamento de fluidos
4
▪ Fluido não viscoso: ou invíscido, é uma suposição de um fluido ideal
em que não existe atrito interno no seu escoamento, bem como nas
paredes de uma dada tubulação.
Essa suposição é muito proveitosa quando analisamos alguns fluidos
sob determinadas condições:
Escoamento acima da camada limite (δ)
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
1. Descrição e classificação do escoamento de fluidos
5
▪ Fluido incompressível: escoamentos em que a variação de massa
específica é desprezível.
Os líquidos, de modo geral, podem ser considerados como
incompressíveis. Os gases, entretanto, só podem ser considerados
quando estiverem submetidos as seguintes condições:
✓Velocidade de escoamento baixa;
✓M < 0,3, ou seja, v ≈100 m/s.
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
1. Descrição e classificação do escoamento de fluidos
6
▪ Escoamento Interno: escoamentos
completamente envoltos por
superfícies sólidas em que a pressão
interna de escoamento é diferente da
atmosférica (Escoamento em condutos
forçados).
▪ Escoamento Externo: escoamento
sobre corpos imersos em que a pressão
de escoamento é igual a atmosférica.
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
1. Descrição e classificação do escoamento de fluidos
7
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
1. Descrição e classificação do escoamento de fluidos
8
Como podemos relacionar todas essas 
formas e características de escoamento?
Equação de N-S
²
DV
p g V
Dt
      
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
2. Equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível e invíscido 
▪ A equação de N-S é, sem dúvida, a equação mais importante da
mecânica dos fluidos. Possui comprovação microscópica (NAVIER,
1827) e macroscópica (STOKES, 1945).
▪ A equação de N-S simula todas as variáveis de escoamento, desde
que o fluido seja Newtoniano.
▪ Entretanto, ainda hoje não existe solução analítica para a mesma.
Desse modo, nos prenderemos a soluções simplórias.
▪ Vale ressaltar que a equação de N-S é, na verdade, a segunda lei
de Newton aplicada a um sistema fluido.
9
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
2. Equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível e invíscido 
▪ Para o caso de um escoamento incompressível e invíscido, a
Equação de N-S resume-se a equação de Euler.
10
𝜌
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= −𝛻𝑝 + 𝜌 Ԧ𝑔
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑔𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑔𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜌𝑔𝑧
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
3. Equação de Euler para uma linha de corrente
▪ Assim como na equação de N-S, para a equação de Euler
presume-se que a pressão (p), a velocidade (V) e a gravidade são
campos vetoriais.
Nem sempre necessitamos de um “olhar” tridimensional do
escoamento. Isto é, podemos reescrever as equação em termos de
uma linha de corrente.
11
ሻ𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
ሻ𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ = 𝑔𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑔𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑔𝑧 ෠𝑘
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
3. Equação de Euler para uma linha de corrente
No caso específico da análise do escoamento em uma linha de
corrente,
12
൯𝑉 = 𝑉(𝑠, 𝑡ሻ = 𝑉(𝑡ሻ + 𝑉(𝑠
𝐷𝑉
𝐷𝑡
=
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ (𝑉 ⋅ 𝛻ሻ𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑠
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
3. Equação de Euler para uma linha de corrente
13
s
V V p
V g
t s s
           
ˆ ˆ( , ) s ng s n g S g N  
sin
cos
s
n
g g
g g


 
 
Equação de Euler para 
uma linha de Corrente S
sin
cos
z
s
z
n








Orientação dos eixos 
cartesianos em relação a S
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕y
𝜕s
𝜕y
𝜕n
▪ Consideração 3: Escoamento Permanente
▪ Consideração 4: Fluido Incompressível
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
3. Equação de Euler para uma linha de corrente
14
V V p z
V g
t s s s
      
   
V p z
V g
s s s
    
  
²
cte
2
V
p gz   
²
cte
2
V
p gz   
A equação de Bernoulli pode sempre ser empregada desde sejam
aceitas as seguintes considerações:
(1) Escoamento ao longo de uma linha de corrente;
(2) Fluido não viscoso ou com viscosidade desprezível;
(3) Escoamento permanente;
(4) Fluido incompressível.
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
4. Equação de Bernoulli
15
Além das restrições da equação de Bernoulli já apresentadas, existem
mais algumas situações que podem nos levar a aplica-la
erroneamente.
(1) Escoamento em entradas ou em cantos vivos (perdas de energia);
(2) Em máquinas, turbinas e bombas;
(3) Escoamento de gases em que há variação de temperatura (Ex.:
secador).
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
4. Equação de Bernoulli
16
EXEMPLO 1
Na figura abaixo mostra-se um sifão utilizado para retirar água de um reservatório de
grande porte. O duto que forma parte do sifão tem um diâmetro de 40mm e termina
num bocal de 25mm de diâmetro. Considerando que não existem perdas de energia
no sistema a) determine a vazão através do sifão e b) a pressão nos pontos B,C,D e E.
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
4. Equação de Bernoulli
17
EXEMPLO 2
Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um
tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m e qual a
distância horizontal alcançada pela água? Onde deveria ter sido feito
o furo para que essa distância seja máxima?
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
4. Equação de Bernoulli
18
Relembrando a Aula Passada – Análise Qualitativa de um escoamento a partir de 
Bernoulli
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
4. Equação de Bernoulli
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▪ O termo de pressão apresentado na equação de
Bernoulli é denominado de
pressão estática ou termodinâmica. A pressão Estática é a pressão “sentida” por
uma partícula fluida.
▪ Entretanto, além da Pressão Estática existe também a Pressão de Estagnação e a
Pressão Dinâmica.
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
5. Pressão Estática, de Estagnação e Dinâmica
20
Como posso medi-las?
▪ É possível medir essas pressões com orifícios orientados de forma estratégica em
relação ao escoamento.
Pressão de Estática
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
5. Pressão Estática, de Estagnação e Dinâmica
21
Postulado: Não há variação de pressão em uma direção normal a uma linha de
corrente retilínea (pode ser provado pela integração da equação de Euler).
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
5. Pressão Estática, de Estagnação e Dinâmica
22
Em que isso implica?
Um orifício cuidadosamente perfurado
perpendicularmente à parede de uma
tubulação pode fornecer a pressão
estática (Isento de rebarbas).
Medida da Pressão Estática
▪ Pressão de Estagnação ou total: é obtida quando um fluido em escoamento é
desacelerado até velocidade nula por meio de um processo sem atrito ao longo de
uma linha de corrente.
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
5. Pressão Estática, de Estagnação e Dinâmica
23
2 2 ² constante
2
p V

 
  
 
2 2 1 1² ²
2 2
p V p V
 
   
     
   
2 1
1
2( )p p
V


2 1
²
2
estag
V
p p p   
▪ Pressão Dinâmica: o termo é definido de Pressão Dinâmica.
Logo,
Ex.: Considere o vento atuante numa mão.
▪ Pestat = Patm;
▪ Pestag é a maior pressão sentida na palma da mão;
▪ Pdinam é o acréscimo de pressão acima da Patm.
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5. Pressão Estática, de Estagnação e Dinâmica
24
²
2
V

Pressão de Estagnação Pressão Estática Pressão Dinâmica 
▪ Aplicação: Tubo de Pitot – Medidor de Velocidade de um Avião 
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
5. Pressão Estática, de Estagnação e Dinâmica
25
Lembrar: M < 0,3.
EXEMPLO 3
Um tubo de Pitot é inserido é inserido no escoamento do ar para medir a velocidade
do escoamento. O tubo é inserido para montante dentro de um escoamento, de
modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de estagnação. A pressão
estática é medida no mesmo local com uma tomada de pressão na parede Se a
diferença de pressão é de 30 mm de Hg, determine a velocidade do escoamento.
Verifique se o fluido atende a condição de incompressibilidade.
Dado: SGHg = 13,6
ρar = 1,23 kg/m³
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
5. Pressão Estática, de Estagnação e Dinâmica
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Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
6. Equação de Bernoulli como um balanço energético
27
▪ Anteriormente havíamos deduzido a equação de Bernoulli através da integração
da equação de Euler para uma linha de corrente.
▪ Dessa forma, a equação de Bernoulli também pode ser obtida através da 1º Lei da
Termodinâmica do Teorema do Transporte de Reynolds.
T
Sistema
dE
Q W
dt

  

Q- ( )T
VC SC
W edV e p V dA      
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
6. Equação de Bernoulli como um balanço energético
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▪ Falta, no entanto, definir o trabalho total “WT“ e a energia específica do escoamento
“e”.
▪ Definiremos, a energia específica do escoamento como sendo,
▪ A taxa de trabalho realizada ou recebida por um sistema devido à ação externa pode
ser classificada nos seguintes casos:
▪ (1) Trabalho de eixo (Ws);
▪ (2) Trabalho realizado por tensões de cisalhamento na Superfície de Controle
(Wcisalhamento);
▪ (3) Outros Trabalhos (Woutros).
²
2
V
e u gz  
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
6. Equação de Bernoulli como um balanço energético
29
Logo,
Por fim,
▪ Fazendo as seguintes considerações:
(1) Regime Permanente;
(2) Escoamento Invíscido;
(3) Inexistência de outros trabalhos;
(4) Inexistência de bombas, compressores, turbinas, etc.
T s cisalhamento outrosW W W W  
Q- ( )s cisalhamento outros
VC SC
W W W edV e p V dA        
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
6. Equação de Bernoulli como um balanço energético
30
A equação anterior assumirá a seguinte forma:
Considerando a aplicação dessa equação para tubo de corrente como o da figura
a seguir,
( )
SC
Q e p V dA   
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
6. Equação de Bernoulli como um balanço energético
31
Aplicando a integração para as superfícies 1 e 2,
Pela regra da cadeia,
Logo,
dQ dQ dm
Q
dt dm dt
  
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2
( ) ( )Q e p V dA e p V dA         
2 1
2 2 2 1 1 1 2 1
² ²
0
2 2
V V dQ
p gz p gz m u u m
dm
                    
     
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
6. Equação de Bernoulli como um balanço energético
32
Lembrando que é o volume específico, e fazendo as seguintes considerações:
(5) Fluido Incompressível.
(6) Perda de energia no escoamento é nula
𝜐
1



2 2 1 1
2 1 2 1
² ²
2 2
p V p V dQ
gz gz u u
dm 
      
              
     
2 1 0
dQ
u u
dm
 
   
 
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6. Equação de Bernoulli como um balanço energético
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Lembrando que é o volume específico, e fazendo as seguintes considerações:
(5) Fluido Incompressível.
(6) Perda de energia no escoamento é nula.
𝜐
1



2 2 1 1
2 1 2 1
² ²
2 2
p V p V dQ
gz gz u u
dm 
      
              
     
2 1 0
dQ
u u
dm
 
   
 
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
6. Equação de Bernoulli como um balanço energético
34
Obtemos, por fim, a equação de Bernoulli, porém com o auxílio de novas
considerações.
Pela análise dimensional, a equação de Bernoulli resultante a partir da dedução da
1º lei da Termodinâmica tem unidade de Energia/Massa.
2 2 1 1
2 1
² ²
cte Linha de Energia
2 2
p V p V
gz gz 
   
         
   
²
²
m J
s kg

Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
7. Linha de Energia e Linha Piezométrica
35
Dividindo ambos os termos da equação de Bernoulli pela gravidade,
A equação acima tem por unidade o metro. Onde H é a altura de carga total ou
Linha de Energia (LE).
▪ O valor da Linha de energia pode ser obtida por meio do tubo de Pitot.
2 2 1 1
2 1
² ²
2 2
p V p V
z z H
g g g g 
   
        
   
LE h H 
J
m
N

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7. Linha de Energia e Linha Piezométrica
36
▪ Linha Piezométrica (LP): por definição,
Logo, 
Importante:
▪ LE é sempre constante para escoamento incompressível e não viscoso;
▪ LP está sempre abaixo de LE.
p
LP z
g
 
²
2
V
LE LP
g
 
Fenômenos de Transporte – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
7. Linha de Energia e Linha Piezométrica
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EXEMPLO 4
Desenhe a Linha de Energia e a Linha Piezométrica do escoamento do EXEMPLO 1.
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Dúvidas?
E-mail: willvcarius@hotmail.com