Hidrodinâmica do Navio

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ESCOLA POLITÉCNICA DA 
UNIVERSIDADE DE SÃO 
PAULO 
Departamento de Engenharia Naval 
e Oceânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESPECIALIZAÇÃO EM 
ENGENHARIA NAVAL 
 
 
Módulo 3: Hidrodinâmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. DR. ALEXANDRE NICOLAOS SIMOS 
 
 
 
 
 
Material de apoio ao curso oferecido na 
Universidade de Pernambuco – UPE 
 
 
 
 
 
 
2007 
 
Especialização em Engenharia Naval 1 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Versão Data Observações 
Final 14/02/2007 Texto Completo 
Apostila: 
ESPECIALIZAÇÃO EM ENGENHARIA NAVAL 
Módulo 3: Hidrodinâmica 
Dept./Unidade Ano Autor 
PNV/EPUSP 2007 Prof. Dr. Alexandre Nicolaos Simos 
Curso oferecido pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 
na Escola Politécnica da Universidade de Pernambuco 
 
Especialização em Engenharia Naval 2 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
ÍNDICE 
1. Introdução............................................................................................... 4 
1.1 O curso: Objetivos, conteúdo e abordagem...................................... 4 
1.2 Programação do Módulo 3: Hidrodinâmica ....................................... 5 
2. Resistência ao Avanço e Potência Requerida..................................... 7 
2.1 Decomposição da Resistência.......................................................... 8 
2.1.1 Resistência Friccional ................................................................ 9 
2.1.2 Resistência de Pressão Viscosa.............................................. 12 
2.1.3 Resistência de Ondas.............................................................. 15 
2.2 Resistência Total............................................................................. 20 
2.3 Métodos para Estimativa da Resistência ao Avanço ...................... 22 
2.3.1 O Emprego de Ensaios em Tanques de Provas...................... 22 
2.3.2 O Emprego de Métodos Simplificados..................................... 29 
2.4 Determinação da Potência Requerida ............................................ 31 
3. Comportamento no Mar....................................................................... 32 
3.1 O Ambiente Marítimo – Ondas........................................................ 33 
3.1.1 Ondas Regulares ..................................................................... 33 
3.1.2 Ondas Irregulares – O Mar ...................................................... 39 
3.1.3 Espectro de Energia das Ondas do Mar .................................. 48 
3.1.4 Espectros de Energia Padrão .................................................. 54 
3.2 Funções de Transferência de Movimento ....................................... 57 
3.2.1 Equações Diferenciais e Períodos Naturais dos Principais 
Movimentos do Navio .............................................................. 58 
3.2.2 Funções de Transferência do Navio ou RAO’s........................ 62 
3.3 Cálculo dos Movimentos (Cruzamento Espectral) .......................... 66 
3.3.1 Exemplo................................................................................... 68 
 
Especialização em Engenharia Naval 3 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
3.3.2 Período de Encontro e Modificação do Espectro ..................... 72 
3.4 Estabilização................................................................................... 73 
4. Manobrabilidade................................................................................... 78 
4.1 Equações do Movimento e Estabilidade Direcional ........................ 80 
4.2 Ensaios em Tanques de Provas ..................................................... 88 
4.3 Avaliação da Manobrabilidade em Escala-Real .............................. 90 
4.4 Dispositivos de Manobra: O Leme .................................................. 96 
4.4.1 Os Principais Tipos de Lemes ................................................. 99 
4.4.2 Fórmulas Simplificadas para Cálculo da Força e Torque 
no Leme................................................................................. 100 
5. Referências Bibliográficas ................................................................ 103 
APÊNDICE A: Análise Dimensional no Problema de Resistência ao 
Avanço ............................................................................................... 105 
APÊNDICE B: O Oscilador Massa-Mola................................................... 108 
 
 
Especialização em Engenharia Naval 4 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
1. INTRODUÇÃO 
“...THERE WAS FAR MORE IMAGINATION IN THE HEAD OF 
ARCHIMEDES THAN IN THAT OF HOMER.” 
VOLTAIRE 
1.1 O curso: Objetivos, conteúdo e abordagem 
A mecânica dos fluidos é uma ciência fundamental para diversas áreas da 
engenharia, como mecânica, hidráulica, aeronáutica, naval e oceânica. 
Obviamente, cada uma das diferentes áreas de aplicação tecnológica requer 
conhecimentos específicos e, assim, por exemplo, efeitos de compressibilidade 
no escoamento se mostram de fundamental importância para a engenharia 
aeronáutica, enquanto efeitos de superfície-livre estão freqüentemente presentes 
nos estudos de engenharia naval e oceânica. 
O desafio do engenheiro naval consiste em projetar sistemas que naveguem ou 
permaneçam estacionários no mar de forma eficiente. A medida de tal eficiência 
depende do tipo de sistema em questão, mas, de uma maneira geral, objetivos 
como a redução da potência necessária para navegação, um bom comportamento 
em ondas, estabilidade direcional e manobrabilidade adequada são 
constantemente perseguidos. Para que estes objetivos possam ser alcançados, é 
essencial o conhecimento das forças externas que atuarão sobre o sistema, 
permitindo uma correta avaliação de sua dinâmica sobre a ação destas forças. 
Além das forças aerodinâmicas decorrentes da ação do vento, os sistemas navais 
e oceânicos estão constantemente submetidos à ação de correnteza e ondas de 
superfície. Conseqüentemente, a hidrodinâmica assume papel crucial na 
formação do engenheiro naval, permitindo que o mesmo modele a ação destes 
agentes ambientais e, dessa forma, possa prever suas conseqüências sobre o 
sistema a ser projetado. Além disso, com esse conhecimento, o projetista pode 
adotar, de antemão, medidas que procurem minimizar os efeitos indesejados na 
operação do futuro sistema. 
 
Especialização em Engenharia Naval 5 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
As aplicações da hidrodinâmica na área de engenharia naval e oceânica são 
vastas. Em geral, o estudo do desempenho hidrodinâmico de uma embarcação 
pode ser desmembrado em três áreas principais: resistência e propulsão, 
manobrabilidade e comportamento no mar (seakeeping). O objetivo principal 
deste módulo consiste em familiarizar o aluno com os aspectos centrais de cada 
um destes tópicos, servindo como base para um estudo mais aprofundado. 
Esta apostila foi elaborada com o intuito de servir como um texto introdutório em 
hidrodinâmica marítima e é voltada ao aluno que pretende uma especialização 
nesta área. Ela deve ser entendida como um guia para a orientação dos estudos, 
os quais devem ser complementados através de referências bibliográficas 
específicas sugeridas ao longo do texto. O conjunto de referências que servirá de 
apoio para o curso é composto tanto por obras de introdução geral à engenharia 
naval como obras já clássicas em hidrodinâmica marítima, as quais possibilitam 
um aprofundamento nos conceitos básicos. O aluno deve ter em mente que o 
estudo destes textos complementares é essencial para a solidificação dos 
conceitos que serão discutidos no curso. 
1.2 Programação do Módulo 3: Hidrodinâmica 
O módulo se inicia comuma discussão sobre “Resistência ao Avanço”. Neste 
tópico serão apresentados os principais fenômenos físicos que dão origem às 
forças que se opõem ao deslocamento de uma embarcação, bem como a 
metodologia normalmente empregada para avaliar a magnitude destas forças. O 
segundo tópico se refere ao problema de “Comportamento no Mar” de um navio 
ou sistema oceânico. Trata, especificamente, da avaliação dos movimentos 
induzidos por ondas do mar. Para o estudo deste tópico será apresentada, 
primeiramente, uma introdução sobre a descrição estatística das ondas do mar. O 
módulo se encerra com o estudo de “Manobrabilidade”, no qual serão discutidos 
aspectos de estabilidade direcional e apresentados os principais mecanismos que 
garantem o controle do curso do navio. Serão também discutidos os principais 
testes de verificação de manobrabilidade aos quais um navio é normalmente 
submetido. 
 
Especialização em Engenharia Naval 6 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
A carga horária deste terceiro módulo será de 30 (trinta) horas-aula, de acordo 
com a seguinte programação: 
Data Período Horários Assunto 
18:30h – 19:20h Apresentação: Professor, alunos e módulo 3 
19:20h – 20:10h Resistência ao Avanço: Introdução 
20:10h – 21:00h Resistência Friccional 
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21:00h – 21:50h Resistência de Pressão Viscosa 
18:30h – 19:20h Resistência por Geração de Ondas 
19:20h – 20:10h Métodos para Estimativa de Resistência 
20:10h – 21:00h Ensaios em Tanque de Provas 
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21:00h – 21:50h Estimativa de Potência 
08:00h – 08:50h Comportamento no Mar: Introdução 
08:50h – 09:40h O ambiente marítimo: Ondas 
09:40h – 10:10h Ondas Regulares M
an
hã
 
10:10h – 11:00h Ondas Irregulares 
13:00h – 13:50h O Conceito de Espectro de Energia 
13:50h – 14:40h Espectros de Energia Padrão 
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14:40h – 15:30h Aspectos de Geração de Ondas do Mar 
Data Período Horários Assunto 
18:30h – 19:20h Revisão dos Tópicos Anteriores 
19:20h – 20:10h Equações de Movimento e Períodos Naturais 
20:10h – 21:00h Funções de Transferência dos Movimentos 
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21:00h – 21:50h Exemplos 
18:30h – 19:20h Cálculo dos Movimentos: Cruzamento Espectral 
19:20h – 20:10h Exemplo 
20:10h – 21:00h Período de Encontro 
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21:00h – 21:50h Estabilizadores 
08:00h – 08:50h Manobrabilidade: Introdução 
08:50h – 09:40h Modelagem Hidrodinâmica 
09:40h – 10:10h Ensaios em Tanque de Provas M
an
hã
 
10:10h – 11:00h Testes de Mar 
13:00h – 13:50h Lemes: Principais Tipos 
13:50h – 14:40h Forças e Torque 
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14:40h – 15:30h Discussão e Encerramento 
 
Especialização em Engenharia Naval 7 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
2. RESISTÊNCIA AO AVANÇO E POTÊNCIA REQUERIDA 
Mesmo com o avanço da capacidade de processamento computacional e das 
técnicas numéricas que constituem a chamada “mecânica dos fluidos 
computacional” (computational fluid dynamics, CFD), ainda hoje não existem 
meios consolidados e validados para uma estimativa numérica confiável da força 
de resistência experimentada por um navio ao se deslocar sobre a superfície da 
água. De fato, o problema de determinação da resistência ao avanço de uma 
embarcação de superfície ainda depende fortemente de ensaios em tanque de 
provas e do emprego de modelos empíricos aproximados. 
Dada a intrincada natureza do fenômeno, até meados do século XIX não havia 
formas de se estimar a resistência que um determinado casco sofreria ao se 
deslocar com uma certa velocidade, ou, o que é equivalente, não havia meios 
científicos capazes de prever a força necessária para mover um determinado 
casco com uma certa velocidade de avanço. 
A razão para as dificuldades apontadas acima reside na própria natureza do 
fenômeno, com sua forte dependência de efeitos de viscosidade do fluido e da 
interação destes com efeitos ondulatórios na superfície-livre. De fato, quando um 
navio de formas usuais se movimenta com velocidade de avanço constante (V) 
em águas calmas (na ausência de ondas), ele experimenta a ação de uma força 
que se opõe ao seu deslocamento. Esta força é formada pela composição de 
diversos fatores que interagem entre si; dentre estes se encontram o atrito da 
água sobre o casco, a geração de uma esteira rotacional à jusante do 
escoamento e a formação de ondas na superfície. 
Para estimar a resistência ao avanço de um determinado navio, os engenheiros 
navais normalmente recorrem a modelos simplificados que se fundamentam em 
uma decomposição dos diferentes efeitos hidrodinâmicos. Através desta 
simplificação, as componentes de resistência são trabalhadas de forma 
independente, embora alguns coeficientes de correção sejam introduzidos para, 
de certa forma, levar em conta as interações entre as componentes. 
 
Especialização em Engenharia Naval 8 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
2.1 Decomposição da Resistência 
Ao longo do tempo, a forma como a decomposição da resistência é realizada foi 
exaustivamente discutida no meio científico. Um dos modelos de maior aceitação 
atualmente é ilustrado na figura abaixo. Uma discussão detalhada sobre os 
métodos mais modernos de decomposição da resistência pode ser encontrada no 
trabalho de Larsson & Baba (1996). 
 
 
Figura 1: Decomposição da Resistência ao Avanço. Extraída de Bertram 
(2000) 
A seguir, discutiremos a origem e os métodos existentes para estimar as 
principais componentes de resistência ao avanço. Veremos que dois parâmetros 
adimensionais (a saber, o número de Reynolds Rn e o número de Froude Fn) 
desempenham um papel fundamental sobre a magnitude destas componentes. A 
representatividade destes parâmetros como indicadores das características 
hidrodinâmicas do problema pode ser entendida através de um exercício simples 
de análise dimensional, apresentado no Apêndice A desta apostila. Recomenda-
se ao aluno que visite este apêndice antes de prosseguir no texto. 
 
 
Especialização em Engenharia Naval 9 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
2.1.1 Resistência Friccional 
A chamada Resistência Friccional (em inglês Frictional Resistance) corresponde à 
força de atrito exercida pelo fluido sobre a superfície molhada do casco. Esse 
atrito esta diretamente ligado à viscosidade da água e a força total exercida pelo 
fluido será diretamente proporcional à área de superfície molhada do casco (SW). 
Em razão da origem viscosa do fenômeno, a magnitude das forças de atrito 
depende do número de Reynolds (Rn), dado por: µρ /WLn VLR = , onde µ 
representa o coeficiente de viscosidade dinâmica do fluido. Definindo o chamado 
coeficiente de viscosidade cinemática (ν) como ρµν /= , o número de Reynolds 
também pode ser escrito como ν/WLn VLR = . Fisicamente, o parâmetro Rn 
relaciona a magnitude das forças inerciais (de aceleração do fluido) e viscosas de 
um escoamento. 
O método empregado para determinar a resistência friccional de um navio admite, 
como passo inicial, a hipótese de que esta será igual à força exercida pelo fluido 
sobre uma placa plana com área igual à área de superfície molhada do casco 
(SW). Se denotarmos esta componente de resistência friccional por RF0, podemos 
definir um coeficiente de resistência friccional (CF0), que será função de Rn: 
)(
2/1 2
0
0 n
W
F
F RfVS
RC == ρ 
(1) 
 
A função f(), por sua vez, depende do tipo de escoamento sobrea placa, ou seja, 
se estamos falando de um escoamento laminar (possível para baixos números de 
Reynolds) ou turbulento. De fato, o tipo de escoamento exerce uma influência 
grande sobre as tensões de cisalhamento (ou seja, sobre o atrito) exercido pelo 
fluido sobre a placa. Esta influência é ilustrada na figura a seguir, onde se 
apresenta um conjunto de resultados experimentais obtidos em ensaios com 
placas planas e os valores previstos através de duas funções teóricas que 
relacionam o coeficiente de fricção na placa com o Rn do escoamento: 
 
Especialização em Engenharia Naval 10 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
 
Figura 2: Fricção em placa plana sobre regime laminar e turbulento (extraída 
de PNA, 1988) 
A função que ajusta os resultados para escoamento laminar é a chamada linha de 
Blasius (válida para valores de Rn baixos). Quando falamos de navios, no entanto, 
estamos geralmente interessados em escoamentos com elevados números de 
Reynolds1. O escoamento sobre o casco do navio, portanto, é tipicamente 
turbulento. Nesse regime, como indica a Figura 2, a função que melhor ajusta o 
coeficiente de fricção sobre uma placa plana é a chamada linha de Schoenherr 
(proposta originalmente em Schoenherr (1932)), a qual é expressa por: 
).(log
)(
242.0
0105
0
Fn
F
CR
C
= (2) 
 
A figura acima também mostra que existe uma região de transição, tipicamente na 
faixa , na qual o coeficiente de fricção é muito sensível a pequenas 
perturbações no escoamento (note que nesta região muitas vezes valores 
distintos de coeficiente de atrito são obtidos em ensaios com o mesmo R
65 1010 << nR
n). 
Voltaremos a discutir esta região de transição quando estudarmos o emprego de 
ensaios em tanques de provas. 
 
1 De fato, basta observar, por exemplo, que para um casco com LWL = 100m que se desloca com 
uma velocidade V = 5m/s (aprox. 10 nós), temos Rn = 5x108 
 
Especialização em Engenharia Naval 11 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
É importante observar que uma estimativa de resistência de fricção baseada 
exclusivamente no modelo de placa plana equivalente não seria precisa, pois, 
como já indicado anteriormente na Figura 1, há uma influência da geometria do 
casco sobre as forças de atrito. As razões desta influência são simples: Em 
primeiro lugar, a velocidade local do escoamento em cada ponto do casco difere 
da velocidade de avanço V e depende fundamentalmente das formas da região 
submersa. Assim, próximo à proa e à popa do navio, a velocidade do fluxo tende 
a ser menor do que V, enquanto na região central a velocidade tende a ser maior 
do que V. Em função desta variação de velocidade há uma variação na tensão de 
cisalhamento. Além disso, também motivada pelas variações de velocidade na 
região de popa, em geral ocorre uma separação da camada-limite (que 
discutiremos mais adiante), a qual também afeta a resistência friccional nesta 
região do casco. 
Para garantir uma estimativa mais precisa da resistência friccional sobre cascos 
de formas usuais, a ITTC (International Towing Tank Conference) de 1957 se 
baseou em uma série de medições de resistência de navios (escala real) e em 
ensaios com modelos em tanques de provas para propor a seguinte linha de 
correlação, a partir da qual é possível calcular a resistência friccional (RF): 
2
10
2 )2(log
075.0
2/1 −== nW
F
F RVS
RC ρ 
(3) 
 
O termo “correlação” aqui se refere à extrapolação dos resultados obtidos em 
ensaios de tanque de provas (com modelos em escala reduzida) para a escala 
real (navio). Discutiremos o emprego de modelos para a determinação da 
resistência ao avanço mais adiante, na seção 2.3.1. 
A variação da componente friccional prevista pela linha da ITTC é ligeiramente 
diferente daquela obtida pela linha de Schoenherr (placa plana equivalente), como 
ilustra a figura a seguir. 
 
 
Especialização em Engenharia Naval 12 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
 
Figura 3: Comparação das linhas de Schoenherr e ITTC 1957. Extraída de 
Tupper (1996) 
 
2.1.2 Resistência de Pressão Viscosa 
Conforme discutimos acima, existe uma parcela de resistência viscosa que 
depende da forma do casco. Em parte, isso se dá simplesmente pelo fato de a 
velocidade do fluxo variar ao longo do casco. Além disso (e aqui o aluno deve se 
recordar dos fundamentos de mecânica dos fluidos), a presença da chamada 
“camada-limite” sobre o casco e sua eventual separação afetam a distribuição de 
pressão sobre a superfície molhada e, conseqüentemente, a força resultante 
sobre o casco. Aqui, vale uma pequena recordação de alguns conceitos básicos: 
A Figura 4 ilustra alguns fenômenos importantes no problema de escoamento ao 
redor de um corpo submerso. A parte (a) da figura indica como seria a distribuição 
de pressão sobre o corpo caso os efeitos de viscosidade do fluido não 
existissem2. 
 
2 Em mecânica dos fluidos, escoamentos de fluidos inviscidos são denominados “escoamentos 
potenciais”. Trata-se, obviamente, de um estudo aproximado, visto que na realidade todo fluido é 
provido de viscosidade, mas que encontra inúmeras aplicações importantes em engenharia naval 
e oceânica. 
 
Especialização em Engenharia Naval 13 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
 
Figura 4: Escoamento em torno de um corpo submerso (extraída de PNA, 
1988) 
Nesta condição, a pressão no fluido (p) se relaciona diretamente com a 
velocidade local do escoamento (v), relação esta ditada pela conhecida Equação 
de Bernoulli: 
cteghvp =++
2
2
ρ 
(4) 
 
É possível mostrar que, se o fluido fosse desprovido de viscosidade, a distribuição 
de pressão sobre o corpo se daria de tal forma que a força de arrasto resultante 
sobre o corpo seria nula (este fato é conhecido na hidrodinâmica como Paradoxo 
de D’Alembert). A Figura 4(a) mostra um caso particular no qual o corpo é 
simétrico. Neste caso, as linhas de corrente do escoamento (b) e, portanto, o 
campo de velocidades (v) também o será. Dessa forma, de acordo com a 
equação de Bernoulli, o campo de pressão resultará simétrico como indica o 
gráfico em (a). As regiões de proa e popa são regiões nas quais a velocidade do 
fluxo é menor do que a velocidade ao longe (V), e, por essa razão, a pressão 
nestas regiões é maior do que a pressão do fluido ao longe (daí o sinal +). Na 
 
Especialização em Engenharia Naval 14 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
região média do casco, onde sua largura é maior, a velocidade do fluxo resulta 
maior do que V, e, portanto, a pressão é menor (daí o sinal (-)). A pressão em 
cada ponto da superfície do corpo dá origem a uma força perpendicular à 
superfície no referido ponto e, em virtude da simetria, pode-se inferir na figura (b) 
que a resultante da força será de fato nula. O problema é que, na realidade, o 
fluido apresenta viscosidade. Essa viscosidade faz com que a camada de fluido 
em contato com a superfície do corpo permaneça aderida ao mesmo. A 
velocidade das partículas fluidas em contato imediato com a superfície do corpo é 
então nula e aumenta gradualmente à medida que nos afastamos desta 
superfície. A camada de fluido entre a superfície do corpo e os pontos nos quais a 
velocidade média do fluxo já é igual a 0.99V é denominada “camada-limite” (em 
inglês boundary layer), ilustrada na parte (c). Fisicamente, a variação de 
velocidade na camada-limite é a responsável pelo atrito experimentado pelo 
corpo, dando origem à resistência friccional, como vimos. Se o corpo tiver 
variações abruptas de geometria (comuns, especialmente na popa de navios), a 
camada-limite tende a se “descolar” do corpo, formandoturbilhões no fluxo à 
jusante do mesmo (esteira). Para formar esses turbilhões (ilustrados na parte (d)), 
se gasta energia, energia esta que é sentida como uma força de resistência ao 
avanço. Essa parcela de resistência é conhecida como resistência por geração de 
vórtices (em inglês, eddy-making resistance). 
A presença da camada-limite, seu descolamento e a esteira que se forma à 
jusante do corpo acabam por afetar o campo de velocidades na região de popa e, 
conseqüentemente, o campo de pressão. Via de regra, a tendência é uma 
redução da pressão na região de popa, que assim deixa de contrabalançar a 
região de pressão positiva na proa. Isso acaba por induzir uma força de 
resistência. Como o mecanismo que gera essa força em sua origem na ação de 
efeitos de viscosidade sobre o campo de pressão, refere-se a esta componente 
de resistência como resistência de pressão viscosa (em inglês, viscous pressure 
resistance). 
Essa parcela de resistência depende, fundamentalmente, das formas do casco. 
Em geral, quanto mais rombudo o casco, maior será a participação desta 
 
Especialização em Engenharia Naval 15 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
componente na resistência total. Ela não pode ser inferida diretamente em 
ensaios de resistência e é difícil de estimar de forma teórica ou numérica. Em 
geral, a magnitude desta parcela é avaliada a partir de medições de resistência 
em baixas velocidades (ausência de ondas), ao se descontar força medida a 
parcela friccional. 
Atualmente, os modelos para cálculo de resistência ao avanço procuram 
incorporar a influência da forma do casco sobre a resistência viscosa através da 
adoção do chamado fator de forma (k): 
)1( kCC FV += (5) 
onde o valor de k é determinado a partir de regressões matemáticas sobre 
resultados de ensaios com modelos em escala reduzida. 
 
2.1.3 Resistência de Ondas 
Corresponde à parcela de resistência que surge sobre o casco devido à geração 
de ondas na superfície da água conforme a embarcação se desloca. De fato, 
essas ondas carregam com si uma quantidade de energia, energia essa que 
advém do deslocamento do corpo e, portanto, a geração destas ondas também 
está associada a uma força que se opõe a tal deslocamento. 
A resistência de ondas depende da geometria do corpo e o parâmetro físico que a 
controla é o chamado número de Froude ( LgVFn ⋅= ) (ver Apêndice A). 
Fisicamente, a geração de ondas está associada às variações do campo de 
pressão do fluido, discutidas na seção anterior. As regiões de proa e popa 
contribuem de forma mais significativa para a geração de ondas, pois são as 
regiões onde a pressão varia de forma mais abrupta. Um estudo particularmente 
esclarecedor sobre o mecanismo de geração de ondas por um navio de superfície 
foi realizado por Wigley (1931), que realizou ensaios com cascos cuja geometria é 
ilustrada na Figura 5, a seguir. Nela, são mostrados 5 diferentes sistemas de 
ondas gerados pelo movimento do casco. A interferência entre estes sistemas 
controla a força de resistência de ondas. 
 
Especialização em Engenharia Naval 16 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
Embora os cascos de navios tenham variações de geometria mais suaves do que 
os cascos Wigley, seu estudo fornece uma boa aproximação para o que ocorre 
com embarcações em geral. Há um sistema denominado sistema primário, o qual 
corresponde a elevações da superfície da água nas regiões de pressão mais alta 
(cristas na proa e popa) e uma depressão na região de pressão mais baixa 
(cavado no corpo paralelo-médio). No caso do casco Wigley, esse sistema é 
simétrico graças à simetria do casco em relação à sua seção-mestra. O 
comprimento da onda do sistema primário independe da velocidade do barco e, 
assim, é como se essa onda acompanhasse o navio conforme ele se desloca. A 
altura da onda, por sua vez, varia tipicamente com o quadrado da velocidade de 
avanço V. 
 
Figura 5: Sistemas de Ondas para Cascos Wigley (extraída de PNA, 1988) 
 
As outras quatro componentes de ondas que se formam constituem o chamado 
sistema secundário. A composição destas ondas forma o trem de ondas 
característico que estamos acostumados a ver à ré de uma embarcação em 
movimento e que se encontra ilustrado na Figura 6. 
 
Especialização em Engenharia Naval 17 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
(a) (b) 
Figura 6: Vista do campo de ondas gerado pelo deslocamento de um navio: 
(a) diagrama esquemático; (b) vista aérea. Fonte: PNA, 1988. 
 
A uma certa distância do navio esse trem de ondas se mostra composto por um 
conjunto de ondas que se propaga com direção paralela à direção do movimento 
(ondas transversais) e um trem de ondas divergente, que se afasta do navio (em 
forma de “V”). 
Embora essa geometria global independa da velocidade, o comprimento de onda 
das componentes do sistema secundário aumenta com a velocidade do navio. 
Assim, o padrão de interferência na composição das diferentes ondas muda com 
a velocidade (e, portanto, com o número de Froude). 
Além do aumento da amplitude de cada componente (tipicamente com V2), com o 
aumento da velocidade do navio há oscilações na amplitude das ondas 
resultantes, a qual aumenta em casos de interferência construtiva e diminui em 
casos de interferência destrutiva. Esse processo está ilustrado na Figura 7, a 
seguir. 
 
Especialização em Engenharia Naval 18 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
 
Figura 7: Variação na interferência de ondas com o número de Froude. 
Fonte: Larsson & Eliasson (1994). 
 
A força de resistência por formação de ondas (RW) varia com a amplitude de onda 
ao quadrado e esta, por sua vez, varia tipicamente com a velocidade de avanço 
ao quadrado. Em média, portanto, se fizermos um gráfico de RW x Fn, 
identificaremos uma tendência dada por . O crescimento, no entanto, 
não será monotônico graças à interferência de ondas e, assim, notaremos 
aumentos na resistência para valores de F
4)( nW FR ∝
n que implicam em interferência 
construtiva e reduções caso contrário. Em resumo, a curva RW x Fn apresentará 
uma tendência média de crescimento com Fn, mas esse crescimento se dá de 
forma oscilatória. 
Definimos o coeficiente de resistência de ondas (CW) da seguinte forma: 
22/1 VS
RC
W
w
W ρ= 
(6) 
 
Especialização em Engenharia Naval 19 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
A Figura 8 apresenta a forma usual da curva CW x Fn, onde podem se identificar as 
oscilações mencionadas acima. Nesta figura são apresentadas também as 
contribuições das ondas transversais e divergentes para a resistência total de 
ondas. 
 
Figura 8: Coeficiente de Resistência de Ondas (CW). Extraída de PNA,1988. 
 
Em particular, nota-se o abrupto aumento da resistência de ondas em torno de 
. Nessa faixa de F40.0≅nF n, para conseguirmos um pequeno aumento de 
velocidade é necessário um grande aumento da potência do motor. Por essa 
razão as velocidades máximas atingidas pelos navios de carga é em geral 
limitada a valores próximos de 45.0≅nF 3. 
Ainda hoje a resistência de ondas não pode ser estimada por intermédio de 
formulações teóricas, embora estudos nesse sentido tenham sido desenvolvidos 
ao longo de mais de cem anos. Soluções numéricas baseadas em escoamento 
potencial conseguem fornecer hoje em dia boas aproximações, mas ainda 
enfrentam problemas. Uma das complicações decorre do fato de que, acima de 
 
3 Velocidades mais altas são facilmente alcançadas pelos chamados cascos “de planeio” ou por 
embarcações dotadas de hidrofólios, por exemplo. 
 
Especialização em Engenharia Naval 20 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
uma certa velocidade (tipicamente para Fnacima de 0.25), a razão entre a altura e 
o comprimento da onda gerada4 se torna muito elevada e a onda “quebra”. 
Quando a onda do sistema primário quebra, ela afeta o padrão de onda do 
sistema secundário. Além disso, como a elevação da superfície varia ao longo do 
comprimento do navio, induz-se um trim de popa e a situação de flutuação do 
casco muda, o que também acaba por afetar o campo de ondas gerado. 
Em virtude destas dificuldades, a determinação mais precisa da resistência de 
ondas de uma embarcação ainda depende, em geral, de ensaios em tanques de 
provas. 
 
2.2 Resistência Total 
Para embarcações de formas usuais, as três componentes discutidas acima 
respondem pela maior parte da resistência hidrodinâmica. No entanto, outras 
componentes existem e também contribuem com uma parcela de força. Dentre 
essas, uma das mais importantes é a resistência aerodinâmica. Esta parcela se 
refere à resistência imposta pelo ar ao deslocamento da embarcação e pode 
chegar a 10% da resistência total para navios de formas usuais. Obviamente, no 
entanto, a força aerodinâmica total é bastante variável e dependerá das 
condições de vento enfrentadas pelo navio ao longo do curso. Além disso, todas 
as parcelas discutidas até então se referem ao deslocamento em águas calmas. 
No entanto, a correnteza marítima e as ondas do mar também afetam a 
resistência hidrodinâmica da embarcação. 
A Figura 9, a seguir, mostra uma relação aproximada entre as principais 
componentes da resistência ao avanço (em águas calmas) para duas condições 
de velocidade. 
 
4 A essa razão dá-se o nome de declividade da onda. 
 
Especialização em Engenharia Naval 21 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
 
Figura 9: Relação entre as componentes da resistência em duas condições 
de velocidade de avanço. 
 
 
Especialização em Engenharia Naval 22 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
2.3 Métodos para Estimativa da Resistência ao Avanço 
Ainda hoje, o procedimento para uma determinação mais precisa da resistência 
ao avanço de uma embarcação requer o emprego de ensaios em tanque de 
provas. Conforme abordado no primeiro módulo deste curso, o projeto de um 
navio é geralmente conduzido de forma interativa, seguindo o princípio expresso 
pela chamada espiral de projeto. Normalmente os métodos de cálculo 
empregados crescem em complexidade (e custo) ao longo do projeto (de uma 
volta para outra na espiral). Neste espírito, em etapas preliminares do projeto, 
quando a geometria do casco ainda pode sofrer maiores modificações, 
normalmente a resistência é estimada de forma mais grosseira, utilizando, por 
exemplo, as chamadas séries sistemáticas. Mais adiante no projeto, quando as 
formas do casco já estão mais consolidadas, via de regra parte-se para ensaios 
com modelo em tanque de provas. A seguir, discutiremos os principais aspectos 
envolvidos na estimativa de resistência com base em modelos e, ao final desta 
seção, abordaremos brevemente o uso de métodos simplificados voltados para as 
etapas preliminares de projeto. 
 
2.3.1 O Emprego de Ensaios em Tanques de Provas 
A estimativa da resistência do navio (dito em escala real) é obtida com base no 
ensaio de reboque de um modelo do casco (dito em escala reduzida) em um 
tanque de provas, ver Figura 10. 
O modelo é construído em escala reduzida mantendo semelhança geométrica 
com o casco real e o mesmo é rebocado com diferentes velocidades. 
A metodologia que permite extrapolar os resultados obtidos com o modelo para a 
escala real foi proposta originalmente por William Froude, por volta de 1870. 
Froude percebeu que as duas principais componentes de resistência (friccional e 
de ondas) são controladas por parâmetros físicos distintos e que ao reduzir a 
escala do problema não é possível manter os dois parâmetros inalterados 
 
Especialização em Engenharia Naval 23 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
simultaneamente. Dessa forma, não seria possível garantir semelhança dinâmica 
completa5. 
 
 (a) 
 (b) 
Figura 10: Ensaio de reboque em tanque de provas: (a) o carro de reboque 
(dinamométrico), (b) modelo em escala reduzida. 
F 
ser desmembr das, sendo a 
 
roude, no entanto, contornou esse problema supondo que a resistência pudesse
ada em uma parcela friccional e uma parcela de on
parcela de ondas determinável a partir dos ensaios com base em sua “lei de 
comparação” (similaridade de Froude). Tal lei de comparação consistia em manter 
inalterado o parâmetro que hoje recebe seu nome. Se denotarmos com o sobre-
índice r as medidas em escala real e pelo sobre-índice m aquelas referentes à 
 
5 Por semelhança dinâmica entenda-se semelhança entre as diferentes componentes de força na 
escala real e na escala do modelo. 
 
Especialização em Engenharia Naval 24 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
escala do modelo, o que Froude propôs na realidade é que os ensaios fossem 
feitos de forma que: Fnm=Fnr
Segundo a hipótese de Froude, isso garante que o coeficiente de resistência de 
ondas do navio real seja igual àquele obtido nos ensaios do modelo, ou seja, CWm 
ase em ensaios. Seu 
cia, no 
ra exemplificar essas 
= CWr. O coeficiente friccional do navio real poderia então ser obtido a partir da 
hipótese de placa plana equivalente e, somando as duas componentes (de ondas 
e friccional) seria determinada a resistência total do navio. 
O conceito proposto por Froude foi extremamente engenhoso e abriu as portas 
para a determinação da resistência ao avanço com b
sucesso motivou a construção do primeiro tanque de provas em 1879 na 
Inglaterra e logo outros tanques surgiram em diferentes locais da Europa. 
O procedimento atualmente utilizado pelos engenheiros navais para a 
determinação da resistência ao avanço ainda se baseia, em sua essên
método proposto por Froude. No entanto, ao longo do tempo algumas 
modificações foram introduzidas para aumentar a precisão das estimativas, já que 
existem algumas complicações, como veremos a seguir. 
O primeiro problema decorre da grande diferença resultante entre o número de 
Reynolds do navio real e aquele do modelo. Pa
discrepâncias consideremos um navio com LWL = 100m e suponhamos que 
queiramos estimar sua resistência ao avanço quando navegando a uma 
velocidade de 10 nós (aproximadamente 5 m/s). Para isso, construímos um 
modelo em escala 1:100 (fator de escala λ = 100). Nesse caso, o valor do número 
de Froude do navio é Fnr = 0.16 e, para mantermos esse mesmo valor em escala 
reduzida, o ensaio deverá ser realizado com velocidade de avanço Vm = 0.5m/s 
(note que a imposição de mesmo Fn implica que a velocidade do ensaio deve ser 
λ vezes menor do que a velocidade do navio). Ao mesmo tempo, enquanto o 
número de Reynolds na escala real é de Rnr = 5.108, o valor resultante no ensaio 
 de apenas Rserá nm = 5.105 (é fácil mostrar que, supondo que a densidade e a 
viscosidade da água seja aproximadamente igual nas duas escalas, o valor de Rn 
na escala do modelo será 2/3λ menor do que aquele na escala real). Observemos 
 
Especialização em Engenharia Naval 25 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
novamente a Figura 2. Essa figura demonstra que, enquanto para o navio sua 
camada-limite será efetivamente turbulenta sobre o casco, o modelo se situará na 
chamada faixa de transição. O problema é que, nesta faixa, é muito difícil prever 
efetivamente qual será o valor da resistência friccional sobre o casco e, com isso, 
o método perderia precisão. Na prática, tenta-se contornar esse problema com o 
uso dos chamados excitadores de turbulência. Esses excitadores são 
normalmente faixas de areiaou pinos posicionados próximos à proa do modelo de 
forma a induzir artificialmente a turbulência da camada-limite para que esta se 
aproxime da situação prevista para o navio real. 
A Figura 11, abaixo, ilustra um dos aparatos empregados para a medição da força 
de resistência em um modelo. Esse método se baseia no uso de cabos e polias e 
dois contra-pesos. A figura também ilustra, esquematicamente, a presença do 
excitador de turbulência (no caso, uma faixa de areia). 
 
Figura 11: Ilustração do aparato para medição de resistência em um modelo. 
Extraída de Bertram (2000). 
de que este não leva e cia de pressão viscosa, 
O segundo problema na aplicação direta do método proposto por Froude é o fato 
m conta a chamada resistên
incluindo aí a parcela que depende da geometria do casco. Essa componente, 
dada a sua origem viscosa, também depende fundamentalmente do número de 
Reynolds e, quanto menor o valor de Rn, maior tende a ser sua contribuição. Esse 
fato pode ser observado através de um conjunto de experimentos realizados com 
o navio Lucy Ashton na década de 50. A Figura 12, a seguir, apresenta uma 
 
Especialização em Engenharia Naval 26 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
comparação dos resultados do coeficiente de resistência medidos em ensaios de 
reboque do navio e aqueles obtidos com seis modelos em diferentes escalas. 
 
 
Figura 12: Estudo de Resistência do Navio Lucy Ashton. Fonte: 
Tupper(1996) 
 
Os testes foram realizados para difer s de avanço. À medida que 
 velocidade diminui, a resistência de ondas decresce rapidamente e, segundo a 
omponente. Em geral, essa 
entes velocidade
a
hipótese de Froude, a curva de resistência deveria se aproximar de forma 
assintótica à curva de resistência de fricção de uma placa plana equivalente (linha 
de Schoenherr). Todavia, fica claro na figura que a resistência medida tende para 
uma curva com valores maiores do que os previstos por Schoenherr. Essa 
discrepância é resultado da componente de pressão viscosa, que depende da 
forma do casco, conforme discutimos anteriormente. 
Por essa razão, nos métodos de cálculo de resistência mais recentes, é feita uma 
correção que busca representar a influência dessa c
correção se baseia no emprego do coeficiente de forma k, já discutido na seção 
2.1.2. 
 
Especialização em Engenharia Naval 27 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
O modelo de cálculo de resistência ao avanço mais comumente empregado hoje 
em dia foi proposto pela ITTC em 1978. Esse procedimento será discutido em 
C 1978
maiores detalhes a seguir. 
 
O Método de Cálculo da ITT 
m um ensaio de reboque com modelo em escala reduzida mede-se a resistência 
inada velocidade de avanço do modelo (Vm). 
E
total do modelo RTm para uma determ
Com isso, obtém-se o coeficiente de resistência total do modelo: 
2)(2/1 mmW
m
Tm
T VS
RC ρ= 
(7) 
A partir desse coeficiente, calcula-se o coeficiente de resistência de ondas do 
modelo, descontando-se a parcela de resistência viscosa: 
do através da fórmula 
proposta pela ITTC 1957 (ver eq. (3)), empregando-se para tanto o número de 
de (ou seja, para uma velocidade de avanço
m
F
m
T
m
W CkCC )1( +−= (8) 
O coeficiente de resistência friccional do modelo é calcula
Reynolds do modelo Rnm. O fator k é o fator de correção de forma que deve ser 
obtido através dos ensaios de reboque. O procedimento para sua obtenção será 
discutido mais adiante. 
O coeficiente de resistência de ondas do navio é igual ao do modelo para o 
mesmo número de Frou mr VV .λ= ). 
WFT CCCCkC )1( (9) 
onde o valor de será novamente calculado pela eq. (3), mas agora a fórmula 
é usada com Rnr. 
ios novos, normalmente se utiliza
Portanto, para essa velocidade: mW
r
W CC = 
O coeficiente de resistência total do navio será então dado por: 
rrr ++++= AAA
r
FC
O coeficiente CA é um fator de correção que leva em conta a rugosidade do casco 
do navio. Para nav 00041.0=AC . 
 
Especialização em Engenharia Naval 28 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
O coeficiente CAA contabiliza a resistência aerodinâmica do navio. É calculado 
através da seguinte expressão: 
r
W
T
AA
S
AC .001.0= (10) 
Onde AT representa a área projetada frontal do navio acima da linha d’água
Finalmente, a força de resistência total do navio para a velocidade 
. 
mr VV .λ= é 
(11) 
Repetindo-se o procedimento acima para diferentes velocidades de reboque é 
ossível obter a curva de resistência ao avanço do navio em função do número de 
então obtida: 
r
T
rr
W
r
T CVSR
2)(2/1 ρ= 
 
p
Froude (RT x Fn). 
A Figura 13, abaixo, apresenta o formato típico da curva de coeficiente de 
resistência total. 
 
Figura 13: Curva de Resistência Típica. Fonte: PNA,1988. 
 
Resta ape partir dos 
sultados experimentais levantados para as diferentes velocidades de reboque 
(e, portanto, para os diferentes valores de Fn ensaiados). De posse dos valores 
nas discutir a obtenção do fator de forma k. Este é obtido a 
re
 
Especialização em Engenharia Naval 29 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
medidos de coeficiente de resistência total, o método da ITTC propõe que se use 
a seguinte regressão: 
m
F
bm
n
m
F
m
T
C
Fak
C
C )()1( ++= (12) 
Ajustando-se a função acima à curva experimental são obtidos os valores dos 
parâmetros de ajuste a e b e do fator de forma k, suposto o mesmo para o modelo 
e o navio. 
prego de Métodos Simplificados 
nsaios em tanques de provas envolvem processos demorados e custosos. Além 
disso, nas etapas iniciais de projeto, estimativas preliminares de resistência 
imadamente o peso e volume 
: As chamadas séries sistemáticas consistem 
e para um determinado casco (por 
 
2.3.2 O Em
E
devem ser realizadas para se avaliar aprox
necessário de motor e o volume dos tanques de combustível. Como esse 
procedimento envolve interações sucessivas, ensaios em tanque de provas não 
são uma alternativa viável em termos de custos e prazos para essas primeiras 
avaliações. 
Dessa forma, as estimativas iniciais de resistência recaem sobre procedimentos 
empíricos, dentre os quais podemos destacar: 
• Séries Sistemáticas
basicamente na organização de um grande conjunto de resultados 
experimentais. Define-se um modelo-bas
exemplo, um navio petroleiro) e, então, se constrói uma série de outros 
modelos variando-se sistematicamente alguns parâmetros geométricos 
(como, por exemplo, L/B, B/T, Cb, Cp, etc...). Os diferentes modelos são 
ensaiados em tanque de provas e regressões matemáticas sobre os 
resultados permitem exprimir a influência dos diferentes parâmetros na 
resistência do navio. Os resultados finais são normalmente apresentados 
em conjuntos de gráficos ou tabelas. Principalmente entre as décadas de 
30 e 70 um grande número de séries sistemáticas foi publicado. Exemplos 
são a série de Taylor, a série 60 e a SSPA. Hoje em dia, porém, é 
 
Especialização em Engenharia Naval 30 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
consenso entre os projetistas de que as séries para navios mercantes já se 
encontram ultrapassadas, não representando adequadamente os cascos 
atuais. Por essa razão, o seu emprego se encontra cada vez mais em 
desuso. As exceções são embarcações com cascos especiais como 
veleiros, lanchas de planeio e catamarãs, para os quais séries ainda se 
encontram em desenvolvimento. 
Regressões baseadas em diferentes navios (ex Lap-Keller; Holtrop-
Mennen, Hollenbach): São trabalhos baseados em regressões estatísticas 
sobre um grande número de res
• 
ultados obtidos para diferentes tipos de 
• 
relacionar a potência necessária 
navios. Fornecemestimativas grosseiras, mas, graças à facilidade de 
programação, se encontram implementadas em vários programas de 
CAD/CAM voltados para projetos navais. 
Comparação com navio semelhante: Uma boa estimativa inicial pode ser 
obtida por comparação com navio semelhante (parent ship). Normalmente 
se emprega um fator de conversão para 
no navio projetado com aquela instalada no semelhante. Um dos fatores 
mais aceitos atualmente é o coeficiente de almirantado (dado por 
PotênciaV 3/23∆ ). Obviamente, a aproximação será tanto melhor quanto 
mais próximos forem os parâmetros geométricos e a velocidade dos dois 
navios. 
m mente, todavia, que qualquer um dos métodos acima é 
te aproximado e se destina apenas a inferências iniciais. No decorrer do 
Deve-se sempre ter e
bastan
projeto do navio, métodos mais sofisticados vão sendo empregados para avaliar a 
 
resistência de forma mais confiável. Hoje em dia, métodos numéricos (como 
programas de CFD) são cada vez mais empregados, embora esta ainda não seja 
a regra. As avaliações finais continuam a depender de ensaios em tanque de 
provas, discutidos na seção precedente. 
 
 
 
Especialização em Engenharia Naval 31 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
2.4 Determinação da Potência Requerida 
s estudos de resistência ao avanço fornecem os resultados necessários para se 
eterminar a potência de motor necessária para que um determinado navio possa 
atingir uma certa velocidade. 
V) e a resistência ao avanço 
eria a 
potência necessária para rebocar o navio (sem apêndices) com essa velocidade 
de avanç ença do propulsor altera o escoamento sobre o 
 em “águas abertas”) e o reflexo destas 
O
d
Uma vez definida a velocidade máxima de projeto (
associada a esta velocidade (RT), sabe-se a potência necessária para manter o 
movimento (dada simplesmente pelo produto da força pela velocidade): 
VRP ⋅= . T
Essa potência é normalmente chamada de potência efetiva (normalmente 
abreviada por EHP, de effective horse power). Deve-se observar que essa s
o. Na realidade, a pres
casco e, portanto, tem efeito sobre a resistência. Além disso, devido a perdas de 
potência associadas ao propulsor, à transmissão e ao próprio motor, a potência 
instalada deverá ser maior do que a efetiva. Dessa forma, para a determinação 
desta potência, devem ser consideradas as diferentes eficiências mecânicas (do 
propulsor, da transmissão, do motor). 
A incorporação destes efeitos dá origem ao então chamado estudo de interação 
casco-hélice-motor. Este estudo se destina a quantificar as interações 
hidrodinâmicas entre o casco e o propulsor (cujas características são usualmente 
obtidas na ausência de um casco, ou
sobre a potência requerida. 
Maiores detalhes serão fornecidos no Módulo 5, que trata de sistemas de 
propulsão. 
 
Especialização em Engenharia Naval 32 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
3. COMPORTAMENTO NO MAR 
Quando falamos do problema de “comportamento no mar” de uma embarcação, 
nos referimos ao estudo para previsão dos movimentos que essa embarcação 
apresentará quando submetida à ação das ondas do mar. Na literatura de língua 
inglesa, esse tópico é conhecido por seakeeping. Há vários motivos pelos quais o 
projetista deseja limitar os movimentos e acelerações de um navio em ondas, 
dentre os quais, podemos destacar: 
• Segurança ao emborcamento (garantir a estabilidade dinâmica do 
sistema); 
• Reduzir episódios de “água no convés” (greenwater); 
• Reduzir a carga de slamming (impacto da proa do navio contra as ondas, 
causando vibrações estruturais); 
• Evitar acréscimos consideráveis de resistência ao avanço (resistência 
adicional em ondas); 
• Conforto e segurança da tripulação. 
No caso de sistemas oceânicos, como plataformas de petróleo flutuantes, há 
outros problemas causados pela ação das ondas, como: 
• As cargas dinâmicas sofridas pelos risers e umbilicais dependem 
diretamente dos movimentos do sistema flutuante; 
• Alguns equipamentos de convés apresentam níveis máximos de 
movimento e/ou aceleração para sua operação. 
Atualmente, existem métodos de eficiência comprovada que permitem estimar as 
características de comportamento no mar de uma determinada embarcação. Os 
métodos mais empregados pelos projetistas de grandes sistemas se baseiam em 
softwares que resolvem o problema hidrodinâmico e calculam as forças impostas 
pelas ondas sobre o sistema e, assim, sua resposta dinâmica. 
Nosso objetivo neste capítulo será o de compreender o mecanismo através do 
qual a dinâmica de um corpo flutuante é excitada pelas ondas do mar, identificar 
 
Especialização em Engenharia Naval 33 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
quais os principais parâmetros de projeto que controlam as características de 
movimento de um sistema naval e quais são as medidas que podem ser adotadas 
para reduzir os movimentos. Como primeiro passo, veremos as principais 
características das ondas do mar e quais os modelos matemáticos normalmente 
utilizados para descrevê-las. 
 
3.1 O Ambiente Marítimo – Ondas 
Para entendermos o princípio através do qual os projetistas calculam os 
movimentos de sistemas flutuantes no mar, precisamos estudar a forma mais 
simples de uma onda de superfície e sua descrição matemática. Este é o tópico 
fundamental da chamada Hidrodinâmica Marítima, da qual estaremos 
interessados apenas em alguns resultados principais. A hidrodinâmica de ondas é 
um dos tópicos mais complexos na área de engenharia naval e oceânica e, em 
geral, requer recursos avançados de cálculo. O PNA (1988), Vol III oferece uma 
introdução a este tópico. Para aqueles que desejarem se aprofundar no assunto, 
recomenda-se a leitura de Newman (1977), este já com tópicos bem mais 
avançados. 
3.1.1 Ondas Regulares 
A onda elementar na descrição matemática do mar é chamada de onda plana 
progressiva regular e está ilustrada na figura abaixo: 
 
Figura 14: Onda Plana Progressiva. 
 
Especialização em Engenharia Naval 34 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
Obviamente, a forma da superfície varia tanto no espaço como no tempo. A parte 
(a) da figura ilustra a variação espacial (é como se fosse uma fotografia da onda 
em um instante de tempo fixo). A parte (b) representa o que chamamos de série 
temporal da onda, ou seja, representa a variação da superfície em um 
determinado ponto (x,y) ao longo do tempo. No caso exemplificado na figura, a 
onda se propaga na direção do eixo x. Dizemos que se trata de uma onda plana 
pois a elevação se repete em qualquer cota y. Assim, podemos descrever 
completamente a elevação da superfície (ζ) a partir de duas variáveis apenas: 
ζ(x,t). 
O que caracteriza uma onda regular é o fato de ela ter um período de oscilação 
(T) bem definido. Esse período pode ser medido, por exemplo, como o intervalo 
de tempo entre duas cristas (ou cavas) sucessivas. O período das ondas do mar é 
expresso normalmente em segundos. Muitas vezes, ao invés do período, 
preferimos trabalhar com a freqüência de ondas (f=1/T, em Hertz) ou, 
alternativamente, com a chamada freqüência angular ( fT ππω 22 == , em rad/s). 
Enquanto o período (ou freqüência) caracteriza a variação da onda no tempo, o 
comprimento de onda (λ) caracteriza sua variação no espaço. Trata-se, como 
mostra a figura, da distância entre duas cristas ou cavas sucessivas. 
Para que a descrição da onda elementar esteja completa resta ainda um 
parâmetro, que é a sua amplitude (chamaremos, por simplicidade de A, embora 
na figura denote-se por ζa). A chamada altura de onda (H) é o dobro da amplitude 
( AH 2= ). 
Por fim, dizemos que a onda é progressiva porque um observador fixo veria as 
cristas (e as cavas) se deslocando numa certa direção como passar do tempo. A 
velocidade com a qual o observador vê esse movimento é a chamada velocidade 
de fase ou velocidade de propagação e é dada por Tc λ= . 
Doravante, nos referiremos sempre ao problema de profundidade infinita, caso em 
que a profundidade do mar no local (h) é muito maior do que o comprimento típico 
de ondas. Essa hipótese é sempre adotada nos estudos de sistemas navais e 
oceânicos em “mar aberto”. 
 
Especialização em Engenharia Naval 35 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
Uma das propriedades mais importantes das ondas de superfície é o fato de o 
comprimento de onda estar relacionado com a freqüência da mesma. Mostra-se 
que, em profundidade infinita, a relação entre esses dois parâmetros é dada por: 
g
k
22 ω
λ
π == (13) 
onde g é a aceleração da gravidade. O parâmetro k é conhecido como número de 
onda. A relação (13) é conhecida como Relação de Dispersão e desempenha um 
papel fundamental para a compreensão do ambiente marítimo. Com base na 
equação (13), podemos reescrever a velocidade de propagação de uma onda de 
várias formas alternativas: 
π
λω
ω
λ
2
g
g
k
T
c ==== (14) 
Fisicamente, então, a relação de dispersão implica que as ondas mais “longas” 
têm velocidade de propagação maior. 
 
Na forma de representação mais simples de uma onda plana regular, a oscilação 
da superfície-livre é descrita através de senos ou cossenos, como, por exemplo: 
)cos(),( εωζ +−= tkxAtx (15) 
onde ε representa uma certa fase da onda (determina um valor inicial da função 
para o instante de tempo t=0). 
A teoria de ondas em hidrodinâmica se preocupa em descrever o escoamento de 
água abaixo da superfície, quando da passagem de uma onda. Trata-se de uma 
teoria muito bonita e que permite chegar a resultados analíticos que retratam a 
realidade de forma bastante fiel. Essa teoria permite, por exemplo, descrever a 
velocidade que o escoamento terá em cada ponto e em cada instante de tempo. A 
Figura 15, a seguir, ilustra a direção e a magnitude da velocidade da água abaixo 
de uma onda que se propaga com velocidade de fase c=VP no sentido indicado. 
 
Especialização em Engenharia Naval 36 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
 
Figura 15: Campo de velocidades sob uma onda plana progressiva. 
 
A ilustração acima nos permite ressaltar algumas características interessantes. 
Em primeiro lugar, deve-se observar que a velocidade do fluxo sob a onda é 
menor do que a velocidade de propagação (aquela com que vemos a onda se 
deslocar). Sob as cristas, a velocidade da água tem o mesmo sentido da 
propagação da onda, enquanto sob as cavas, esse sentido se inverte. Na 
realidade, cada partícula de fluido descreverá uma trajetória circular ao longo do 
tempo. 
Para nós, um dos fatos mais importantes indicados na figura diz respeito à rápida 
atenuação da velocidade do escoamento à medida que nos deslocamos para 
pontos de maior profundidade. De fato, sendo z=0 a posição da superfície-livre 
média, com z orientado conforme a Figura 14, a teoria mostra que a velocidade do 
fluxo cai exponencialmente com a profundidade, ou seja, cai com . Isso 
significa que os efeitos da onda decrescem muito rapidamente com a 
profundidade
kze
6. 
Da mesma forma que a onda induz um movimento do fluido, induz também um 
campo de pressão neste fluido. Esse campo de pressão será o responsável pelas 
forças que farão um corpo flutuante se movimentar nas ondas. A teoria também 
 
6 Este é um fato conhecido, por exemplo, por quem mergulha. 
 
Especialização em Engenharia Naval 37 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
mostra que esse campo de pressão será composto pela soma de duas parcelas 
na forma: 
kz
atm etxggzptzxp ),()(),,( ζρρ +−= (16) 
Aqui, patm representa a pressão atmosférica na superfície. O termo entre 
parênteses representa nada mais do que a pressão hidrostática no fluido (lembrar 
que z é negativo abaixo da superfície). Essa parcela de pressão é responsável 
pelo empuxo e, portanto, pela flutuação de um corpo na superfície. Soma-se a 
esta uma parcela de pressão diretamente proporcional à elevação da onda em um 
determinado ponto. Essa parcela é conhecida como pressão dinâmica. Com 
auxílio da equação (15), é fácil perceber, então, que a pressão dinâmica tem 
média nula e oscila no tempo com a mesma freqüência da onda, ou seja, oscila 
com freqüência ω. É essa parcela de pressão a responsável pelos movimentos de 
uma embarcação quando submetida a ondas. As forças sobre o corpo (dadas, em 
cada instante, pela integração do campo de pressão) também oscilarão com ω e, 
conseqüentemente, os movimentos do corpo se darão na mesma freqüência da 
onda que incide sobre ele. 
É importante notar, todavia, que a pressão dinâmica também decai 
exponencialmente com a profundidade. Assim, um corpo submerso praticamente 
não “sentirá” mais os efeitos da onda a partir de uma certa profundidade de 
submersão. 
De fato, é esse o princípio que norteia o projeto de muitos sistemas oceânicos, 
caso, por exemplo, das plataformas semi-submersíveis. A idéia aqui é simples: 
posicionar a maior parte do volume de flutuação do corpo em uma profundidade 
na qual a ação das ondas já seja pequena (ver Figura 16) e, com isso, reduzir os 
movimentos em ondas. Outros sistemas oceânicos (como as plataformas TLP e 
SPAR), adotam o mesmo princípio para o projeto de seus cascos. 
Nos navios de superfície, por outro lado, o projeto do casco não é orientado tendo 
como objetivo principal reduzir os movimentos em ondas, mas sim almejando uma 
boa relação entre a capacidade de carga e a resistência ao avanço. Dessa forma, 
 
Especialização em Engenharia Naval 38 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
com um grande volume próximo á linha d’água, os navios sofrem diretamente a 
ação das ondas e podem experimentar grandes movimentos. 
 
 
Figura 16: Plataforma semi-submersível. 
 
Tudo o que discutimos até o momento diz respeito a uma onda elementar. As 
ondas do mar, em geral, não apresentam uma freqüência bem definida, mas sim 
uma combinação de ondas que se propagam com amplitudes, freqüências e até 
mesmo direções distintas. Para prevermos o movimento excitado por estas ondas 
precisaremos saber como a energia se distribui entre essas diferentes 
componentes. 
Em termos de modelagem matemática, representamos o mar como sendo a 
somatória de um grande número de ondas elementares, cada uma com suas 
características próprias. Essa modelagem será discutida a seguir. 
 
 
Especialização em Engenharia Naval 39 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
3.1.2 Ondas Irregulares – O Mar 
Dentre os diferentes fenômenos físicos responsáveis por induzir efeitos 
ondulatórios no ambiente marítimo, encontramos a geração de ondas causada 
pela ação do vento sobre a superfície do mar. As ondas de superfície originadas 
por esta ação são aquelas que apresentam maior interesse no contexto da 
engenharia naval e oceânica porque apresentam períodos e amplitudes típicas 
capazes excitar de forma significativa a dinâmica de navios e sistemas oceânicos 
usuais. Estas ondas freqüentemente apresentam caráter bastante aleatório, com 
períodos e alturas de ondas variando continuamente com o tempo e, muitas 
vezes, com ondas se propagando em diferentes direções. Essa aleatoriedade nos 
obriga, então, a uma abordagem estatística das ondas do mar, com o intuito de 
extrairmos informações importantes sobre os efeitos causados por diferentes 
“estados de mar”. 
Atualmente, existem diversas bases de dados que reúnem informações 
estatísticas das ondas de mar para diferentes regiões do globo. Estas bases 
foram construídas ao longo dos anos combase em registros de ondas dos 
diferentes locais. 
Esses registros podem ser obtidos por diferentes meios. Antigamente, as 
informações sobre as ondas eram quase que exclusivamente baseadas em 
observações visuais reportadas pelas tripulações das embarcações. Hoje, no 
entanto, há diversos meios, muito mais precisos, para a inferência estatística das 
ondas do mar em determinado local. O método mais difundido consiste na 
utilização das chamadas bóias oceanográficas, mas alternativas se tornam cada 
vez mais difundidas como, por exemplo, a medição de ondas através de radares 
ou por satélite. 
A Figura 17, a seguir, apresenta um trecho típico de um registro de ondas do mar. 
 
Especialização em Engenharia Naval 40 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
 
Figura 17 – Trecho de Série Temporal de um Registro de Ondas 
 
Quando este tipo de registro se encontra disponível, uma análise simplificada é 
suficiente para obtermos informações estatísticas importantes. Via de regra, 
considera-se que o tempo de registro deve ser pelo menos 100 vezes maior do 
que o maior período de ondas registrado para garantir uma base estatística 
confiável. 
A seguir, discutiremos alguns dos parâmetros estatísticos mais importantes para a 
descrição das ondas do mar. Nosso objetivo, por enquanto, é introduzir alguns 
parâmetros estatísticos fundamentais através de um exemplo numérico e um 
tratamento simplificado. 
 
Período Médio de Ondas 
O período médio de ondas T (average wave period) pode ser obtido facilmente a 
partir de um registro como a média dos períodos entre zeros ascendentes 
(average zero up-crossing period) ou dos períodos entre cristas ou cavas 
sucessivas. 
 
Estatísticas de Altura de Ondas 
De um modo bem simplificado, a altura média de ondas pode ser obtida com base 
em um histograma contendo as informações do número de ocorrências dentro de 
determinadas faixas de alturas de ondas. A razão entre o número de ocorrências 
em cada faixa e o número total de ciclos contido no registro fornece quocientes de 
 
Especialização em Engenharia Naval 41 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
freqüência que caracterizam a chamada função densidade de probabilidade f(x) 
(probability density function). A soma cumulativa destes quocientes fornece, por 
fim, a chamada função de distribuição F(x) (distribution function) das alturas de 
onda. 
Um exemplo numérico é fornecido abaixo, para um registro de 150 ciclos: 
 
 
Os resultados acima são apresentados graficamente na figura abaixo. A função 
densidade de probabilidade se apresenta na forma de um histograma (a). A 
função de distribuição é dada em (b). 
 
Figura 18 – Função Densidade de Probabilidade e Função de Distribuição de 
Alturas de Ondas 
 
 
Especialização em Engenharia Naval 42 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
Informações estatísticas importantes podem ser obtidas a partir da função f(x). 
Por exemplo, a probabilidade de que a altura de onda no registro exceda um 
determinador valor a é dada simplesmente por: 
∫
∞=>
a
w dxxfaHP )(}
~{ 
(17) 
Como exemplo, é fácil verificar no caso acima que a probabilidade de a altura de 
onda exceder 3.25 m é de 4%. 
 
A altura média de ondas H (mean wave height) é dada por: 
∫∞=
0
)(. dxxfxH 
(18) 
e, no caso acima, 64.1=H m. 
 
Um parâmetro importante normalmente empregado para a descrição de um 
determinado estado de mar é a chamada altura significativa de ondas H1/3 
(significant wave height)7. A altura significativa é definida como a médias das 
ondas 1/3 maiores. Assim, dividindo-se a área do histograma da função f(x) em 
três partes iguais e denotando por a0 o limite inferior do terço mais à direita, a 
altura significativa será dada por: 
∫∞=
0
)(.3/1
a
dxxfxH 
(19) 
No exemplo numérico acima, a altura significativa é dada pela média das 50 
maiores ondas no registro e, portanto, 51.23/1 =H m. 
 
7 A razão para o emprego da altura significativa como parâmetro estatístico tem origem histórica. 
Estudos mostraram que um observador bem treinado tende a fornecer como a altura característica 
de ondas irregulares um valor que se aproxima muito de H1/3. Assim, dada a importância já 
ressaltada das inferências visuais como fonte original para as estatísticas de ondas do mar, a 
altura significativa passou a ser um parâmetro usual na modelagem. 
 
Especialização em Engenharia Naval 43 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
A Estatística das Ondas do Mar 
 
Para um tratamento estatístico mais apropriado, uma análise mais completa do 
registro de ondas se faz necessária. Neste caso, uma amostragem (sampling) da 
elevação da superfície será realizada a partir de um número grande (N) de 
registros tomados a intervalos de tempo iguais ( t∆ ), conforme ilustrado na figura 
a seguir. 
O tempo total do registro é dado por TR=N t∆ e a freqüência de amostragem 
(sampling frequency) é dada por tf S ∆= 1 . Na análise das ondas do mar, 
usualmente se utilizam registros que variam de 15 a 20 minutos de aquisição, 
com freqüência de amostragem típica por volta de 2 Hz. Esses valores de tempo 
de registro são altos o suficiente para garantir a aquisição de um número mínimo 
de ciclos de ondas, mas ainda baixos o suficiente para evitar a influência espúria 
de fenômenos de baixa freqüência, como a variação dos níveis de maré. 
 
Figura 19 – Amostragem de um registro de ondas. 
 
Através da amostragem, gera-se uma série com N valores da elevação nζ medida 
a cada intervalo de tempo. 
A seguir, discutiremos aspectos estatísticos importantes das ondas do mar. Uma 
boa referência para um estudo mais profundo dessa abordagem estatística é o 
livro de Ochi (1998). 
 
 
Especialização em Engenharia Naval 44 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
Irregularidade do Mar e Gaussianeidade 
 
A análise de registros de ondas obtidos em campo demonstra que a função 
densidade de probabilidade da série discreta de elevação da superfície nζ é 
muito bem reproduzida por uma distribuição Gaussiana (ou normal). Como nζ 
representa a oscilação da superfície em torno de seu valor indeformado, é óbvio 
que sua média é nula. Assim, a função densidade de probabilidade de nζ pode 
ser representada por uma distribuição normal de média nula e desvio-padrão σ : 
2
2
2
2
1)( σ
ζ
πσζ
−= ef (20) 
sendo o desvio-padrão dado por: 
∑
=−=
N
n
nN 1
2
1
1 ζσ (21) 
Uma distribuição Gaussiana é plenamente caracterizada por dois parâmetros: sua 
média (no caso nula) e seu desvio-padrão. A figura abaixo apresenta a 
representação gráfica de uma distribuição Gaussiana com média nula e desvio-
padrão 1=σ . 
 
Figura 20 – Distribuição Normal ou Gaussiana com média nula e 1=σ . 
 
Especialização em Engenharia Naval 45 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
Percebe-se que os pontos de inflexão da distribuição são dados por σ±=x . Em 
uma distribuição normal, a probabilidade de que a variável aleatória exceda um 
certo valor a é dada por: 
∫∫ ∞ −∞ ==>
aa
dedfaP ζσπζζζ
σ
ζ
2
2
2
2
1)(}{ 
(22) 
A probabilidade de que a variável seja maior do que o desvio-padrão é de 
aproximadamente 32%, ou seja 32.0}{ => σζP , enquanto que a probabilidade de 
exceder um valor equivalente a 3σ é de apenas 0.3% ( 003.0}3{ => σζP ). 
A razão da Gaussianeidade de )(ζf pode ser melhor entendida se nos 
remetermos ao processo de geração das ondas aleatórias. Estas ondas são 
resultantes da composição de várias componentes causadas pela ação do vento 
em diferentes locais da superfície do mar. A ação do vento em regiões distintas 
ocorre de maneira independente e, assim, as ondas irregularespodem ser 
entendidas como a soma de variáveis independentes. Sabe-se, a partir do 
Teorema do Limite Central, que a distribuição de probabilidade de uma variável 
aleatória composta pela superposição de variáveis independentes é Gaussiana, 
independentemente da forma das distribuições de probabilidade das variáveis 
originais. Esse resultado, de fato, constitui a razão fundamental da importância da 
distribuição normal na teoria da probabilidade. 
As propriedades matemáticas das distribuições Gaussianas podem ser 
encontradas em qualquer texto sobre variáveis aleatórias. Uma propriedade em 
especial é muito importante no contexto do estudo de comportamento no mar e, 
portanto, merece ser destacada: Uma operação linear sobre uma variável 
Gaussiana preserva a Gaussianeidade do processo. Em outras palavras, se X é 
uma variável aleatória com distribuição Gaussiana, média µ e variância , então 
a variável 
2σ
baXY += também terá distribuição Gaussiana com média ba +µ e 
variância . Dessa forma, se pudermos supor que a dinâmica de um sistema 
oceânico sob ação de ondas irregulares é linear na amplitude de onda, a resposta 
do sistema será necessariamente Gaussiana na medida que 
22σa
)(tζ também o é. 
 
Especialização em Engenharia Naval 46 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
Distribuição de Rayleigh das Amplitudes 
 
Na grande maioria dos casos de interesse é possível mostrar que a estatística de 
amplitudes (ou alturas) de ondas seguirá um outro tipo de distribuição estatística, 
conhecida como distribuição de Rayleigh. Esta distribuição é expressa 
matematicamente por: 
2
2
2
2)(
σ
σ
A
eAAf
−= (23) 
 
De acordo com esta distribuição, a probabilidade de que a amplitude de onda A 
exceda um determinado valor a é dada por: 
2
2
2
2
22
2
1)(}{ σσσ
a
a
A
a
edAAedAAfaAP
−∞ −∞ ===> ∫∫ (24) 
O valor médio das amplitudes que excedem o valor a pode ser visualizado, 
graficamente, como a coordenada x do baricentro da área hachurada na figura 
abaixo: 
 
Figura 21 – Distribuição de Rayleigh 
 
Por definição, a amplitude significativa é dada pela média das amplitudes 1/3 
maiores, assim: 
 
Especialização em Engenharia Naval 47 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
∫∞=
0
)(.3/1
a
dAAfAA 
(25) 
sendo: 3/1}{ 2
2
0
2
0 ==>
− σ
a
eaAP e, portanto, a0 = 1.4823σ. 
Então, é fácil verificar que: 
σ
σ
4
2
3/1
3/1
≅
≅
H
A
 
(26) 
 
A expressão (24) pode ser reescrita em termos das alturas de onda na forma: 
2
2
3/1}{
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=> HhehHP 
(27) 
que indica a probabilidade de a altura de onda exceder um certo valor h em um 
mar com altura significativa H1/3. 
 
Um outro parâmetro normalmente empregado na análise dinâmica de sistemas 
oceânicos é a máxima altura de onda (maximum wave height) esperada em um 
estado de mar. Por convenção, esta altura é calculada como sendo aquela cuja 
probabilidade de ser excedida é 1/1000. Esse valor, aparentemente arbitrário, foi 
definido considerando-se que um estado de mar típico tem duração aproximada 
de 3 horas (tempo característico de uma tempestade) e contém, grosso modo, um 
número de ciclos de ondas próximo de 1000. Segundo esta convenção, a máxima 
altura de onda HMAX pode ser calculada em função de H1/3 por intermédio da 
equação (27): 
3/186.1 HH MAX = (28) 
 
Até o momento, nos preocupamos em derivar parâmetros estatísticos importantes 
que podem ser obtidos a partir de registros de ondas. Para um enfoque estatístico 
da resposta de sistemas oceânicos, todavia, é ainda necessário que 
caracterizemos de forma mais precisa o que entendemos por “estados de mar”. 
No projeto de sistemas oceânicos, as análises dinâmicas são realizadas com 
 
Especialização em Engenharia Naval 48 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
base em estados de mar típicos da região na qual o sistema irá operar. As 
características do mar em uma dada região são obtidas através de análises 
estatísticas de “longo prazo” e a representação de seus diferentes estados é feita 
através do espectro de energia de ondas. O conceito de espectro de energia será 
discutido em maiores detalhes a seguir. 
 
3.1.3 Espectro de Energia das Ondas do Mar 
 
Vimos que as ondas irregulares do mar podem ser representadas através da 
superposição de ondas regulares de diferentes amplitudes e freqüências. 
Representaremos, assim, uma determinada condição do mar através da 
superposição de ondas elementares, cada qual com freqüência, amplitude e 
direção de propagação própria, como ilustra a Figura 22. 
 
Figura 22 – Representação do mar como superposição de ondas regulares 
 
 
Especialização em Engenharia Naval 49 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
O procedimento clássico para se obter o conteúdo de freqüência de um certo sinal 
aleatório é decompô-lo em uma série de Fourier8. Suponhamos então um certo 
registro de onda )(tζ com tempo total de medição TR. Definindo: 
ωω
πω
∆=
=∆
j
T
j
R
2
 
a variação no tempo da elevação da superfície pode ser aproximada pela 
seguinte série: 
)cos()(
1
∑∞
=
+=
j
jjj tAt εωζ (29) 
onde os coeficientes Aj representam a amplitude de cada uma das componentes 
harmônicas e os coeficientes εj suas respectivas fases. 
Como )(tζ é Gaussiano de média nula, os coeficientes de Fourier também o 
serão. Portanto, a amplitude (Aj) segue a distribuição de Rayleigh e a fase εj é 
uniformemente distribuída no intervalo πεπ ≤≤− j . 
Uma vez que estamos interessados apenas na estatística e não em reproduzir a 
real elevação da superfície em dado instante de tempo t, as fases εj entre as 
componentes harmônicas podem ser desconsideradas. 
 
A hidrodinâmica marítima mostra que a energia transportada por uma onda varia 
com o quadrado da amplitude dessa onda. Assim, uma medida da energia das 
ondas do mar em torno de uma dada freqüência nω é dada por: 
∑∆+∆=
ωω
ω
ζ ωω
n
n
nn AS
2
2
11)( 
(30) 
ou, no limite em que 0→∆ω : 
 
8 Maiores detalhes podem ser encontrados, por exemplo, em Ochi (1998). 
 
Especialização em Engenharia Naval 50 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
2
2
1).( nn AdS =ωωζ (31) 
 
A função )(ωζS assim definida em (31) é conhecida como “densidade espectral” 
ou simplesmente espectro de energia das ondas. A figura abaixo ilustra as 
definições acima. 
 
Figura 23 – Definição de Densidade Espectral 
 
Por definição, a variância do sinal )(tζ também pode ser dada a partir de seu 
espectro de energia, na forma: 
∫∞=
0
2 ).( ωωσ ζ dS n 
(32) 
 
A Figura 24, a seguir, fornece uma interpretação gráfica do significado físico do 
espectro de ondas e de como ele se relaciona com o registro de ondas original. 
 
Especialização em Engenharia Naval 51 
 
Módulo 3 – Hidrodinâmica 
 
Figura 24 – Representação esquemática da relação entre o espectro de 
energia e o registro de ondas original 
 
Em unidades SI, o espectro )(ωζS tem unidade de m2s e pode ser representado 
também em termos da freqüência de onda em Hertz ( ). Nesse caso, porém, 
convém observar que o espectro sofre uma transformação. O requisito a ser 
imposto para a conversão de freqüência é o de que a energia total contida nos 
intervalos 
f
ω∆ e seja igual, e, portanto: f∆ dffSdS ).().( ζζ ωω = . Como 
πω 2=dfd , deduzimos que a conversão pode ser feita através de uma conta 
bastante simples: 
πω
ζ
ζ 2
)(
)(
fS
S = (33) 
A relação (33) permite converter a representação do espectro da freqüência para 
a freqüência angular e vice-versa. 
 
A Figura 25 ilustra a representação de um espectro de mar