Análise Estrutural de Navios

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ESCOLA POLITÉCNICA DA 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Naval e 
Oceânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Especialização em 
Engenharia Naval 
 
 
 
Módulo 4: Análise Estrutural de Navios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Oscar Brito Augusto 
 
 
 
 
 
 
 
Material de apoio ao curso oferecido na 
Universidade de Pernambuco – UPE 
 
 
2007 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 24/03/2007 Texto completo 
Versão Data Observações 
Apostila: 
ESPECIALIZAÇÃO EM ENGENHARIA NAVAL 
Módulo 4: Análise Estrutural de Navios 
Dept./Unidade Data Autor 
PNV/EPUSP 2007 Prof. Dr. Oscar Brito Augusto 
Curso oferecido pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 
na Escola Politécnica da Universidade de Pernambuco 
Programação das aulas: 
 
Data Período Horários Assunto 
18:30h – 19:20h Apres.: Professor, alunos e módulo 4 
19:20h – 20:10h As ações das cargas e do ambiente 
20:10h – 21:00h
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21:00h – 21:50h
Arranjo estrutural 
18:30h – 19:20h
19:20h – 20:10h
Breve revisão de Mec. Sólidos 
20:10h – 21:00h
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21:00h – 21:50h
O navio como viga flutuante. Estrutura 
Primária 
08:00h – 08:50h
08:50h – 09:40h
Tensões normais primárias 
09:40h – 10:10hM
an
hã
 
10:10h – 11:00h
Tensões de cisalhamento primárias 
13:00h – 13:50h Estrutura Secundária 
13:50h – 14:40h Distribuição de cargas 
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14:40h – 15:30h Chapa Colaborante 
Data Período Horários Assunto 
18:30h – 19:20h Estrutura Secundária 
19:20h – 20:10h Perfis leves 
20:10h – 21:00h Perfis pesados 
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21:00h – 21:50h Grelhas 
18:30h – 19:20h A Estrutura Terciária 
19:20h – 20:10h Pequenas Deflexões 
20:10h – 21:00h Chapas Longas 
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21:00h – 21:50h Soluções 
08:00h – 08:50h Flambagem 
08:50h – 09:40h Chapeamento 
09:40h – 10:10h Perfis leves M
an
hã
 
10:10h – 11:00h Painéis 
13:00h – 13:50h
13:50h – 14:40h
Composição de tensões: 
Primária+Secundária+Terciária 
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de
 
14:40h – 15:30h Sociedades Classificadoras 
Índice 
 
1. INTRODUÇÃO.............................................................................................................................1 
1.1. Carregamentos estruturais em navios ..............................................................................1 
1.2. Cargas estáticas ...............................................................................................................2 
1.3. Cargas dinâmicas .............................................................................................................3 
1.4. Cargas ocasionais ............................................................................................................6 
1.5. Arranjo Estrutural ............................................................................................................8 
1.6. Chapeamento reforçado ...................................................................................................9 
1.7. Tipos de cavernamento ...................................................................................................11 
2. ESTRUTURA PRIMÁRIA ........................................................................................................22 
2.1. O Navio como uma viga flutuante ..................................................................................22 
2.2. Relações básicas entre esforços solicitantes e cargas....................................................26 
2.3. Aplicação da teoria de vigas ..........................................................................................27 
2.4. Tensões de flexão............................................................................................................29 
2.5. Módulo de Seção ............................................................................................................32 
2.6. Tensões cisalhantes ........................................................................................................35 
3. ESTRUTURA SECUNDÁRIA ..................................................................................................43 
3.1. Introdução ......................................................................................................................43 
3.2. Distribuição de Cargas ..................................................................................................51 
3.3. Os efeitos do cisalhamento na flexão de vigas. Chapa Colaborante..............................53 
3.4. Grelhas ...........................................................................................................................64 
3.5. Grelha Simples ...............................................................................................................65 
3.6. Grelha Múltipla ..............................................................................................................67 
3.7. Flambagem de painéis reforçados..................................................................................68 
4. ESTRUTURA TERCIÁRIA ......................................................................................................77 
4.1. Introdução ......................................................................................................................77 
4.2. Nomenclatura .................................................................................................................78 
4.3. Hipóteses simplificadoras e suas limitações...................................................................79 
4.4. Teoria das pequenas deflexões .......................................................................................82 
4.5. Relações entre momentos fletores e curvaturas..............................................................83 
4.6. Relações entre momentos torçores e curvaturas ............................................................86 
4.7. Equação de equilíbrio, desprezando o efeito de cargas paralelas ao plano médio........90 
4.8. Solução do problema de flexão de placas.......................................................................91 
4.9. Placas simplesmente apoiadas .......................................................................................92 
4.10. Soluções em forma de Gráficos ......................................................................................96 
4.11. Placa longa...................................................................................................................100 
4.12. Comportamento elasto-plástico....................................................................................103 
4.13. Equação das placas para pequenas deflexões, incluindo-se o efeito de cargas paralelas 
ao plano médio............................................................................................................................113 
4.14. Flambagem de placas ...................................................................................................119 
4.15. Flambagem de placas no regime elástico.....................................................................120 
4.16. Efeito de uma curvatura ...............................................................................................129 
4.17. Flambagem por cisalhamento ......................................................................................131 
4.18. Momento fletor no plano da placa................................................................................133
4.19. Carregamentos combinados .........................................................................................134 
4.20. Comportamento de placas após a flambagem ..............................................................137 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA E REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. .............................142 
 
 
1 
1. Introdução 
 
 Para as estruturas flutuante, tão importante quanto a segurança à 
estabilidade e à sobrevivência, devido a perda de flutuabilidade oriunda de 
um alagamento, é a segurança à falhas estruturais. Este assunto em todos os 
seus detalhes é extenso e complexo o suficiente para completar diversos 
volumes e muitas horas de curso, mais do que teremos disponíveis, pois 
envolve a previsão das cargas impostas a estrutura em serviço, a análise das 
tensões causadas por aqueles carregamentos em milhares de componentes 
estruturais, a especificação dos materiais a serem utilizados com base em 
suas propriedades de resistência, custo, soldabilidade, facilidade de 
manutenção e a escolha do arranjo estrutural. 
 
 Apesar de todas estas considerações, tratando-se de um curso 
introdutório de análise de estruturas de embarcações, vai-se focar os 
fundamentos do comportamento destas em suas componentes primária, 
secundária e terciária. Espera-se, com isso, que o estudante tenha uma 
compreensão destes fenômenos e possa aprofundá-los em etapas 
posteriores de sua vida profissional ou acadêmica. 
1.1. Carregamentos estruturais em navios 
 
Uma embarcação deve possuir resistência estrutural suficiente para 
suportar as cargas sem sofrer falhas ou deformações permanentes. O mesmo 
poderia ser dito para qualquer estrutura, máquina ou dispositivo projetado 
pela engenharia. Como qualquer outro objeto de engenharia, o projeto 
estrutural de embarcações depende da avaliação precisa das cargas, ou das 
forças, impostas à estrutura durante sua vida útil. Para embarcações, no mar, 
as cargas resultam de uma ampla variedade de fontes inerentes a natureza, 
com amplitudes que não são determinadas de maneira determinística. 
 
 
 
 
2 
1.2. Cargas estáticas 
 
São aquelas relacionadas com a flutuação, estabilidade e trim. Existem 
os pesos do próprio navio (estrutura, máquinas e equipamentos) e o devido à 
carga embarcada (carga, óleo combustível, óleos lubrificantes, água 
potável....) que geram as forças gravitacionais (mg), verticais e apontando 
para baixo, e cuja soma integraliza o deslocamento do navio. Equilibrando o 
total das forças de peso do navio flutuando estão as forças de flutuação 
(ρg∇), com sentido oposto às de peso, que são as componentes verticais da 
pressão da água que atuam na parte imersa do casco. O total das forças de 
flutuação também é igual ao deslocamento da embarcação. Pressões 
externas e internas nas paredes de tanques que carregam líquidos também 
geram forças estáticas que solicitam a estrutura. 
 
 
 
Figura 1.1 – Cargas em uma seção típica de embarcação. Tupper, E, 1996. 
 
Efeitos térmicos podem gerar tensões na estrutura do navio devido a 
contração e expansão de membros estruturais que estão acoplados a outros 
membros estruturais e que não estão sujeitos a extremos de temperatura. 
 
Para fins de análise e projeto estrutural, os carregamentos 
anteriormente descritos são considerados estáticos, embora de fato, eles 
mudem de viagem para viagem, uma vez que a distribuição de cargas e de 
óleo combustível nem sempre seja a mesma. 
 
3 
1.3. Cargas dinâmicas 
 
Somando-se às cargas estáticas há uma grande quantidade de cargas 
dinâmicas que variam constantemente enquanto o navio está em operação. A 
mais obvia destas é o carregamento variável imposto à estrutura causado 
pela combinação de ondas irregulares e dos movimentos do próprio navio 
resultante ao navegar nestas condições. As forças de onda geram variações 
contínuas da flexão do navio nos planos vertical e horizontal e também a 
torção. 
 
 
 
Figura 1.2 – Carregamento devido a ondas. Alquebramento e 
Tosamento. 
 
 
 
4 
 
 
Figura 1.3 – Carregamentos devido a ondas 
 
As ondas e o movimento do navio ao longo destas também são 
responsáveis pela carga da água que embarca nos conveses, figura 1.3 ou 
que impacta no costado. Outras mais severas ocorrem quando a embarcação 
sofre slamming, situação em que a proa emerge totalmente da água para, na 
seqüência, reentrar, gerando uma breve, mas intensa pressão na estrutura do 
fundo da embarcação e que provoca um movimento vibratório de alta 
freqüência que se propaga ao longo da estrutura. 
 
 
5 
 
Figura 1.4 – Registro de Slamming. 
 
Os movimentos do navio também provocam forças em tanques que 
contém líquidos e que estão parcialmente cheios devido ao impacto, sloshing, 
que a superfície gera sobre suas paredes. 
 
 
Figura 1.5 - Registro de pressões dinâmicas devido ao movimento de líquidos 
em tanques. ABS, 2000. 
 
 
 
6 
A operação do sistema de propulsão também gera forças periódicas e 
de alta freqüência nas estruturas de suporte das máquinas e propulsores que 
se transmitem para a estrutura da embarcação provocando as vibrações 
forçadas. 
 
 
 
Figura 1.6 – Fontes de vibrações em navios. Veritec, 1985. 
1.4. Cargas ocasionais 
 
Somando-se às cargas mencionadas é comum acontecer de uma 
embarcação estar sujeita a cargas em operações especiais. Navios que 
navegam no gelo estão sujeitos a cargas diferenciadas ao quebrar o gelo. 
Estas cargas induzem um acréscimo da flexão do navio enquanto navega 
ondas e causam forças localizadas de grande magnitude nos pontos de 
contato do casco com o gelo. 
 
7 
 
 
Figura 1.7 – Navio operando em regiões geladas. 
 
Navios de guerra estão sujeitos a cargas de impacto severas geradas 
por pouso de aeronaves, disparo de mísseis e explosões, sob ou acima 
d’água. Cargas severas também são impostas ao navio durante o lançamento 
e a docagem e mesmo durante a atracação. Finalmente, cargas acidentais e 
não intencionais são causadas por albaroamentos e encalhes e as situações 
de alagamento provenientes de tais acidentes. 
 
 
 
Figura 1.8 – Lançamento lateral 
 
 
8 
 
 
Figura 1.9 – Encalhe. Benford, 2006. 
 
Um cenário completo das situações de cargas impostas à estrutura de 
uma embarcação para um dado momento é extremamente complexo, como a 
lista de fontes mencionada pode indicar. Por isso, é comum entre os 
engenheiros navais arbitrarem um cenário hipotético de cargas equivalentes 
que é concebido de sorte que se a estrutura se mostra adequada a estes, ela 
terá um bom desempenho durante sua vida útil. 
1.5. Arranjo Estrutural 
 
Para servir ao seu propósito, um navio deve ser: um objeto flutuante e 
impermeável, capaz de transportar cargas e de resistir a ações do ambiente e 
de sua própria operação sem sofrer falhas por fratura ou por deformações 
permanentes. A estrutura pode ser imaginada como uma viga, isto é, 
apresenta uma dimensão muito maior que as outras, suportada pelas forças 
de flutuação e sendo solicitada pelas forças provenientes da carga, do próprio 
peso e outros itens que transporta, enquanto sofre flexão e torção ao longo de 
sua rota. A “viga navio”, como passaremos a designar tal estrutura, deve ser 
projeta para resistir ao momento fletor longitudinal, o esforço solicitante 
 
9 
primário da embarcação. Logo esta estrutura deve consistir de material 
contínuo no sentido longitudinal, de proa a popa. Enquanto a maioria das 
estruturas é constituída de vigas sujeitas à flexão, a estrutura do navio é única 
neste universo, pois seu chapeamento deve
ser estanque. A combinação dos 
requisitos de resistência longitudinal e de estanqueidade em uma única viga, 
enquanto se tenta conseguir o mínimo peso da estrutural, tem sido, há 
décadas, a principal tarefa dos engenheiros de estruturas. 
1.6. Chapeamento reforçado 
 
A configuração da unidade estrutural típica a que se chegou no 
desenvolvimento do projeto da estrutura de embarcações é o chapeamento 
reforçado. Um exemplo de chapeamento reforçado é mostrado na figuraxx. 
Os reforçadores podem ser perfis laminados (cantoneiras, perfil T, bulbo, etc.) 
soldados no chapeamento, ou perfis fabricados, soldados a partir de chapas e 
posteriormente soldado ao chapeamento. Por razões de eficiência (menor 
peso para resistir à carga), os reforçadores devem ser dispostos em direções 
ortogonais, conforme o mostrado na figura. Perfis leves, separados por menor 
espaçamento, agem como suporte para o chapeamento e os perfis pesados, 
separados por maiores espaçamentos, suportam o chapeamento e os perfis 
leves que neles se apóiam. 
 
Figura 1.10 - Painel estrutural 
 
 
10 
 
 
Figura 1.11 - Tipos de reforços. Eyres, D. J., 2001 
 
O Projetista estrutural deve escolher a orientação (longitudinal ou 
transversal, vertical ou horizontal) de cada tipo de reforço em cada região da 
estrutura, como fundo, costados, conveses e anteparas. A escolha é 
baseada, na maioria das vezes, com base nas seguintes considerações: 
 
1. Eficiência estrutural. Esta é determinada comparando-se os pesos 
de alternativas de arranjo com a mesma resistência estrutural. Em 
geral, o arranjo que resulta em mínimo peso para uma dada 
resistência é o melhor. Há exceções quando a solução de menor 
peso for a de custo elevado quando comparadas às demais 
alternativas. 
 
2. Custos de material e de fabricação. Alternativas de arranjo 
estrutural devem ser comparadas tanto no custo quanto no peso e 
uma relação de compromisso deve ser analisada, considerando-se 
quanto o custo adicional se justifica em função da redução do peso 
da estrutura e, portanto, no aumento da receita com o aumento da 
 
11 
capacidade de carga da embarcação, mantendo-se o mesmo 
deslocamento. 
 
3. Continuidade estrutural. Os membros estruturais como os 
reforçadores devem suportar as cargas na estrutura e as 
transmitirem aos membros adjacentes sem lhes gerar mudanças 
abruptas nos níveis de tensões. Para garantir que tais 
“concentrações de tensões” sejam evitadas, os membros 
estruturais concebidos contínuos, perfeitamente alinhados, se são 
cortados e soldados, ao encontrarem os painéis principais, como 
anteparas, costados e conveses. 
 
4. Utilização do espaço. Em painéis reforçados em duas direções, 
geralmente tem-se perfis leves, em espaçamento estreito entre 
eles, em uma delas e perfis pesados, em espaçamento largo, na 
outra, uma vez que os pesados suportam os leves. A escolha da 
orientação dos reforçadores pode, em muitas vezes, ser ditada pela 
necessidade de evitar que membros estruturais avancem no 
compartimento de carga e interfiram com a utilização do espaço. 
1.7. Tipos de cavernamento 
 
Embora todo navio possua reforços nas direções longitudinais e 
transversais, o tipo de cavernamento em cada um é caracterizado pelo 
número, tamanho e espaçamento, dos reforçadores transversais 
relativamente ao número, tamanho e espaçamento, dos reforçadores 
longitudinais. A evolução do projeto estrutural de embarcações resultou em 
dois sistemas de cavernamento: o cavernamento transversal e o 
cavernamento longitudinal. E como não poderia deixar de ser, aproveitando-
se os benefícios de cada um deles, há embarcações que apresentam um 
sistema misto. 
 
Cavernamento transversal. Na figura 1.12, mostra-se a seção mestra de um 
navio com cavernamento transversal. Tal sistema apresenta muitos 
reforçadores leves, dispostos na direção transversal, sendo suportado por 
 
12 
poucos reforçadores pesados na direção longitudinal. Os reforçadores leves 
estão dispostos, em espaçamentos curtos, de 600mm a 1000mm, em forma 
de anéis, ao longo de todo o comprimento do navio. No mapeamento do anel 
ao longo do contorno da baliza do navio mostrado na figura, nota-se que ele é 
composto do vau do convés, que suporta o chapeamento do convés, caverna, 
que suporta o chapeamento do costado, e a hastilha, que suporta o 
chapeamento do fundo e do teto do duplo fundo. A cada transição ao longo 
do anel, há as borboletas conectando os membros estruturais. Estes anéis de 
cavernas garantem a resistência transversal da estrutura, mantendo o 
desenho da forma do casco, mas eles em nada contribuem para a resistência 
longitudinal do navio. 
 
A resistência longitudinal em navios com cavernamento transversal é 
garantida pelo chapeamento do casco, teto do duplo fundo, dos conveses, 
fora das regiões de aberturas e de escotilhas, e pelos reforçadores 
longitudinais pesados, como quilhas e longarinas, no fundo, sicordas nos 
conveses e escoas nos costados. 
Cavernamento longitudinal. No sistema de cavernamento longitudinal, 
os reforçadores leves estão dispostos na direção longitudinal da embarcação. 
Na figura 1.13 mostra-se a seção mestra de um navio tanque onde tal sistema 
é freqüentemente empregado. Tais reforçadores, espaçados entre 600mm e 
900mm, além de darem suporte ao chapeamento também contribuem para a 
resistência longitudinal da viga navio, conferindo a tal arranjo mais eficiência 
do que o anterior. Anéis de cavernas gigantes, dispostos a cada 3 a 5 metros, 
fornecem resistência transversal e suporte para os longitudinais leves. 
 
 
13 
 
Figura 1.12. Cavernamento transversal. Zubaly, R. B., 2000. 
 
 
Figura 1.13 - Cavernamento longitudinal. Zubaly, R. B., 2000. 
 
Cavernamento misto. Como resultado das lições aprendidas na aplicação 
dos dois arranjos típicos apresentados, alguns tipos de navios apresentam 
uma combinação de cavernamento longitudinal e de carregamento 
transversal. Na figura 1.14 mostra-se um exemplo. 
 
14 
 
 
Figura 1.15 – Cavernamento misto. Zubaly, R. B., 2000. 
 
Figura 1.16 – Cavernamento misto. Navio graneleiro de casco simples. 
Porão de carga. IACS, 1982. 
 
15 
PROBLEMAS 
 
Propriedades de Área 
 
Os momentos de área são grandezas dependentes da geometria de uma 
figura plana e tem grande influência nos cálculos referentes a propriedades 
hidrostáticas e de resistência estrutural de embarcações. 
 
Momento de primeira ordem: (momento estático de área) 
 
x
y
G
 
 
∫=
A
y xdAm (P1) 
 
∫=
A
x ydAm (P2) 
 
Momento de segunda ordem: (momento de inércia de área) 
 
∫=
A
y dAxI
2 (P3) 
 
∫=
A
x dAyI
2 (P4) 
 
 
 
 
 
16 
Define-se também o produto de inércia 
 
∫=
A
xy xydAI (P5) 
 
O produto de inércia dá a idéia da assimetria da figura em relação ao par de 
eixos. 
 (*)1 
 
1) Havendo uma translação de eixos, como se mostra na figura, como 
se modificam as relações (P1) a (P5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
 
 
 
 
 
1 Nível: (B)ásico; (I)ntermediário; (A)vançado 
x
y
G
b
a
 
17 
2) Havendo uma rotação de eixos, como se mostra na figura, como se 
modificam as relações (P1) a (P5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
 
3) Na seção mostrada na figura, qual é o ângulo α do eixo ξ de forma 
que o momento de inércia relativo ao Centro de Área seja mínimo 
seja mínimo?
I 
 
4) Retomando a questão anterior, quanto vale produto de inércia para 
este ângulo? 
I 
x
y
G
0.5
32
0.5
0.3
5
x
y
G
 
18 
 
5) Ainda em relação as duas questões anteriores, qual é o ângulo que o 
torna máximo? O que pode se concluir disto? 
I 
 
6) Qual a área A que torna as duas figuras como momentos de inércia 
iguais? Em outras palavras, se uma chapa h fosse reduzida a duas 
áreas A nos seus extremos, com mesmo valor do seu momento de 
inércia, qual o valor de A? Ache A em porcentagem da área total h*t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
 
7) Utilizando a mesma técnica do exercício anterior, deduza expressões 
analíticas para o cálculo da posição do centro de área e do momento 
de inércia para a figura composta pelos três retângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
 
 
 
G
A
A
t
a
a
h
Ah + Ac
Ah + Ab
tw
linha neutra
h
tb
b
c
tc
hc
hb
 
19 
8) Deduzir as expressões das propriedades de área para os perfis 
laminados T e HP, ou Bulbo, mostrados em detalhes nas figuras. 
Deduzir as expressões para os momentos de inércia em relação ao 
centro de área. 
 
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 graus
d
R2
tw
R1
x x
y
y
R3
b
8 graus
d
R2
b
tw
R1
= =
tb
x x
y
y
 
20 
 
9) Alguns aplicativos computacionais para o cálculo de estrutura só 
trabalham com perfis do tipo T fabricado, isto é composto por dois 
retângulos. Para superar este obstáculo podemos simular os perfis 
laminados do tipo T, e HP, como T fabricado, adequando-se as 
dimensões do flange, largura e espessura, preservando-se a altura total 
do perfil e a espessura da alma, de sorte a manterem-se a área e o 
momento de inércia relativo ao centro de área da seção. Como isto 
poderia ser feito? 
 
 
 
 
b
tw
X
tb
Perf il H P Perfil T equi valente 
HT 
tw
YLN 
 
 
 
Procura-se b e tb de sorte que a Inércia e Área do perfil T fabricado 
sejam idênticas às do perfil Laminado. A altura total do perfil é mantida 
constante. 
 
Área do flange: 
bf tbA ⋅= 
Área da alma: 
wbTw ttHA ⋅−= )( 
Área total: 
A 
 
21 
fw AAA += 
Altura da Linha Neutra: 
A
ttHtHA
Y wbTbTfLN
2)(5.0)5.0( −+−= 
Inércia de área relativa a linha neutra: 
[ ]
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −−+−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+= 2
2
2
2
)(5.0
12
)(
)5.0(
12 LNbT
bT
wLNbT
b
fLN YtH
tH
AYtH
t
AI
 
 
22 
 
2. Estrutura Primária 
 
Na descrição dos arranjos estruturais, a estrutura do navio foi comparada 
com a de uma viga, suportada por baixo, pela flutuação, carregando seu 
próprio peso mais os pesos de máquinas e outros equipamentos, peso das 
cargas e dos itens de consumo. 
 
Na disciplina de arquitetura naval, nos cálculos de flutuação são 
consideradas apenas as magnitudes do peso e da flutuação. Nos cálculos de 
estabilidade, banda e trim, são necessários, além da magnitude, as posições 
dos centros de peso e de flutuação. 
 
Nos cálculos da resistência longitudinal da estrutura, ou resistência da 
viga navio, serão necessários o conhecimento destes itens e também de 
como peso e flutuação se distribuem ao longo do comprimento do navio. 
Diferentemente dos estudos de arquitetura naval, neste caso, o navio não é 
mais tratado como um corpo rígido, e sim um corpo que se deforma na 
presença dos esforços devido a pesos e flutuação. A deformação é causada 
pelas tensões impostas aos componentes estruturais do casco, da mesma 
forma que um corpo de prova se deforma no ensaio uniaxial de tração. 
 
Embora as previsões mais realistas das forças, tensões e deformações 
associadas à flexão longitudinal do navio em serviço requeiram um 
tratamento estatístico por conta da imprevisibilidade dos carregamentos 
impostos pela natureza do mar não serem conhecidos de maneira precisa, 
muito se pode inferir a partir do estudo da teoria simples de viga. 
2.1. O Navio como uma viga flutuante 
 
A maioria das estruturas em serviço em terra está sujeita a cargas que 
podem variar de tempos em tempos, mas raramente invertem a curvatura da 
estrutura deformada. O piso de um armazém no porto, por exemplo, irá fletir 
por ação de seu próprio peso e o peso variável dos produtos que nele são 
 
23 
empilhados. Embora esse carregamento possa variar no tempo, não se 
espera que ele gere a flexão do piso para cima. 
 
No caso do navio suportado pelas forças de flutuação e carregado pelo 
próprio peso, o peso da carga e o de outros itens que transporta, no entanto, 
deve-se esperar que, em alguns instantes, a viga navio apresente a tendência 
de fletir para baixo, a semelhança do piso do armazém, mas em outras, ele é 
forçado a fletir para cima, quando as forças de flutuação se rearranjam. 
 
Essa reversão no sentido da flexão não é de ocorrência rara. Na 
verdade, ela acontece continuamente ao longo de uma rota de navegação. 
Estima-se que durante um período de vida de 20 anos, um navio típico sofre 
100 milhões destas reversões. 
 
Os dois sentidos de flexão da viga navio, ilustrados nas figuras 2.1 e 
2.2, são denominados de alquebramento, quando a viga se arqueia para 
cima, e de tosamento, quando o arco se dá no sentido oposto. 
 
Figura 2.1 - Alquebramento a quilha se curva para cima 
 
Figura 2.2 - Tosamento: a quilha se curva para baixo 
 
Nível médio da 
superfície do mar 
(águas tranqüilas) 
 
24 
Estas curvaturas atingem seus valores extremos quando o navio se 
move de encontro ou no mesmo sentido das ondas, e estas possuem 
comprimento, de crista a crista, da mesma ordem do comprimento da 
embarcação, conforme se mostra na figura. Quando as cristas suportam os 
extremos da embarcação, o casco tende a tosar, devido à diminuição da 
flutuação a meio navio. O alquebramento ocorre na seqüência, quando a 
crista se localiza a meio navio e os vales se encontram na proa e na popa. 
 
As reversões de sentido na flexão também invertem as tensões e 
deformações dela resultantes no fundo e no convés da viga navio. Tosamento 
gera tensões de compressão no convés e tensões de tração no fundo. Já o 
alquebramento gera tensões de tração no convés e de compressão no fundo. 
 
Nem sempre as embarcações navegam na direção das ondas com 
comprimentos da ordem de grandeza do próprio. Portanto, os ciclos de 
tosamento e de alquebramento nem sempre serão extremos. No entanto, 
essas reversões de carga ocorrerão continuamente em outras condições de 
mar, gerando níveis de tensões menores. 
 
 
 
 
Figura 2.3 – A diferença entre as distribuições de peso e flutuação gerando a 
flexão da viga navio. Eyres, D. J., 2001. 
 
 
 
25 
Importa destacar que inevitavelmente a distribuição de pesos e a 
distribuição da flutuação ao longo do comprimento do navio raramente serão 
iguais uma à outra. Assim, a viga navio estará sujeita a forças cortantes e 
momentos fletores e as tensões e deformações oriundas destes esforços, 
como serão vistas na solução do problema a seguir. 
 
 
Figura 2.4 Tensões primárias na viga navio. Hughes, 1983. 
 
Problema. 
Uma barcaça retangular de 80m de comprimento, 10m de boca e 6m 
de pontal flutua em água salgada apresentando um calado de 0.5m quando 
vazia. O peso da embarcação leve pode ser considerado como 
uniformemente distribuído ao longo do comprimento da barcaça. Ela possui 5 
porões de carga, cada um 16m de comprimento. As condições de 
carregamento da barcaça estão mostradas na figura. Pode-se adotar a 
hipótese de que as cargas estão
distribuídas uniformemente ao longo do 
 
26 
comprimento de seus porões. Vai-se calcular e desenhar os diagramas de 
pesos, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor. 
 
400 t
700 t
80 m
700 t
400 t
16 m 16 m 16 m 16 m 16 m
800 t
 
 
2.2. Relações básicas entre esforços solicitantes e cargas 
 
Como se mostra na figura 2.4, o equilíbrio vertical estático do navio, requer 
que o total das forças de flutuação equilibre o total das forças devido ao peso. 
Utilizando a notação da figura 2.4, tal requisito pode ser escrito como: 
 
Δ== ∫∫ lolo dxxmgdxxag )()(ρ (2.1) 
 
onde 
a(x) área imersa da seção transversal 
m(x) intensidade da massa distribuída 
ρ densidade da água do mar 
g aceleração da gravidade 
Δ deslocamento da embarcação. 
 
O fator g foi mantido em ambos os membros da equação 2.1 para enfatizar 
que se trata de forças os termos envolvidos. 
 
 
27 
 
 
Figura 2.4 – Resumo da flexão da viga navio. Hughes, 1983. 
 
De modo análogo, o equilíbrio de momentos requer que: 
 
g
l
o
l
o
lxdxxmgxdxxag Δ== ∫∫ )()(ρ (2.2) 
 
onde lg é a distância longitudinal do centro de gravidade do peso do navio. 
2.3. Aplicação da teoria de vigas 
 
Na teoria simples de vigas, pode-se caracterizar a distribuição do 
carregamento vertical atuante como sendo f(x), sendo x a direção do eixo da 
 
28 
viga. Para uma embarcação, tal distribuição deve ser a força líquida 
resultante da superposição do empuxo b(x) e do peso w(x), conforme se 
mostra na figura 2.4c. Na convenção de sinais adotada, as forças verticais 
positivas apontam para cima. Portanto, a força liquida resultante é f(x) =b(x)- 
w(x). 
 
)()()( xgmxgaxf −= ρ (2.3) 
 
O equilíbrio de forças resulta em relações interessantes entre os esforços 
solicitantes e o carregamento atuante nas vigas em flexão. Impondo-se o 
equilíbrio a um elemento diferencial, conforme mostrado na figura 2.4d e com 
as convenções de sinais ali mostradas, obtém-se: 
 
0=−−+ dQQfdxQ 
ou 
dx
dQf = (2.4) 
da qual, por integração, obtém-se 
 
CdxxfxQ
x += ∫0 )()( (2.5) 
 
Para navios, a constante de integração é sempre nula porque a viga navio é 
uma viga com condições de contorno, livre-livre, ou seja, não há a presença 
de forças cortantes ou de momentos fletores em suas extremidades, de proa 
e de popa. 
 
0)()0( == LQQ 
 
Impondo-se o equilíbrio de momentos em torno de um pólo na extremidade 
direita do elemento e considerando-se momentos positivos aqueles que 
tendem a girar o elemento no sentido horário, obtém-se: 
 
=0
 
29 
0
2
=−−++ dMMdxfdxQdxM 
 
observando que o termo dx2 é de segunda ordem a equação se simplifica 
para: 
 
dx
dMQ = (2.4) 
 
da qual se obtém: 
 
CdxxQxM
x += ∫0 )()( (2.5) 
 
As convenções de sinais estão mostradas na figura 2.4e, para as forças 
cortantes, e 2.4f, para os momentos fletores. A força cortante em qualquer 
ponto é positiva se a integral, ou a soma acumulada do carregamento, até 
aquele ponto, for positiva. De modo similar, o momento fletor é positivo se a 
integral, ou a soma acumulada, das forças cortantes até o ponto for positiva. 
 
2.4. Tensões de flexão 
 
A análise estrutural da viga navio utiliza a Teoria Simples de Viga, que se 
pauta nas seguintes hipóteses: 
 
1. Seções planas permanecem planas. 
2. A viga é prismática sem aberturas e descontinuidades. 
3. Outras formas de resposta estrutural aos carregamentos não 
afetam a flexão no plano vertical e podem ser tratadas 
separadamente. 
4. O material é homogêneo e permanece no regime elástico. 
 
=0
 
30 
 
Figura 2.5 – Elemento diferencial em flexão 
 
 
A primeira hipótese está ilustrada na figura 2.5. Sob a ação do momento 
fletor, a viga sofre uma curvatura, com raio local R e, se as seções planas 
permanecem planas, a deformação longitudinal εx varia linearmente na 
direção vertical e está relacionada com o raio de curvatura, R, como: 
 
R
y
Rd
RddyR
x =−+= θ
θθε )( (2.1) 
 
A superfície horizontal onde y e, portanto, a deformação é zero, é chamada de 
superfície neutra ou de eixo neutro. O material, por hipótese, homogêneo, 
elástico, com módulo de elasticidade E, apresenta a tensão normal na direção 
longitudinal: 
 
R
yEE xx == εσ (2.2) 
 
A ausência de força externa axial requer, por equilíbrio: 
 
y
dθ 
 
31 
0== ∫
A
xx dAF σ (2.3) 
 
 
Que se reduz a 
 
0=∫
A
ydA (2.4) 
 
e indica que a superfície neutra coincide com o centróide da seção 
transversal da viga. 
 
O equilíbrio de momentos requer que o momento externo Mz seja equilibrado 
pelo momento resultante das forças internas 
 
∫=
A
xz dAyM σ (2.5) 
 
que, após a utilização da equação 2.2, se reduz a: 
 
R
EIM z = (2.6) 
 
onde I é o momento de inércia da seção transversal, definido por: 
 
02 == ∫
A
dAyI (2.7) 
 
A equação 2.6 relaciona a curvatura com o momento fletor e se ela for 
utilizada para eliminar R da equação 2.2, o resultado é a familiar expressão 
para o calculo das tensões em função da distância y relativa ao eixo neutro: 
 
I
yM z
x =σ (2.8) 
 
 
32 
2.5. Módulo de Seção 
 
A equação 2.8 indica que σx é máximo quando y é máximo, isto é nos 
extremos, superior e inferior, da seção transversal. Quando y corresponde a 
um destes extremos a quantidade I/y é chamada de módulo de seção e é 
usualmente denotado por Z. Como o eixo neutro não se localiza, geralmente, 
a meia altura da seção, existe, então, dois valores extremos de y: yD para o 
convés resistente mais distante da linha neutra e yK para a quilha, resultando 
dois valores para o módulo Z: ZD e ZK. Na maioria das embarcações, estrutura 
do fundo é mais robusta que a do convés, resultando uma localização abaixo 
do meio pontal para o eixo neutro. Uma altura de 0.4D acima da quilha é 
típica, mas tal localização varia entre os diferentes tipos de navios. Assim, as 
máximas tensões de flexão ocorrem tanto no convés quanto no fundo. 
 
 O cálculo dos módulos reduz-se ao cálculo das propriedades de área e 
de inércia da seção transversal em questão. Como a estrutura longitudinal da 
viga navio é uma composição de diversos elementos, a marcha de cálculo 
destas propriedades é simples, porém dependendo da quantidade de 
elementos pode ser trabalhosa. Nestes casos, o uso de planilhas eletrônicas 
auxilia sobremaneira o trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
1.
25
m
1.25m
20 mm
10 mm
7 mm
22 mm
20 mm
18 mm
20 mm
17 mm
Bojo 22 mm
30 mm
S1
S2
S3
20 mm
25 mm
25 mm
1.
25
m
45o
800x450x25 mm
Espaçamento de cavernas 700 mm
Distância entre anteparas 14 m
4.
00
m
3.
25
m
3.
25
m
3.00m3.00m
9.75m
6.50m
 
 
 
Figura 2.9 – Seção transversal de uma embarcação com cavernamento 
transversal 
 
34 
Tabela 2.1 – Cálculo das propriedades de área da seção mostrada na figura 2.9 
 
 Á R E A T R A N S V E R S A L DIST À MOMENTO MOMENTO DE INÉRICA 
ELEMENTO CHAPEAMENTO PERFIS PAINEL LINHA ESTÁTICO DE ÁREA 
 ESP. COMPR. ÁREA N° ÁREA ÁREA TOTAL BASE DE ÁREA PRÓPRIO TRANSFERÊNCIA 
(unidades) m m m2 m2 m m3 m4 m4 
convés 1 0.020 6.50 0.1300 0.1300 11.750 1.5275 0.000 17.948
costado 1-2 0.022 3.25 0.0715 0.0715 10.125 0.7239 0.063 7.330
convés 2 0.010 6.50 0.0650 0.0650 8.500 0.5525 0.000 4.696
costado 2-3 0.020 3.25 0.0650 0.0650 6.875 0.4469 0.057 3.072
convés 3 0.007 6.50 0.0455 0.0455 5.250 0.2389 0.000
1.254
costado 3-f 0.018 2.75 0.0495 0.0495 3.875 0.1918 0.031 0.743
bojo 0.022 3.93 0.0865 0.0865 0.907 0.0785 0.051 0.071
teto do DF 0.017 8.50 0.1445 0.1445 1.250 0.1806 0.000 0.226
fundo 0.020 7.25 0.1450 0.1450 0.000 0.0000 0.000 0.000
quilha 0.015 1.25 0.0188 0.0188 0.625 0.0118 0.002 0.007
longarina 1 0.025 1.25 0.0313 0.0313 0.625 0.0196 0.004 0.012
longarina 2 0.025 1.25 0.0313 0.0313 0.625 0.0196 0.004 0.012
p. marginal 0.020 0.73 0.0146 0.0146 0.732 0.0107 0.003 0.008
∑ 0.8985 4.0023 0.215 35.379
Altura da Linha Neutra yLN = ∑ me/∑ a = 4.0023/0.8985 = 4.454 m 
Inércia em relação a Linha de Base Iz = ∑ Ipróprio + ∑ Itransf = 0.215 + 35.379 = 35.594 m4 
Mudança para Linha Neutra = - (∑ a) yLN2 = -17.825 m4 
Meia Inércia em relação a LN I/2 = Iz - (∑ a) yLN2 = 35.594 - 17.825 = 17.769 m4 
Módulo de resistência no fundo Zfundo = I/yLN = (2*17.769)/4.454 = 7.979 m3 
Módulo de resistência no convés Zconvés = I/(D-yLN) = (2*17.769)/(11.750-4.454) = 4.871 m3 
 
 
35 
2.6. Tensões cisalhantes 
 
Devido a variação do momento fletor ao longo do comprimento do navio, 
as tensões σA e σB em duas faces, de um elemento diferencial ao longo do 
comprimento, não serão idênticas. Portanto, ao isolarmos uma porção deste 
elemento por meio de dois cortes, um na linha de centro e outro na distância 
s, ao longo do perímetro medido a partir da linha de centro, as forças 
resultantes da diferença de tensões devem ser equilibradas por uma 
distribuição de tensões cisalhantes no sentido longitudinal, ao longo das 
superfícies de corte. Por questões de simetria, as tensões de cisalhamento ao 
longo do corte na linha de centro não devem existir e o equilíbrio, portanto, 
deve ser totalmente obtido pela presença de tensões cisalhantes τ na outra 
seção de corte. 
 
 
 
Figura 2.10 – Tensões de cisalhamento na flexão. Hughes, 1983. 
 
∫∫ −= s As B tdstdstdx 00 σστ (2.9) 
 
36 
 
Substituindo 
I
yM z
x =σ em ambas as faces: 
 
∫∫ =−= ssAB ytdsIdMytdsI MMtdx 00 τ (2.10) 
 
Substituindo dM=Qdx: 
 
∫= s ytdsIQdxtdx 0 τ (2.11) 
 
A integral na equação 2.10 é função da geometria da seção e da posição s ao 
longo desta. Por conveniência, associa-se o símbolo m para essa grandeza: 
 
∫= s ytdsm 0 (2.12) 
 
e, pode-se notar que m é o momento estático, em relação a linha neutra, da 
área da área acumulada, iniciando-se em um corte livre de tensões 
cisalhantes. (ou livre ou no plano de simetria). 
 
Substituindo m em 2.11 e isolando τ, obtém-se: 
 
It
Qm= τ (2.13) 
 
O produto τt possui significado especial tanto no cisalhamento quanto na 
torção de vigas de paredes finas. Ele é denominado como fluxo de 
cisalhamento, como analogia ao escoamento de um fluido ideal contido em 
uma rede de tubulações. Guarda as mesmas características, ou seja, em um 
entroncamento, se preserva a conservação da massa, “a soma dos fluxos que 
chegam deve ser igual a soma dos fluxos de saem”. O produto τt, 
denominado de fluxo de cisalhamento, é representado pelo símbolo q 
 
 
37 
I
Qmq = (2.14) 
 
Como, tanto Q quanto I, são constantes ao longo da seção, o fluxo de 
cisalhamento é diretamente proporcional a distribuição de m. De fato a 
relação Q/I pode ser interpretada como um fator de escala e uma vez 
calculada a distribuição de m, a distribuição do fluxo de cisalhamento é 
idêntica, a menos das unidades. Outra vantagem do cálculo de q é a não 
existência de mudanças abruptas com as variações de espessuras, o que já 
ocorre com a distribuição de τ. 
 
 
38 
PROBLEMAS 
 
1. Uma embarcação com 10.000t de deslocamento e 100m de 
comprimento apresenta máximo momento fletor de alquebramento da 
ordem de ΔL/100 (t.m). O pontal na Seção Mestra é de 12m e o eixo 
neutro se localiza a 4m acima da quilha. O momento de inércia da 
Seção Mestra é 48m4. Calcule os valores máximos de tensão de tração 
e de compressão e o local onde ocorrem. 
 
2. Considere uma embarcação prismática com 130 m de comprimento, 
cujos pesos do casco, de máquinas e de carga sejam: 3200t, 800t e 
6400t, respectivamente. O peso do casco é uniformemente distribuído 
ao longo do comprimento. O das máquinas se estende uniformemente 
ao longo de 1/5 do comprimento a meio navio, e o da carga se estende 
uniformemente sobre 2/5 do comprimento a partir da popa e 2/5 a 
partir da proa. Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de 
carregamento, de força cortante e de momento fletor, e determine seus 
valores nas descontinuidades e nos máximos. 
 
3. Um navio hipotético possui a curva de pesos que varia linearmente de 
zero, na proa e na popa, a um máximo na seção mestra (meio navio), e 
a curva de flutuação que varia linearmente de zero, na seção mestra, a 
um máximo nas extremidades, proa e popa. Desenhe as curvas de 
peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento 
fletor e determine os valores extremos em função do deslocamento Δ e 
do comprimento L. 
 
4. Os valores médios de peso por unidade de comprimento e de flutuação 
por unidade de comprimento de uma embarcação de 180m, 
representadas em seis segmentos iguais ao longo do comprimento da 
embarcação, são: 
 
 
 
 
39 
Segmento w (t/m) b (t/m) 
 
1 78 33 
2 150 126 
3 88 145 
4 75 141 
5 63 78 
6 93 18 
 
Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força 
cortante e de momento fletor e determine os valores em cada 
segmento e os valores máximos. 
 
5. Uma barcaça tipo caixa, com 43m de comprimento, 10m de boca e 6m 
de pontal, pesa 544t quando vazia. O peso leve da barcaça pode ser 
considerado uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento. 
Ela é compartimentada em 4 porões de carga, todos de igual 
comprimento. Em uma de suas operações, ela foi carregada com 
grãos, de maneira uniforme, conforme a tabela seguinte: 
 
Porão Carga (t) 
 
1 192 
2 224 
3 272 
4 176 
 
Construir a curva de pesos, de flutuação, de carregamento, de força 
cortante e de momento fletor para a barcaça carregada e calcule os 
valores em cada antepara e os valores máximos. 
 
6. Calcule o mínimo módulo requerido para a barcaça do problema 
anterior de sorte que a máxima tensão para aquela condição de 
carregamento não exceda 100 MPa. 
 
 
40 
7. Uma barcaça possui a vista em planta conforme mostrado na figura. 
Todos os planos de flutuação são idênticos. As cargas estão 
carregadas uniformemente nos porões, conforme indicado. 
Desprezando o peso próprio da barcaça, desenhe as curvas de peso, 
de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor 
para a barcaça flutuando em águas tranqüilas. Indique os valores em 
cada antepara e identifique os valores máximos da força cortante e do 
momento fletor. 
 
vazio 400 t
80 m
950 t 400 t
14 m 14 m 14 m 14 m 14 m
950 t vazio
14 m
10
 m
 
 
 
 
8. Uma embarcação de 200m possui obras vivas prismática ao longo do 
comprimento. O peso do casco, de 2400t, pode ser adotado como 
uniforme ao longo do comprimento. Ela possui 6 porões de carga, 
idênticos, que estão carregados (em toneladas), começando pela proa, 
conforme a tabela a seguir: 
 
Porão Carga Combustível Máquinas 
 
1 400 100 
2 700 200 
3 800 300 
4 800 300 
5 100 800 
6 500 
 
 
41 
Os pesos estão uniformemente distribuídos em seus respectivos 
porões. Desenhar as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, 
de força cortante e de momento fletor, indicando os valores em cada 
ponto de mudança ou de inflexão e os valores de máximo. 
 
9. Uma barcaça, do tipo caixa, com 100m de comprimento,
15m de boca 
e 15m de pontal, possui o peso de 1920t distribuídos uniformemente 
ao longo do comprimento. Ela é carregada com 1200t ao longo de 
30m, em cada uma de suas extremidades, proa e popa (carga total de 
2400t). Determine o máximo momento fletor para essa condição de 
carga e calcule as máximas tensões primárias, no convés e no fundo, 
admitindo que a seção mestra possua inércia de 4,61 m4.e altura da 
linha neutra de 2.25m acima da quilha. 
 
10. Calcule os módulos de resistência no convés e no fundo para seção 
mostrada na figura. Todas as chapas possuem 6.34mm de espessura. 
Quais serão as tensões no chapeamento do convés se a embarcação 
está sujeita a um momento fletor de 1980tm? 
 
4.5 m 
1.
5 
m
 
1.
5 
m
 
1.
5 
m
 
1.5 m 
0.35 m 
0.35 m 
0.35 m 
0.
70
 m
 
Todas as espessuras
6.35 mm
 
 
 
42 
11. Calcule os módulos de resistência no convés e no fundo da seção 
mostrada na figura. Se o aço possui tensão de escoamento de 
240MPa, qual é o fator de segurança ao escoamento para esta 
estrutura quando submetida a um momento fletor de 3960tm? 
 
4.5 m 
3.
5 
m
 
3.0 m 
Placa de 3/4"
Placa de 1/4"
Placa de 1/2"
300mm x 3/4"
 
 
 
12. Um navio de 184m de comprimento e pontal de 14m está submetido a 
um máximo momento fletor de 50.000tm. O eixo neutro, na seção 
mestra, se localiza a 6m acima da quilha. Para a máxima tensão 
primária de 80MPa, determine o momento de inércia requerido para 
essa seção. A tensão máxima ocorre no convés ou no fundo? Qual o 
valor da tensão para a outra extremidade? 
 
 
 
 
43 
3. Estrutura secundária 
 
3.1. Introdução 
 
A estrutura secundária de uma embarcação consiste de um chapeamento 
reforçado por: 
 
1. perfis leves, que limitando as dimensões das unidades de 
chapeamento o enrijecem, tais como cavernas, vaus de conveses, 
longitudinais, etc. 
 
2. perfis pesados, que sempre servem de apoio aos perfis leves, 
recebendo destes a carga que lhes foi transmitida pelas unidades de 
chapeamento. São perfis pesados os anéis gigantes, as sicordas, as 
hastilhas, as quilhas, as longarinas e as escoas. 
 
 Esse conjunto de chapeamento, perfis leves e perfis pesados, 
considerado entre duas anteparas estruturais, é que se costuma designar por 
estrutura secundária. Vê-se que, como a estrutura secundária contém 
unidades de chapeamento, nela também está contida a própria estrutura 
terciária, a qual nada mais é do que o conjunto de unidades de chapeamento, 
sem que nele se considerem os perfis. Entretanto as tensões secundárias 
estão associadas com as deformações secundárias e as tensões terciárias 
com as deformações terciárias. 
 
 Convém lembrar as seguintes definições: 
 
3. unidade de chapeamento: é a porção de chapa limitada por dois perfis 
adjacentes na direção longitudinal e outros dois na direção transversal. 
 
4. painel: é uma porção da estrutura secundária, formada de 
chapeamento, perfis leves e perfis pesados, no caso mais geral, que 
 
44 
se toma para estudo. Contém, portanto, pelo menos duas unidades de 
chapeamento. 
 
5. grelha: é um conjunto de vigas que se interceptam. Caso elas sejam 
ortogonais diz-se que a grelha é ortogonal. 
 
6. grelha chapeada: quando se tem um conjunto de perfis que se 
interceptam, soldados a chapeamento em um lado (caso do convés) 
ou em dois lados (caso do duplo fundo), diz-se que tem-se uma grelha 
chapeada. Nesse caso supõe-se que o chapeamento, em lugar de ser 
contínuo, como realmente é, constitui-se de tiras de chapa que se 
soldam aos perfis, servindo-lhes de flanges. Desta forma, em lugar de 
um chapeamento reforçado, supõe-se que se tem uma verdadeira 
grelha, na qual cada viga é formada por um perfil com a tira de chapa 
que se lhe supõe soldada. Essa tira é chamada chapa colaborante e 
essa grelha fictícia designa-se por grelha chapeada. 
 
 Observando-se as figuras 3.1 a 3.3, nota-se que todos os 
enrijecedores leves ou pesados estão sujeitos à flexão devida às cargas 
laterais no chapeamento e, como possuem ligações entre si, formam um 
conjunto para resistir a estas cargas, tornando assim a análise deste tipo de 
estrutura bastante difícil em face ao grande número de elementos que a 
envolve. 
 
 
 
 
45 
 
 
Figura 3.1 - Estrutura do fundo de um navio tanque 
de casco singelo 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 - Detalhe de um painel do fundo 
1-Quilha. 2-Chapeamento. 3-Hastilha. 
4-Longitudinal leve. 5-Antepara transversal. 
6-Antepara longitudinal 
 
 
47 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 - Deflexões secundárias leves e pesadas 
 
48 
Pode ser utilizado o seguinte esquema para análise preliminar das tensões 
secundárias e sua superposição com as terciárias: 
 
1. cálculo das tensões terciárias σ3 nas unidades de chapeamento (abcd 
na Figura 3.4a), devido a pressão lateral, considerando esta unidade 
limitada por perfis leves e/ou pesados, desprezando qualquer deflexão 
dos perfis. Esta unidade deve ser verificada quanto à estabilidade sob a 
ação da tensão primária. 
 
2. cálculo das tensões secundárias σ2'' , nos perfis leves, supondo que 
estes se apoiam sem recalque nos perfis pesados. Associa-se aos perfis 
leves uma certa largura de chapa, para funcionar como um de seus 
flanges. Essa porção de chapa, como se viu, denomina-se chapa 
colaborante e será discutida adiante. Emprega-se a teoria simples de 
viga e adotam-se hipóteses adequadas sobre as rotações nas 
extremidades de cada tramo da viga constituída do perfil mais sua chapa 
colaborante. Assim o problema se reduz ao da análise de uma viga com 
um só tramo. Atribui-se a essa viga uma certa fração da carga lateral 
que age sobre o chapeamento, daí se transmitindo ao perfil. A estima 
dessa fração de carga será discutida posteriormente. 
f
h
c
t
t
f
th
c
chapa
colaborante
alma
flange
 
Figura 3.4 - Perfil + Chapa Colaborante 
 
 
49 
 
 
 
1 
2
4
6
5
chapa colaborante
3 (LN)
 
 
 
Figura 3.5 - Cálculo dos perfis Leves 
 
3. cálculo das tensões σ2' , atuantes na grelha formada pelo chapeamento 
com os perfis mais pesados. Existem diversos métodos para o cálculo de 
σ2' com diferentes graus de complexidade e precisão. No mais simples, 
método da teoria simples de viga com um só tramo, procura-se estimar 
σ2' ignorando-se o comportamento de grelha e imaginando-se que ela 
pode ser suficientemente bem representada analisando-se cada um 
daqueles perfis separadamente, como se desligado estivesse dos 
demais, e com chapas colaborantes, cargas e condições de extremidade 
arbitradas. Embora esse método simplifique muito o cálculo, é por 
demais subjetivo e impreciso, sendo inviável estimar bem aquelas 
condições que nele devem ser arbitradas, a não ser para certos casos 
convencionais. Apesar disto é o mais adequado para fases iniciais de 
análise. 
 
 
50 
 A título de exemplo suponha-se que se deseja aplicar tal método para 
calcular o valor máximo de σ2' na longarinas2 QL, Figura 3.6, com o navio em 
águas tranqüilas e sem carga no porão e duplo fundo. De acordo com o 
método, imagina-se que QL esteja desligada das hastilhas B, C e D. Arbitram-
se, então, condições de extremidades para QL, nos pontos em que ela 
intercepta as anteparas. Estas, pela rigidez que apresentam a deslocamentos 
no seu próprio plano, podem ser consideradas, com razoável precisão, como 
apoios irrecalcáveis para QL. É difícil, porém, estimar a rigidez à rotação de QL 
nas suas interseções com
as anteparas, pois ela dependerá muito da geometria 
 
antepara
longarina
quilha
costado
costado
longarina
antepara
L1
L2
L3
QL
L4
L5
L6
Q
L6'
L5'
L4'
QL'
L3'
L2'
L1'
B C D
hastilha
A
A
c d
ba
 
 
Figura 3.6a - Esquema do fundo de um navio, entre anteparas 
 
teto do duplo fundo
L5 fundo bojo 
Figura 3-6b - Corte A-A 
 
2As longarinas também são chamadas de quilhas laterais. 
 
51 
e do carregamento nos porões adjacentes. Como se visa a simplificar os 
cálculos neste método, deve-se arbitrar uma das condições extremas: restrição 
total à rotação (engastamento) ou restrição nula à rotação (apoio simples). A 
seguir estima-se a largura da chapa colaborante, tema que será estudado 
adiante. Resta, por arbitrar, a carga sobre QL. Na realidade QL recebe cargas 
de duas formas: 
 
1. cargas distribuídas, provindas do chapeamento que sobre ela se apóia, 
ao longo de todo o seu vão; 
 
2. cargas concentradas, provenientes das ações de cisalhamento com as 
hastilhas, nos pontos em que com elas se intercepta. 
 
Embora o primeiro tipo de carga se possa estimar com razoável precisão, o 
segundo dificilmente se estimará bem, pois depende basicamente da rigidez à 
flexão de cada elemento da grelha, bem como da distribuição das cargas sobre 
o porão, caso as haja. Sensíveis alterações nesses parâmetros farão com que 
uma carga na interseção possa mudar não apenas de valor, mas também de 
sentido. O propósito do método é, porém, o de propiciar estimativas de σ2' com 
cálculos deveras simples, para arranjos e carregamentos convencionais. Por 
isso, costuma-se arbitrar um carregamento distribuído que, espera-se, 
produzirá um valor máximo de σ2' próximo daquele que o carregamento real de 
QL acarreta. No caso que ora tratamos poder-se-ia adotar, como carregamento, 
a pressão sobre o fundo, ao longo de todo o vão de QL, entre L2 e L5. Isto 
significaria admitir que supomos ser a rigidez à flexão de QL bem maior que as 
das hastilhas, de sorte que essas últimas tendam a ter flechas maiores que as 
de QL e, por conseqüência, em QL apoiarem-se. 
3.2. Distribuição de Cargas 
 
 Ao isolarmos um elemento reforçador de um painel requer que se façam 
hipóteses sobre a distribuição de cargas entre as várias vigas em que se 
considera o chapeamento reforçado. Cada uma dessas vigas é constituída de 
um perfil e de uma parte de chapeamento a ele associada, a chapa 
 
52 
colaborante. A distribuição de cargas pode ser efetuada de diversas maneiras, 
umas mais simples e outras mais elaboradas: 
 
1. Cada reforço recebe toda a carga aplicada sobre a largura s e a 
transmite aos reforços mais rígidos que lhe servem de apoio. A situação 
está esquematizada na região AEBDFC da Figura 3.7, onde se 
representa um painel estrutural de um costado de um navio. Aí a caverna 
C1, no trecho entre a escoa e o fundo, estaria recebendo a carga 
hidrostática da região hachurada e transmitindo-a à escoa e ao fundo 
nos pontos E e F, respectivamente. Essa distribuição é superestimada 
para a caverna a não ser que a distância s seja muito pequena quando 
comparada a distância b. 
 
2. Cada reforço recebe a carga do losango determinado pelas diagonais de 
cada unidade de chapeamento. A região GHIJKL, da Figura 3.7, ilustra 
essa distribuição. A caverna C2, entre o convés e a escoa, receberia a 
carga distribuída sobre o losango KMHN, e a escoa entre L e K 
receberia a carga distribuída sobre o losango LMKO. 
 
3. Os reforços recebem a carga distribuída na região cujo centro ficam e 
que é limitada por linhas em ângulos de 45 graus. A distribuição está 
ilustrada na região PQRS da Figura 3.7. A caverna C3, no trecho entre o 
fundo e a escoa, receberia a carga distribuída sobre a área 1,2,3,4,5,6 e 
a escoa entre 2 e Q receberia a carga que se distribui sobre 2,7,Q e 3. 
Esta distribuição é a que mais se aproxima da realidade. Apesar de esta 
distribuição gerar um carregamento trapezoidal sobre o elemento 
desconsidera-se a diminuição nos extremos, adotando-se carregamento 
constante, uniformemente distribuído. 
 
 
53 
45o
caverna C2
caverna C2
convés
fundo
antepara
antepara
A B
C D
escoa 
E
F
1
2
3
4
5
6
G H I
M N
L K J
O
caverna C3
b
s
P Q
R
S
7
H K
E F 2 5 
 
 
Figura 3.7 - Esquemas de distribuição de cargas sobre os perfis 
 
3.3. Os efeitos do cisalhamento na flexão de vigas. Chapa 
Colaborante 
 
 Uma das hipóteses básicas na teoria simples de vigas é que secções 
planas permanecem planas após a flexão e, por conseguinte, as tensões de 
flexão são diretamente proporcionais à distância do eixo neutro. Portanto em 
qualquer viga formada por alma e flanges, as tensões devem ser constantes ao 
longo dos flanges. No entanto, a maioria dos problemas a flexão não é causada 
por um binário de forças nas extremidades da viga e sim causada por cargas 
transversais que são absorvidas pela alma da viga e não pelos flanges. Sob o 
efeito das cargas, a alma da viga é curvada induzindo deformações máximas 
nos flanges. Como eles suportam a máxima deformação e, conseqüentemente, 
 
54 
as máximas tensões, os flanges são os elementos da secção transversal da 
viga que mais contribuem para a rigidez à flexão. Mas é importante notar que 
estas máximas deformações se originam na alma e somente atingem o flange 
por causa do cisalhamento. Este fenômeno é ilustrado na Figura 3.8 onde se 
mostra uma seção de uma viga tipo caixa, engastada em uma das 
extremidades e com uma carga concentrada na outra. 
 
F/2
F/2
eixo neutro
F
a alma arrasta
o flange por ci-
salhamento
no plano de sime-
tria a tensão cisa-
lhante é nula.
máxima 
distorção
mínima 
distorção
 
 
 
Figura 3.8 - Efeito shear lag em vigas tipo caixa 
 
 A força é resistida pelas almas, que se curvam de forma a alongar e a 
encurtar os extremos superior e inferior da viga. Por simplicidade, a curvatura 
não está ali representada. O contorno alongado da alma traciona consigo o 
chapeamento do flange através de forças de cisalhamento, o que resulta em 
tensões de cisalhamento. Estas tensões de cisalhamento distorcem o flange e 
esta distorção é tal que o lado mais afastado da alma do elemento retangular 
não deve se "esticar" tanto quanto o lado mais próximo; isto é, a deformação no 
sentido longitudinal é menor no lado interno e, portanto, também o é a tensão 
normal longitudinal. Este mesmo fenômeno ocorrerá em cada elemento, do 
 
55 
canto, junto à alma, até a linha de centro, embora ele, paulatinamente, diminua 
até desaparecer na linha de centro, porque a tensão de cisalhamento neste 
ponto cai para zero. O resultado disto é que o flange sofre uma distorção no 
plano longitudinal e, portanto, as secções planas não permanecem planas 
quando as tensões cisalhantes estão presentes. Esta distorção é comumente 
chamada de empenamento ou warping. O aspecto significativo da distorção 
pelo cisalhamento é que as regiões mais afastadas do flange apresentam 
menores tensões de flexão e são, portanto, menos efetivas do que as regiões 
mais próximas. Isto é, devido aos efeitos do cisalhamento, as tensões de flexão 
longe da alma "atrasam" (lags behind) em relação às tensões próximas a alma. 
O fenômeno foi então batizado de efeito de shear lag. Este efeito ocorre em 
qualquer viga com flanges largos sob cargas laterais. 
 
 
σmax
CL
distribuição de tensões normais
no flange do perfil
 
 
Figura 3.9 - Efeito shear lag em vigas com flanges 
 
 A distribuição exata das tensões
em vigas com flanges largos pode ser 
encontrada usando a teoria da elasticidade ou o método dos elementos finitos, 
mas o uso destas ferramentas, em fases iniciais de projeto, para computar este 
tipo de fenômeno é de pouco senso prático. Um estudo pela teoria da 
elasticidade mostra que a magnitude do efeito shear lag (isto é, o quanto a 
distribuição de tensões difere daquela originada pela teoria simples de viga) 
depende : 
 
1. da relação largura do flange pelo comprimento da viga. 
 
2. do tipo de carregamento lateral. 
 
3. das proporções relativas entre alma e flange. 
 
56 
 
4. do tipo de seção transversal da viga. 
 
5. da posição ao longo da viga. O efeito shear lag em geral varia de ponto 
a ponto ao longo do comprimento da viga e é máximo onde existem altos 
gradientes de forças de cisalhamento. 
 
A melhor maneira de considerar o efeito shear lag em painéis reforçados é 
fazendo uso do conceito de largura efetiva do chapeamento, b1, definida 
como: 
 
a largura de chapa que, quando utilizada no cálculo do 
momento de inércia da seção transversal do perfil, resultará 
no valor correto de tensão normal de flexão na junção 
alma-flange, quando se faz uso da teoria simples de viga 
para o cálculo dessa tensão. 
 
A largura efetiva deve ser tal que a força longitudinal no flange seja igual tanto 
no modelo simples quanto no modelo complexo. Igualando as forças 
 
b dzmax x
b
1 0
 σ σ= ∫ 
ou 
b
dzx
b
max
1
0= ∫ σσ
 
 
 
 O modelo que apresentaremos a seguir, sugerido por W. Muckle, 1967, 
se baseia na teoria de Shear Lag desenvolvida por Taylor, 1964. 
 
 Considere a viga fabricada mostrada na Figura 3.3. A tensão de 
cisalhamento longitudinal em um plano vertical utilizando a relação da 
resistência dos materiais pode ser escrita como: 
 
 
57 
B B
z
y eixo neutro
 
Figura 3.10 - Tensões cisalhantes em vigas com flanges largos 
 
 
τ = = −Qm
It
Q b z y
I
( )
 (3.1) 
 
com a correspondente deformação angular, ou de cisalhamento 
 
γ τ= = −
G
Q b z y
GI
( )
 (3.2) 
 
Conforme se vê na Figura 3.11, as deformações angulares provocam um 
movimento longitudinal das fibras 
 
dx
dz
γ
τ
τ
τ
τ
de
 
 
Figura 3.11 - Deformação de cisalhamento no flange da viga 
 
de dz= ⋅γ (3.3) 
Somando todos os elementos, da origem à uma posição genérica z, obtém-se: 
 
 
58 
e de Q b z y
GI
dz
Q bz z y
GI
z z= = − = −∫ ∫0 0
2
2( ) ( ) (3.4) 
 
A variação no sentido longitudinal deste movimento leva a uma deformação 
linear e uma conseqüente tensão normal longitudinal, que é de relaxamento: 
 
Δσ ∂∂
∂
∂= =
−⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ =
−
E e
x
E
x
Q bz z y
GI
E
q bz z y
GI
( ) ( )
2 2
2 2 (3.5) 
 
onde se fez uso da hipótese da viga ser prismática, homogênea e o fato da 
variação da força cortante ao longo do eixo da viga ser igual ao carregamento 
distribuído, q. 
 
 Se o momento fletor, em uma particular secção for designado por M, 
então a tensão de flexão no centro do flange é calculada como: 
 
σ f MI y= (3.6) 
 
e a tensão modificada, pelo efeito de cisalhamento, para 
 
σ x MI y
Eq bz z y
GI
= − −( )
2
2 (3.7) 
 
 Como conseqüência desta composição, a equação de equilíbrio entre 
momentos externo e interno não mais fica satisfeita, ou seja, a integral dos 
momentos devido as forças internas deve ter como resultado o momento fletor 
M. O segundo termo da equação acima resulta no que chamamos de perda de 
resistência fletora que é obtida como: 
 
ΔM Eq bz
z y tdz
GI
E
G
qb y t
I
b= − =∫2 2 23
2 2
0
3 2( )
 (3.8) 
 
 
59 
O equilíbrio pode ser então restabelecido se imaginarmos que - aqui se 
encontra a hipótese fundamental dessa teoria - as tensões de flexão na viga 
são geradas por um momento fletor: 
 
M M+ Δ (3.9) 
 
o que corresponde ao momento real adicionado da parcela devido ao 
relaxamento das tensões de flexão devido ao cisalhamento. A distribuição de 
tensões resultante no flange da viga será: 
 
σ x
M E
G
qb y t
I
I
y E
G
q bz z y
I
=
+
− −
2
3 2
3 2
2
( )
 (3.10) 
 
σ max
CL σ max
CL
2b
2b1
2b1
 
Figura 3.12 - Largura efetiva de flanges 
 
 Na junção alma-flange, quando z=0 o valor da tensão é 
 
σ max
M E
G
qb y t
I
I
y=
+ 2
3
3 2
 (3.11) 
 
 
60 
 Tomando este valor como constante ao longo de uma largura b1, largura 
da chapa colaborante, então a força longitudinal suportada pelo flange é: 
 
F b t b t
M E
G
qb y t
I
I
yflange max= =
+⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2 2
2
3
1 1
3 2
σ (3.12) 
 
 No entanto, esta força deve ser igual àquela obtida pela integração da 
equação 3.10, ou seja: 
 
F tdz bt
M E
G
qb y t
I
I
y E
G
qb yt
I
b t
M E
G
qb y t
I
I
y
flange x
b= =
+⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
=
+⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
∫2 2
2
3 2
3
2
2
3
0
3 2
3
1
3 2
σ
 
 (3.13) 
 
o que resulta na relação entre a largura efetiva e a largura do flange como 
sendo 
 
b
b
E
G
qb
M E
G
qb y t
I
1
2
3 21
1
3
2
3
= −
+
 (3.14) 
 
 Fica evidente que a largura da chapa colaborante é função da 
distribuição da carga e das condições de contorno da viga. No caso de uma 
viga simplesmente apoiada e com carga uniformemente distribuída, o momento 
fletor é dado por: 
M qlx qx= −
2 2
2
 (3.15) 
 
e a chapa colaborante 
 
61 
 
 
b
b
E
G
b
lx x E
G
b y t
I
1
2
2 3 21
1
3
2 2
2
3
= −
− +
 (3.16) 
 
Para uma viga bi-engastada sob a mesma condição de carga 
 
M qlx qx q= − −
2 2 12
2 2l
 (3.17) 
 
e a chapa colaborante 
 
b
b
E
G
b
lx x E
G
b y t
I
1
2
2 2 3 21
1
3
2 2 12
2
3
= −
− − +l
 (3.18) 
 
 Observando em mais detalhe as equações 3.16 e 3.18, nota-se que as 
quantidades: 
 
7. momento de inércia I, e 
 
8. y , distância do flange ao centróide da secção da viga; 
 
são funções da largura b1, que esta sendo calculada no primeiro membro de 
ambas as equações, de onde se conclui que o processo deve ser iterativo. 
 
 Por outro lado, em regiões onde o momento fletor possui valores muito 
maiores que o segundo termo no denominador das equações 3.16 e 3.18, este 
pode ser desprezado, resultando para: 
 
 
 
 
62 
• vigas engastadas: 
 
b
b
b1 2
21 8 1= − +( )μ l no engastamento (3.19) 
 
b
b
b1 2
21 16 1= − +( )μ l no centro da viga (3.20) 
 
• vigas apoiadas: 
 
b
b
b1 2
21
16
3
1= − +( )μ l no centro (3.21) 
 
onde o carregamento é uniformemente distribuído. 
 
 É de interesse uma comparação entre estes resultados e os obtidos pelo 
trabalho de Schade, apud Hugues, 1983. Schade fornece os resultados para 
chapas colaborantes em função
do parâmetro cL/B, onde cL é a distância entre 
pontos, ao longo do comprimento da viga, onde são nulos os momentos e B é o 
espaçamento entre reforçadores do painel, ou a largura total do flange da viga. 
Portanto chamando cL= l1 , B=2b e adotando (1+μ)=5/4 a equação 3.21 para 
vigas apoiadas, na região de máximo momento fletor se transforma para 3 
 
b
b
B1 2
1
21
5
3
= − l 
 
 Para finalizar deve-se ressaltar que para secções transversais cujo eixo 
neutro estão muito próximos do chapeamento, como é o caso de painéis 
reforçados usualmente aplicados na construção naval, as propriedades da 
 
3 Segundo Muckle, 1987, utilizando teoria da elasticidade Schade, chega a seguinte relação para 
chapeamentos reforçados, 
b
b
B1
2
1
2
1
11 1 2= +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
. l , válido para valores de 
l1 2
B
≥ e mostra que para 
certas circunstâncias é possível ter-se uma relação de chapa colaborante espaçamento de perfis maior do 
que a unidade. 
 
63 
secção não são significativamente afetadas pela largura de chapa colaborante 
utilizada, de modo que a largura efetiva não possui a importância que pode 
parecer a uma primeira vista, veja exercício 1. 
 
As principais conclusões destas investigações são: 
 
1. a largura efetiva varia de ponto para ponto ao longo do comprimento da 
viga. Em contrapartida, não há efeito shear lag na flexão pura (força 
cortante nula). 
 
2. shear lag ocorre tanto em tração quanto em compressão de forma 
idêntica, desde que não ocorra a flambagem do flange. 
 
Na figura 3.13, extraída de Hughes, 1983, apresentam-se as curvas para o 
cálculo de largura de chapa colaborante em função do arranjo dos perfis e do 
tipo de carregamento. 
 
 
 
Figura 3.13 – Largura de chapa colaborante. Hughes, 1983. 
 
64 
perfil +
chapa colaborante
unidades de chapeamentodistribuição de tensões de flexão
no chapeamento
distribuição de momentos fletores
ao longo do comprimento do perfil
para carga uniforme
vão L
distância entre momentos
fletores nulos = 0.578 L
l1
1
2
1 /2
2 /2
B
B
B
B
1 /2
2 /2
c
c
Largura da chapa colaborante
c = (c + c )/2
1 2
q L /122 q L /24
2
l
1
Sentido do comprimento
 
Figura 3.14 – Largura de chapa colaborante em painéis reforçados 
 
3.4. Grelhas 
 
 Muitas estruturas se constituem de uma rede de vigas que se estendem 
em duas direções, geralmente ortogonais. Nas estruturas navais e oceânicas o 
uso deste arranjo é comum, podendo-se citar os conveses de navios, 
reforçados na direção transversais pelos vaus e, na longitudinal, pelos 
longitudinais leves e sicordas. Conforme se mencionou anteriormente, uma das 
formas de se analisar este tipo de estrutura é considerar que o carregamento é 
absorvido por um grupo de reforços, enquanto que o outro, agindo como 
suporte para o primeiro, não se deforma. De acordo com esse principio e 
retomando o exemplo do convés, admite-se que os vaus se apóiam no costado 
e em uma sicorda, ambos os apoios considerados irrecalcáveis. Um modelo 
melhor reconheceria que o segundo conjunto de reforços atua como apoio 
 
65 
elástico para primeiro. O estudo das grelhas contempla este tipo de problema, e 
define-se a grelha com uma estrutura onde existem vigas ou reforços em duas 
direções. 
 
 Nas estruturas navais e oceânicas o problema de grelhas é complicado 
pelo fato de os reforços estarem ligados a um chapeamento, ou em outras 
palavras, a grelha é chapeada. A dificuldade aqui se refere a qual valor de 
chapa colaborante que deverá ser associado à secção reta dos perfis para 
formar as vigas ou reforços nas duas direções. 
 
3.5. Grelha Simples 
 
 Uma introdução ao problema de grelhas pode ser feito considerando 
apenas duas vigas que se interceptam em ângulos retos, sendo solidárias no 
ponto de interseção. Na Figura 3.15 mostra-se uma estrutura, na qual uma 
viga, simplesmente apoiada, com comprimento l 1 e momento de inércia I1, é 
ligada, em seu ponto central, a uma segunda viga, também simplesmente 
apoiada, comprimento l 2 e momento de inércia I2. As cargas atuantes em cada 
uma delas seriam q1 e q2 respectivamente e para o propósito deste problema 
serão consideradas uniformes ao longo do comprimento das vigas. 
 O efeito da ligação entre as duas vigas será a geração de uma força 
concentrada F no ponto de interseção e essa agirá para cima em uma das 
vigas e para baixo na outra, de modo que a reação de apoio na primeira viga 
será: 
 
Q q F1 1 12 2
= −l (3.22) 
 
e na segunda viga 
 
Q q F2 2 22 2
= +l (3.23) 
 
 Segue que os momentos fletores para estas duas vigas serão: 
 
66 
 
M Q x q x1 1 1
2
2
= − (3.24) 
 
M Q y q y2 2 2
2
2
= − (3.25) 
 
q
q
viga 1
viga 2
l1
l2
centro das vigas
2
1
2
I
I1
y
x
 
Figura 3.15 - Grelha simples apoiada 
 
Uma vez conhecida a força F os distribuições de momentos M1(x) e M2(y) 
podem ser calculadas para cada uma das vigas. O procedimento é simples. 
Como as vigas estão ligadas em seus pontos centrais, as deflexões delas neste 
ponto devem ser a mesma. Considerando apenas a influência do momento 
fletor no cálculo dos deslocamentos, tem-se: 
 
δ1 1 1
4
1
1
3
1
5
384 48
= −q
EI
F
EI
l l
 (3.26) 
e 
δ 2 2 2
4
2
2
3
2
5
384 48
= +q
EI
F
EI
l l
 (3.27) 
 
Igualando as duas expressões obtém-se: 
 
 
67 
F
q
I
q
I
I I
=
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
5
8
1 1
4
1
2 2
4
2
1
3
1
2
3
2
l l
l l
 (3.28) 
 
 É educativo examinar-se os valores limites na equação 3.28. Se a viga 2 
for muito rígida (comprimento pequeno e/ou inércia grande), o segundo termo 
em ambos, numerador e denominador, tendem a zero, resultando para a força 
F = 5/8 q1 l 1 , que seria o resultado para uma viga contínua sobre três apoios. A 
Figura 3.16 ilustra a solicitação de momentos para a viga 1. Se, por outro lado, 
a viga 2 for muito flexível e admitir-se que nela atue uma carga desprezível, a 
força F será nula e a viga 1 se comportaria como uma viga sobre dois apoios. 
 
l3 /4
2
l9 q
128
equivalente a uma
viga engastada-apoiada
2
lq
8
 
 
Figura 3.16 - Momentos Fletores para a viga 1 supondo que a viga 2 seja muito 
rígida 
 
3.6. Grelha Múltipla 
 
Quando existem mais de um reforçador em cada direção, a solução do 
problema da grelha é mais complicada, pois ao invés de ter-se somente uma 
incógnita hiperestática (força concentrada no ponto de interseção das vigas) 
surgirá uma série delas. Em outras palavras, haverá tantas reações 
hiperestáticas quantas forem as intersecções entre reforços. O problema se 
 
68 
transforma de uma equação a uma incógnita para n equações a n incógnitas 
se for utilizado o mesmo método do item anterior. Obviamente, em termos 
práticos, isso limita a umas poucas vigas o problema que pode ser resolvido 
sem o auxilio de um computador. 
 
 Existem alguns métodos aproximados para a solução do problema de 
grelhas. Um deles, muito difundido na década de 70, antes da popularização 
dos Métodos Matriciais, era o Método da Chapa Ortotrópica, onde a grelha é 
substituída por uma placa com características ortotrópicas fictícias de rigidez.