Lista 4Q

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UFPB – CCE N – DEPART AMENT O DE MATEMÁTICA 
CÁL CUL O DIFERENCI AL I 
4 a LISTA DE EXERCÍCIOS – PERÍ ODO 2015 .1 
1 . N o s e x e r c í c i o s 1 a ) → 1 d ) , e n c o n t r e a d e r i v a d a d a f u n ç ã o d a d a , u s a n d o a d e f i n i ç ã o . 
1 a ) 1)( 2 += xxf . 1 b ) 32)( xxf = . 1 c ) 5)( 2 −= xxf . 1 d ) . 
1
1)( += xxf 
2 . C o n s i d e r e f d e f i n i d a p o r ⎩⎨
⎧
>
≤−= 0,2
0,)( xpara
xparaxxf . 
a ) C a l c u l e )1(−′f b ) E x i s t e m )0(−′f e )0(+′f ? c ) f é d e r i v á v e l e m 0=x ? 
3 . S e j a f a f u n ç ã o d a d a p o r xxxf +=)( . 
a ) E x i s t e )0(f ′ ? b ) E x i s t e )( xf ′ p a r a 0≠x ? c ) C o m o s e d e f i n e a f u n ç ã o f ′ ? 
4 . N o s e x e r c í c i o s 4 a ) → 4 c ) , i n v e s t i g u e a d e r i v a b i l i d a d e d a f u n ç ã o d a d a n o p o n t o 
i n d i c a d o . 
4 a ) ⎩⎨
⎧
>
≤=
0,
0,)(
2
xparax
xparaxxf ; 0=x . 4 b ) 
⎩⎨
⎧
<≤−
<<=
21,12
10,)(
xparax
xparaxxf ; 1=x . 
5 . E x i s t e a l g u m p o n t o n o q u a l a f u n ç ã o xxy 42 −= n ã o é d e r i v á v e l ? 
6 . S u p o n h a q u e u m a f u n ç ã o f s e j a d e r i v á v e l e m 1=x e q u e ( ) 51lim
0
=+
h
hf
h a
. 
Q u a n t o v a l e m )1(f e )1(f ′ ? 
7 . S u p o n h a q u e f s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l e m R , s a t i s f a z e n d o =+ )( baf +)(af 
babf 5)( + , ∀ ∈ba , R . S e ( ) 3lim
0
=
h
hf
h a
, d e t e r m i n e )0(f e )( xf ′ . 
8 . E n c o n t r e o v a l o r d e a e o d e b , d e m o d o q u e a f u n ç ã o ⎩⎨
⎧
>+
≤=
1,
1,3)(
2
xsebxa
xsexxf s e j a 
d e r i v á v e l e m 1=x . 
9 . N o s e x e r c í c i o s 9 a ) → 9 c ) , d e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s t a n g e n t e e n o r m a l a o 
g r á f i c o d e f , n o p o n t o c u j a a b s c i s s a é f o r n e c i d a . 
9 a ) 3/2)( xxf = , 8=x . 9 b ) 4/3)( −= xxf , 16=x . 9 c ) xxf =)( , 3=x . 
1 0 . Q u a l é a e q u a ç ã o d a r e t a t a n g e n t e à p a r á b o l a 2xy = , c o m i n c l i n a ç ã o 8−=m ? F a ç a 
u m g r á f i c o . 
1 1 . Q u a l é a e q u a ç ã o d a r e t a n o r m a l à c u r v a 
6
3xy −= , c o m i n c l i n a ç ã o 
9
8=m ? 
 
1 2 . D e t e r m i n e a e q u a ç ã o d a r e t a q u e t a n g e n c i a o g r á f i c o d a f u n ç ã o 2xy = e é p a r a l e l a à 
r e t a 24 += xy . 
1 3 . V e r i f i q u e q u e a r e t a t a n g e n t e a o g r á f i c o d a f u n ç ã o 
x
xf 1)( = , n o p o n t o d e a b s c i s s a 
a , i n t e r c e p t a o e i x o X n o p o n t o )0,2( a . 
1 4 . D e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s h o r i z o n t a i s q u e s ã o t a n g e n t e s a o g r á f i c o d a f u n ç ã o 
12
23
)(
23
−−+= xxxxg . 
1 5 . C o n s i d e r e a f u n ç ã o f d e f i n i d a p o r ⎩⎨
⎧
>
≤=
1,2
1,)(
2
xpara
xparaxxf . 
 a ) E s b o c e o g r á f i c o d e f . b ) f é c o n t í n u a e m 1=x ? c ) f é d e r i v á v e l e m 1=x ? 
1 6 . R e p i t a o e x e r c í c i o a n t e r i o r , c o n s i d e r a n d o a g o r a a f u n ç ã o f d e f i n i d a c o m o 
⎩⎨
⎧
>
≤=
1,1
1,)(
2
xpara
xparaxxf . 
1 7 . C o n s i d e r e a f u n ç ã o xxxf =)( , d e f i n i d a p a r a t o d o x e m R . 
a ) E x i s t e )0(f ′ ? b ) D e t e r m i n e )( xf ′ p a r a 0<x e p a r a 0>x . 
c ) E s b o c e o g r á f i c o d e f e o d e f ′ . 
1 8 . S e 22 1 uxy +−= e 
1
1
−
+=
x
xu , c a l c u l e 
xd
yd . 
1 9 . S e 
1
1
−
+=
x
xy , v e r i f i q u e q u e 2)1( 2
2
=−
xd
ydx
xd
yd . 
2 0 . S u p o n h a q u e )( txx = s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l e m R . S e 
1
1
2 += xy , v e r i f i q u e q u e , 
∈∀ t R , t e m - s e 
td
xdyx
td
yd 22−= . 
2 1 . S a b e n d o - s e q u e 
3
1)1(,3)2(,2)1( −=−′−==− gfg e 6)2( =′f , d e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s 
d a s r e t a s t a n g e n t e e n o r m a l à c u r v a ))(()( xgfxh = , e m 1−=x . 
 
2 2 . S e [ ] )()()( 33 xfxfxh += , c a l c u l e )2(h′ , s a b e n d o q u e 7)2(,1)2( =′= ff e q u e 
3)8( −=′f . 
 
2 3 . C a l c u l e a d e r i v a d a d e p r i m e i r a o r d e m d e c a d a u m a d a s f u n ç õ e s a b a i x o . 
a ) 2ln
x
y +π= b ) 42 5,0
3
1
4
1 xxxy −+−= c ) 33 2
11
xxx
y −= 
d ) 
x
x
y −
+=
1
1
 e ) xarcsenxy = f ) ( )
2
12 xarctgxxy −+= 
g ) xcosey x= h ) 
x
xx
x
y lnln21 −+= i ) ( ) 523 senxy −= 
j ) xxy 3cos52 += k ) 
5
cos23 xsenxy −= l ) xexy x += 
m ) ( )xearccosy = n ) ( ) ( )xtgxxseny +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+= 5cos3 o ) ( )( )xxy 2cos1 2cos1 −+= 
p ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+=
x
xarctgy
1
1
 q ) ( )xsenlny = r ) ( )xlnlnxlny −= 2 
2 4 . V e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o xexy −= é s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o yxyx )1( −=′ . 
2 5 . V e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o 
xx
y
ln1
1
++= é s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o ( )1−=′ xlnyyyx . 
2 6 . S e a e b s ã o c o n s t a n t e s q u a i s q u e r , v e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o xx ebeay 2−− += é 
s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o 023 =+′+′′ yyy . 
2 7 . S e n é u m n ú m e r o n a t u r a l , q u a l é a d e r i v a d a d e o r d e m n d a f u n ç ã o ( ) nbaxy += ? 
2 8 . N o s e x e r c í c i o s 3 1 a ) → 3 1 f ) , e n c o n t r e 
xd
yd e m c a d a u m a d a s e q u a ç õ e s q u e , 
i m p l i c i t a m e n t e , d e f i n e m y c o m o f u n ç ã o d e x . 
3 1 a ) yxy +=3 3 1 b ) 1+=+ yyx 3 1 c ) x
y
x
yx
y =+− 
3 1 d ) 14 =ysenxcos 3 1 e ) =yx cotg ( )yx 3 1 f ) yxyx 21 += 
2 9 . D e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s t a n g e n t e e n o r m a l à c i r c u n f e r ê n c i a 2522 =+ yx , n o 
p o n t o ( )430 ,P = . 
3 0 . S u p o n h a q u e f s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l e m s e u d o m í n i o D e q u e , p a r a t o d o x e m 
D , s a t i s f a ç a ( ) ( )[ ] 4=+ xfsenxfx . 
S e ( )[ ] 0≠+ xfcosx , m o s t r e q u e ( ) ( ) ( )[ ]xfcosx
xf
xf
+
−=′ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R E S P O S T A S 
2 . a ) 1− b ) 10 −=′− )(f e existenão)(f 0+′ c ) n ã o
3 . a ) n ã o b ) s i m c ) ⎩⎨
⎧
<
>=′
00
02
x,
x,
)x(f 
4 . a ) f n ã o é d e r i v á v e l e m 0=x b ) f n ã o é d e r i v á v e l e m 1=x 
5 . 0 e 4 6 . 0)1( =f e 5)1( =′f 7 . 0)0( =f e 35 +=′ x)x(f 8 . 6=a e 3−=b 
9 . a ) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
+=
283
3
4
3
1
xy
xy
 b ) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−
−−=−
)x(y
)x(y
16
3
2
8
1
16
2
3
8
1
9
9
 c ) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=−
−=−
)x(y
)x(y
3323
3
32
13
 
1 0 . )4(816 +−=− xy 1 1 . )
2
3(
9
8
16
9 mxy =± 1 2 . 44 −= xy 
1 4 . 
6
13−=y e 
3
7=y 1 5 . b ) n ã o c ) n ã o 1 6 . a ) s i m b ) n ã o 
1 7 . a ) 0)0( =′f b ) 
⎩⎨
⎧
>
<−=′
02
02
xpara,x
xpara,x
)x(f 1 8 . 
22 11
22
u)x(
ux
xd
yd
+−
+= 
2 1 . 052;052 =−−=++ yxyx 2 2 . 15)2( −=′h2 3 . 
a ) 2x
π− b ) 322
3
1 xx −+− c ) 
3 232 3
2
3
4
xxxx
− 
d ) 2)1(
1
xx − e ) 21 x
xxarcsen
−
+ f ) arctgxx 
g ) ( )senxxcose x − h ) 22 22 xx
xln
x
−+ i ) ( ) xcosxsen 42310 −− 
j ) senxxcos 2152 − k ) 
xsenx
senxx
cos10152
2cos3
−
+
 l ) 
( )
)1(2
11
+
++
x
x
ex
xe
 
m ) 
x
x
e
e
21 −
−
 n ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
55
13cos3 xsenx ( )xx 2cos2 1+ 
 
o ) 2− cotg xseccosx 2 p ) 
21
1
x+
− q ) cotgx r )
xlnxx
xln 12 − 
2 7 . na!n 
2 8 . 
a ) 
13
1
2 −
=′
y
y b ) 
yyx
y
y −+=′ 
c ) 232
23
22
)()(
)(
2
)(
yxxyyxy
yxyy
x
yxy
y −−+−
−−+−
=′ 
d ) ytgtgxy .=′ e ) 
x
yy −=′ f ) yxxx
yyxyx
y
22
4
−
−=′ 
2 9 . 
⎩⎨
⎧
=−
=+
034
2543
yx
yx