Apostila 1ª Unidade - MAT174 - UFBA

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ÍNDICE 
 
1 ERROS NAS APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS.....................................2 
1.1 Erros Absolutos ................................................................................................ 3 
1.2 Erros Relativos ................................................................................................. 4 
1.3 Erro de Arredondamento................................................................................... 5 
1.4 Ordem decimal de um algarismo: ...................................................................... 5 
1.5 Algarismos significativos corretos....................................................................... 5 
1.6 Cálculo dos erros absoluto e relativo:................................................................. 6 
1.7 Erro de Truncamento ........................................................................................ 9 
1.8 Seqüências – Convergências.............................................................................. 9 
1.9 Propagação de erros ....................................................................................... 10 
2 MATRIZES .....................................................................................12 
2.1 Propriedades dos Determinantes ..................................................................... 15 
2.2 Menor Complementar ..................................................................................... 16 
2.3 Complemento Algébrico de um elemento (COFATOR) ....................................... 16 
2.4 Matriz Adjunta ................................................................................................ 17 
2.5 Matriz Inversa ................................................................................................ 17 
2.6 Cálculo do Determinante ................................................................................. 22 
3 VALORES E VETORES CARACTERÍSTICOS ....................................24 
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES............................................26 
4.1 Métodos Diretos ou de Eliminação ................................................................... 26 
4.1.1 Método de Gauss ..................................................................................... 26 
4.1.2 Método de Gauss-Jordan .......................................................................... 31 
4.1.3 Condensação Pivotal ................................................................................ 34 
4.1.4 Refinamento da Solução........................................................................... 37 
4.1.5 Inversão de Matrizes ................................................................................ 40 
5 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES............................................42 
5.1 Métodos Iterativos .......................................................................................... 42 
5.2 Método de Jacobi............................................................................................ 43 
5.3 Método de Gauss-Siedel.................................................................................. 45 
5.4 Estudo da Convergência.................................................................................. 46 
6 Decomposição LU..........................................................................47 
6.1 Teorema LU ................................................................................................... 47 
6.2 Esquema prático para a decomposição LU........................................................ 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 ERROS NAS APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS 
 
Causas: 
• Divisões Inexatas; 
• Números Irracionais; 
• Abandono de Casas Decimais e 
• Etc. 
 
Este último aspecto é de particular interesse no caso de computadores digitais. 
 
O processo de solução de um problema físico, através de métodos numéricos, pode ser 
representado como se segue: 
 
 
Figura 1 
 
Nas fases de modelagem e resolução podem ocorrer erros. 
 
Ex.: Erro na fase de modelagem: 
 
A variação no comprimento de uma barra de metal sujeita a certa variação de temperatura 
é dado por: 
 (((( ))))20 t. .l ββββαααα ++++====∆∆∆∆ tl 
 
onde: 
material.cada de dilataçãode escoeficiente 
atemperaturt
inicial ocomprimentl
ocompriment do iaçãovarl
0
→→→→
→→→→
→→→→
→→→→∆∆∆∆
ββββαααα
 
 
Exemplo: Calcular a variação no comprimento de uma barra sujeita a 10º C de variação e 
que tenha: 
erimentaisexp
,
,
ml



====
====
====
0000680
0012530
10
ββββ
αααα 
Logo, (((( )))) 01933001000006801000125301 2 ,.,.,.l ====++++====∆∆∆∆ 
 
Os valores de αααα e ββββ foram obtidos experimentalmente com precisão de 10-6. 
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Logo: 
0,001252 < α < 0,001254 
0,000067 < β < 0,000069 
 
Então: (((( ))))
(((( ))))2
2
00,000069.1 .,1. l
00,000067.1 0 0,001252.11. l
++++<<<<∆∆∆∆
++++>>>>∆∆∆∆
100012540 
Logo: 
0,019440 ∆l 0,019220 <<<<<<<< 
 ou 
41001930 −−−−±±±±====∆∆∆∆ ,l 
 
Então vemos que uma imprecisão na sexta casa decimal de α e β, implicou uma imprecisão 
na quarta casa decimal de ∆∆∆∆l. 
 
A precisão do resultado não é só função do modelo matemático, mas também dos dados 
de entrada. 
 
1.1 Erros Absolutos 
Quando se substitui um valor a por outro aproximado a’ (a’≠≠≠≠a), define-se como erro 
absoluto: 
'aa −−−−====∆∆∆∆ 
 
Normalmente como não conhecemos o valor de a, o erro absoluto é indeterminado. 
 
Trabalhamos então com a cota superior ε do erro absoluto, isto é: 
 
ε ≥≥≥≥ ∆∆∆∆ 
 
Assim, podemos dizer que: 
 
εεεεεεεεεεεε ++++≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− ' - ' ou ' aaaaa 
 
e que a’ é valor aproximado de a com erro absoluto não superior a ε. 
 
Ex.: Se a = 3.876,373 e só desejamos a parte inteira a’, o erro absoluto é: 
 (((( ))))373876387633730 ,.. ,a'aa −−−−====−−−−====∆∆∆∆ 
 
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1.2 Erros Relativos 
Chama-se erro relativo cometido sobre um valor a, quando este é aproximado por a’ ao 
quociente positivo: 
 
a
∆∆∆∆
====δδδδ 
 
Como normalmente o valor de a não é conhecido, e é próximo de a’, costuma-se calcular 
também uma cota superior para o erro relativo tal que: 
 
'a
εεεεδδδδ ≤≤≤≤ 
 
Onde ε é uma adequada cota superior de erro absoluto. 
 
A substituição de a por a’ no denominador é justificável se: 
 
'aa ≅ 
 
que é o caso normalmente encontrado na prática. 
 
“Erro relativo tem por objetivo dar uma idéia ao grau de uma influência do erro, no valor 
desejado”. 
 
O erro absoluto não traduz nada, se não soubermos a ordem de grandeza do valor 
calculado. 
 
Ex.: 
373,1
373,3876
=
=
b
a
 
 
Como vemos, o efeito da aproximação de b é muito maior do que de a. 
 
Considerando o erro relativo, teremos uma melhor visão deste efeito. 
 
 Para a: 
410
376,3876
373,0
−−−−<<<<====aδδδδ 
 
 Para b: 
1102
3731
3730
−−−−<<<<==== .
,
,
bδδδδ 
 
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1.3 Erro de Arredondamento 
Diz-se que um valor foi arredondado na posição de ordem n, se todos os algarismos 
significativos de ordem n + 1 em diante forem abandonados de forma que o algarismos de 
ordem n é aumentado de uma unidade, se e somente se, o de ordem n+1 for superior a n. 
 
O arredondamento é feito, por exemplo, em computadores digitais que trabalham com um 
número “d” fixo de algarismos significativos. 
 
Se por exemplo d = 5 e tivermos com um valor igual a: 2,73589 (algarismos significativos). 
 
A diferença entre estes valores é o erro de Arredondamento. 
 
Estes erros podem se propagar cumulativamente,podendo afetar o resultado final. 
 
1.4 Ordem decimal de um algarismo: 
Diz-se que a ordem decimal de um algarismo significativo ai de um número a é m, se o 
resultado quando substituímos ai por 1 e todos os outros algarismos significativos por 
zeros, é 10n. 
 
Ex.: No número 2,718278, a ordem decimal do algarismo significativo de ordem 6 é -5, 
pois: 
 
510
1
0000100
−−−−
====
,
 
 
Quando um número está representado na forma normalizada, a ordem decimal do 
algarismo significativo de ordem i é (–i + t). 
 
Forma Normalizada de um número é a sua representação: 
 
 0, a1, a2, a3,...ad . 10t 
 
Onde d é o número de algarismos significativos e ai, i = (1, 2, ...,d) são os algarismos. 
 
1.5 Algarismos significativos corretos 
Diz-se que um algarismo significativo de ordem “n” (an) de uma aproximação a’ de um 
número a, é algarismo significativo correto, se o erro absoluto de a’ for inferior a 0,5.10m, 
onde m é a ordem decimal desse algarismo. 
 
Com esta definição é possível afirmar que se o número a e sua aproximação a’ tem 
algarismos significativos coincidindo a partir da esquerda até o de ordem i, então o número 
de algarismos significativos corretos é pelo menos (i – 1). 
 
De fato, com a ordem decimal do algarismo significativo de ordem i é –i + t, então, com 
essa coincidência, o erro absoluto deve ser menor que 10-i+t (t se refere a forma 
normalizada) e por isso menor do que 0,5.10-i+t-1, como exemplo temos as aproximações 
2,5 e 2,4 de 2,0. 
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Para ambas existe coincidência até o algarismo significativo de ordem 1, no entanto só a 
segunda aproximação tem um algarismo correto. 
Ex.: 
 1,9999 e 2,05 
 
A aproximação 0,668543 de ....)666,0(3
2
. O algarismo 8 da aproximação não é correto pois: 
 
 0,668543 – 0,666 = 0,00187633 > 0,5.10-3 
 
O número 0,668543 só possui dois algarismos significativos corretos. 
 
Ex.: Seja o número a = 0,000045045. Por um processo numérico foi determinado para o 
mesmo valor a’ = 0,000045270. 
 
Aplicando a definição concluímos que a’ só tem dois algarismos significativos corretos. 
 
Passando para a forma normalizada vem, 
 
 a = 0,45045.10-4 e a’ = 0,45270.10-4 
 
1.6 Cálculo dos erros absoluto e relativo: 
 
Absoluto: 
42
4
10.10.5,0
.10.00225,0000000225,0'
−−−−−−−−
−−−−
<<<<∆∆∆∆
========−−−−====∆∆∆∆ aa
 
 
Relativo: 
2
4
4
10.5,0
10.45045,0
10.00225,0
−−−−
−−−−
−−−−
<<<<====δδδδ 
 
Se considerarmos o erro absoluto, da ordem de 10-6, podemos ter uma idéia errônea do 
número de algarismos significativos. No entanto, com a apreciação do erro relativo, 
podemos perceber porque sua precisão não vai além dos dois primeiros algarismos 
significativos. 
 
Teorema 
 
Se o erro relativo da aproximação a’ de a for maior que 0,5x10-s, então a’ tem pelo menos 
“s” algarismos significativos corretos. 
 
Demonstração 
 
Seja a =µ.10t, onde µ é a mantissa da forma normalizada de a. 
Suponhamos que o algarismo significativo a’s correspondente a as na aproximação a’ não é 
correto. 
 
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Devemos ter então pela fórmula (A) 
 
tsx,a'a ++++−−−−>>>>∆∆∆∆====−−−− 1050 
 
Como 
ttx a 1010 <<<<==== µµµµ , devemos ter: 
 
 
tx
a
aa
−−−−>>>>
−−−−
==== 105,0
'δδδδ o que por hipótese é absurdo. 
 
Então o algarismo significativo a’s é correto e, portanto, todos os de ordem inferior. 
 
C.Q.D. 
Regras a serem observadas: 
 
1. Fixar o número “d” de algarismos significativos para o cálculo. 
2. Se os dados iniciais têm mais que “d” algarismos significativos, arredondá-los na 
posição do algarismo de ordem d; caso contrário preencher as posições restantes 
com zero 
3. As operações de adição e subtração deverão ser realizadas sempre com dois 
números de cada vez. Antes de iniciá-la arredondar o número de menor valor 
absoluto, de modo que a mais baixa ordem decimal deste último possa ser a mesma 
do outro. 
4. Efetuar as operações de multiplicação normalmente e arredondar o produto de 
forma que ele passe a ter “d” algarismos significativos. 
5. Efetuar as operações de divisão até que o quociente tenha “d” algarismos 
significativos. 
6. Potenciações com expoentes inteiros deverão ser realizadas como multiplicações de 
números, dois a dois. 
7. Valores irracionais como “pi”, e valores de funções elementares como, “sen x”, “cos 
x”, “ex”, etc., usados como dados, deverão ser tomados com “d” algarismos 
corretos. 
8. Potenciações com expoentes não inteiros deverão ser realizadas por meio de 
logaritmos com “d” algarismos significativos. 
 
EX.: Calcular o valor de: pipipipi++++
−−−−++++
322
3
2
2010003370536712
,
),(,x,
, retendo 3 algarismos 
significativos. 
 
As operações na ordem em que devem ser efetuadas são: 
 
0,2013 
 
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• multiplicamos inicialmente 0,201x0,201 = 0,040401, arredondamos o resultado para 
0,0404 
• multiplicamos agora 0,0404x0,201 = 0,0081204, arredondamos para 0,00812 
 
1,5367x0,00337 
 
• arredondamos inicialmente os fatores para: 1,54 e 0,00337 
• efetuamos: 1,54x0,00337 = 0,0051898 
• arredondamos o resultado para: 0,00519 
• extraindo a raiz quadrada vem: 1,41 
 
2 
 
003370536712 ,x,++++ 
 
• arredondar o produto na ordem decimal -2 : (1,5367x0,00337 = 0,0051) 
 
0,01 
• adicionar: 1,41 + 0,01 = 1,42 
 
32010003370536712 ,,x, −−−−++++ 
 
• arredondar a potência na ordem decimal -2: 
 
0,01 
 
• efetuar a subtração: 
 
1,42 – 0,01 = 1,41 
 
22,32 
 
• - achar o logaritmo decimal de 2,00 
 
 Log10 2 = 0,301 
• - multiplicá-lo pelo expoente 
 
 0,301x2,32 = 0,69832 
• - arredondar o resultado para 3 algarismos significativos. 
 
 0,698 
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• encontrar o número que tem este valor por logaritmo decimal. 
 
 5,00 
 
pipipipi 
• - arredondando para 3 algarismos significativos, vem: 
 
 3,14 
 
pi + 22,32 
• somando diretamente, vem: 
 
 5,00 + 3,14 = 8,14 
 
Cálculo final 
 
 1730148
411
,
,
,
==== 
1.7 Erro de Truncamento 
São erros provenientes da utilização de processo que deveriam ser infinitos ou muito 
grandes para a determinação de um valor, e que, por razões práticas, são truncados. 
 
Em outras palavras, erro de truncamento de um processo infinito é o erro absoluto do 
resultado obtido com um número finito de operações. 
1.8 Seqüências – Convergências 
Uma seqüência de números reais nada mais é do que um conjunto finito ou infinito de 
valores ordenados, x1, x2, x3,..., xn, representado por {xn}, onde xn é chamado termo 
geral. 
 
Dizemos que a seqüência é infinita se contiver um número infinito de elementos. Neste 
caso podemos dizer que ela converge ou não para um limite, de acordo com a definição. 
 
Definição: 
 
 Uma seqüência infinita de números {xn} converge para um valor x, se: 
 
0====−−−−
∞∞∞∞→→→→
xxLim n
n 
 
 E nesse caso x é o limite da seqüência. 
 
Quando a seqüência é truncada em xn, o erro de truncamento é dado por: 
 
xxe nn −−−−==== 
 
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Ex.: 
A seqüência {xn} com n
xn
1
==== converge para o limite “0” porque: 
 
001 ====−−−−====
∞∞∞∞→→→→ n
Lim
n 
 
Exemplo: 
 
Dado x = 0,15, calcular o valor de ex. 
Empregando um processo numérico que consiste em substituir a função ex por um 
polinômio. 
 
Usando a seqüência: 
 
....
!
x
!
x
xe x
32
1
32
++++++++++++≈≈≈≈ 
 
Limitando até 4 termos, temos: 
 
(((( )))) (((( )))) 16181251
6
150
2
1501501
32
150
,
,,
,e , ====++++++++++++≈≈≈≈ 
 
Sabendo-seque 
4150 10501618342431 −−−−±±±±==== x,,e , , isto é, os algarismos até a 8ª casa 
decimal são exatos, e comparando este valor com o calculado pelo processo numérico, 
verificamos que apenas 5 algarismos significativos são exatos. 
 
Neste caso temos o erro 
 
0000217435,01618125000,11618342435,1 =− 
Escrevemos então: 
 
Erro de truncamento = 
(((( )))) (((( )))) 00002174350
3
150
2
1501501
32
150
,
!
,
!
,
,e , ≤≤≤≤







++++++++++++−−−− 
Que representamos por: 
000030161811150 ,,e , ±±±±==== 
1.9 Propagação de erros 
Exemplos de como os erros vistos podem influenciar o desenvolvimento de um cálculo. 
 
Supondo-se que as operações abaixo sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos 
significativos e fazendo-se: 
 
x1 = 0,3491x104 e x2 = 0,002345x100 
 
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Temos: 
 
(x2 + x1) – x1 = (0,002345x100 + 0,3491x104) – 0,3491x104 = 0,3491x104 – 0,3491x104 
(4 dígitos) = 0,000 
 
x2 + (x1 – x1) = 0,002345x100 + (0,3491x104 – 0,3491x104) = 0,002345 + 0,000 = 
0,002345 
 
Os dois resultados são diferentes quando não deveriam ser. A causa foi o arredondamento 
feito na adição (x1 + x2) cujo resultado tem 8 dígitos e a máquina apenas 4. 
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2 MATRIZES 
 
Definimos como matriz de ordem mxn, ao conjunto de números aij (i = 1, 2,...,m), (j = 1, 
2, ...,n) dispostos em m linhas e n colunas. 
 
Ex.: 












mnmm
n
n
a.....aa
.........................
a...aa
a...aa
21
22221
11211
 
 
Os elementos aij podem ser números, funções ou mesmo matrizes. 
 
Quando m = n temos uma matriz quadrada. 
 
Quando n = 1 temos uma matriz coluna: 
 
























m
1
m a
...
a
a
 ou 
a
....
a
a
2
1
21
11
 
 
Quando m = 1, temos uma matriz linha: 
 [[[[ ]]]]na...a,a,a 1131211 [[[[ ]]]]na,...,a,a,a 321 
 
Definições 
 
• Uma matriz é um conjunto de números, função ou matrizes. 
 
• Um determinante é uma representação simbólica de um polinômio perfeitamente 
definido. 
 
• Matriz Diagonal é aquela em que aij ≠≠≠≠ 0, para i = j. 
 










33
22
11
00
00
00
a
a
a
 
 
 
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• Matriz Unitária é uma matriz quadrada, na qual todos os elementos são nulos exceto 
os da diagonal principal que são todos iguais a 1. A matriz unitária de ordem n é 
representada por In. 
 
In = 












100
010
001
.....
..................
....
....
 
 
• Matriz Triangular é a matriz na qual aiJ = 0 para i < j (triangular inferior) ou aiJ = 0 
para i > j (triangular superior). 
 
Ex.: 
(((( ))))inferior triangular 
a....aa
................
....aa
....a
nnnn












21
2212
11
0
00
 
 
(((( ))))superior triangular 
a
.................
a....a
a....aa
nn
n
n












000
0 222
11211
 
 
• Matriz Simétrica é toda matriz quadrada onde aiJ = aJi. Os elementos são iguais 
simetricamente à diagonal principal. 
 
A = AT 
 
• Matriz Anti-simétrica é toda matriz em que se tem aij = -aji. 
 
A = -AT 
 
• Matriz Transposta de uma matriz A de ordem mxn é a matriz At de ordem nxm, 
obtida permutando-se as linhas pelas colunas. 
 
• Matriz Zero é aquela em que todos os seus elementos são nulos. 
 
 
 
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Igualdade de Matrizes 
 
Duas matrizes A = (aij) e B = (bij) de ordem mxm, são iguais se e somente se aij = bij. 
 
Adição 
 
Tendo-se as matrizes A = (aij) e B = (bij) de ordem mxn, a adição de A com B será: 
 
C = A + B = (aij + bij) = (cij) 
Ex.: 
 






====





++++





8
13
2
15
2
11
3
8
2
5
1
8
0
7
0
3
6
8
1
7
2
4
3
5
 
 
Subtração 
 
C = A – B = (aij - bij) = (cij) 
 
Ex.: 





 −−−−
====





−−−−





40
0
2
3
3
2
2
5
1
7
0
7
0
3
6
8
1
7
2
4
3
5 3
 
 
 
Produto de uma Matriz por um número 
 
 
Se A = (aij) é uma matriz mxn e c um número, temos: 
 
 
c.A = A.c = B = 










mnm
n
a.c....a.c
............
a.c...a.c
1
111
 
 
As seguintes leis são válidas: 
 
 
dadecomutativi ABBA
vidadedistributi 
cBcA)BA(c
bAaAA).ba(
idadeassociativ C)BA()CB(A
++++====++++



++++====++++
++++====++++
++++++++====++++++++
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 15 de 55 
2.1 Propriedades dos Determinantes 
1- Um determinante não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas e vice-versa. 
 
2- Trocando-se as posições de duas linhas ou colunas, o determinante fica multiplicado por 
(-1). 
 
3- Transpondo-se uma linha ou uma coluna para a primeira posição, o determinante fica 
multiplicado por (-1)k-1 onde k representa a ordem da linha ou coluna transposta. 
 
4- Transpondo-se um elemento para a primeira posição, o determinante fica multiplicado 
por (-1)k+m onde k representa a ordem da coluna e m a ordem da linha que se cruzam 
no elemento transposto. 
 
5- O determinante é nulo se todos os elementos de uma linha ou uma coluna são nulos. 
 
6- O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si. 
 
7- Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o 
determinante fica, também, multiplicado por este número. 
 
8- O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os 
respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número. 
 
 
Consideremos um determinante ∆∆∆∆ e suponhamos que o elemento a transpor seja amk. 
 
Passando a m-ésima linha para a primeira posição e designando ∆∆∆∆’ o novo determinante, 
temos: 
 
(((( )))) ∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆ −−−− .' m 11 
 
Passando a k-ésima coluna para a primeira posição, no determinante ∆∆∆∆’ e designando por 
∆∆∆∆’’ o novo determinante, temos: 
 
(((( )))) 'k'' .∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆ −−−−11 
 
Substituindo o valor de ∆’ vem: 
 
:vem ,(-1) comoe ,.)(.).()( -2mkmk'' 1111 211 ====∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆−−−−−−−−====∆∆∆∆ −−−−++++−−−−−−−− 
 
(((( )))) ∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆ ++++ .mk'' 1 
 
Toda matriz que tem duas linhas ou colunas iguais tem determinante nulo. 
 
Trocando-se a posição destas linhas ou colunas o seu valor deveria trocar de sinal. 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 16 de 55 
Logo: 
 ∆∆∆∆ = -∆∆∆∆ 
 2∆∆∆∆ = 0 
 ∆∆∆∆ = 0 
 
2.2 Menor Complementar 
 
Chama-se de menor complementar do elemento aij (Mij), ao determinante de ordem n – 1 
extraído de [A], pela supressão da linha e da coluna em que está situado o elemento aij. 
 
 










====
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
Ex.: 
 O menor complementar de a32 é: 
 
2321
1311
32
aa
aa
M ==== 
 
2.3 ComplementoAlgébrico de um elemento (COFATOR) 
 
Dado o determinante 












nnnn
n
n
a.....aa
.........................
a...aa
a...aa
21
22221
11211
 
 
Chama-se complemento algébrico ao elemento jia e representa-se por ijA ao 
determinante obtida pela expressão: 
 
(((( )))) ijjiij MA ++++−−−−==== 1 
 
Consideremos a matriz quadrada: 
 
[A] = 












nnnn
n
n
a.....aa
.........................
a...aa
a...aa
21
22221
11211
 
Material sujeito a correções 
 Página 17 de 55 
2.4 Matriz Adjunta 
 
Definimos como matriz adjunta de [A] e representamos por [[[[ ]]]]'A , a matriz cujo elemento 
genérico é jiij Aa ==== onde jiA representa o complemento algébrico do elemento aij do 
determinante associado da matriz [A]. 
 
Nestas condições, a matriz adjunta de [A] será: 
 
[ ] ='A












nnnn
n
n
A.....AA
.........................
A...AA
A...AA
21
22212
12111
 
 
Como podemos observar, a matriz adjunta pode ser obtida, em outras palavras, a partir da 
matriz transposta ([At]), construindo-se uma nova matriz, onde os elementos são os 
correspondentes complementos algébricos dos elementos do determinante |At|. 
 
Ex.: 
 Achar a matriz adjunta de: 
[[[[ ]]]] 





====
2221
1211
aa
aa
A 
 
[[[[ ]]]] 





====
2212
2111
aa
aa
At 
 
Logo a adjunta de A será: 
 
[[[[ ]]]] 





−−−−
−−−−
====
1121
1222
a a
aa 
'A 
 
2.5 Matriz Inversa 
Teorema: Para qualquer matriz quadrada A, temos: 
 
[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]IAAA A ======== −−−−−−−− 11 Equação (1) 
 
Onde (I) é a matriz unitária. 
 
Definimos como matriz inversa [A] e representamos por [A-1], a matriz tal que seja 
satisfeita a expressão (1) . 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 18 de 55 
Para obtermos [A-1], comecemos por calcular [A].[A’]. Considerando os teorema de Laplace 
e Cauchy, resulta: 
 












nnnn
n
n
a.....aa
.........................
a...aa
a...aa
21
22221
11211
 x 












nnnn
n
n
A.....AA
.........................
A...AA
A...AA
21
22212
12111
 = 














A.....
.........................
...A
...A
00
00
00
 
 
Pelo que obtivemos, vamos em seguida efetuar o produto: 
 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] IA'A.A ==== 
Supondo que φφφφ≠≠≠≠A , temos: 
 












====
































100
010
001
21
22212
12111
2
22221
11211
....
..............
....
....
A
A
....
A
A
A
A
................
A
A
....
A
A
A
A
A
A
....
A
A
A
A
x
aaa
....
aaa
aaa
nnnn
n
n
nnnnn
n
n
 
 
Desta ultima igualdade concluímos que: 
 
[A-1] = 




















A
A
....
A
A
A
A
................
A
A
....
A
A
A
A
A
A
....
A
A
A
A
nnnn
n
n
21
22212
12111
 ou [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]A'A.A 1−−−− 
 
Ex.: 
 Achar a matriz inversa de: 
[[[[ ]]]] 





====
2221
1211
aa
aa
A 
Cálculo de A 
 
21122211 a.aa.aA −−−−==== 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 19 de 55 
Cálculo de [At] 
 
[[[[ ]]]] 





====
2212
2111
aa
aa
At (poderia ser a transposta da adjunta) 
 
Cálculo de [A’] 
[[[[ ]]]] 





−−−−
−−−−
====
1121
1222
a a
aa 
'A 
Obtenção de [A-1] 
 
[[[[ ]]]] 





−−−−
−−−−
−−−−
====
−−−−
1121
1222
12212211
1 1
a a
aa 
.
aaaa
A 
 
 
A matriz inversa desempenha importante papel na resolução de sistemas de equações 
lineares. 
 
Seja o sistema: 







====++++++++++++
====++++++++++++
====++++++++++++
nnnnnn
nn
nn
bxa......xaxa
...... ...... ...... ...... ........ .....
bxa.....xa xa
bxa.....xax.a
2211
22222121
11212111
 
 
Sob forma de produto matricial: 
 [[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]bXA ==== 
 [[[[ ]]]][[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]bAXAA 11 −−−−−−−− ==== 
 
Donde: 
 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]bAX 1−−−−==== 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 20 de 55 
Ex.: 
 Resolver o sistema: 
 
 
22
32
6
====−−−−++++
====++++−−−−
====++++++++
zyx
zyx
zyx
 
 
 
Sob forma matricial temos: 
 










====




















2
3
6
1
2
1
z
y
x
1- 2
1 1-
1 1 
 
 
Resultando: 
 




















====










−−−−
2
3
6
1
2
1 1
1- 2
1 1-
1 1 
z
y
x
 
 
 
Cálculo do Determinante (|A|) de A: 
 
 
77221411
1
2
1
========−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−++++++++==== A olog ,)()(
 211- 2
1-21 1-
1 11 1 
 
 
 
Cálculo da transposta: 
 
[[[[ ]]]]










====
1-1 
 21-
1 2
At
1
1
1
 
 
Cálculo da adjunta: 
 
[[[[ ]]]]









−−−−
====
3-1-5 
1 2- 3
 2 3
'A
1
 
Material sujeito a correções 
 Página 21 de 55 
Cálculo da Inversa: 
 
 
[[[[ ]]]]









−−−−
====
−−−−
3-1-5 
1 2- 3
 2 3
A
1
7
11
 
 
 
Donde a solução do sistema será: 
 
 



















−−−−
====










2
3
61
7
1
 . 
3-1-5 
1 2- 3
 2 3
z
y
x
 
 
 
Ou seja: 
 










====










3
2
1
z
y
x
 
Material sujeito a correções 
 Página 22 de 55 
2.6 Cálculo do Determinante 
 
A solução pelo teorema de Laplace torna-se inconveniente no cálculo do determinante de 
ordem superior a quarta devido ao grande número de operações envolvidas no processo. 
 
Para contornarmos esta dificuldade usamos um processo que utiliza a 8ª propriedade 
anteriormente citada, que permite a redução sucessiva da matriz a uma matriz triangular, 
através de operações elementares.Seja: 
 










====
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 
 
 
Multiplicando-se os elementos da 1ª linha por 
11
1
11
31
11
21
a
a
a
a
a
a n
,.....,,
, e subtraindo estes resultados 
dos elementos das linhas 2, 3, 4, ......., n, resulta: 
 
















====
nn
)(
n
)(
n
)()(
n
)()(
n
a......a
...............
a......a
a......a
a......aa
A
1
2
1
3
1
32
1
2
1
22
1
11211
0
0
0
 
 
Onde: 
 
.......................................................................
a
a
aaa.,,.........
a
a
aaa
a
a
aaa.,,.........
a
a
aaa
linhas, das elementos Demais
a
a
aaa.,,.........
a
a
aaa
pivô, elemento do abaixocoluna Primeira 
nn
)(
n
)(
nn
)(
n
)(
n
n
)(
n
)(
11
21
13
1
3
11
31
1232
1
32
11
21
12
1
2
11
21
1222
1
22
11
1
111
1
1
11
21
1121
1
21
−−−−====−−−−====
−−−−====−−−−====
−−−−====−−−−====
 
Material sujeito a correções 
 Página 23 de 55 
Exemplo: Calcular o determinante da matriz a seguir: 
 










====
312
625
421
A
 
 
Multiplicando a 1ª linha por 
11
21
a
a
 e subtraindo os resultados das multiplicações de todos os 
elementos dos elementos respectivos da 2ª linha vem: 
 
etc... 
 
 
ll .então , 
a
a )(
2










−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−










⇒⇒⇒⇒========
312
1480
421
312
625
20105
5
1
5 1
1
11
21
 
 
Multiplicando a 1ª linha por 
11
31
a
a
 e subtraindo os resultados dos respectivos elementos da 3ª 
linha vem: 
 










−−−−−−−−
−−−−−−−−====










−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
530
1480
421
834122
1480
421
)()()(
 
 
 
Multiplicando a 2ª linha por 










−−−−−−−−
−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====
−−−−
−−−−
====
530
25530
421
8
3
8
3
22
32
,
a
a
 
 
 
Subtraindo-se esta segunda linha obtida da terceira linha, teremos: 
 
 










−−−−−−−−====










−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
25000
1480
421
2555330
480
421
,)),()(())()((
 
 
Logo: 
 
225081 −−−−====−−−−====∆∆∆∆ ,x)(x 
 
Material sujeito a correções 
 Página 24 de 55 
3 VALORES E VETORES CARACTERÍSTICOS 
 
Equações homogêneas do tipo: 
 







====++++++++++++
====++++++++++++
====++++++++++++
========
nnnnnn
nn
nn
xxa...........xaxa
............................................................
xxa...........xaxa
xxa...........xaxa
AX
λλλλ
λλλλ
λλλλ
2211
22222121
11212111
0
 
 
São frequentemente encontradas em certos tipos de problemas físicos, onde λλλλ é um 
parâmetro indeterminado. 
 
Representando matricialmente teremos: 
 [[[[ ]]]]XAX λλλλ==== 
 
que tem solução não trivial se o determinante 
 
01221
11
====
−−−−
−−−−
−−−−
====−−−−∆∆∆∆
)a( a a
...................................................
a .......).........a( a
.......a..........a )a(
I
nnn2n1
2n
1n12
λλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ 
 
que conduz à equação polinomial de grau n em λλλλ : 
 
02211 ====++++++++++++++++ −−−−−−−− nnnn C.............CC λλλλλλλλλλλλ 
 
que é conhecida como equação característica da matriz. 
 
Os valores de λλλλ que satisfazem a equação característica da matriz (raízes da equação) A 
são os valores característicos de A. 
 
Dos valores de λλλλ , obtemos os valores dos vetores X , (conjuntos de soluções), que são 
denominados Vetores Característicos de A. 
 
 
Exemplo: Determinar os valores e vetores próprios do sistema: 
 
31
21
11
2
2
10
x10x x x 
xx 10x x 
xx 2xx
32
32
32
λλλλ
λλλλ
λλλλ
====++++++++
====++++++++
====++++++++
 
Material sujeito a correções 
 Página 25 de 55 
Teremos: 
 
 
(((( )))) (((( )))) 0610710
10
102
10
3
====++++−−−−−−−−−−−−====
−−−−
−−−−
−−−−
====∆∆∆∆ λλλλλλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ
)( 1 2
1 )( 
1 2 )(
 
 
∴
 





====
====
====
⇒⇒⇒⇒




−−−−
====−−−−
8 
 
 
 
3
2
1
9
13
2
1
3
10
λλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ 
 
 
Para 





====++++
====++++
====++++++++
====
0 3x -x 2x
0x 3x- 2x
0x 2x3x-
 
321
321
321
131λλλλ 
 
Fazendo 13 ====x teremos 1 e 1 ,1
)1(
3
)1(
2
)1(
1 ============ xxx 
 
 
Para 





====++++++++
====++++++++
====++++++++
====
0x x 2x
0x x2x
0x x2x 
 9
321
321
321
2λλλλ 
 
Fazendo 13 ====x teremos 13
1
3
1 2
3
2
2
2
1 ====−−−−====−−−−====
)()()( xe x ,x
 
 
Para 





====++++++++
====++++++++
====++++++++
====
0 2x x 2x
0x x2x
0x x2x
 
321
321
321
2
2
83λλλλ 
 
Fazendo 13 ====x teremos 112
3 3
3
3
2
3
1 ========−−−−====
)()()( xe x ,x
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 26 de 55 
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
O estudo é limitado aos sistemas não homogêneos de “n” equações a “n” incógnitas. 
4.1 Métodos Diretos ou de Eliminação 
São métodos que determinam a solução de um sistema de equações lineares com um 
número finito de operações. Eles atuam diretamente sobre as equações. 
4.1.1 Método de Gauss 
Consiste em transformar a matriz dos coeficientes das incógnitas em uma matriz triangular 
superior, a partir de uma matriz estendida (adicionando-se o vetor independente como 
última coluna), através de operações elementares. 
 
 
 
 
........................................................................................................
........................... 
........................... 
)(
)1(
1
)1(
)1(1
)2(
2
)2(
21
)2(
)1(23
)2(
232
)1(
1
)1(
11
)1(
)1(13
)1(
132
)1(
121
n
nn
n
nn
n
nnn
nnnn
nnnn
bx
bxax
bxaxaxax
bxaxaxaxax
====
====++++
====++++++++++++++++
====++++++++++++++++++++
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
 
onde os índices superiores dos coeficientes correspondem ao número de modificações 
efetuadas em cada elemento. 
 
Neste caso, a solução do sistema é imediata, mediante a substituição regressiva. 
 
Formando a matriz estendida, justapondo-se o vetor independente, teremos: 
 












====
nnnnn
n
n
b a..............a a
.........................................b a..............a a
b a..............a a
A
21
222221
111211
εεεε 
 
Começamos as transformações anulando os elementos da coluna 1 abaixo do elemento 
11a , ao qual chamaremos de elemento Pivô. 
 
Gauss prevê dois passos: 
 
1. Dividir 1l pelo elemento pivô, o que nos dará uma nova linha 
)1(
1l e 
2. Para anular o elemento 21a é bastante somar 1l a 
)(l 11 pré-multiplicada por 21a−−−− . 
 
De um modo geral para se anular o elemento )n...........i(ai 21 ==== , executamos a operação 
vetorial: 
Material sujeito a correções 
 Página 27 de 55 
 
n)2.........(i com lall )(ii)(i ====−−−−==== 1111 , 
 
que zera todos os demais elementos da coluna 1 abaixo do elemento pivô. 
 
Desenvolvida para os elementos de todas as linhas equivale a: 
 
 



====
++++====
−−−−====
n.,,.........i
,n,.........j
para aaaa )( jijij
)(
ij 2
111
2
1
, 
 
 
Ao fim da 1ª eliminação, a matriz εεεεA está transformada em: 
 
 














====
(1)
n
)1()1(
2
(1)
2
)1(
2
)1(
22
(1)
1
)1(
1
)1(
12
b .............. 0
.........................................
b .............. 0
b .............. 1
nnn
n
n
aa
aa
aa
Aεεεε 
A segunda eliminação consiste em anular os elementos da segunda coluna, abaixo de 
)(a 122 , 
denominado pivô desta eliminação. 
 
 
1. Dividimos 
)(l 12 pelo pivô, obtendo 
)(l 22 ; 
2. Para anular o elemento 
)(a 132 somamos 
)(l 13 a 
)(l 22 pré-multiplicada por 
)(a 132 
 
 
De um modo geral para se anular o elemento )n...........i(a
)(
i 312 ==== , executamos a 
operação vetorial: 
n)3.........(i com )3(2)1(2)1()2( ====−−−−==== lall iii , 
que se desenvolvida para os elementos de todas as linhas equivale a: 
 



====
++++====
−−−−====
n.,,.........i
,n,.........j
para aaaa )( j
)(
i
)(
ij
)(
ij 3
121
2
1
2
12
, 
 
Podemos agora generalizar os procedimentos da 1ª e 2ª eliminação para uma eliminação 
genérica “K” que consiste em anular os elementos de 
)k(
kC 1−−−− abaixo de 
)k(
kka
1−−−−
 
(denominado pivô da k-ésima eliminação. 
 
Material sujeito a correções 
 Página 28 de 55 
Fazemos inicialmente a divisão: 
 
)k(
kk
)k(
k)K(
k
a
ll 1
1
−−−−
−−−−
==== , 
 
 
que desenvolvida elemento a elemento de 
)k(
kl , equivale a: 
 
 



++++====
====
====
−−−−
−−−−
1
1
1
1
n...,,.........kj
n...,,.........k
......
a
a
a )k(
kk
)k(
kj)k(
kj . 
 
 
Se ‘k’ for menor ‘n’, fazemos as operações vetoriais: 
 
 
nkilall kkkikkiki ,,.........1 com )()1()1( ++++====−−−−==== −−−−−−−− 
 
 
Que desenvolvida elemento a elemento, é: 
 
 





++++====
++++====
−−−−====
−−−−====
−−−−−−−−
,n,.........ki
.,nk,........j
,n,.........k
aaaa kkj
k
ik
k
ij
k
ij
1
1
11
 para )()1()1()(
 
 
Exemplo: 
 
12234
2323
2
22
4321
4321
4321
4321
====++++++++++++
====−−−−−−−−++++
====−−−−++++
====++++++++++++
x xxx
4 xxxx
1 x x 2x-x 
7 x x xx
 
 
Obtendo a matriz entendida, vem: 
 












−−−−−−−−
−−−−−−−−
121234
42323
11211
71122
4
3
2
1
 
l
l
l
l
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 29 de 55 
1ª Eliminação: 
 
3,5 0,5 0,5 1 1 ).1(
 
21-010
5,65,35,410
5,25,15,120
5,35,05,011
 
4
3
1
2/
(1)
1
)1(
12
)1(
4
)1(
13
)1(
3
)1(
12
)1(
2
1
)1(
1
====












−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−







−−−−====
−−−−====
−−−−====
====
l
lll
lll
lll
ll
 
 
2ª eliminação: 
 
25,1 75,0 0,75 1 0 ))(1(
75,00,250,7500
25,575,225,300
25,175,075,010
5,35,05,011
 
)1(
)1(
)2/(
)2(
2
)2(
2
)1(
4
)2(
4
)2(
2
)1(
3
)2(
3
)1(
2
)2(
2
−−−−−−−−−−−−====−−−−












−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−







−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
−−−−====
l
lll
lll
ll
 
3ª eliminação: 
75,0 3586,0 75,0 0 0 ))(75,0(01907,0000
15238,0100
25,175,075,010
5,35,05,011
 
)75,0(
)25,3/(
)3(
3
)3(
3
)2(
4
)3(
4
)2(
3
)3(
3
−−−−−−−−====−−−−












−−−−
−−−−
−−−−







−−−−−−−−====
−−−−====
llll
ll
 












−−−−
−−−−







−−−−==== 01000
15238,0100
25,175,075,010
5,35,05,011
 
)1907,0/()3(4)4(4 ll
 
 
O sistema então ficará: 
 
0 
15238,0 
25,1 75,0 75,0 
5,3 5,0 5,0 
4
43
432
4321
====
====−−−−
====++++−−−−
====++++++++++++
x
xx
xxx
xxxx
 
 
Que substituindo regressivamente teremos: 
 
105,015,025,3
20)75,0(1)75,0(25,1
110)5238,0(
0
1
2
3
4
====−−−−−−−−−−−−====
====−−−−++++====
====++++====
====
xxx
x
x
x
 
 
É importante observar que nenhum dos elementos que servem de pivô numa eliminação ‘k’ 
Material sujeito a correções 
 Página 30 de 55 
pode ser igual a zero. Se isto ocorrer devemos trocar de posição as (n-k+1) linhas abaixo 
de kl (inclusive), de modo que tais elementos não sejam nulos. 
 
É óbvio que isto não altera a solução do sistema, porque apenas trocaremos duas equações 
de posição. 
 
Quando este procedimento não for possível porque todos os elementos abaixo do pivô são 
nulos, i sistema é singular. 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 31 de 55 
4.1.2 Método de Gauss-Jordan 
 
Se transformarmos a matriz do sistema em uma matriz identidade, a solução do sistema se 
apresentará espontaneamente no novo vetor ‘b’ (dos temos independentes). 
 
)n(
nn
)n(
)n(
bx
............
b......x
b.........x
====
====
====
22
11
 
 
O método consiste em modificas as eliminações do método de Gauss, para anular em cada 
eliminação ‘k’, elementos abaixo e acima do elemento pivô (elemento da diagonal 
principal). 
 
Com um procedimento inteiramente análogo ao que nos levou às expressões anteriores (no 
método de Gauss),temos para o método de Gauss-Jordan: 
 
Fazemos inicialmente a divisão: 
 
)k(
kk
)k(
k)K(
k
a
ll 1
1
−−−−
−−−−
==== , 
 
que desenvolvida elemento a elemento de 
)(k
kl , equivale a: 
 



++++====
====
====
−−−−
−−−−
1
1
1
1
n...,,.........kj
n...,,.........k
......
a
a
a )k(
kk
)k(
kj)k(
kj . 
 
 
Se “k” for menor “n”, fazemos as operações vetoriais: 
 



≠≠≠≠
====
−−−−====
−−−−−−−−
ki com
n,,.........i
 com lall )k(k)k(ik)k(iki
111
 
 
Que desenvolvida elemento a elemento, é: 







≠≠≠≠
++++====
++++====
−−−−====
−−−−====
−−−−−−−−
kj
,n,.........ki
.,nk,........j
.,ni,........k
para aaaa )k(kj
)k(
ik
)k(
ij)k(
ij 1
1
1
11
 
 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 32 de 55 
Exemplo: Usemos o mesmo exercício anterior: 
 
12234
2323
2
22
4321
4321
4321
4321
====++++++++++++
====−−−−−−−−++++
====−−−−++++
====++++++++++++
x xxx
4 xxxx
1 x x 2x-x 
7 x x xx
 
 
Obtendo a matriz entendida, vem: 
 












−−−−−−−−
−−−−−−−−
121234
42323
11211
71122
 
 
1ª Eliminação: 
 
 
21-010
5,65,35,410
5,25,15,120
5,35,05,011
 
)4(
)3(
)1(
2/
)1(
12
)1(
4
)1(
13
)1(
3
)1(
12
)1(
2
1
)1(
1












−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−







−−−−====
−−−−====
−−−−====
====→→→→
lll
lll
lll
ll
 
 
2ª Eliminação: 
 
 
75,025,00,7500
25,575,225,500
25,175,075,010
25,225,025,101
 
)1(
)1(
)2/(
)2(
2
)1(
4
)2(
4
)2(
2
)1(
3
)2(
3
)1(
2
)2(
2
)2(
2
)1(
1
)2(
1












−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−







−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
−−−−====
−−−−====
→→→→
lll
lll
ll
lll
 
 
3ª Eliminação: 
 
 
01428,1000
15238,0100
21428,1010
19047,0001
 
)75,0(
)25,5/(
)75,0(
)25,1(
)3(
3
)2(
4
)3(
4
)2(
3
)3(
3
)3(
3
)2(
2
)3(
2
)3(
3
)2(
1
)3(
1











 −−−−







−−−−−−−−====
−−−−====
−−−−−−−−====
−−−−====
→→→→
lll
ll
lll
lll
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 33 de 55 
4ª Eliminação: 
 
01000
10100
20010
10001
 
1428,0/
)5238,0(
)1428,1(
)9047,0(
)3(
4
)4(
4
)4(
4
)3(
3
)4(
3
)4(
4
)3(
2
)4(
2
)4(
4
)3(
1
)4(
1



















====
−−−−====
−−−−====
−−−−−−−−====
→→→→ ll
lll
lll
lll
 
Logo: 
0
1
2
1
4
3
2
1
====
====
====
====
x
x
x
x
 
 
Valem as mesmas observações feitas para o método anterior, referentes à troca das linhas 
caso o pivô na k-ésima eliminação for zero e se esta troca não for possível o sistema é 
singular. 
 
Material sujeito a correções 
 Página 34 de 55 
4.1.3 Condensação Pivotal 
 
Os métodos de eliminação são exatos exceto pelos erros de arredondamento que podem 
conduzir a soluções errôneas. 
 
Este efeito pode ser diminuído e mesmo evitado mediante a condensação pivotal. 
 
Para isto, rearrumamos as equações, colocando na linha da posição do pivô a linha abaixo 
da linha do pivô com o maior elemento absoluto na coluna do pivô. 
 
A condensação pivotal tem por finalidade: 
 
1. Minimizar o erro de arredondamento; 
2. Evitar a divisão por zero e 
3. Testar a singularidade do sistema. 
 
Exemplo: Resolver o sistema 
 
3212525
63710636
38403
321
321
321
 x x x
x x x
 xx x 
====++++++++
−−−−====++++++++
====++++++++
 
 
Sabendo-se que a solução é (1;-1 e 1) e resolvendo sem a condensação pivotal vem: 
 










−−−−
3212525
63710636
384031
 
 
1ª Eliminação: 










−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−






−−−−====
−−−−====
====
918988700
1431143320
384031
25
36
1
1
13
1
3
1
12
1
2
1
1
1
)()(
)()(
)(
lll
lll
/ll
 
 
2ª Eliminação: 










−−−−−−−−





−−−−−−−−====
−−−−====
510035115398800
5715571610
384031
70
2
2
2
1
3
2
3
1
2
2
2 ,,
l)(ll
)/(ll
)()(
)(
 
Material sujeito a correções 
 Página 35 de 55 
3ª Eliminação: 
 















−−−−==== 997060100
5715571610
384031
5115323
3
3 ,
,,
/(ll )(
 
Donde: 
 





−−−−====−−−−−−−−====
====−−−−====
====
11595507785139970604038
07785199706057165715
997060
1
2
3
,,x,xx
,,x,,x
,x
 
 
Fazendo a condensação pivotal: 
 









 −−−−
3212525
384031
63710636
 
 
1ª eliminação 
 










−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−






−−−−====
−−−−====
====
75751397611680
753980556390555600
7511944409444421
25
36
1
13
1
3
1
12
1
2
1
1
1
,,,
,,,
,,,
lll
lll
/ll
)()(
)()(
)(
 
 
2ª Eliminação: 
 










−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−





⇔⇔⇔⇔
753980556390555600
7575139711680
75119444409444421
32
,,,
,,,
,,,
ll 
 
3ª Eliminação: 
 










−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−





−−−−−−−−====
−−−−====
8113439811343900
10405110405010
7511944440944421
055560
61168
2
2
1
3
2
3
1
2
2
2
,,
,,
,,,
l),(ll
),/(ll
 
 
Dividindo 3l por (-39,81134), vem: 
 










−−−−−−−−





−−−−====
−−−−====
1100
10405110405010
384031
8113439
61168
1
3
2
3
1
2
2
2 ,,
),/(ll
),/(ll
 
Material sujeito a correções 
 Página 36 de 55 
 
Donde: 





====−−−−++++−−−−====
−−−−====++++−−−−====
====
1194440944442751
1104050104051
1
1
2
3
,,,x
,,x
x
 
 
Que é uma solução mais adequada que a anterior. 
Material sujeito a correções 
 Página 37 de 55 
4.1.4 Refinamento da Solução 
 
É obvio que mesmo com a condensação pivotal, pode persistir algum erro devido aos 
arredondamentos. 
 
Podemos, então, fazer um refinamento da solução. 
 
Seja o vetor abaixo a solução obtida: 
 
),x..,,.........x ,x(x )n()()()( 102010 ==== 
 
e a solução exata seja: 
 
)()( Exx 00 ++++==== 
 
onde a 
)(E 0 é o vetor correção as solução. 
 
Portanto devemos ter: 
 
n
)(
n
)(
nnn
)()(
n
)(
n
)(
n
)(
nn
)()()(
)(
n
)(
nn
)()()(
b)Ex(a.................)Ex(a)Ex(a
.................................................................................................
b)Ex(a.................)Ex(a)Ex(a
b)Ex(a.................)Ex(a)Ex(a
====++++++++++++++++++++++++
====++++++++++++++++++++++++
====++++++++++++++++++++++++
000
2
0
22
0
1
0
11
2
00
2
0
2
0
222
0
1
0
121
1
00
1
0
2
0
212
0
1
0
111
 
 
Equações 1 
 
 
Se substituirmos o valor de 
)(x 0 no sistema original, teremos: 
 
)(
n
)(
nnn
)(
n
)(
n
)()(
nn
)()(
)()(
nn
)()(
bxa.................xaxa
.................................................................
bxa.................xaxa
bxa.................xaxa
000
22
0
11
0
2
0
2
0
2220
121
0
1
0
1
0
212
0
111
====++++++++++++
====++++++++++++
====++++++++++++
 
 
 Equações 2 
 
Material sujeito a correções 
 Página 38 de 55 
Subtraindo as equações 2 das equações 1 e definindo 
)()( bb 00 −−−−====ββββ , vem: 
 
)(
n
)(
nnn
)(
n
)(
n
)()(
nn
)()(
)()(
nn
)()(
)Ea.................EaEa
..................................................................
Ea.................EaEa
Ea.................EaEa
000
22
0
11
0
2
0
2
0
222
0
121
0
1
0
1
0
212
0
111
ββββ
ββββ
ββββ
====++++++++++++
====++++++++++++
====++++++++++++
 
Resolvendo este último sistema, encontramos um vetor x , aproximação de 
)(E 0 , e 
podemos ter: 
)()( xxx 10 ++++==== 
 
até que tenhamos valores que satisfaçam o erro requerido. 
 
Exemplo: Fazer o refinamento do problema anterior resolvido sem condensação pivotal e se 
tivéssemos encontrado raízes (-5,1195; 1,07785 e 0,99706): 
 
Calculamos o vetor residual 
)( 0ββββ : 
 
5447811099706012077851511595525
9426862997060707785110611595536
389970604007785131159551
0
3
0
2
0
1
,),(),(),(b
,),(),(),(b
),(),(),(b
)(
)(
)(
−−−−====++++++++−−−−====
−−−−====++++++++−−−−====
====++++++++−−−−====
 
 
Então: 
 
544781425447811032
057320942686263
03838
0
33
0
3
0
22
0
2
0
11
0
1
,),(bb
,),(bb
bb
)()(
)()(
)()(
====−−−−−−−−====−−−−====
−−−−====−−−−−−−−−−−−====−−−−====
====−−−−====−−−−====
ββββ
ββββ
ββββ
 
 
O vetor 
)(E 0 será obtido pela resolução do sistema: 
 
5447814212525
057320710636
0403
0
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
1
,EEE
,EEE
EEE
)()()(
)()()(
)()()(
====++++++++
−−−−====++++++++
====++++++++
 
 
Trocando-se as 1ª pela 2ª linhas (condensação pivotal), vem: 
 









 −−−−
5447814212525
04031
057320710636
,
,
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 39 de 55 
36111 /ll ====









 −−−−
5447814212525
04031
00159019444709444421
,
,,,
 
 
1ª eliminação: 










−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
584531421397111680
00159080556390555600
00159019444709444421
,,,
,,,
,,,
 
Fazendo a condensação pivotal, vem: 
 
 










−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
00159080556390555600
584531421397111680
00159019444709444421
,,,
,,,
,,,
 
 
 
2ª eliminação: 
 










−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
117850799743900
09341210481010
00159019444709444421
,,
,,
,,,
 
 
 
 










−−−−−−−−
−−−−
==== 002960100
09341201098110
00159019444709444421
799743933
4
3 ,
,
,,,
,/ll )()(
 
 
 






====−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−====++++−−−−====
====
9535950930829444420029601944470001590
093082002960109810093412
002960
1
1
1
2
1
3
,),(,)),(,(,x
,),(,,x
,x
)(
)(
)(
 
 
Logo a solução aproximada é: 
 





====++++====
−−−−====−−−−====
====++++−−−−====
000021002960997060
015231093082077851
837640953595115955
3
2
1
,,,x
,,,x
,,,x
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 40 de 55 
4.1.5 Inversão de Matrizes 
Um algoritmo de execução extremamente simples para inverter uma matriz )(mxnA pode 
ser obtido por uma adaptação do método de Gauss-Jordan. 
 
Seja a matriz 3x3: 
 










====
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 
Onde 0≠≠≠≠A e a sua inversa (B) é: 
 










====
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
 
Chamemos os 3 vetores coluna da matriz inversa de 321 be b ,b . Por definição de inversa 
teremos: 
 










====




















====
100
010
001
333231
232221
131211
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
x
aaa
aaa
aaa
A
 
 
Quando consideramos a formação da primeira coluna da matriz identidade pela 
multiplicação de 1bx A , podemos dizer que: 
 










====




















====
0
0
1
31
21
11
333231
232221
131211
b
b
b
x
aaa
aaa
aaa
A
 
 
Logo, para determinar a primeira coluna 1b , da matriz inversa, basta resolver o sistema: 
 
(((( ))))t1eonde ,ebx A 00111 ======== 
 
O que valeu para a primeira coluna vale para as outras duas. Assim para obter 2b e 3b , 
resolvemos os sistemas: 
(((( ))))
(((( ))))t3
t
2
eonde ,ebx A
eonde ,ebx A
100
010
33
22
========
========
 
Os três sistemas podem ser resolvidos pelo método de Gauss-Jordan. 
 
Como eles têm a mesma matriz (A), poderemos resolvê-los simultaneamente, pois as 
eliminações feitas em A, seriam exatamente as mesmas se as resoluções fossem feitas 
Material sujeito a correções 
 Página 41 de 55 
separadamente. As únicas modificações estarão nos termos independentes das incógnitas, 
o que contornamos trabalhando com uma matriz estendida (3x6). 
 










====∆∆∆∆
100
010
001
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
E
 
 
Fazemos então as eliminações de Gauss-Jordan na matriz E∆∆∆∆ , ao fim das quais o vetor 
solução 1b aparecerá na 4ª coluna, 2b na 5ª e 3b na 6ª. 
 
Exemplo: Seja a matriz a inverter (já acrescida da matriz identidade): 
 










−−−− 100011
010342
001131
3
2
1
l
l
l
 
1ª Eliminação: 
 










−−−−−−−−
−−−−−−−−====
−−−−====
====
101140
012120
001131
1
2
1
1
13
1
3
1
12
1
2
1
1
1
)()(
)()(
)(
l)(ll
 lll
 /ll
 
 
2ª Eliminação: 
 










−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−−====
−−−−====
−−−−====
123300
05015010
05125201
4
2
3
2
2
1
3
2
3
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
,,
,,
lll
 )/(ll
 lll
)()()(
)()(
)()()(
 
 
3ª Eliminação: 
 










−−−−
−−−−
−−−−−−−−
====
−−−−−−−−====
−−−−====
3333306666601100
1666601666601010
83333016666050001
3
50
52
2
3
3
3
3
3
2
2
3
2
3
3
2
1
3
1
,.
,,
,,,
 /ll
 l),(ll
 l,ll
)()(
)()()(
)()()(
 
 
Logo a matriz inversa é: 
 










−−−−
−−−−
−−−−−−−−
3333306666601
1666601666601
83333016666050
,,
,,
,,,
. È óbvia a generalização do processo. 
 
Material sujeito a correções 
 Página 42 de 55 
5 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARESO estudo é limitado aos sistemas não homogêneos de “n” equações a “n” incógnitas. 
 
5.1 Métodos Iterativos 
Métodos Iterativos consistem em se escrever o sistema bAX ==== sob a forma: 
 
dxFx ++++==== )( 
 
Onde F é uma matriz (m x n) e d é um vetor (
nRd ∈∈∈∈ ). 
 
Deste modo, partindo de uma aproximação inicial 
)0(x , fazemos as iterações: 
 
...................................
( 2
( 1
)1()2(
)0()1(
dxFx
dxFx
a
a
++++====
++++====
 
 
e de um modo geral, se fizermos, ‘K’ iterações, obteremos a solução aproximada na 
iteração ‘k+1’, pela fórmula de recorrência: 
 
dxFx kk ++++====++++ )( )()1( 
 
Se: 
 
0)( ====−−−−
∞∞∞∞→→→→
xx k
k
Lim 
 
diremos que a seqüência de aproximações 
)(kx converge para x . Caso contrário, diremos 
que a seqüência diverge. 
 
Material sujeito a correções 
 Página 43 de 55 
5.2 Método de Jacobi 
O método de Jacobi consiste na escolha da seguinte matriz F : 
 
)...............(1
......................................................................
)...............(1
)...............(1
)0(
1)1(1
)0(
22
)0(
11
)1(
)0(
2
)0(
323
)0(
1212
22
)1(
2
)0(
1
)0(
313
)0(
2121
11
)1(
1
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−−====
nnnnn
nn
n
nn
nn
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
 
 
Exemplo: Seja o sistema: 
 



====++++
============−−−−
32
1x e 1x é solução cuja ,12
21
2121
xx
xx
 
 
Solução: 
 
Transformando de acordo com a disposição anterior, teremos: 
 
)3(
2
1
)1(
2
1
12
21
xx
xx
−−−−====
++++====
 
 
Fazendo 021 ======== xx , teremos: 
 
1ª Iteração: 
 
5,1)03(
2
1
5,0)01(
2
1
)1(
2
)1(
1
====−−−−====
====++++====
x
x
 
 
2ª Iteração: 
 
25,1)5,03(
2
1
25,1)5,11(
2
1
)2(
2
)2(
1
====−−−−====
====++++====
x
x
 
 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 44 de 55 
3ª Iteração: 
 
825,0)25,13(
2
1
125,1)25,11(
2
1
)3(
2
)3(
1
====−−−−====
====++++====
x
x
 
 
4ª Iteração: 
 
9375,0)125,13(
2
1
9125,0)825,01(
2
1
)4(
2
)4(
1
====−−−−====
====++++====
x
x
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 45 de 55 
5.3 Método de Gauss-Siedel 
É análogo ao método de Jacobi, com uma alteração esperada, em função da seguinte 
modificação: 
 
Quando na 1ª iteração calculamos 
)1(
2x , já dispomos do valor de 
)1(
1x que 
pode, portanto, ser usado. 
 
Analogamente, podemos proceder assim para as demais iterações. 
 
Teremos então na 1ª iteração e genericamente até a 1+k -ésima: 
 
)...............(1
............................................................................................
)...............(1
)...............(1
)(
1)1(1
)1(
22
)1(
11
)1(
)(
2
)(
323
)1(
1212
22
)1(
2
)(
1
)(
313
)(
2121
11
)1(
1
k
nn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
kkk
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
−−−−−−−−
++++++++++++
++++++++
++++
−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−−====
 
 
Exemplo: 
 
Seja o mesmo sistema anteriormente visto pelo método de Jacobi: 
 



====++++
====−−−−
32
12
21
21
xx
xx
 
 
Onde: 
)3(
2
1
)1(
2
1
12
21
xx
xx
−−−−====
++++====
 
 
1ª Iteração: 
 
251503
2
1
5001
2
1
1
2
1
1
,),(x
,)(x
)(
)(
====−−−−====
====++++====
 
 
 
 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 46 de 55 
2ª Iteração: 
973,0)125,13(
2
1
125,1)25,11(
2
1
)2(
2
)2(
1
====−−−−====
====++++====
x
x
 
3ª Iteração: 
 
0160,1)9690,03(
2
1
9690,0)9375,01(
2
1
)3(
2
)3(
1
====−−−−====
====++++====
x
x
 
 
4ª Iteração: 
 
996,0)008,13(
2
1
008,1)0160,11(
2
1
)4(
2
)4(
1
====−−−−====
====++++====
x
x
 
 
 
5.4 Estudo da Convergência 
 
Os métodos iterativos convergem sejam quais forem os valores iniciais adotados, desde 
que em cada uma das equações a soma dos valores absolutos dos ija seja menor que 1. 
 
),........2,1( para 1
1
ni
a
an
ij
j ii
ij
====<<<<∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
 
ou: 
),........2,1( para 11
1
niaa
n
ij
j
ij ====<<<<∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
 
 
Exemplo: 
22103 2
442 202 
9 2 10
321
321
321
====++++++++−−−−
====−−−−++++
====++++++++
xxx
xxx
xxx
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 47 de 55 
6 Decomposição LU 
 
Inicialmente veremos em que condições podemos decompor uma matriz quadrada A = (aij) 
no produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior. 
6.1 Teorema LU 
 
Seja A = (aij) um matriz quadrada de ordem n, e Ak o menor principal, constituído das k 
primeiras linhas e k primeiras colunas de A assumimos que det (Ak) ≠ 0 para k = 1, 2,..., n 
–1. Então existe uma única matriz triangular superior U = (uij) tal que LU = A. Além disso, 
det (A) = u11u12...umn. 
 
Prova 
Para provar este teorema usaremos a indução sobre n. 
1. Se n = 1, temos que: a11 = 1. a11 = 1.u11 unicamente, e assim A = LU, onde L = 
1 e U = u11. Além disso, det (A) = u11. 
2. Assumimos que o teorema é verdadeiro para n = k – 1, ou seja, que toda matriz de 
ordem k – 1 é decomponível no produto LU nas condições do teorema. 
3. Devemos mostrar que a decomposição pode ser feita para uma matriz de ordem n 
= k, seja, então, A uma matriz de k. Partimos esta matriz em sub-matrizes da 
forma: A = 




−−−−
kk
t
k
as
rA 1
, onde r e s são vetores coluna, ambos com k 
– 1 elementos. 
 
Note que a matriz Ak – 1 é de ordem n k – 1 e satisfaz as hipóteses do teorema. Portanto 
pela hipótese de indução esta pode ser decomposta na forma 111 −−−−−−−−−−−− ==== kkk ULA 
Utilizando as matrizes Lk-1 e Uk-1, formamos: 
 
 L = 




−−−−
1
01
t
k
m
L
 ; U = 




−−−−
kk
k
u
pU
0
1
 
 
Onde m e p são vetores coluna, ambos com k – 1 componentes (mt é a transposta de m). 
 
m, p e ukk são desconhecidos. Assim, impondo que a matriz A seja decomponível em LU 
vamos tentar determiná-los. 
 
Material sujeito a correções 
 Página 48 de 55 
Efetuando o produto LU, segue que: 
 
L = 




−−−−
1
01
t
k
m
L
 * U = 




−−−−
kk
k
u
pU
0
1
 ⇒ 




++++
====
−−−−
−−−−−−−−−−−−
kk
t
k
t
kkk
upmUm
pLUL
LU
1
111
 
 
Estudemos agora a equação LU=A, isto é: 
 






====





++++
−−−−
−−−−
−−−−−−−−−−−−
kk
t
k
kk
t
k
t
kkk
as
rA
upmUm
pLUL 1
1
111
 
 
Da igualdade acima concluímos que: 
11 −−−−−−−− kk UL = 1−−−−kA ; 
pLk 1−−−− = r ; 
1−−−−k
tUm = 
ts ; 
kk
t upm ++++ = kka . 
 
Observe que a primeira equação é válida para a hipótese de indução e, portanto Lk-1 e Uk-1 
são univocamente determinadas. Além disso, nem Lk-1 e nem Uk-1 são singulares (ou Ak-1 
também seria singular, contrariando a hipótese). Assim de: 
pLk 1−−−− = r ⇒⇒⇒⇒ ;1
1 rLp k −−−−−−−−==== 
1−−−−k
tUm = 
ts ⇒⇒⇒⇒ 1
1
−−−−
−−−−
==== k
tt Usm 
kk
t upm ++++ = kka ⇒⇒⇒⇒pmau
t
kkkk −−−−==== 
 
Portanto p, m e ukk são determinados univocamente. 
Finalmente, 
Det(A) = det(L).det(U) 
Det(A) = 1.det(Uk-1).Ukk 
Det(A) = u1.u2....uk-1.ukk, Completando a prova. 
Material sujeito a correções 
 Página 49 de 55 
6.2 Esquema prático para a decomposição LU 
 
Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular as 
inversões de Lk-1 e Uk-1. Entretanto, na prática podemos calcular L e U simplesmente 
aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A. 
Seja então, 
















−−−−
1...
0.:
:1
0...01
0...001
)1(21
.
.3231
21
.
nnnn lll
ll
l
 * 
















nnu
uu
uuu
uuuu
0......0
:.:
...00
...0
...
.
3333
232322
13131211
 = 
















nnnnn
n
n
n
αααααααααααααααα
αααααααααααααααα
αααααααααααααααα
αααααααααααααααα
...
:::::
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
 
 
Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das 
linhas de U e os elementos das colunas de L. Isto pode ser feito efetuando o produto de L 
por U. 
 
1. Produto da 1ª linha de L pelas colunas de U igualadas aos elementos da 1ª coluna 
de A 
1.u11 + 0.0 + ...+ 0.0 = a11 
 1.u11 = a11 ⇒⇒⇒⇒ u11 = a11 
 1.u12 = a12 ⇒⇒⇒⇒ u12 = a12 
 ..... ..... .... .... .... 
 1. u1n = a1n ⇒⇒⇒⇒ u1n = a1n 
Generalizando, 
 u1j = a1j, j = 1, 2, ...,n 
 
2. Produto de todas as linhas de L (da 2ª até nª), pela 1ª coluna de U igualada com os 
elementos da 1ª coluna de A (abaixo da diagonal principal): 
11
21
21211121
u
alaul ====⇒⇒⇒⇒====
 
11
31
31311131
u
alaul ====⇒⇒⇒⇒====
 
... ... ... ... 
11
1
11111
u
alaul nnnn ====⇒⇒⇒⇒====
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 50 de 55 
Generalizando, 
ni
u
al ii ,...,2,
11
1
1 ========
 
 
3. Produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U (da 2ª até nª), igualadas aos 
elementos de 2ª linha de A (da diagonal principal em diante) 
 
22221221 0*0...0*0.1 auul ====++++++++++++++++ 
1221222222221221 ulauauul −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++ 
 1321232323231321 ulauauul −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++ 
 ... ... ... ... 
 nnnnnn ulauauul 1212222121 −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++ 
 
Generalizando, 
njulau jjj ,...3,12122 ====−−−−====
 
 
4. O produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U igualando 
aos elementos da 2ª coluna de A (dada diagonal principal em diante): 
 
22
123132
323222321231 U
UlalaUlUl −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++
 
22
124142
424222421241 U
UlalaUlUl −−−−====⇒⇒⇒⇒====++++
 
22
1212
22222121 U
UlalaUlUl nnnnnn
−−−−
====⇒⇒⇒⇒====++++
 
 
 
ni
U
Ulal iii ,...,3,
22
1222
2 ====
−−−−
====
 
 
Se continuarmos calculando a 3ª linha de U, 3ª coluna de L, 4ª linha de U, 4ª coluna de L, 
etc..., teremos de fórmulas gerais: 
Material sujeito a correções 
 Página 51 de 55 









>>>>
−−−−
====
≤≤≤≤−−−−====
∑∑∑∑
∑∑∑∑
−−−−
====
−−−−
====
ji
u
ula
l
jiulau
jj
i
k
kjikij
ij
i
k
kjikijij
 ,
 , 
1
1
1
1
 
 
Aplicação à solução de problemas 
 
Seja o sistema Ax = b de ordem n, onde A satisfaz as condições da decomposição LU. 
Então o sistema Ax = b pode ser escrito como: 
 
Ax = b 
 
Logo: 
 
LUx = b 
Fazendo 
 
Ux = y 
 
 
A solução se reduz a: Ly = b 
 
Resolvendo o sistema anterior, encontramos y e substituindo y e m Ux = y encontramos x. 
Material sujeito a correções 
 Página 52 de 55 
Exemplo de decomposição LU 
 
Dado o sistema: 
 
 
2 z - 3y 
3 2z x 
4 z - 3y 2





====
====++++
====++++x
 
 
Com esse sistema formamos duas matrizes 
 
A = 










−−−−
−−−−
130
201
132
 e B = 










2
3
4
 
 
Temos a fórmula Ax = B 
 
Então fazemos A= L*U, Sendo: 
 
L = Matriz Triangular inferior (lower) de diagonal unitária 
 U= Matriz Triangular Superior (upper) 
 
L = 










1
01
001
3231
21
ll
l
 e U = 










33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
 
 
Multiplicando as matrizes L e U e igualando à matriz A, conseguimos obter todas as 
incógnitas das matrizes L e U: 
 
L = 










1
01
001
3231
21
ll
l
 * U = 










33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
 = A= 









−−−−
−−−−
130
201
132
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 53 de 55 
# Primeira linha de L multiplicando a primeira coluna de U: (i≤≤≤≤ j) 
(1* u11) + (0 * 0) + (0 * 0) = a11 
u11 + 0 +0= 2 
u11 =2 
#Primeira linha de L multiplicando a segunda coluna de U: (i≤≤≤≤ j) 
(1* u12) + (u13 * 0) + (0 * 0) = a12 
u12 + 0 +0= 3 
u12 =3 
#Primeira linha de L multiplicando a terceira coluna de U: (i≤≤≤≤ j) 
1* u13) + (u23 * 0) + (u33 * 0) = a13 
u13 + 0 +0= -1 
u13 = -1 
#Segunda linha de L multiplicando a primeira coluna de U: (i >>>> j) 
(l21 * u11) + (0 * 0) + (0* 0) = a21 
2 l21 = 1 
l21 = 1/2 
#Segunda linha de L multiplicando a segunda coluna de U: (i≤≤≤≤ j) 
(l21 * u12) + (u22 * 1) + (0* 0) = a22 
(3 * ½) + u22 = 0 
3/2 . u22 = 0 
u22 = -3/2 
#Segunda linha de L multiplicando a terceira coluna de U: (i≤≤≤≤ j) 
(l21 * u13) + (1* u23) + (0 * u33) = a23 
(1/2 *(-1)) + (u23 + 0) = 2 
(-1/2* u23) + 0 = 2 
u23 = 2 + l/2 
u23 = 2
14 ++++
 
u23 = 5/2 
 
 
 
 
Material sujeito a correções 
 Página 54 de 55 
#Terceira linha de L multiplicando a primeira coluna de U: (i >>>> j) 
(l31 * u11) + (l23* 0) + (0 * 0) = a31 
(l31* 2) + 0 + 0 = 0 
l31 = 0 
#Terceira linha de L multiplicando a segunda coluna de U: (i >>>> j) 
(l31* u12) + (l32* u22) + 0 * 0 = a32 
(0/2 * 3) + l32 - 3/2 + 0 = 3 
(-3/2. l32) + 0 = 3 
-3.l32 = 3*2 
-3l32 = 6 
l32= 6/3 
l32 = 2 
#Terceira linha de L multiplicando a terceira coluna de U: (i≤≤≤≤ j) 
(l31* u13) + (l32* u23) + (1 * u33) = a32 
(0/2 * 3) + 2 - 5/2 + u33 = -1 
0-10/2 u33 = -1 
u33 = -1+5 
u33 = 4 
 
Matriz Fatorada: 
 
L = 










−−−− 120
012/1
001
 * U = 










−−−−
−−−−
400
2/52/30
132
 = A= 










−−−−
−−−−
130
201
132
 
 
Voltando à fórmula Ax = B, como A = L* U obtemos LUx = B 
 
Agora substituiremos Ux por Y e obtemos a fórmula LY = B, onde 
 
L = 










−−−− 120
012/1