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EP 01 – 2017-2 – Polinômios Pré-Cálculo 1 de 8 CEDERJ EP 01 Pré-Cálculo ______________________________________________________________________ Caro aluno Este é o nosso primeiro Exercício Programado, que chamaremos de EP. O primeiro de muitos que vamos trabalhar juntos. Espero que as orientações dadas nos EPs e os exercícios resolvidos e propostos o ajude nessa caminhada que hoje se inicia. Nosso primeiro tópico será: POLINÔMIOS. Você encontrará esse conteúdo no Livro de Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 3, aulas 16, 17 e 18. Saber fatorar polinômios é muito útil para os nossos Cursos de Cálculo. Só para lembrar: um polinômio com coeficientes reais, na variável 𝒙, é uma expressão do tipo: 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≥ 0 e 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛. Assim como operamos com os números, podemos também operar com os polinômios. É importante praticar a divisão entre polinômios. No Módulo 03, páginas 20 a 23, você poderá ler sobre o Algoritmo de Euclides e estudar os exemplos de divisão de polinômios, ali apresentados. O Dispositivo de Briot – Rufini é um algoritmo eficiente e prático para a determinação do quociente )( xq e do resto )( xr na divisão euclidiana de um polinômio )( xp por ax . Leia sobre isso na página 33 do Módulo 03. O material básico de apoio “FATORAÇÃO” (disponível na Semana 1 da plataforma) o leva a saber fatorar alguns tipos de expressões matemáticas, simplificar alguns quocientes de expressões matemáticas, resolver alguns tipos de equações polinomiais. Vamos lá fazer essa revisão ou se for o caso, vamos lá aprender resultados que o permitirá a fatorar polinômios, assunto desse EP01. O material básico de apoio “BINÔMIO DE NEWTON” ” (disponível na Semana 1 da plataforma) apresenta a fórmula para elevar um binômio (𝑎 + 𝑏) a qualquer expoente inteiro 𝑛 ≥ 0. Essa fórmula ajuda no desenvolvimento, simplificação e fatoração de expressões algébricas. O material básico de apoio “COMPLETAR QUADRADO” (disponível na semana 1 da plataforma) apresenta a técnica de completar quadrado do trinômio do 2º. grau, uma técnica de simplificação de expressões bastante útil, baseada nos seguintes produtos notáveis: 222 2)( bababa 222 2)( bababa . Estude esse material, pois a experiência nos tem mostrado que muitos alunos têm sérias dificuldades com essa técnica e temos certeza que os exemplos o ajudarão a compreender esse assunto e permitirá que você estude o tópico “Polinômios” com mais tranquilidade. ______________________________________________________________________ Nos resultados a seguir, você encontrará expressões como: fatores lineares, fatores quadráticos, fatorar um polinômio, decompor em fatores lineares e ou fatores quadráticos irredutíveis. Vamos explicar o que essas expressões significam. EP 01 – 2017-2 – Polinômios Pré-Cálculo 2 de 8 Fatores lineares: são polinômios de grau 1, da forma 𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0. Fatores quadráticos: são polinômios de grau 2, da forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0. Fatorar um polinômio: é uma forma resumida de dizer "escreva o polinômio como produto de fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis". Decompor em fatores lineares e ou fatores quadráticos irredutíveis: significa fatorar o polinômio, ou seja, escrever o polinômio como produto de fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis. Exemplos de polinômios fatorados: 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 15𝑥2 + 6𝑥 − 24 = (3𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥2 − 5𝑥 − 4 = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(𝑥 + 4) 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 3 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3), onde (𝑥2 + 2𝑥 + 3) é irredutível. 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 3𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 − 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 5𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)3(2𝑥 − 1) Como estamos interessados em fatorar polinômios, vamos lembrar alguns resultados importantes que nos permitirá encontrar a fatoração de polinômios. Resultado 1: "Seja 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 um polinômio na variável 𝑥 , onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 e 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛. Dizemos que um número real é uma raiz do polinômio )( xp se, e somente se, 0)( p ". ______________________________________________________________________ Resultado 2: "Todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 e 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛, se decompõe em fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis". ______________________________________________________________________ Resultado 3: Em especial, vamos trabalhar com a fatoração do polinômio quadrático, polinômio de grau 2, cxbxaxp 2)( onde, IR,, cba , com 0a . Vamos, inicialmente, resolver a equação 02 cxbxa onde, IR,, cba , com 0a . As possíveis soluções dessa equação são raízes do polinômio cxbxaxp 2)( . Multiplicaremos os dois membros da equação por a : 022 caxbaxa , que é o mesmo que 022 caxabxa . Completando o quadrado na variável x : 𝑎2𝑥2 + 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐 = 0 ⟺ (𝑎2𝑥2 + 𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 4 ) − 𝑏2 4 + 𝑎𝑐 = 0 ⟺ EP 01 – 2017-2 – Polinômios Pré-Cálculo 3 de 8 (𝑎𝑥 + 𝑏 2 ) 2 − 𝑏2 4 + 𝑎𝑐 = 0 ⟺ (𝑎𝑥 + 𝑏 2 ) 2 = 𝑏2 4 − 𝑎𝑐 ⟺ (𝑎𝑥 + 𝑏 2 ) 2 = 𝑏2−4𝑎𝑐 4 Atenção: Caso você não lembre como se completa o quadrado, veja o texto "Completando o Quadrado", disponível na Semana 1 da plataforma. Da igualdade (𝑎𝑥 + 𝑏 2 ) 2 = 𝑏2−4𝑎𝑐 4 segue que: I) Se ,042 cab a equação dada não tem solução, pois, (𝑎𝑥 + 𝑏 2 ) 2 ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ e, portanto, (𝑎𝑥 + 𝑏 2 ) 2 nunca será igual a um número negativo. Neste caso o polinômio cxbxaxp 2)( é irredutível em IR , não pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau 1 , com coeficientes reais. II) Se ,042 cab então (𝑎𝑥 + 𝑏 2 ) 2 = 0 , donde 0 2 b xa e, portanto a b x 2 . Neste caso a b x 2 é a solução da equação dada e o polinômio cxbxaxp 2)( tem duas raízes reais iguais, e se fatora da seguinte forma: 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) = 𝑎 (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) 2 III) Se ,042 cab então: (𝑎𝑥 + 𝑏 2 ) 2 = 𝑏2−4𝑎𝑐 4 ⟺ 𝑎𝑥 + 𝑏 2 = ± √𝑏2−4𝑎𝑐 2 ⟺ 𝑎𝑥 = − 𝑏 2 ± √𝑏2−4𝑎𝑐 2 ⟺ 𝑎𝑥 = −𝑏± √𝑏2−4𝑎𝑐 2 ⟺ 𝑥 = −𝑏± √𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 Neste caso, a equação dada tem duas soluções reais distintas: 𝑥1 = −𝑏− √𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 e 𝑥2 = −𝑏+ √𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 O polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 têm duas raízes reais distintas e se fatora da seguinte forma: 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) ______________________________________________________________________ Resultado 4: "Todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1, n ímpar e 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛, tem pelo menos uma raiz real". ______________________________________________________________________ Resultado 5: "Se é uma raiz inteira do polinômio, 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 e 𝑎𝑖 ∈ ℤ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛, então é um divisor do termo independente 0a ". ______________________________________________________________________ EP01 – 2017-2 – Polinômios Pré-Cálculo 4 de 8 Resultado 6: "Se 𝑝 𝑞 , onde 𝑝 e 𝑞 são números inteiros, 𝑞 ≠ 0 , 𝑝 e 𝑞 primos entre si, é uma raiz do polinômio p(x) = anx n + an-1x n-1 +⋯+ a1x + a0 onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 , 𝑎𝑖 números inteiros, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛 , então 𝑝 é um divisor do termo independente 𝑎0 e 𝑞 é um divisor do coeficiente 𝑎𝑛 ". ______________________________________________________________________ Resultado 7: "O resto da divisão de um polinômio 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 𝑎 é 𝑝(𝑎)". ______________________________________________________________________ Resultado 8: "Um polinômio 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 𝑎 se, e somente se, 𝑝(𝑎) = 0". ______________________________________________________________________ Resultado 9: "Se 𝑥1 , 𝑥2, …… . , 𝑥𝑛 são raízes de um polinômio de grau 𝑛 , 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 , então 𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… . (𝑥 − 𝑥𝑛)". ______________________________________________________________________ Resultado 10: "Um polinômio 𝑝(𝑥) , com 𝑔𝑟(𝑝(𝑥)) ≥ 𝑛 é divisível pelos binômios (𝑥 − 𝑥1) , (𝑥 − 𝑥2) , … . (𝑥 − 𝑥𝑛), onde 𝑥1 , 𝑥2, …… . , 𝑥𝑛 são todos distintos entre si, se, e somente se, 𝑝(𝑥) é divisível pelo produto (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… . (𝑥 − 𝑥𝑛)". ______________________________________________________________________ Vamos fatorar, em ℝ, alguns polinômios! Exemplo 1 Fatore, em ℝ , o polinômio 𝑝(𝑥) = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 3. Solução: Para fatorar 𝑝(𝑥) precisamos conhecer as suas raízes. As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são os divisores do termo independente −3 , que são: −1 , +1 , −3 , +3. Note que 𝑝(−1) = 0 ; 𝑝(1) = 0 ; 𝑝(−3) = −72 ; 𝑝(3) = 120 Portanto, 𝑝(𝑥) tem somente duas raízes inteiras, que são 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1 Se 𝑥 = −1 é uma raiz de 𝑝(𝑥) então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − (−1) = 𝑥 + 1 . Se 𝑥 = 1 é uma raiz de )( xp então )( xp é divisível por 𝑥 − 1. Logo, 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 𝑥2 − 1. Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥2 − 1 , obtemos 𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 1)(4𝑥 + 3). EP 01 – 2017-2 – Polinômios Pré-Cálculo 5 de 8 Assim a fatoração procurada é 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(4𝑥 + 3). ______________________________________________________________________ Exemplo 2 Fatore, em ℝ , o polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3 . Solução: O polinômio 𝑝(𝑥) desse exemplo 2, tal qual o polinômio do exemplo 1 , também não é um polinômio mônico, isto é, o coeficiente do seu termo de mais alto grau não é 1 . Portanto esse polinômio pode admitir raízes racionais, do tipo, 𝑚 𝑛 , com 𝑚 , 𝑛 inteiros, primos entre si, e 𝑛 ≠ 0. Ao invés de começarmos a pesquisar as raízes inteiras de polinômio 𝑝(𝑥) , podemos já pesquisar suas raízes racionais. Neste caso, as possíveis raízes racionais desse polinômio são os divisores do termo independente 3 , que são: −1 , +1 , −3 , +3, divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, que são −1 , +1 , −2 , +2. Assim, as possíveis raízes racionais desse polinômio são: −1 , +1 , −3 , +3 , − 1 2 , 1 2 , − 3 2 , 3 2 . . Observe que aqui também estão incluídas as possíveis raízes inteiras, que também são racionais. • Uma forma de encontrar a fatoração é: Calcular o valor de 𝑝(𝑥) nessas possíveis raízes: 𝑝(1) = 0 ; 𝑝(−1) = −12 ; 𝑝(3) = 60 ; 𝑝(−3) = 0 ; 𝑝 (− 1 2 ) = 15 2 , 𝑝 ( 1 2 ) = 0 , 𝑝 ( 3 2 ) = 9 2 e 𝑝 (− 3 2 ) = 15. Como 𝑝(𝑥) é um polinômio de grau 3 , então já encontramos todas as suas raízes e assim, pelo Resultado 9, 𝑝(𝑥) = 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) (𝑥 − 1 2 ) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(2𝑥 − 1). • Outra forma de encontrar a fatoração é: 𝑝(1) = 0 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 8 ⇒ 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 1). Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 1), 2 3 −8 3 1 2 5 −3 0 Logo, 2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥2 + 5𝑥 − 3); Agora podemos fatorar o trinômio de segundo grau 2𝑥2 + 5𝑥 − 3. Δ = 52 − 4 ∙ 2 ∙ (−3) = 25 + 24 = 49 > 0 , donde a equação 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0 possui duas raízes reais distintas, 𝑥 = −5±√Δ 2∙2 = −5±√49 4 = −5±7 4 , logo, EP 01 – 2017-2 – Polinômios Pré-Cálculo 6 de 8 𝑥1 = −5+7 4 = 2 4 = 1 2 , 𝑥2 = −5−7 4 = −12 4 = −3. Fatorando, 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 2 (𝑥 − 1 2 ) (𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3). Portanto, 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥 − 1)(𝑥 + 3). ______________________________________________________________________ Exemplo 3 O livro do matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, contém uma extensa discussão sobre problemas de herança. Como escreve C. Boyer no livro História da Matemática, as complicadas leis árabes que regiam a divisão de heranças parecem ter encorajado o estudo da álgebra na Arábia. Dentro deste tema, está o seguinte problema: Um pai deixa a seus filhos uma herança de R$ 1 200 000,00. Três deles, renunciando a suas partes, fazem com que cada um dos demais receba, além do que receberia normalmente, um adicional de R$ 90 000,00. Quantos filhos tinha, no total, este pai? Solução: Considerando x o número de filhos, temos que cada um deles deveria receber: x R 00,0002001$ . Como três dos seus filhos renunciaram suas partes, cada um dos demais recebeu: 00,00090$ 00,0002001$ R x R Pensando de outra forma, como três dos seus filhos renunciaram suas partes, a herança foi dividida entre 3x filhos e cada um recebeu: 3 00,0002001$ x R . Portanto, o número de filhos é a solução da equação: 3 00,0002001$ 00,00090$ 00,0002001$ x R R x R Dividindo cada membro da equação por 00,00030 temos: 3 40 3 40 xx . Mas, 0 3 40340 3 40340 3 40 3 40 xx x xx x xx 040)3()340(0 )3( 40)3()340( xxx xx xxx 040301209304033334040 222 xxxxxxxx . EP 01 – 2017-2 – Polinômios Pré-Cálculo 7 de 8 As raízes dessa equação são: 58 2 133 2 1693 12 )40(14)3(3 2 xouxx Portanto, o número de filhos é 8 . E agora, aos exercícios: ______________________________________________________________________ Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor originou a palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe ao certo, originou o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo da Matemática que hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro pede que se divida o número 10 em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, multiplicando cada parte por si mesma, seja igual a 58 ". Resolva-o. ______________________________________________________________________ Exercício 2: Uma fatia com 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um cubo, deixando um volume de 3cm196 . Encontre o comprimento do lado do cubo original. ______________________________________________________________________ Exercício 3: Diga quais dasexpressões abaixo são polinômios: a) 2 2 1 2)( 35 xxxxp b) 5)( xt c) 53)( 2 1 3 1 xxxq d) 32)( 134 xxxxs e) 5 34 )( 3 25 x xx xr . ______________________________________________________________________ Exercício 4: Determine os valores de cba ,, , números reais, que tornam os polinômios )( xp e )( xq iguais: )1()1()1()1()( xxcxxbxxaxp e 53)( 2 xxq . ______________________________________________________________________ Exercício 5: Faça as operações indicadas para identificar os coeficientes do polinômio na variável 𝑥 e diga quais são os seus coeficientes. Para realizar as operações indicadas, use produtos notáveis que são casos particulares do Binômio de Newton. a) 23 )14(2)14( xx b) 44)( xhx . ______________________________________________________________________ EP 01 – 2017-2 – Polinômios Pré-Cálculo 8 de 8 Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios )( xp e )( xq nos seguintes casos: a) 3423)( 345 xxxxxp 12)( 3 xxxq b) 121143)( 2345 xxxxxxp )54()( 22 xxxxq . ______________________________________________________________________ Exercício 7: Determine a , IRa , de modo que o polinômio axaxaxaxp 4)23()12()( 23 seja divisível por 1)( xxq e em seguida, obtenha o quociente da divisão. ______________________________________________________________________ Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios: a) 352)( 2 xxxp b) 352)( 23 xxxxp c) 1)( 4 xxp d) 611692)( 234 xxxxxp e) 158)( 24 xxxp f) 4472)( 234 xxxxxp g) 1)( 4 xxp h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1. ______________________________________________________________________ Exercício 9: Será 3x um fator do polinômio 2187)( 7 xxp ? Justifique sua resposta. ______________________________________________________________________ Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum número racional que seja igual ao seu cubo mais um? ______________________________________________________________________ Bom trabalho!
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