PC 2017 2 EP02 Polinomios Analise de Sinal

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EP 02 – 2017 – 2 – Polinômios – Análise de Sinais Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
EP 02 
Pré-Cálculo 
__________________________________________________________________________________ 
Caro aluno 
Agora que já sabemos fatorar polinômios, vamos analisar o sinal dos polinômios e de expressões que 
envolvem produto, quociente, potência e raiz de polinômios. 
Analisar sinal de expressões que envolvem polinômios nos ajudará, por exemplo, a construir gráficos 
de funções. Em Cálculo I você verá o quanto isso é importante. Cálculo de limites pode depender dessa 
análise. A análise do sinal da derivada de uma função nos dá informações importantes sobre o 
comportamento dessa função. Limite e derivada são temas que serão estudados em Cálculo I. 
Disponibilizamos na plataforma, Semana 2, o texto complementar Módulo (Valor Absoluto) de um 
número real. Estude esse texto, lá você encontra a definição de valor absoluto, a definição geométrica 
de valor absoluto, equações e inequações envolvendo módulo. Os exemplos o ajudarão a esclarecer 
possíveis dúvidas. Compreender a definição do valor absoluto, saber usá-lo, será extremamente 
importante para a construção do gráfico da função cuja lei de formação envolve o valor absoluto. 
A seguir, disponibilizamos informações sobre a Análise de Expressões. Vamos trabalhar?! 
__________________________________________________________________________________ 
Analisando o sinal de expressões. 
Vamos primeiro recordar o que é uma expressão matemática. 
Uma expressão em Matemática é usada quando conectamos elementos de um conjunto por 
operações entre esses elementos. Por exemplo: 
3
5−𝜋
 , (√3
4
− 2) ∙
1
7
. 
Quando são colocadas letras na expressão, as letras podem ser variáveis ou constantes e é preciso 
sempre ficar claro em que conjunto universo, podemos escolher elementos para colocar no lugar da(s) 
letra(s) para avaliar a expressão. Uma expressão algébrica na variável 𝑥 ∈ 𝑈 , que podemos denotar 
por 𝐸(𝑥) ou por qualquer outra letra no lugar de 𝐸 , é uma expressão em que aparecem uma ou mais 
das seguintes operações algébricas: soma, produto, subtração, divisão, potenciação, radiciação entre 
valores de um conjunto e a variável 𝑥 . 
Exemplos de expressões algébricas em 𝑥 ∈ ℝ : 
(i) 𝐸(𝑥) = 2𝑥 − 5 , expressão linear; 
(ii) 𝐸(𝑥) = −3𝑥2 + 4𝑥 − 5 , expressão quadrática; 
(iii) 𝐸(𝑥) =
(2𝑥−5)(𝑥2−1)
3𝑥2+6
 ; 
(iv) 𝐸(𝑥) = √2𝑥 − 5 +
𝜋
𝑥−1
 . 
Quando nos referimos a uma expressão na variável 𝑥, todas as outras letras que aparecem na 
expressão são consideradas constantes. 
No caso da expressão em 𝑥 , 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com variável 𝑥 ∈ 𝑈 as letras 𝑎 e 𝑏 são consideradas 
constantes, 𝑎 ∈ 𝑉 , 𝑏 ∈ 𝑉, onde os conjuntos universo 𝑈 e 𝑉 podem ser iguais ou diferentes. E 
assim, quando escrevemos 𝐸(𝑥) = 2𝑥 − 5, como no exemplo (i), 𝑎 = 2 e 𝑏 = −5 . 
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É importante falarmos também de domínio de definição da expressão ou simplesmente domínio da 
expressão, que é o maior subconjunto 𝐴 do conjunto universo 𝑈 , tal que a expressão pode ser 
avaliada em todo valor do subconjunto 𝐴 . 
Por exemplo, na expressão 𝐸(𝑥) = 2𝑥 + 3√2𝑥 − 1, 𝑥 ∈ 𝑈 = ℝ, como só podemos calcular raiz 
quadrada de números reais positivos ou nulos, o domínio de 𝐸(𝑥) é: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 2𝑥 − 1 ≥ 0} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥
1
2
} = [
1
2
, ∞) ⊂ ℝ Neste EP estamos interessados em 
estudar o sinal de uma expressão, que envolve expressões lineares e/ou expressões quadráticas 
irredutíveis do tipo: 
𝑝(𝑥) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 5)(𝑥2 + 3) , 𝐸(𝑥) = 
(−4𝑥+1) (2𝑥2+3)
(𝑥2+𝑥+1)(𝑥−
1
2
)
 , 𝑆(𝑥) = 
√ (2𝑥−5)(−3𝑥+ 9) 
(−4𝑥+1) (2𝑥2+3)
 
O Resultado 2 do EP01 nos diz que: 
"Todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 e 
𝑎𝑖 ∈ ℝ , 𝑖 = 0, 1, 2, ⋯ , 𝑛, se decompõe em fatores lineares e/ou fatores quadráticos 
irredutíveis". 
Portanto, analisar o sinal de um polinômio, significa analisar o sinal dos fatores lineares e/ou fatores 
quadráticos irredutíveis da sua decomposição e a seguir, usar a seguinte propriedade de ordem dos 
reais: 
Dados 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ, valem as equivalências: 
(i) 𝑎𝑏 > 0 ⟺ ( 𝑎 > 0 𝑒 𝑏 > 0 ) 𝑜𝑢 ( 𝑎 < 0 𝑒 𝑏 < 0 ) ; 
(ii) 𝑎𝑏 < 0 ⟺ ( 𝑎 > 0 𝑒 𝑏 < 0 ) 𝑜𝑢 ( 𝑎 < 0 𝑒 𝑏 > 0 ). 
 No caso dos fatores lineares 𝑎𝑥 + 𝑏 , com 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0, temos: 
 
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ⟺ 𝑥 > −
𝑏
𝑎
 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⟺ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 ⟺ 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
 
 No caso dos fatores quadráticos irredutíveis 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , com 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ ℝ e 𝑎 ≠ 0 , 
temos que: 
 se 𝒂 > 𝟎 , então 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 𝐩𝐚𝐫𝐚 ∀ 𝒙 ∈ ℝ . 
 se 𝒂 < 𝟎 , então 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 𝐩𝐚𝐫𝐚 ∀ 𝒙 ∈ ℝ . 
 
Atenção: Isto está provado no final do texto na OBSERVAÇÃO, página 10. 
 
 
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Para analisar o sinal de uma expressão 𝐸(𝑥) é preciso realizar as quatro tarefas a seguir: 
1- Encontrar todos os números reais, isto é, todos os valores de 𝑥 ∈ ℝ para os quais é possível 
calcular 𝐸(𝑥). 
O conjunto desses possíveis valores de 𝑥 é o domínio da expressão. 
Dependendo da expressão, esse conjunto é um intervalo ou uma união de intervalos disjuntos 
(intervalos disjuntos são intervalos que não têm nenhum ponto em comum). 
2- Encontrar todos os números reais, isto é, todos os valores de 𝑥 ∈ ℝ , para os quais 𝐸(𝑥) = 0 . 
Dependendo da expressão, esse conjunto é o conjunto vazio ou um conjunto de pontos isolados. 
3- Encontrar todos os números reais, isto é, todos os valores de 𝑥 ∈ ℝ , para os quais 𝐸(𝑥) < 0. 
Dependendo da expressão, esse conjunto é o conjunto vazio ou um intervalo ou uma união de 
intervalos disjuntos. 
4- Encontrar todos os números reais, isto é, todos os valores de 𝑥 ∈ ℝ , para os quais 𝐸(𝑥) > 0. 
Dependendo da expressão, esse conjunto é o conjunto vazio ou um intervalo ou uma união de 
intervalos disjuntos. 
A visualização da análise de sinal na reta numérica pode ser feita da seguinte forma: 
Primeiro identificamos o domínio e marcamos na reta numérica os extremos dos intervalos do 
domínio da expressão, se esses extremos forem números reais. Marcamos os extremos que fazem 
parte do domínio com ′′bola cheia′′ e os que não fazem parte do domínio com ′′bola vazia′′. A seguir, 
escrevemos ′′
nd
′′ (significa ′′não definido′′) logo acima dos pontos que não fazem parte do domínio. 
Marcamos também, sempre que possível, os pontos onde a expressão se anula e escrevemos o 
número 
0
 logo acima desses pontos. 
A seguir, identificamos os sinais da expressão. Depois, escrevemos sinais ′′

′′ nos intervalos onde a 
expressão é positiva e escrevemos sinais ′′ ′′ nos intervalos onde a expressão é negativa. 
Se estivermos analisando mais de uma expressão, vamos precisar de uma reta para cada expressão, 
nesse caso, é bom escrever a expressão ao lado da reta em que está representada a análise de seu 
sinal. 
Vejamos o seguinte exemplo. 
Visualização da análise de sinal na reta numérica: 
Suponha, por exemplo, que o resultado da análise de sinal de uma expressão 𝐸(𝑥) é o seguinte: 
1. O domínio é o conjunto (−∞ , 𝑎) ∪ [𝑏 , 𝑐] , onde 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 . 
2. 𝐸(𝑥) = 0 para os seguintes valores de 𝑥: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑏 , 𝑥3 , onde 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑎 e 
𝑏 < 𝑥3 < 𝑐 
3. 𝐸(𝑥) > 0 para os valores de 𝑥 tais que 𝑥 < 𝑥1 ou 𝑥2 < 𝑥 < 𝑎 ou 𝑏< 𝑥 < 𝑥3. 
4. 𝐸(𝑥) < 0 para os valores de 𝑥 tais que 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 ou 𝑥3 < 𝑥 ≤ 𝑐 . 
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A visualização da análise de sinal em tabela pode ser feita da seguinte forma: 
Na primeira linha estarão representados os valores de 
x
: os extremos dos intervalos do 
domínio, quando existirem, os pontos onde a expressão se anula, os pontos onde a função não 
está definida e cada intervalo entre esses pontos, ver abaixo. 
Na segunda linha escrevemos a análise de sinal marcando nd, 
0
, 

 e 

, nas correspondentes 
colunas, conforme a análise feita. 
 
𝑥 −∞ < 𝑥 < 𝑥1 𝑥1 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 𝑥2 𝑥2 < 𝑥 < 𝑎 𝑎 
𝐸(𝑥) + + + + + 0 − − − − − 0 + + + + + 𝑛𝑑 
 
x
 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 𝑏 𝑏 < 𝑥 < 𝑥3 
3x
 𝑥3 < 𝑥 < 𝑐 𝑐 𝑐 < 𝑥 < +∞ 
𝐸(𝑥) 𝑛𝑑 0 0 − − − − − 𝑛𝑑 
 
Ou, na primeira linha podemos escrever intervalos em vez de desigualdades, como na tabela 
abaixo. 
𝑥 (−∞, 𝑥1) 𝑥1 (𝑥1, 𝑥2) 𝑥2 (𝑥2, 𝑎) a 
𝐸(𝑥) + + + + + 0 − − − − 0 + + + + + 𝑛𝑑 
 
𝑥 (𝑎, 𝑏) 𝑏 (𝑏, 𝑥3) 𝑥3 (𝑥3, 𝑐) c (𝑐, ∞) 
𝐸(𝑥) 𝑛𝑑 0 + + + + + 0 − − − − − 𝑛𝑑 
 
OBSERVAÇÃO: Não há como dizer o que é mais simples: usar a reta numérica ou a tabela para 
analisar o sinal. Isso depende de cada expressão que estamos analisando. 
A seguir vamos ver um exemplo onde vamos usar apenas a tabela, nesse caso é mais simples. 
Exemplo: Suponha que queremos analisar o sinal de 𝐸(𝑥) = 
𝐴(𝑥)∙𝐵(𝑥)
𝐶(𝑥)∙𝐷(𝑥)
 . 
Suponha também que já conhecemos a análise de sinal de cada uma das expressões que aparecem 
no numerador e no denominador de 𝐸(𝑥) . 
Para analisar o sinal do produto ou quociente de duas expressões, analisamos o sinal de cada 
expressão e aplicamos a seguinte propriedade de ordem dos números reais, já mencionada na página 
2. 
 
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Dados 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ, valem as equivalências: 
(i) 𝑎𝑏 > 0 ⟺ ( 𝑎 > 0 𝑒 𝑏 > 0 ) 𝑜𝑢 ( 𝑎 < 0 𝑒 𝑏 < 0 ) ; 
(iii) 𝑎𝑏 < 0 ⟺ ( 𝑎 > 0 𝑒 𝑏 < 0 ) 𝑜𝑢 ( 𝑎 < 0 𝑒 𝑏 > 0 ). 
Observe que 
 𝑎 
𝑏
= 𝑎 ∙
 1 
𝑏
 e o sinal de 
 1 
𝑏
 é o mesmo sinal de 𝑏. Portanto a regra para análise de sinal do 
quociente 
 𝑎 
𝑏
 é a mesma do produto 𝑎𝑏. 
É fácil entender que quando temos o produto ou quociente de várias expressões, se o número de 
expressões negativas for par, o produto ou quociente delas é positivo. Se o número de expressões 
negativas for ímpar, o produto ou quociente delas é negativo. 
Como na expressão dada temos produto e quociente envolvendo quatro termos, fica menos 
trabalhoso se fizermos a análise de sinal em uma única tabela. Colocamos a análise de sinal de cada 
expressão em uma linha e no final, na última linha, colocamos a expressão 𝐸(𝑥) e aplicamos a regra 
do produto de termos positivos e negativos. 
Temos que ter o cuidado de colocar os valores de 𝑥 na primeira linha de forma que apareçam os 
extremos dos intervalos do domínio de cada expressão, os valores de 𝑥 onde cada expressão se 
anula, valores de 𝑥 onde alguma expressão não esteja definida, e os intervalos entre esses valores. 
Esses valores de 𝑥 devem estar ordenados, em ordem crescente da esquerda para direita. 
Exemplo de análise de sinal de uma expressão do tipo: 𝐸(𝑥) = 
𝐴(𝑥)∙𝐵(𝑥)
𝐶(𝑥)∙𝐷(𝑥)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Estude o sinal do polinômio 𝑝(𝑥) = 5𝑥4 − 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 1. 
Resolução: 
Vamos fatorar o polinômio 𝑝(𝑥) para estudar o sinal. Para isso, vamos pesquisar as suas raízes 
inteiras. 
As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são os divisores do termo independente −1 , que são: −1 , +1 . 
Note que 𝑝(−1) = 0 ; 𝑝(1) = 0 . 
Se 𝑥 = −1 é uma raiz de 𝑝(𝑥) então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − (−1) = 𝑥 + 1 . 
Se 𝑥 = 1 é uma raiz de 𝑝(𝑥) então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1 . 
Portanto, 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 1 )(𝑥 + 1) = 𝑥2 − 1. 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥2 − 1 , obtemos 𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 1) (5𝑥2 − 𝑥 + 1). 
Como para o trinômio do segundo grau, 5𝑥2 − 𝑥 + 1 , temos: 
 𝑥 −∞ < 𝑥 < 𝑥1 𝑥1 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 𝑥2 𝑥2 < 𝑥 < 𝑥3 𝑥3 𝑥3 < 𝑥 < +∞ 
𝐴(𝑥) − − − − − − − − − − − − − − 0 + + + + 
𝐵(𝑥) 𝑛𝑑 0 + + + + + + + + + + + + + + 
𝐶(𝑥) − − − − 0 − − − − − − − − − − − − − − 
𝐷(𝑥) − − − − − − − − − 0 + + + + + + + + + 
𝐸(𝑥) 𝑛𝑑 𝑛𝑑 − − − − 𝑛𝑑 + + + + 0 − − − − 
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𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−1)2 − 4 ∙ 5 ∙ 1 = −19 , que é negativo, o fator quadrático 5𝑥2 − 𝑥 + 1 é irredutível 
em ℝ e sendo 𝑎 = 5 > 0 , 5𝑥2 − 𝑥 + 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
Portanto, o sinal de 𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 1)(5𝑥2 − 𝑥 + 1) depende somente do sinal de 
𝑥2 − 1 = (𝑥 − 1 )(𝑥 + 1)1 
Portanto, 
𝑝(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥2 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 ∈ {−1,1}. 
𝑝(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥2 − 1 > 0 ⇔ 𝑥 < −1 ou 𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞). 
𝑝(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥2 − 1 < 0 ⇔ −1 < 𝑥 < 1 ⟺ 𝑥 ∈ (−1, 1). 
Observem que finalizamos as equivalências das duas últimas linhas com a escrita na forma de 
intervalo ou na forma de uma união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos 
em comum). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 2 Estude o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
𝑥3+𝑥
 −2𝑥2−2𝑥+4 
 . No final vamos apresentar as 
conclusões na forma de intervalo. 
Solução: 
Fatorando o numerador 𝑥3 + 𝑥 : 
𝑥3 + 𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 1). 
Este polinômio está completamente fatorado, pois 𝑥2 + 1 ≥ 1 > 0, nunca se anula, 
𝑥2 + 1 > 0 , ∀ 𝒙 ∈ ℝ . 
Fatorando o denominador −2𝑥2 − 2𝑥 + 4 : 
−2𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −2 (𝑥2 + 𝑥 − 2) = −2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) , 
pois as raízes de 𝑥2 + 𝑥 − 2 são: 
 
𝑥 = 
−1±√12−4∙1∙(−2)
2∙1
 = 
−1±√9 
2
= 
−1±3
2
 = 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 1. 
Assim, a expressão pode ser fatorada da seguinte forma: 
𝑥3 + 𝑥
 −2𝑥2 − 2𝑥 + 4 
= 
𝑥(𝑥2 + 1)
 −2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 
 
Vamos fazer a tabela dos sinais. Para isso note que: 
𝑥2 + 1 > 0 para ∀ 𝒙 ∈ ℝ ; 
𝑥 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 > 1 ; 
𝑥 + 2 > 0 ⟺ 𝑥 > −2 ; 
−2 < 0 para ∀ 𝒙 ∈ ℝ . 
 
 
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Analisando o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
 no intervalo (−∞ , 0] : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
 no intervalo (0 , +∞) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −2) ∪ (0 , 1); 
𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2 + 1)
 −2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 
 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−2 , 0) ∪ (1 , +∞); 
 𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
= 0 ⟺ 𝑥 = 0 ; 
 𝐸(𝑥) = 
𝑥(𝑥2+1)
 −2(𝑥−1)(𝑥+2) 
 não pode ser calculada para 𝑥 = 1 e 𝑥 = −2 . 
 
 
 −∞ < 𝑥 < −2 𝑥 = −2 −2 < 𝑥 < 0 𝑥 = −2 
𝑥 − − − − − − − − − 0 
𝑥2 + 1 + + + + + + + + + + 
−2 − − − − − − − − − − 
𝑥 − 1 − − − − − − − − − − 
𝑥 + 2 − − − − 0 + + + + + 
𝐸(𝑥) + + + + 𝑛𝑑 − − − − 0 
 0 < 𝑥 < 1 𝑥 = 1 1 < 𝑥 < +∞ 
𝑥 + + + + + + + + + 
𝑥2 + 1 + + + + + + + + + 
−2 − − − − − − − − − 
𝑥 − 1 − − − − 0 + + + + 
𝑥 + 2 + + + + + + + + + 
𝐸(𝑥) + + + + 𝑛𝑑 − − − − 
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Agora, um importante lembrete! 
Como os exercícios 3, 4, 5 e 6 da lista a seguir envolvem fração e/ou raiz quadrada de polinômios, vale 
a pena recordar que: 
I) para calcular √ 𝑎 é preciso que o radicando 𝒂 seja positivo ou nulo, ou seja, 𝑎 ≥ 0. 
II) para calcular uma fração 
𝑎
𝑏
 é preciso que o denominador seja não nulo, ou seja, 𝑏 ≠ 0. 
__________________________________________________________________________________ 
INEQUAÇÃO! Vamos recordar! 
Uma inequação é uma desigualdade onde aparecem uma ou mais variáveis a serem determinadas. 
Exemplos de inequações: 𝑥 − 4 <
12
𝑥
; 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 1. 
O exercício 7 pede que você resolva duas inequações. Pela propriedade da relação de ordem dos 
números reais, temos que: 
 
“Sendo 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 números reais positivos, então 
𝑎
𝑏
 < 
𝑐
𝑑
 ⟺ 𝑎 × 𝑑 < 𝑐 × 𝑏”. 
 
Um exemplo: 
2
3
 < 
7
8
 ⟺ 2 × 8 < 7 × 3 . 
Mas, percebemos que muitos alunos, fazem esta “multiplicação em cruz”, sem prestar atenção se os 
termos envolvidos na inequação são positivos. 
 
Veja o que acontece: 
Sabemos que 
−3 
2
 < 
 2 
−3
 é verdadeira porque 
−3
2
= −
 3 
2
 , 
 2
−3
= −
 2 
3
 e −
3
2
< −
2
3
 são 
verdadeiras. 
Considerando a desigualdade 
−3 
2
< 
 2
 −3
 (verdadeira), se multiplicarmos em cruz, obtemos 
−3 × (−3) < 2 × 2, ou seja, 9 < 4 . FALSO!!!. Mas o que ocorreu? 
Ocorreu que uma outra propriedade da relação de ordem dos números reais, não foi respeitada. A 
propriedade diz que: 
“Se 𝑐 < 0 então 𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑎 × 𝑐 > 𝑏 × 𝑐 ”. (ao multiplicarmos uma desigualdade por um 
número negativo, invertemos a desigualdade). 
 
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Mas, que operações estão “escondidas” quando fazemos uma multiplicação em cruz? 
Primeiro multiplicamos ambos os lados por −3 : −3 × 
−3
 2
 < −3 × 
2
−3
 ⟹ −3 × 
−3 
 2
< 2. 
Veja que aqui já erramos, pois multiplicamos a desigualdade por um número negativo e não 
invertemos a desigualdade. 
Agora multiplicamos ambos os lados da desigualdade −3 × 
−3 
 2
< 2 por 2 : 
2 × (−3) × 
−3 
 2
< 2 × 2 ⟹ (−3) × (−3) < 2 × 2 ⟹ 9 < 4 . FALSO!!! 
As equivalências corretas são: 
Primeiro multiplicamos ambos os lados por −3 e invertemos a desigualdade, pois −3 < 0: 
−3 × 
−3
 2
> −3 × 
2
−3
 ⟹ −3 × 
−3
 2
 > 2 . 
 
Agora multiplicamos ambos os lados da desigualdade −3 × 
−3
 2
 > 2 por 2 : 
2 × (−3 ) × 
−3
 2
 > 2 × 2 ⟹ −3 × (−3) > 2 × 2 > 9 > 4 . CORRETO!!! 
Podemos sempre simplificar a desigualdade da seguinte forma: 
−3 
2
 < 
 2 
−3
 ⟺ 
−3 
2
 − ( 
 2 
−3
) < 0 ⟺ 
−3 
2
 + 
 2 
3
 < 0 ⟺ 
 
(−3×3)+(2×2) 
2×3
< 0 ⟺ 
−5 
6
< 0 . 
 
Como a última desigualdade da direita é verdadeira, então pelas equivalências é verdade também que 
 
−3 
2
 < 
 2 
−3
 . 
Portanto, “multiplicação em cruz”, sem análise do sinal dos termos envolvidos, pode ser perigoso! O 
melhor é lembrar que: 
 
𝑎
𝑏
 < 
𝑐
𝑑
 ⟹ 
𝑎
𝑏
− 
𝑐
𝑑
 < 0 ⟹ 
 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏 
𝑏𝑑
 < 0 
 Isto vale sempre que 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0 
 
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Exemplo: Vamos resolver a inequação 𝑥 − 4 <
12
𝑥
 usando a propriedade anterior: 
𝑥 − 4 <
12
𝑥
 ⟺ 𝑥 − 4 −
12
𝑥
< 0 ⟺ 
𝑥2−4𝑥−12
𝑥
< 0 ⟺ 
(𝑥−6)(𝑥+2)
𝑥
< 0 
Usando uma tabela de sinais concluímos que a solução dessa inequação é (−∞, −2) ∪ (0, 6). 
(Confira!) 
Se, inadvertidamente, multiplicamos em cruz, deveríamos multiplicar por 𝑥 e se não levarmos em 
consideração o sinal de 𝑥 , obteríamos 
(𝑥 − 4)𝑥 < 12 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 12 < 0 ⟺ (𝑥 − 6)(𝑥 + 2) < 0 
Usando uma tabela de sinais concluímos que a solução dessa inequação é (−2, 0) ∪ (6, ∞). 
Essa solução é diferente da solução encontrada antes e está ERRADA ! 
Se ainda está duvidando atribua valores a 𝑥, por exemplo, 𝑥 = 1, que não faz parte da segunda 
solução encontrada. Substituindo 𝑥 = 1 na equação original, obtemos 
1 − 4 <
12
1
 ⟺ −3 < 12 e concluímos que logo 𝑥 = 1 satisfaz a equação, é solução da equação e 
faz parte da primeira solução encontrada. 
OBSERVAÇÃO: Prova do sinal dos fatores quadráticos irredutíveis 
Vamos mostrar que no caso dos fatores quadráticos irredutíveis 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , com 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ ℝ e 
𝑎 ≠ 0 , o sinal de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , depende do sinal do coeficiente 𝑎 . 
 se 𝑎 > 0 , então 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 para ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
 se 𝑎 < 0 , então 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 para ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
De fato, 
completando o quadrado de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 na variável 𝑥 , temos que 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 ) + 𝑐 = 𝑎 (𝑥2 + 2 
 𝑏
2𝑎
 𝑥 ) + 𝑐 = 
𝑎 (𝑥2 + 2 ∙
 𝑏
2𝑎
 𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
 − 
𝑏2
4𝑎2
 ) + 𝑐 = 𝑎 (𝑥2 + 2 
 𝑏
2𝑎
 𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
 ) − 𝑎 ∙
𝑏2
4𝑎2
 + 𝑐 = 
𝑎 (𝑥 + 
 𝑏
2𝑎
 )
2
 − 
𝑏2
4𝑎
 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 + 
 𝑏
2𝑎
 )
2
 − (
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
) =
1
𝑎
 [ 𝑎2 (𝑥 + 
 𝑏
2𝑎
 )
2
− (
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4
) 
Portanto, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 
1
𝑎
 [ 𝑎2 (𝑥 + 
 𝑏
2𝑎
 )
2
− (
𝑏2−4𝑎𝑐
4
) . 
 
Assim, analisar o sinal do fator quadrático irredutível , 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , significa analisar o sinal 
de 
1
𝑎
 [ 𝑎2 (𝑥 + 
 𝑏
2𝑎
 )
2
− (
𝑏2−4𝑎𝑐
4
). 
EP 02 – 2017 – 2 – Polinômios – Análise de Sinais Pré-Cálculo 
 
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Como o fator quadrático 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é irredutível, então 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 , donde 
𝑏2−4𝑎𝑐
4
 < 0 e, portanto, − (
𝑏2−4𝑎𝑐
4
) > 0 . 
Como 𝑎2 (𝑥 + 
 𝑏
2𝑎
 )
2
 ≥ 0 então 𝑎2 (𝑥 + 
 𝑏
2𝑎
 )
2
− (
𝑏2−4𝑎𝑐
4
) > 0 
Portanto, o sinal de 
1
𝑎
 [ 𝑎2 (𝑥 + 
 𝑏
2𝑎
 )
2
− (
𝑏2−4𝑎𝑐
4
) depende apenas do sinal do coeficiente 𝑎 
da variável 𝑥2 e sendo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 
1
𝑎
 [ 𝑎2 (𝑥 + 
 𝑏
2𝑎
 )
2
− (
𝑏2−4𝑎𝑐
4
) , o sinal de 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 depende somente do sinal do coeficiente 𝑎. 
Relato Histórico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Fórmula de Bhaskara 
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se 
estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se 
encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado 
pois : 
 Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos 
atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita 
(escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as 
raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos 
 Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais 
importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais 
conhecidas são Lilavati ("bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de 
aritmética e álgebra respectivamente,e contêm numerosos problemas sobre equações 
de lineares e quadráticas (resolvidas também com receitas em prosa), progressões 
aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros. 
 Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação 
do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de 
uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês 
que viveu de 1540 a 1603 
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto 
atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau. 
Revista do Professor de Matemática - nº 39 
EP 02 – 2017 – 2 – Polinômios – Análise de Sinais Pré-Cálculo 
 
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E agora, aos exercícios: 
 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 1: Estude o sinal dos polinômios. Quando possível, apresente as conclusões na forma de 
intervalo, isto é, escreva as conclusões como um único intervalo ou como união de intervalos disjuntos 
(intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
a) 𝑝(𝑥) = 
1
2
 𝑥3 − 𝑥2 +
1 
2
𝑥 − 1 b) 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12 
c) 𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14 𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8. 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Determine o conjunto 𝑆 de números reais para os quais o gráfico de 𝑔(𝑥) = 2 𝑥3 + 9𝑥 
está acima ou intersecta o gráfico da parábola 𝑦 = 𝑥2 − 5. 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
 𝑥3+𝑥2+𝑥+1 
 1−𝑥3 
 . 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Diga para que valores de 
IRx
, a expressão 𝐸(𝑥) = 
√ 𝑥3+2𝑥2+ 3𝑥+2 
𝑥−1 
 pode ser 
calculada. 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Encontre os valores de 𝑥 ∈ ℝ para os quais é possível calcular a expressão 
𝐸(𝑥) = 
√(𝑥 − 2)5(𝑥 + 3)4 
4 − √(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) 
 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: Analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
 𝑥3−2𝑥2+1 
𝑥2−2𝑥 
 e diga para que valores de 𝑥 ∈ ℝ , a 
expressão 𝐸1(𝑥) = √
 𝑥3−2𝑥2+1 
𝑥2−2𝑥 
 pode ser calculada. 
Exercício 7: Resolva em 
IR
, as seguintes inequações: 
a) 
𝑥2−𝑥−1 
𝑥2 
 < 
2
𝑥3
 b) 𝑥2 ≥ 
− 2
 | 𝑥 |−1 
 
Atenção: O item (b) envolve o conceito de módulo ou valor absoluto, caso você não lembre como usar 
esse conceito, veja o texto disponibilizado na plataforma com o titulo "Módulo (Valor Absoluto) de um 
número real". 
Bom trabalho!