CÁLCULO DIFERENCIAL - LIMITES

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LISTA 01 – LIMITES 
PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO 
LIMITES COM O ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
QUESTÃO 01: Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é 
comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, 
o gás assume forma líquida. Observando a figura a 
seguir, determine: 
 
 . 
 . 
 . 
 
QUESTÃO 02: Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um 
medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do 
medicamento presente na corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a seguir. Determine e 
interprete: 
 . 
 . 
 
 
ESTIMANDO O VALOR DE UM LIMITE COM 
O AUXÍLIO DE UMA TABELA 
QUESTÃO 03 – 04: Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores 
da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). 
QUESTÃO 03: 
 
 
 , 
 
 
 
QUESTÃO 04: 
 
 
 , 
LIMITES E SUAS PROPRIEDADES 
QUESTÃO 05: Dado que: 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. 
a) . 
b) . 
c) √ . 
d) 
 
 
. 
e) 
 
 
. 
f) 
 
 
 
QUESTÃO 06 – 14: Calcule o limite se existir. 
QUESTÃO 06: 
 
 
. 
QUESTÃO 07: 
 
 
. 
QUESTÃO 08: 
 
 
. 
QUESTÃO 09: 
 
 
. 
QUESTÃO 10: 
 
 
. 
QUESTÃO 11: 
√ 
 
. 
QUESTÃO 12: 
 
 
. 
QUESTÃO 13: 
 
 
. 
 
 
QUESTÃO 14: Se 
 
 
 , determine 
QUESTÃO 15: Determine as assíntotas verticais de 
16 – 50: CALCULE O LIMITE CASO EXISTA. JUSTIFIQUE SE NÃO EXISTIR: 
QUESTÃO 16: 
√ 
 
. 
QUESTÃO 17: 
 
 
. 
QUESTÃO 18: 
 
 
 
 
 
 
. 
QUESTÃO 19: 
 
| |
. 
QUESTÃO 20: 
| | 
 
. 
QUESTÃO 21: 
 
 
. 
QUESTÃO 22: 
√ √ 
 
. 
QUESTÃO 23: 
 
 
. 
QUESTÃO 24: 
 
 
. 
QUESTÃO 25: 
 
 
. 
QUESTÃO 26: 
√ 
 
. 
QUESTÃO 27: 
 . 
QUESTÃO 28: 
 √ 
 
. 
QUESTÃO 29: 
 
 
. 
QUESTÃO 30: 
√ – √ 
 
. 
QUESTÃO 31: 
 
 
. 
QUESTÃO 32: 
 
 
. 
 
 
QUESTÃO 33: 
 
 
. 
QUESTÃO 34: 
 
 
. 
QUESTÃO 35: 
 
 
. 
QUESTÃO 36: 
 √ 
 
. 
QUESTÃO 37: 
 
 
. 
QUESTÃO 38: 
 √ 
 
. 
QUESTÃO 39: 
 √ 
√ 
. 
QUESTÃO 40: 
 √ 
 
. 
QUESTÃO 41: 
 
√ √ 
. 
QUESTÃO 42: (
 
 
 
 
 
 
). 
QUESTÃO 43: 
 
 
. 
QUESTÃO 44: 
 
 
. 
QUESTÃO 45: 
√ √ 
 
. 
QUESTÃO 46: 
 ( )
 
. 
QUESTÃO 47: Sabendo que 
 
 
 , determine 
 
 
. 
QUESTÃO 48: Demonstre confeccionando o gráfico que 
 
| | 
 não existe. 
QUESTÃO 49: Sabendo que 
 
 
 , determine 
 
 
. 
QUESTÃO 50: Demonstre confeccionando o gráfico que 
 
| | 
 não existe. 
51 – 60: Determine se possível, o limite das seguintes funções, caso o limite não exista, 
justifique: 
 
 
QUESTÃO 51: (
 
 
). 
QUESTÃO 52: 
 
 
. 
QUESTÃO 53: √ √ . 
QUESTÃO 54: 
 √ 
 
. 
QUESTÃO 55: 
 
 
. 
QUESTÃO 56: {
 
 
 
. 
QUESTÃO 57: {
 
 
√ 
. 
 
 
 
QUESTÃO 58: Para cada valor real de a expressão seguinte define uma função real de variável 
real, . 
 {
 
 
| | 
 
a) Determine de modo que exista . 
b) Calcule de modo que . 
 
QUESTÃO 59: Determine de modo que exista , com definida por 
 {
 √ 
 
 
 
 
. 
QUESTÃO 60: Investigue a existência de limde de quando tende a e a . 
 {
 
 
 
. 
 
LIMITES INFINITOS/ LIMITES INFINITOS NO INFINITO 
61 – 80: Calcule o limite, se existir. Caso contrário, justifique: 
 
 
QUESTÃO 61: 
 
 
. 
QUESTÃO 62: 
 
√ 
. 
QUESTÃO 63: 
√ 
 
. 
QUESTÃO 64: 
 
 
. 
QUESTÃO 65: 
 
√ 
. 
QUESTÃO 66: 
√ 
 
. 
QUESTÃO 67: 
 
 
. 
QUESTÃO 68: 
 
 
. 
QUESTÃO 69: 
 . 
QUESTÃO 70: 
 . 
QUESTÃO 71: 
 
 
. 
QUESTÃO 72: √
 
 
. 
QUESTÃO 73: √ . 
QUESTÃO 74: √ . 
QUESTÃO 75: 
 
 
. 
QUESTÃO 76: 
 
 
. 
QUESTÃO 77: ( √ ). 
 
 
QUESTÃO 78: ( √ ). 
QUESTÃO 79: 
√ 
 
. 
QUESTÂO 80 (CESGRANRIO 2010 – ENGENHEIRO DE PETRÓLEO): O valor de 
 
 
 
 
 
 
a) 0. b) – 1. c) – 3. d) – 4. e) 1. 
 
QUESTÃO 81: {
 
 
}. 
QUESTÃO 82: 
 
 
. 
QUESTÃO 83: . 
QUESTÃO 84: . 
QUESTÃO 85: 
 
√ 
. 
LIMITES NO INFINITO 
86 - 50: Calcule o limite, se existir. Caso contrário, justifique. 
QUESTÃO 86: 
 
 
. 
QUESTÃO 87: 
 
 
. 
QUESTÃO 88: 
 . 
QUESTÃO 89: 
 . 
QUESTÃO 90: 
 
 
. 
QUESTÃO 91: √
 
 
. 
QUESTÃO 92: √ . 
QUESTÃO 93: √ . 
 
 
QUESTÃO 94: 
 
 
. 
QUESTÃO 95: 
 
 
. 
QUESTÃO 96: 
 . 
QUESTÃO 97: 
 . 
QUESTÃO 98: 
 . 
QUESTÃO 99: 
√ 
 
. 
QUESTÃO 100: 
√ 
 
. 
QUESTÃO 101: 
 
√ 
. 
QUESTÃO 102: 
 
√ 
. 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS 
QUESTÃO 101: A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução 
de uma toxina é dada por: 
 {
 
 
 
a) Quanto tempo levará para a colônia se extinguir? 
b) Existe algum instante em que a população varia abruptamente ou esta variação se dá de 
modo contínuo ao longo do tempo? 
QUESTÃO 102: O raio da Terra tem aproximadamente 6 400 Km e um corpo situado a Km do 
centro da Terra pesa Kg, onde: 
 {
 
 
 ⁄ 
 
e que A e B são constantes positivas. Qual deve ser a relação entre e para que seja 
contínuapara qualquer valor de ? 
 
 
QUESTÂO 103: Considere a função 
 {
 
 
. 
Calcule os limites laterais de em . é contínua em ? Justifique. 
QUESTÃO 104: Se e forem funções contínuas, com e , 
determinar . 
QUESTÃO 105: Usando a definição, verifique se a função é contínua nos reais. 
 {
 
 
 
 
 
 
 . 
QUESTÃO 106: Determine a ralação entre e de modo que a função 
 {
 
 
 
Seja contínua em . 
QUESTÃO 107: Dada a função: 
 {
 
 
. Determine o valor para que exista . 
QUESTÃO 108: Seja: 
 {
 
 
√ 
 
 
 . 
Determine que torna contínua em . 
QUESTÃO 109: Seja {
 
 
 
. Determine os valores de e tais que seja 
contínua em . 
QUESTÂO 110: Dada a função definida por {
 
 
, assinale 
a opção que apresenta o valor de de modo que exista. 
 
 
a) – 8. 
b) – 2. 
c) 3. 
d) 6. 
e) 8. 
 
QUESTÂO 111: Suponha que a temperatura é e que a velocidade do vento é (em milhas/h). 
Neste caso, a temperatura corrigida é dada pela função: 
 {
 
 √ 
 
 . 
a) Suponha que . Qual é a temperatura corrigida quando ? E quando 
 ? 
b) Suponha que . Que velocidade do vento corresponde a temperatura corrigida de 
 ? 
c) A função é contínua em seu domínio? 
CONTINUIDADE 
 
112 – 115: Classifique a função quanto à continuidade em . 
 
QUESTÃO 112: 
 
 
 quando . 
 
QUESTÃO 113: {
 
 
 
 
 
 , quando . 
 
QUESTÃO 114: {
 ⁄
 ⁄
 , quando ⁄ . 
QUESTÃO 115: {
 
 
 
 
 
 , quando . 
 
 
 
116 – 122: Classifique quanto à continuidade no seu domínio. 
 
QUESTÃO 116: 
 
 
 
 
QUESTÃO 117: {
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 118: {
 
 ⁄ 
 
 
 
QUESTÃO 119: {
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 120: Determine o parâmetro real de modo que seja contínua a função definida por: 
 {
| | 
 
 
 
QUESTÃO 121: Prove que a equação tem pelo menos, uma raiz real. 
 
QUESTÃO 122: Se e forem funções contínuas, com e , 
determinar . 
 
123 – 126: USE A DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE E PROPRIEDADES DOS LIMITES PARA 
MOSTRAR QUE A FUNÇÃO É CONTÍNUA EM UM DADO NÚMERO . 
QUESTÃO 123: √ , . 
QUESTÃO 124: , . 
QUESTÃO 125: 
 
 
, . 
 
 
QUESTÃO 126: Verifique a continuidade de 
 
 
 no intervalo . 
127 – 131: EXPLIQUE POR QUE A FUNÇÃO É DESCONTÍNUA NO NÚMERO DADO . ESBOCE 
O GRÁFICO DA FUNCÃO. 
QUESTÃO 127: | | . 
QUESTÃO 128: {
 
 
 
 
 . 
QUESTÃO 129: {
 
 
 
 
 . 
QUESTÃO 130: {
 
 
 
 
 . 
QUESTÃO 131 (APLICAÇÕES À FISICA): Uma pedra é abandonada de uma altura de 64 m. Se s 
for a altura da pedra t segundos após ter iniciado a queda, então . 
a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? 
b) Com que velocidade a pedra atinge o solo? 
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO 
QUESTÃO 132: Prove que a equação tem pelo menos, uma raiz real. 
QUESTÃO 133: Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação 
 tem, no máximo, duas raízes reais. 
QUESTÃO 134: Prove que tem, no mínimo, uma raiz real. 
QUESTÃO 135: Mostre que a função possui exatamente uma raiz real. 
QUESTÃO 136: Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da 
equação √ no intervalo . 
TEOREMA DO CONFRONTO 
 
 
137 – 140: USE O TEOREMA DO CONFRONTO PARA ENCONTRAR: 
QUESTÂO 137: ( 
 
 
 
). 
QUESTÃO 138: 
| |
√ 
. 
QUESTÃO 139: √ 
 
 
 . 
QUESTÃO 140: Se para todo , encontre