NotasAulaENG1714 4 MarcioCarvalho

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EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL
PROBLEMA UNIDIMENSIONAL TRANSIENTE
B
A
TLxtT
TxtT
TxtT
x
TK
t
Tc






),(
)0,(
),0( 0
2
2

Condição inicial
Condições de contorno
?),( xtT
0T
x
t
BT
AT
0t
tt 
  tjt 1
1j
2j
j
1 2 1i i 1N N1i
jiT ,
jiT ,
Ponto i Tempo j
Discretização no espaço: 2 112
2 2
x
TTT
x
T iii
i 
 

Equação diferencial deve ser satisfeita em todos os pontos i :
BN
A
iiii
TT
TT
Ni
x
TTT
c
k
dt
dT


 
1
2 11 1,,2;2 
Uma vez discretizada as derivadas em relação a x, obtém-se umsistema de equações diferenciais ordinárias em t (prob. de valor inicial):













BN
A
TT
x
TTT
c
k
dt
dT
x
TTT
c
k
dt
dT
TT

2 2343
2 1232
1
2
2


)(,,)(,)( 21 tTtTtT N
Incógnitas do problema:
Método Explícito jiT ,
Ponto i Tempo j
1,,2;2 2 ,1,,1,11,   Nix TTTckt TTdtdT jijijijjii 
Lado direito da EDO avaliada no instante anterior
  1,,2;2 ,1,,12,1,   NiTTTckxtTT jijijijiji 
Quando um método explícito é usado, as temperaturas em todos os pontos ino intante j+1 são calculadas diretamente em função das temperaturas nospontos i no instante j, conhecidas.
O método de Euler explícito é instável se 22 2121 xcktckxt  
O passo de tempo tem que ser muito pequeno e função da discretização em x
B
A
TLxtT
TxtT
TxtT
dx
TdK
dt
dTc




),( )0,(
),0( 0
2
2

Exemplo usando Excel:
1;2;0
1.0;1;1
0 

BA TTT
xL
c
k 
  1,,2;2 ,1,,12,1,   NiTTTckxtTT jijijijiji 
Planilha do 
Microsoft Excel
211
01.0;1.0;1
2 

c
k
x
t
tx
c
k



-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
T
t = 0t=0.03t=0.05
21
005.0;1.0;1
2 

c
k
x
t
tx
c
k



0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
T
t = 0t=0.15t=0.025
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
T
t = 0t=0.15t=0.025t=0.1t=0.15t=0.4
Solução em regime permanente
Método Implícito jiT ,
Ponto i Tempo j
1,,2;2 2 1,11,1,1,1,   Nix TTTckt TTdtdT jijijijijii 
Lado direito da EDO avaliada no instante atual
Conhecida as temperaturas no instante j, deseja-se determinar as temperaturas no instante j+1.
BjN
jijijiji
Aj
TT
Ni
T
t
T
xc
kT
xc
k
t
T
xc
k
TT






 






1,
,1,121,21,12
1,1
1,,2
;11211


Sistema de equações linear.
Para cada instante de tempo, deve-se resolver um sistema de equações linear.
fxA 
Função das temperaturas no instante anterior
Vetor com as temperaturas em todos os nós no 
instante atual.
Matriz dos coeficientes
Dt = 0,0001
Tfinal = 0,01
101 nos
Exercício
Nx = 201 DT = 0,01 T = 50
Nx = 201 DT = 0,01 T = 200
Exercício
Nx = 101 NT = 100
Nx = 101 NT = 500
Nx = 101 NT = 1000
Nx = 101 NT = 5000
PROBLEMA BIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE
0),(
)0,( ),(
),0(
02222








Lyx
y
T
TyxT
TyLxT
TyxT
y
T
x
T
C
B
A
Parede isolada
AT BT
CT
?),( yxT
i 1i1i
j
1j
1j
jiT ,
Coord x Coord y
Nx1i
Ny
1j
),( ji
)1,( ji
),1( ji  ),1( ji 
)1,( ji 2
1,,1,
,2
2
2 ,1,,1,2
2
2
2
y
TTT
y
T
x
TTT
x
T
jijiji
ji
jijiji
ji








Equação algébrica resultante no ponto (i,,j) :
01121111 ,221,21,2,12,12 


 










 jijijijiji Tyx
T
y
T
y
T
x
T
x 
1,2 1,,2   Nyj Nxi 
Condições de contorno:
1,,2;0 1,,2;
,,1; ,,1;
1,,
1,
,
,1




 NxiTT
NxiTT
NyjTT
NyjTT
NyiNyi
Ci
BjNx
Aj




As equações algébricas devem ser escritas em forma matricial
fxA 
Termo independente
Vetor com as temperaturas em todos os nós.
Matriz dos coeficientes















 NyNxNyNx TT
TT
TT
TT
x
,
3,13
2,12
1,11

As incógnitas do problema devem ser numeradas de forma sequencialpara escrevermos o sistema de equações em forma matrical.
1
2
5
4
3
6
7
10
9
8
21
22
25
24
23
Exemplo de uma numeração sequencial:
NyNxNyNx
jijNyi
Ny
NyNy
TT
TT
TT
TT
TT
TT
,
,)1(
1,21
,1
2,12
1,11












13
Seguindo esta regra, a numeração sequencial do nó (i,j) é dada por:
),( ji
i-1 colunas de nós a esquerda do nó (i,j) ; cada coluna possui Ny nós:
jNyiji   )1(),(
Número de nós nas colunas anteriores Número de nós na coluna i
Equação relativa ao nó # 8:
01121111
01121111
822729232132
3,2222,224,223,123,32



 













 










T
yx
T
y
T
y
T
x
T
x
T
yx
T
y
T
y
T
x
T
x


3,28 TT 
0000000000
251413121110987654321


ABCBA
A
Linha 8
Matrix é pentadiagonal
0 0.5
1 1.5
2
0
0.5
1
1.5
2-5
0
5
10
15
20
25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0),(
0)0,( 20),(
10),0(





Lyx
y
T
TyxT
TyLxT
TyxT
C
B
A
Gráfico de iso-linhas 
contourf
Gráfico 3D - superfície 
surf
Exercício