Apostila de Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
“Matemática Financeira pode ser resumida em uma frase: é o valor do dinheiro no tempo” 
 
 
1. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
 
Nesse capítulo iremos nos familiarizar com as variáveis de Matemática Financeira, 
aprendendo a relacionar taxas de juros e prazos, e teremos contato com a 
capitalização simples. Vale destacar a importância de se compreender como os juros 
simples variam de forma linear em função do tempo. 
 
 
1.1 Conceito de Juro, Capital e Taxa de Juros: 
 
A) Juro: é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma 
simplificada, como sendo o “aluguel” pago pelo uso do dinheiro. 
 
Fatores que influenciam a taxa de juros: 
✓ Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não pagar. 
✓ Despesas: todas as despesas contratuais, operacionais e tributárias 
necessárias para fazer o empréstimo e receber. 
✓ Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo no prazo do 
empréstimo 
✓ Ganho (ou lucro): determinado em função de oportunidades de 
investimentos de igual risco. 
 
B) Capital: entende-se por capital, sob o ponto de vista de Matemática Financeira, 
qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. 
 
C) Taxa de Juros: é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período 
de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa está sempre relacionada com 
uma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano, etc). 
 
Nesse ponto devemos destacar que como a taxa de juros nos é normalmente apresentada de 
forma percentual, ela deve ser transformada em unidade para que possamos utilizá-la nas 
diversas fórmulas, assim como nas calculadoras, bastando para isso dividi-la por 100. 
 
Portanto, uma taxa de juros de 100% será representada pelo número 1, uma taxa de juros de 
40% por 0,40 e uma taxa de juros de 2% por 0,02. Da mesma forma, após os cálculos 
realizados, devemos multiplicar a taxa de juros unitária encontrada para que possamos 
apresentá-la na forma percentual. 
 
Ademais, não devemos nos esquecer que a taxa de juros está SEMPRE relacionada com 
uma unidade de tempo. Exemplo: 40% ao ano; 22,56% ao trimestre; 0,066% ao dia. 
 2 
 
1.2 Capitalização Simples: 
 
 
1.2.1 Conceito: 
 
É aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide pois sobre 
os juros acumulados. 
 
 
1.2.2 Cálculo dos juros, montante e valor atual 
 
O valor dos juros é obtido da expressão: 
 
 
 
 
 
Onde : 
 
J = juro 
P = valor do capital inicial ou principal 
i = taxa de juros 
n = prazo 
 
 
1.2.3 Montante e Valor Atual 
 
O montante (ou Valor Futuro), que vamos indicar por “S” , é igual à soma do capital inicial 
+ o juro referente ao período da aplicação. Logo: 
 
 
 
 
 
O Valor Atual (ou valor presente), que vamos indicar por “P”, é o valor do capital que, 
aplicado a dada taxa e a dado prazo, nos dá um montante conhecido “S”. 
 
 
Assim, como teremos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 J = P x i x n 
 S = P + J S = P + (P x i x n) S = P(1+ in) 
S = P(1 + in) P = S / 1 + in 
 3 
 
2. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 
Nesse capítulo veremos como os juros compostos variam de forma exponencial, e 
lidaremos com a capitalização composta. Também aprenderemos como calcular taxas 
de juros compostos equivalentes para prazos diferentes. 
 
 
2.1 – Conceito: 
 
 
Capitalização Composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial 
acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse regime de capitalização a taxa 
varia exponencialmente em função do tempo. 
 
 
2.2 – Cálculo de juros, montante e valor atual para pagamento único: 
 
 
Dessa forma, o montante “S”, para uma unidade de capital é dado pela equação abaixo: 
 
 
 S = P ( 1 + i ) n 
 
 
Onde a expressão ( 1 + i ) n é chamada “fator de capitalização” ou fator de acumulação de 
capital para pagamento simples ou único. Já o valor atual (ou valor presente) pode ser 
representado pela equação: 
 
 
 
 
 
 
Onde a expressão 
ni)1(
1

 é chamada “fator de valor atual” para pagamento simples (ou 
único). 
 
Podemos utilizar algumas propriedades dos logaritmos para nos ajudar a encontrar a 
variável “n” (prazo). Vejamos como: 
 
Se A = B n temos que log A = n x log B. Dessa forma eliminamos o expoente e passamos a 
ter o “n” na expressão multiplicando o log B. O exemplo da página 38 nos ajuda a 
esclarecer essa questão. 
 
P = S x 
ni)1(
1

 
 4 
 
 
2.3 – Taxas Equivalentes: 
 
 
Diz-se que a taxa mensal i
m
 é igual à taxa anual i
a
 quando P ( 1 + i
a
) = P ( 1 + i
m
)12 , ou 
seja, duas ou mais taxas referenciadas a períodos unitários distintos são equivalentes 
quando produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um 
mesmo capital inicial. Assim teremos a seguinte fórmula genérica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde as variáveis representam: 
 
i
q
= taxa para o prazo que eu QUERO 
i
t
 = taxa para o prazo que eu TENHO 
q = prazo que eu QUERO 
 
t = prazo que eu TENHO 
 
 
 
DICAS: 
 
Um ponto importante para se observar no cálculo de taxa equivalente é o expoente da 
equação: deve-se usar SEMPRE a mesma unidade de tempo tanto no numerador quanto no 
denominador. Por exemplo: se colocarmos “dias” no numerador, TEMOS que colocar 
“dias” no denominador. Ou mês com mês, ano com ano, etc. 
 
 
Se eu tenho uma taxa mensal e quero a equivalente anual, fica mais fácil passar o expoente 
para meses ou dias do que para anos. A pergunta que temos que fazer é: quantos meses 
existem em um ano? Ou: quantos dias existem em um ano? Do que: quantos anos existem 
em um mês, ou quantos anos existem em um dia? No caso de dúvida, coloque tudo em dias 
que você não irá errar!! 
 
 
 
 
 
 
 i
q
 = [ ( 1 + i
t
 ) tq - 1 ] x 100 
 5 
 
 
3. DESCONTO 
 
 
Nesse capítulo aprenderemos a calcular o valor do desconto de uma duplicata, assim 
com o valor creditado na conta do titular. Também aprenderemos a diferenciar taxa 
de desconto simples das taxas de juros simples e juros compostos. Vale ressaltar que a 
taxa de desconto simples tem as mesmas propriedades da taxa de juros simples. 
 
 
3.1 – Desconto Simples: 
 
 
3.1.1 – Conceito: 
 
Primeiramente temos que esclarecer que o valor de face (valor nominal ou valor de resgate) 
de um título refere-se a um valor futuro (S), pois somente no vencimento é que se receberá 
esse valor. A operação de desconto normalmente é realizada quando se quer conhecer o 
valor atual (P) de determinado título. O desconto (D) será a diferença entre esses dois 
valores, ou seja: 
 
 
 
 
 
3.1.2 – Desconto simples (Desconto Bancário ou Comercial): 
 
Também podemos afirmar que o desconto será obtido multiplicando-se o valor de resgate 
do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: 
 
 
 
 
 
Onde representamos a taxa de desconto por “d” para diferenciá-la da taxa de juros. 
 
 
3.1.3 – Desconto Simples para série de títulos de mesmo valor: 
 
 
Quando temos vários títulos de mesmo valor, com vencimentos sucessivos e de 
periodicidade constante a partir do primeiro, podemos calcular o valor total de todos os 
descontos utilizando a seguinte fórmula: 
 
 
 
D = S - P 
D = S x d x n 
D
t
= S x N x d x 
2
1 ntt 
 
 64. SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
 
Nesse capítulo deveremos compreender o conceito de fluxo de caixa, como são 
montadas as séries de pagamentos e suas características. Em todas as séries serão 
utilizadas taxas de juros compostos. Estudaremos as séries de pagamentos iguais, 
tanto com termos vencidos quanto com termos antecipados. 
 
 
 
4.1 – Conceitos termos vencidos, termos antecipados e fluxo de caixa: 
 
Um ponto importante a se destacar são as características de uma série de pagamentos; 
 
 - o intervalo entre as prestações, a partir da primeira, é constante. 
 - o número de termos é finito 
 - os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos podem ocorrer no final de 
 cada período (Termos vencidos) ou no final (Termos antecipados). 
 
 
4.2 – Séries de pagamentos iguais com termos vencidos 
 
Denomina-se “termo” cada prestação da série, seja ela de pagamentos ou recebimentos. 
Iremos representar cada termo por “R”. É muito importante para o aluno, nesse ponto, 
compreender a diferença entre um termo classificado como “vencido” do classificado como 
“antecipado”. Significa que ambos estão no mesmo intervalo de tempo (período), porém o 
termo vencido está no final de cada período (mês, trimestre, ano, etc) enquanto que o termo 
antecipado está no início de cada período. Veja esse exemplo: 
 
 - Uma pessoa compra uma geladeira para pagar em 5 prestações mensais, segundo o 
conceito de termos vencidos: significa que a primeira prestação se dará em 30 dias após a 
data da compra, e as demais de 30 em 30 dias, após o pagamento da primeira prestação. 
 
 - A mesma pessoa comprou a geladeira para pagar em 5 prestações mensais, 
segundo o conceito de termos antecipados: significa que a primeira prestação será à vista, 
ou seja, na data da compra, e as demais prestações de 30 em 30 dias a partir da primeira 
prestação. 
 
 
DICA: 
 
Uma nota importante é com relação a “n”: em capitalização simples e composta, “n” 
referia-se ao prazo e era possível transformá-lo em dias, mês, trimestre, ano, etc. Agora, em 
série de pagamentos, “n” significa o NÚMERO DE PARCELAS, ou seja, JAMAIS se 
 7 
poderá alterar esse dado, pois estaríamos automaticamente alterando o número de parcelas, 
o que se torna irreal. 
Exemplo: “Uma pessoa resolveu fazer aplicações mensais de R$ 500,00 durante 3 anos, à 
taxa de 20% ao ano. Quanto ela irá resgatar?”. 
 
Temos, portanto, que n = 36 prestações mensais e esse dado não poderá 
mais ser alterado. Se colocarmos n = 3 anos, estaremos dizendo que essa pessoa irá fazer 3 
aplicações anuais, o que não é verdadeiro. 
 
Outra coisa: como o “n” não poderá mais ser mudado, quem terá que se adaptar será a taxa 
de juros  ou seja, ela terá obrigatoriamente que passar a ter a mesma unidade de tempo 
que o “n”. Logo, para se resolver esse exemplo teremos que calcular a taxa de juros mensal 
equivalente a 20% ao ano. Deve-se utilizar a fórmula de equivalência de taxas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Desta forma teremos que a taxa mensal será  i m = 1,530947% ao mês 
 
Portanto os dados que temos são: 
 
n = 36 prestações mensais 
R = 500 
i = 1,530947% am 
S = ? 
 
Para resolver essa e outras questões, teremos que usar fórmulas especialmente 
desenvolvidas para série de pagamentos. Leia o livro atentamente da página 67 a página 86 
e estude os exemplos dados. O resumo das fórmulas encontra-se abaixo: 
 
Fator de Acumulação de Capital (FAC) =  
i
i
RS
n
11 

 
 
Fator de Formação de Capital (FFC) = 
  11 

n
i
i
SR
 
 
Fator de Valor Atual (FVA) =  
  ii
i
RP
n
n



1
11
 
 
Fator de Recuperação de Capital (FRC) =  
  11
1



n
n
i
ii
PR
 
i
q
 = [ (1 + i
t
) tq - 1 ] x 100 
 8 
DICA: 
 
Essas fórmulas acima serão utilizadas para se calcular o valor de “P”, “S” e “R” a partir dos 
dados fornecidos. Portanto, podemos dizer que os valores encontrados serão valores 
“calculados” que deverão estar sempre localizados na linha do tempo dentro de “padrões” 
pré-estabelecidos ou seja: 
 
 
O “P” e o “S” calculados de séries de pagamentos com termos vencidos estarão SEMPRE 
localizados como segue  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O “P” calculado estará sempre 1 período (mês, quinzena, ano, etc) ANTES da 1ª parcela, e 
o “S” calculado estará sempre JUNTO da última parcela. 
 
Portanto, se os dados fornecidos pelos problemas estiverem “fora” do padrão, teremos que 
levá-los para o local correto, de modo que os mesmos fiquem no padrão. 
 
 
Veja o seguinte exemplo: 
 
Certo empréstimo bancário deverá ser pago em 4 parcelas mensais de R$ 540,00 cada, 
sendo que a primeira parcela deverá ser paga 90 dias após a assinatura do contrato. 
Sabendo-se que a taxa utilizada pelo banco é de 3,5% ao mês, calcule o valor do 
empréstimo. 
 
Os dados desse problema são: 
 
n = 4 parcelas mensais 
R = R$ 540,00 
i = 3,5% am 
P = ? 
 PADRÃO TERMOS VENCIDOS 
 
 P S 
 
 
 
 ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ 
 1ª Ultima 
 parcela parcela 
 9 
Observe que se calcularmos o “P” utilizando a fórmula  
  ii
i
RP
n
n



1
11
 encontraremos o 
valor de P = 1.983,46. 
 
Se verificarmos o desenho do “Padrão Termos Vencidos” podemos concluir que esse valor 
encontrado para o “P” está 1 período (nesse exemplo o período é mensal) ANTES da 
primeira parcela, ou seja, o “P” calculado está localizado no mês 2. Como o empréstimo 
está no momento “Zero”, teremos que levar o “P” calculado para o mês zero. Faremos isso 
descapitalizando o “P” calculado. Veja como: 
 
 n
calculado
i
P
P


1
0
  
 20 035,1
46,983.1
P
  
58,851.10 P
 
 
 
Enfim, o valor do empréstimo é de R$ 1.851,58 e está localizado no momento “zero”. 
 
 
 
 
APRENDENDO A USAR A HP 
 
 
Os alunos que possuem a calculadora HP-12C poderão utilizá-la para realizar os cálculos 
das séries de pagamento, usando para isso as teclas financeiras da calculadora. Vamos 
conhecê-las: 
 
Na parte superior à esquerda da calculadora, temos as seguintes teclas, com as letras na cor 
branca: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
n = é o NÚMERO DE PARCELAS 
i = é a TAXA DE JUROS 
PV = é o VALOR PRESENTE 
PMT = é o VALOR DO PAGAMENTO 
FV = é o VALOR FUTURO 
CHS = é para TROCAR O SINAL 
 
 
 
 
i PV PMT FV CHS n 
 10 
ATENÇÃO: 
 
 
1) É muito importante que não se esqueça que a taxa de juros deverá estar na mesma 
unidade de tempo que as parcelas (ou pagamentos) estão, ou seja, se as parcelas são 
mensais, a taxa de juros deverá ser mensal; se as parcelas são bimestrais a taxa de 
juros deverá ser bimestral, e assim por diante. 
 
 
2) Como a calculadora trabalha somente com FLUXO DE CAIXA, temos que 
informar a ela quais fluxos são negativos e quais são positivos: normalmente os 
pagamentos são negativos e os valores presente e futuro são positivos. Se 
esquecermos de informar à calculadora, ela irá registrar “erro” no visor. Para tornar 
um valor negativo, bastar apertar a tecla “CHS” após digitar o número. 
 
 
3) A calculadora HP-12C somente trabalha com taxa de juros em percentual. Portanto 
NÃO será necessário dividir por 100 a taxa de juros antes de lançar o valor na 
calculadora. Deve-se somente ficar atento quanto ao prazo da taxa, conforme 
descritono item 1. 
 
 
4) Como a calculadora trabalha com séries de pagamentos com termos vencidos e com 
termos antecipados, temos que avisá-la com qual termo queremos trabalhar. Para 
isso devemos apertar as teclas “g” (azul) e “end” (em azul) se forem termos 
vencidos (pagamentos realizados no fim de cada período) e apertar as teclas “g” 
(azul) e “begin” (em azul) se forem termos antecipados (pagamentos realizados no 
início de cada período). 
 
 
5) Para lançarmos os valores na calculadora basta digitá-los e apertar a tecla 
correspondente, em qualquer ordem. Deve-se lançar 3 dados e pedir para calcular o 
que queremos. Exemplo: Se temos 10 aplicações mensais de R$ 200,00 cada à taxa 
de 3% ao mês, qual será o montante? Basta lançarmos: 
 
10  “n” ; 3  “i” ; 200  “CHS”  “PMT” ; apertar “FV” 
 
A resposta será R$ 2.292,78. 
 
 
6) Por fim, devemos ficar atentos para verificar onde estará a resposta encontrada. Ela 
estará SEMPRE conforme o padrão que vimos antes, ou seja, se for termos 
vencidos: 
 
“P” estará um período ANTES da 1ª parcela 
 
“S” estará JUNTO com a última parcela. 
 11 
4.3 – Séries de pagamentos iguais com termos antecipados 
 
Nessa série de pagamentos, os termos vencem no início de cada período. Assim, a primeira 
prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do contrato do 
empréstimo, do financiamento ou de qualquer outra operação que implique pagamentos ou 
recebimentos de prestações. 
 
As fórmulas utilizadas para termos antecipados são as mesmas das utilizadas para termos 
vencidos, bastando multiplicá-las ou dividi-las por (1 + i). Senão vejamos: 
 
Fator de Acumulação de Capital (FAC) =  





 

i
i
iRS
n
11
)1(
 
 
Fator de Formação de Capital (FFC) = 
    






111
n
i
i
i
S
R
 
 
Fator de Valor Atual (FVA) =  
 









ii
i
iRP
n
n
1
11
)1(
 
 
Fator de Recuperação de Capital (FRC) = 
 
 
 










11
1
1
n
n
i
ii
i
P
R
 
 
DICA: 
 
Essas fórmulas acima serão utilizadas para se calcular o valor de “P”, “S” e “R” a partir dos 
dados fornecidos. Portanto, podemos dizer que os valores encontrados serão valores 
“calculados” que deverão estar sempre localizados na linha do tempo dentro de “padrões” 
pré-estabelecidos ou seja: 
 
O “P” e o “S” calculados de séries de pagamentos com termos antecipados estarão 
SEMPRE localizados como segue  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PADRÃO TERMOS ANTECIPADOS 
 
 P S 
 
 
 
 ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ 
 1ª Ultima 
 parcela parcela 
 12 
 
O “P” calculado estará sempre JUNTO da 1ª parcela, e o “S” calculado estará sempre 1 
período (mês, quinzena, ano, etc) APÓS a última parcela. 
 
Portanto, se os dados fornecidos pelos problemas estiverem “fora” do padrão, teremos que 
levá-los para o local correto, de modo que os mesmos fiquem no padrão. 
 
Vejam o exemplo a seguir: 
 
Qual o montante ao final de 2 anos de 10 aplicações bimestrais de R$ 120,00 cada, 
sabendo-se que a taxa de juros obtida é de 25% a.a. e que a primeira aplicação foi feita 
hoje? 
 
 
Os dados desse problema são: 
 
n = 10 parcelas bimestrais 
R = R$ 120,00 
i = 3,7890815% ao bimestre 
S = ? (ao final de 24 meses) 
 
Observe que se calcularmos o “S” utilizando a fórmula   





 

i
i
iRS
n
11
)1(
 
encontraremos o valor de S = 1.480,78. Se verificarmos o desenho do “Padrão Termos 
Antecipados” podemos concluir que esse valor encontrado para o “S” está 1 período (nesse 
exemplo o período é bimestral) APÓS a última parcela, ou seja, o “S” calculado está 
localizado no mês 20. Como o montante pedido está no final do mês 24, teremos que levar 
o “S” calculado para o mês 24. Faremos isso capitalizando o “S” calculado por 4 meses. 
Como já possuímos a taxa bimestral, iremos capitalizar o “S” calculado por 2 bimestres. 
Veja como: 
 
S = “S” calculado x 
 ni1
  S = 1.480,78 x 
 2037890815,1
  S = 1.595,12. Enfim, o 
valor do montante ao final de 2 anos será de R$ 1.595,12. 
 
NÃO SE ESQUEÇA: 
 
Para se fazer os cálculos utilizando-se a calculadora financeira, devemos primeiro “avisar” 
a mesma que iremos utilizar séries de pagamentos antecipados, ou seja, que as prestações 
estarão todas nos inícios dos respectivos períodos. Portanto devemos apertar “g” “begin” 
antes de lançarmos os dados na calculadora. 
 
 
 
 
 
 13 
 
 
5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
 
Nesse capítulo teremos conhecimento dos sistemas de amortização mais utilizados no 
Brasil, quais sejam, o Sistema Francês (Tabela Price), o Sistema de Amortização 
Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Misto (SAM). Daremos mais ênfase ao 
primeiro sistema, que é amplamente utilizado em todos os setores financeiros e de 
capitais, enquanto que os dois últimos são mais utilizados pelo SFH – Sistema 
Financeiro de Habitação para aquisição da casa própria. A calculadora HP-12C e 
outras calculadoras financeiras já são programadas para cálculo da Tabela Price. 
 
 
 
5.1 – Tabela Price: 
 
 
Trata-se de um financiamento qualquer, onde as prestações serão sempre calculadas pelo 
conceito de termos vencidos. “Dentro” de cada prestação, teremos uma parte referente aos 
juros pagos e outra referente à amortização da dívida. Vamos analisar o exemplo a seguir: 
 
“Calcular os valores das parcelas de juros e de amortização referentes à primeira prestação 
de um empréstimo de R$ 8.530,20 à taxa de 3% ao mês, para ser liquidado em 10 
prestações iguais”: 
 
 
 
5.1.1 – Resolução pela equação: 
 
 
A) Primeiro temos que calcular o valor das prestações conforme aprendemos no 
capítulo IV: 
 
Dados: 
 
P = 8.530,20 
n = 10 prestações mensais 
i = 3% a.m. 
 
 
Fórmula: 
 
 
  11
1



n
n
i
xii
PxR
  R = 8.530,20 x  
  103,1
03,003,1
10
10

x
  R = 1.000,00 
 
 14 
 
 
B) Cálculo do valor da parcela de juros (J) da primeira prestação: 
 
Dados: 
 
P = 8.530,20 
n = 1 mês (1ª prestação) 
i = 3% a.m. 
 
Fórmula: J = Pin  J = 8.530,20 x 0,03 x 1  J = 255,91 
 
C) Cálculo do valor da parcela de amortização (A) da primeira prestação: 
 
Fórmula: A = R – J  A = 1.000,00 – 255,91  A = 744,09 
 
Vimos, portanto, que na 1ª prestação de valor R$ 1.000,00 temos uma parte de R$ 255,91 
referentes aos juros pagos e outra parte de R$ 744,09 referentes à amortização da dívida. 
Podemos concluir que a dívida, cujo valor inicial era de R$ 8.530,20 foi reduzida apenas 
pela amortização paga, visto que os juros referem-se aos ganhos da financeira. 
 
Portanto, o saldo devedor após o pagamento da 1ª parcela será de: 
 
R$ 8.530,20 – R$ 744,09 = R$ 7.786,11 
 
É sobre esse saldo devedor que iremos calcular o valor dos juros e da amortização da 2ª 
prestação, achando-se o novo saldo devedor após o pagamento da 2ª parcela, e assim por 
diante, até o final do financiamento. 
 
A tabela abaixo mostra os resultados obtidos: 
 
 
 
t 
Saldo Devedor 
(Pt) 
Amortização 
(At) 
Juros 
(Jt) 
Prestação 
(R) 
0 8.530,20 - - - 
1 7.786,11 744,09 255,91 1.000,00 
2 7.019,69 766,42 233,58 1.000,00 
3 6.230,28 789,41 210,59 1.000,00 
4 5.417,19813,09 186,91 1.000,00 
5 4.579,71 837,48 162,52 1.000,00 
6 3.717,10 862,61 137,39 1.000,00 
7 2.828,61 888,49 111,51 1.000,00 
8 1.913,47 915,14 84,86 1.000,00 
9 970,87 942,60 57,40 1.000,00 
10 - 970,87 29,13 1.000,00 
TOTAL - 8.530,20 1.469,80 10.000,00 
 15 
 
 
Podemos estabelecer agora novas variáveis (t) para se definir de qual parcela queremos 
calcular os juros ou a amortização. Dessa forma, de uma maneira genérica, iremos definir o 
valor de t = 0 para o momento “zero’, ou seja, o momento em que se realiza o 
financiamento. Teremos t = 1 para definir o momento 1, onde se irá pagar a 1ª prestação, o 
momento t = 2 para a 2ª prestação, e assim por diante. Como no nosso exemplo o 
financiamento será pago em 10 prestações, teremos o último momento onde t = 10. 
 
Para se calcular qualquer valor da tabela, iremos nos utilizar de uma série de relações 
matemáticas, como as que seguem: 
 
 
1) Cálculo da Prestação (R): 
 
Dados: 
 
0P
 = 8.530,20 
i = 3% a.m. 
n = 10 prestações mensais 
 
Fórmula: R = 
0P
 x FRC(i, n)  R = 8.530,20 x  
  103,1
03,003,1
10
10

x
  R = 1.000,00 
 
2) Valor do saldo devedor de ordem t: 
 
Fórmula: P
t
 = R x FVA(i, n-t) 
 
Exemplo: Calcular o saldo devedor após o pagamento da 4ª parcela: 
 
Dados: 
 
R = 1.000,00 
n = 10 parcelas mensais 
i = 3% a.m. 
t = 4 
 
P
4
 = R x FVA (3%, 10 – 4)  P
4
 = 1.000 x  
  03,003,1
103,1
6
6
x
  P
4
 = 5.417,19 
 
3) Valor do saldo devedor de ordem (t – 1) 
 
Fórmula: P
1t
 = R x FVA (i, n – t + 1) 
 
 16 
 
 
4) Valor da parcela de juros de ordem t: 
 
Fórmula: J
t
 = i x P
1t
 
 
Juntando 3 e 4 teremos: J
t
 = i x R x FVA (i, n – t + 1) 
 
Exemplo: Calcular os juros da 8ª parcela: 
 
Dados: 
 
R = 1.000 
i = 3% a.m. 
n = 10 parcelas mensais 
t = 8 
J
8
 = 0,03 x 1.000 x  
  03,003,1
103,1
3
3
x

  J
8
 = 84,86 
 
 
5) Valor da 1ª parcela de amortização: 
 
Fórmula: A
1
 = R – i x P
0
 
 
 
6) Valor da parcela de amortização de ordem t: 
 
Fórmula: A
t
 = A
1
 (1 + i) 1t 
 
Juntando 5 e 6 teremos: A
t
 = (R – i x P
0
) x (1 + i) 1t 
 
Exemplo: Calcular o valor da amortização da 9ª parcela 
 
Dados: 
 
R = 1.000 
i = 3% a.m. 
n = 10 parcelas mensais 
t = 9 
n = 10 
 
A
9
 = (1.000 – 0,03 x 8.530,20) x (1,03) 8  A
9
 = (744,09) x (1,03) 8  A
9
 = 942,60 
 
 
 17 
 
 
7) Valor das amortizações acumuladas até o período de ordem t (a partir da 1ª) 
 
Fórmula: 


t
n
hA
1
 = R [ FVA (i, n) – FVA (i, n –t)] 
 
Exemplo: Calcular o valor da amortização acumulada até o 6º mês (soma das 
amortizações das 6 primeiras prestações): 
 
Dados: 
 
R = 1.000 
i = 3% a.m. 
n = 10 parcelas mensais 
t = 6 
n = 10 
 


6
1
6
n
A
 = R [ FVA (3%, 10) – FVA (3%, 10 – 6)] 
 


6
1
6
n
A
 = 1000 [  
 
 
  03,1003,1
103,1
03,003,1
103,1
4
4
10
10
xx



]  


6
1
6
n
A
 = 1.000 [4,813104427] 
 
 


6
1
6
n
A
 = 4.813,10 
 
Para conferir, basta somar na tabela os 6 primeiros valores da amortização: 
 
744,09 + 766,42 + 789,41 + 813,09 + 837,48 + 862,61 = 4.813,10 
 
 
8) Valor das amortizações acumuladas sobre os períodos de ordem t e “ t + k” : 
 
Fórmula: 



kt
th
hA
1
 = R [ FVA (i, n – t) - FVA (i, n – t – k)] 
 
em que o termo “k’ representa o número de parcelas de amortização compreendidas no 
intervalo considerado. 
 
Exemplo: Calcular o valor acumulado das amortizações entre o 5º e o 8º mês (entre a 5ª 
e a 8ª prestação). 
 
 18 
NOTA: ao mencionar “entre a 5ª e a 8ª prestação” entende-se a 5ª exclusive e a 8ª 
inclusive, ou seja, é a soma das amortizações da 6ª, 7ª e 8ª parcelas. 
 
Dados: 
 
R = 1.000 
i = 3% a.m. 
n = 10 parcelas mensais 
t = 5 
k = 3  (8 – 5) 
 



35
15h
hA
 = R [ FVA (3%, 10 – 5) - FVA (3%, 10 – 5 – 3)] 
 


8
6h
hA
 = 1.000  
 
 
 





 


03,003,1
103,1
03,003,1
103,1
2
2
5
5
xx
 


8
6h
hA
 = 1.000 [ 4,5790718 – 1,913469696 ]  


8
6h
hA
 = 1.000 [ 2,666237484 ] 
 


8
6h
hA
 = 2.666,24 
 
Conferindo: 862,61 + 888,49 + 915,14 = 2.666,24 
 
 
9) O valor dos juros acumulados até o período de ordem t (a partir da 1ª): 
 
Fórmula: 


t
h
hJ
1
 = R [ t – FVA (i, n) + FVA (i, n – t)] 
 
Exemplo: Calcular o valor dos juros acumulados até a 5ª prestação: 
 
Dados: 
 
R = 1.000 
i = 3% a.m. 
n = 10 parcelas mensais 
t = 5 
 


5
1h
hJ
 = R [ t – FVA (3%, 10) + FVA (3%, 10 – 5)] 
 
 
 19 


5
1h
hJ
 = 1.000  
 
 
 





 



03,003,1
103,1
03,003,1
103,1
5
5
5
10
10
xx
 
 
 


5
1h
hJ
 = 1.000 [ 5 – 8,530202830 + 4,579707180 ]  


5
1h
hJ
 = 1.000 [1,04950435 ] 
 


5
1h
hJ
 = 1.049,50 
 
Conferindo: 255,91 + 233,58 + 210,59 + 186,91 + 162,52 = 1.049,51 
 
 
10) Valor dos juros acumulados entre os períodos de ordem t e t + k 
 
Fórmula: 



kt
th
hJ
1
 = R [ k – FVA (i, n – t) + FVA (i, n – t – k)] 
 
Exemplo: Calcular o valor dos juros acumulados entre o 2º e o 6º mês ; ou entre a 2ª e a 
6ª prestação. (Lembre-se que é a 2ª exclusive e a 6ª inclusive). 
 
Dados: 
 
R = 1.000 
i = 3% a.m. 
n = 10 parcelas mensais 
t = 2 
k = 4  (6 – 2) 
 



42
12h
hJ
 = R [ 4 – FVA (3%, 10 – 2) + FVA (3%, 10 – 2 – 4) ] 
 


6
3h
hJ
 = 1.000  
 
 
 





 



03,003,1
103,1
03,003,1
103,1
4
4
4
8
8
xx
 
 


6
3h
hJ
 = 1.000 [ 4 – 7,019692181 + 3,717098403 ]  


6
3h
hJ
 = 1.000 [ 0,697406222 ] 
 


6
3h
hJ
 = 697,41 
 
Conferindo: 210,59 + 186,91 + 162,52 + 137,39 = 697,41 
 20 
 
 
 
 
5.1.2 – Resolução pela calculadora HP-12C: 
 
Primeiro temos que entender como funciona a calculadora HP-12C: ela sempre “anda” de 
uma prestação para a outra acumulando os valores de juros e de amortização, 
respectivamente. Quando a calculadora “para” em alguma prestação, ela mostra o resultado 
acumulado no visor e “zera” internamente os valores, de modo que ao avançar novamente 
sobre as prestações, comece a acumular outra vez, ignorando os valores anteriores. 
 
Antes de mais nada, temos que preparar a calculadora, lançando os três dados conhecidos e 
calculando o quarto dado . Portanto: 
 
f CLx 0,0 Para limpar as memórias 
g END 0,0 Modo Termos Vencidos 
8.530,20 PV 8.530,20 valor do financiamento em zero 
3 i 3,00 taxa de juros 
10 n 10,0 número de parcelas 
? PMT 1.000,00 valor das parcelas 
 
Após calcularmos o valor das prestações, estamos prontos para iniciar. Vejamos o mesmo 
exemplo dado no livro texto (tabela): 
 
1) Valor da parcela de juros da 1ª prestação: 
 
Como estamos “parados” no zero, temos que caminhar para frente. Apertando-se: 
 “1 f amort” estaremos “dentro” da 1ª prestação. Como a calculadora anda 
acumulando os valores, e como tínhamos zero antes, o valor encontradoserá o valor da 
1ª prestação. 
 
O primeiro número que aparece no visor é referente aos juros da 1ª parcela (255,91). O 
sinal negativo é para nos lembrar de que trata-se de um desembolso (fluxo de caixa). 
 
Se apertarmos agora a tecla “x > < y”, iremos encontrar no visor o valor da parcela 
referente à amortização da primeira parcela. (744,09). 
 
Para calcular o saldo devedor após o pagamento da 1ª parcela basta apertar “RCL PV” 
que iremos encontrar no visor o valor de 7.786,11. 
 
Portanto, esses são os valores referentes à 1ª prestação. Como estamos “parados” na 1ª 
prestação, e a calculadora sempre “zera” quando pára, basta apertar novamente: 
“1 f amort” que entraremos na segunda prestação e assim podemos encontrar os 
valores referentes à parcela dos juros (233,58); apertando-se “x > < y” o valor da 
amortização (766,42) e “RCL PV” o valor do saldo devedor após o pagamento da 2ª 
prestação (7.019,69). 
 21 
 
 
 
 
Se quisermos voltar para o início (zero), basta lançarmos o valor financiado (P
0
) em 
“PV”, tomando-se o cuidado de manter o mesmo sinal para efeito de fluxo de caixa: 
 
8.530,20 PV 8.503.20 Valor do financiamento 
 
Dessa forma, a calculadora volta para o momento zero, permitindo que se faça qualquer 
cálculo novamente. 
 
IMPORTANTE: 
 
A calculadora somente “anda” para frente e acumulando valores. Não existe 
possibilidade de andar para trás. Portanto, sempre que for fazer um cálculo novo, volte 
para o momento zero, lançando o valor do financiamento em PV. 
 
 
2) Calcular os juros acumulados até a 7ª prestação (a partir da 1ª) 
 
7 f amort 1.298,41 valor do somatório dos juros da 1ª à 7ª 
 
 
3) Calcular a amortização acumulada até a 4ª prestação (a partir da 1ª) 
 
8.530,20 PV 8.530,20 valor do financiamento em zero 
4 f amort 886,99 valor dos juros acumulados (1ª a 4ª) 
x > < y 3.113,01 valor das amortizações acumuladas 
 
 
4) Calcular o valor dos juros da 8ª prestação: 
 
8.530,20 PV 8.530,20 valor do financiamento em zero 
 
Lembre-se que a calculadora sempre anda acumulando os valores. Portanto, não 
podemos apertar “8 f amort” pois iremos obter os juros acumulados da 1ª à 8ª 
prestações. Temos que ir até a 7ª prestação, parar (para zerar a calculadora) e andar 
mais 1 prestação. 
 
7 f amort 1.298,41 juros acumulados (1ª a 7ª) 
1 f amort 84,86 parcela de juros da 8ª prestação 
 
Como nós paramos na 7ª prestação, a calculadora “zerou” internamente todos os 
cálculos. Quando andamos mais 1 prestação (da 7ª para a 8ª), ela somou zero aos 
valores da 8ª prestação e, portanto, nos forneceu os dados internos da 8ª prestação. 
 22 
 
 
 
 
5) Calcular o valor dos juros acumulados entre a 3ª e a 7ª prestação: 
 
8.530,20 PV 8.530,20 valor do financiamento em zero 
3 f amort 700,08 valor dos juros acumulados (1ª a 3ª) 
4 f amort 598,33 juros acumulados (entre a 3ª e a 7ª) 
 
Verifique que para calcularmos os juros acumulados em um intervalo, vamos direto 
para a primeira prestação do intervalo, paramos para zerar os cálculos e depois andamos 
o número de prestações que houver entre a primeira e a última. Para isso basta 
subtrairmos a última da primeira prestação do intervalo: 7 – 3 = 4. 
 
Podemos observar que na calculadora também utilizamos o princípio “primeira 
prestação exclusive e a última inclusive”. 
 
 
6) Calcular o valor acumulado das amortizações entre a 2ª e a 9ª prestação. 
 
8.530,20 PV 8.530,20 valor do financiamento em zero 
2 f amort 489,49 juros acumulados (até a 2ª) 
7 f amort 951,18 juros acumulados (entre a 2ª e a 9ª) 
x > < y 6.048,82 amortização acumulada (entre 2ª e 9ª) 
 
 
DICAS: o único valor que a calculadora não acumula é o saldo devedor, portanto se 
quisermos calcular o saldo devedor após o pagamento da 9ª prestação por exemplo, 
basta voltarmos a zero e irmos direto à 9ª prestação e apertarmos “RCL PV”. 
 
 
 
6.2 – Sistema de Amortização Constante (SAC): 
 
 
Este é um sistema extremamente simples, pois basta dividirmos o valor do financiamento 
pelo número de prestações para acharmos o valor da amortização, que como já diz o nome 
do sistema, ficará constante até o final do pagamento das prestações. O valor dos juros será 
calculado sobre o saldo devedor de cada prestação. Veja o exemplo abaixo, da página 230 
do livro texto: 
 
Exemplo: 
 
Elaborar um plano de pagamentos, com base no SAC, correspondente a um empréstimo de 
R$ 100.000,00 à taxa de 3% ao mês, a ser liquidado em 10 prestações mensais. 
 
 23 
 
 
 
Solução: Primeiro temos que calcular o valor das amortizações: 
 
Amortização constante  A = 
n
P0
 = 
10
00,000.100
 = 10.000,00 
 
Primeira prestação: R
1
 = A + J
1
  R
1
 = 10.000,00 + (0,03 x 100.000,00) = 13.000,00 
 
Segunda prestação: R
2
 = A + J
2
  R
2
 = 10.000,00 + (0,03 x 90.000,00) = 12.700,00 
 
Terceira prestação: R
3
 = A + J
3
  R
3
 = 10.000,00 + (0,03 x 80.000,00) = 12.400,00 
 
E assim sucessivamente. Veja a tabela abaixo com o plano global de pagamentos: 
 
 
 
 
t 
Saldo Devedor 
(Pt) 
Amortizações 
Constantes (A) 
Juros 
(Jt) 
Prestação 
(Rt) 
0 100.000,00 - - - 
1 90.000,00 10.000,00 3.000,00 13.000,00 
2 80.000,00 10.000,00 2.700,00 12.700,00 
3 70.000,00 10.000,00 2.400,00 12.400,00 
4 60.000,00 10.000,00 2.100,00 12.100,00 
5 50.000,00 10.000,00 1.800,00 11.800,00 
6 40.000,00 10.000,00 1.500,00 11.500,00 
7 30.000,00 10.000,00 1.200,00 11.200,00 
8 20.000,00 10.000,00 900,00 10.900,00 
9 10.000,00 10.000,00 600,00 10.600,00 
10 - 10.000,00 300,00 10.300,00 
TOTAL 100.000,00 16.500,00 116.500,00 
 
 
 
6.3 – Sistema de Amortização Misto (SAM): 
 
Constitui-se num misto entre o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) e o Sistema 
de Amortização Constante (SAC). O SAM é um plano de pagamentos composto por 
prestações cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos 
planos SAC e Price, correspondentes aos respectivos prazos. Os valores das parcelas de 
amortização e juros também são resultante da mesma regra, ou seja, são a média aritmética 
dos valores encontrados pelos sistemas SAC e Price. 
 
 
 24 
 
 
Abaixo temos uma tabela com os valores de cada um dos sistemas estudados onde podemos 
compará-los. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t 
SISTEMA FRANCÊS SAC SAM 
Pt At Jt R Pt A Jt Rt Pt At Jt Rt 
0 12.000,00 - - - 12.000 - - - 12.000,00 - - - 
1 11.105,28 894,72 240,00 1.134,72 11.000 1.000 240 1.240 11.052,64 947,36 240,00 1.187,36 
2 10.192,67 912,61 222,11 1.134,72 10.000 1.000 220 1.220 10.096,34 956,30 221,06 1.177,36 
3 9.261,80 930,87 203,85 1.134,72 9.000 1.000 200 1.200 9.130,90 965,44 201,92 1.167,36 
4 8.312,32 949,48 185,24 1.134,72 8.000 1.000 180 1.180 8.156,16 974,74 182,62 1.157,36 
5 7.343,85 968,47 166,25 1.134,72 7.000 1.000 160 1.160 7.171,93 984,23 163,13 1.147,36 
6 6.356,01 987,84 146,88 1.134,72 6.000 1.000 140 1.140 6.178,01 993,92 143,44 1.137,36 
7 5.348,41 1.007,60 127,12 1.134,72 5.000 1.000 120 1.120 5.174,21 1.003,80 123,56 1.127,36 
8 4.320,66 1.027,75 106,97 1.134,72 4.000 1.000 100 1.100 4.160,34 1.013,87 103,49 1.117,36 
9 3.272,35 1.048,31 86,41 1.134,72 3.000 1.000 80 1080 3.136,18 1.024,16 83,20 1.107,36 
10 2.203,08 1.069,27 65,45 1.134,72 2.000 1.000 60 1.060 2.101,54 1.034,64 62,72 1.097,36 
11 1.112,42 1.090,66 44,06 1.134,72 1.000 1.000 40 1.040 1.056,21 1.045,33 42,03 1.087,36 
12 - 1.112,4222,30 1.134,72 - 1.000 20 1.020 - 1.056,21 21,15 1.077,36 
TOTAL 12.000,00 1.616,64 13.616,64 - 12.000 1.560 13.560 - 12.000,00 1.588,3
2 
13.588,32