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Lista de Questões - Distribuição Normal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CC265 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROF. FELIPE LOUREIRO/MANOEL CASTRO 
 
Lista de Questões de Provas – 2AP 
 
1) Uma máquina foi regulada para fabricar placas de 5 mm de espessura média. A distribuição da 
espessura pode ser bem representada por uma distribuição Normal. Iniciada a produção, foi 
escolhida uma amostra de tamanho n=10, que forneceu as medidas de espessura listadas abaixo. 
No nível de significância de 1%, pode-se afirmar que a regulagem da máquina foi satisfatória? 
Resolva esta questão por meio de um teste de hipótese. Em seguida, resolva-a por meio de um 
intervalo de confiança. 
 
5,1 4,8 5,0 4,7 4,8 5,0 4,5 4,9 4,8 5,2 
 
2) O DER-CE deseja consultar a população de Fortaleza para determinar que proporção dos 
motoristas desta cidade concordou com a redução do limite de velocidade da Av. Washington 
Soares de 80km/h para 60km/h. Quantos motoristas deverão ser entrevistados se os engenheiros 
do DER-CE quiserem estar no mínimo 99% confiantes de que a proporção da amostra esteja a uma 
distância máxima de 5% da proporção verdadeira? 
 
3) Em um estudo de análise da eficácia de uma lombada eletrônica, foram observados 24 veículos 
passando por uma via local na seção onde foi instalado o equipamento de detecção de velocidade. 
Nessa amostra, a velocidade média observada foi de 26,7 km/h (desvio padrão de 5,0 km/h). 
Assumindo que as velocidades na seção pesquisada seguem uma distribuição Normal e que a 
velocidade máxima regulamentada na lombada eletrônica é de 30 km/h, será que podemos afirmar, 
com um grau de confiança de 95%, que o equipamento é eficaz no controle da velocidade (na 
Engenharia de Tráfego, considera-se que uma velocidade máxima está sendo respeitada se o 85º 
percentil da população de velocidades estiver abaixo do limite regulamentado)? 
 
4) Um estudo de acidentes de trânsito analisou 100 vítimas fatais selecionadas aleatoriamente, dentre 
as quais 33 eram pedestres. 
a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de confiança de 90% para a proporção de 
vítimas fatais pedestres; 
b) Utilizando os dados amostrais como estudo piloto, determine o tamanho da amostra 
necessário para estimar a proporção populacional de vítimas fatais pedestres. Admita um grau 
de confiança de 98%, com um erro de estimativa inferior a 1%. 
 
5) Na pesquisa de intenção de voto para prefeito de Fortaleza (2012), realizada na véspera do dia das 
eleições do 1º turno pelo IBOPE, foram entrevistados 805 eleitores, tendo os candidatos Elmano, 
Roberto Cláudio, Moroni e Heitor Ferrer, respectivamente, 26%, 22%, 17%, e 14% das declarações 
de voto. Qual a maior margem de erro admissível nesta pesquisa, adotando-se um grau de 
confiança de 95%? Quais as margens de erro na estimativa intervalar da proporção de votos de 
cada candidato, assumindo que a proporção populacional está em torno dos percentuais 
encontrados nesta amostra? Constatado que o resultado do 1º. turno da eleição realizada no dia 
08/10/12 apresentou percentuais significativamente diferentes dos amostrados, que argumentos o 
presidente do IBOPE poderia ter apresentado para justificar tal fato? 
 
6) Em pesquisa (fictícia) realizada com 500 habitantes de Fortaleza, 380 se mostraram contrários à 
privatização de concessionárias de serviços públicos. 
 
a) Construa um IC bilateral para a proporção de fortalezenses que são desfavoráveis à 
privatização dessas empresas, com grau de confiança de 99%; 
b) Qual deveria ser o tamanho da amostra para que se estivesse confiante que o erro de 
estimativa não excedesse 4%? 
c) Com que grau de confiança se poderia dizer que a proporção populacional está entre 0,76  
0,037? 
 
7) Sabe-se que o consumo mensal “per capita” de um determinado produto pode ser bem aproximado 
por uma distribuição Normal, com desvio padrão 2 kg. A diretoria de uma empresa que fabrica esse 
produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo “per capita” 
fosse menor que 8 kg. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 
consumidores e verificou-se que o consumo mensal dos indivíduos pesquisados totalizava 180 kg. 
 
a) construa um intervalo unilateral, com grau de confiança de 96% e, com base na amostra 
pesquisada, determine qual a decisão a ser tomada pela diretoria da empresa. 
b) se a diretoria tivesse fixado um grau de confiança de 99%, a decisão do item a seria a 
mesma? 
 
8) A tensão de ruptura de um certo tipo de cabo de aço pode ser bem aproximada por uma 
distribuição Normal (=15 ; 2=9). Um novo processo é experimentado para fabricar o cabo e uma 
amostra de 9 peças de comprimento padrão resultou em um valor médio de ruptura de 18. 
 
a) Defina um intervalo de confiança para a tensão de ruptura média dos cabos produzidos pelo 
novo processo, com nível de confiança de 95% (assuma que este processo novo não vai 
alterar a homogeneidade dos cabos produzidos). Você aceitaria a alegação de que o novo 
processo não elevou a tensão de ruptura média dos cabos produzidos na fábrica? Por quê? 
b) Qual deve ser o tamanho n da amostra para que a tensão de ruptura média esteja entre 14 e 
16 com 92,82% de probabilidade? 
 
9) Um ensaio das tensões de ruptura de 6 cabos de aço produzidos por uma indústria mostrou que a 
tensão média de ruptura é de 7.850 kgf/cm2 e que o desvio padrão é de 145 kgf/cm2. É possível 
aceitar a afirmação do fabricante que diz que a tensão média é no mínimo de 8.000 kgf/cm2, no 
nível de significância de 2,5%? Suponha normalidade da população. 
 
10) Um fabricante de refrigerantes está interessado na uniformidade da máquina usada para encher as 
latas, já que as especificações de comercialização do produto exigem que o desvio padrão do 
processo de enchimento seja menor que 5,7 ml (caso contrário, haverá uma porcentagem mais alta 
do que o tolerável de latas com volume fora do especificado). Uma amostra aleatória de 20 latas 
resultou em uma variância amostral de 18,2 ml2. Supondo que o volume de refrigerante nas latas 
seja bem representado por uma distribuição Normal, qual a sua conclusão, com grau de confiança 
de 95%, sobre o processo de enchimento utilizado pelo fabricante? 
 
11) No passado, certo grupo de máquinas acusou tempo médio entre reparos de 200 horas de 
operação. Os operários do departamento acabam de completar um programa de treinamento que 
enfatizou a manutenção preventiva da maquinaria. Os 15 defeitos que se seguiram apresentaram 
um tempo intermediário médio de 210 horas, com desvio padrão de 11 horas. Isto constitui 
evidência de que o tempo médio entre falhas tenha aumentado, com um nível de significância de 
2,5%? 
 
12) O gerente do controle aéreo do aeroporto de São Paulo está interessado em conhecer o tempo que 
as 300 aeronaves 737 das companhias aéreas brasileiras necessitam para aterrissar, medindo este 
tempo entre o instante que o piloto inicia a operação de descida e o instante que o avião abandona 
a pista de aterrissagem. Se o tempo de aterrissagem médio em uma amostra aleatória de 33 aviões 
pesquisados foi de 21 minutos com desvio padrão igual a 4,5 minutos, você recomendaria uma 
programação de aterrissagem de aeronaves que assumisse um tempo médio de 25 minutos, com 
grau de confiança de 99%? 
 
13) Em um estudo de análise da eficácia de uma lombada eletrônica, foram observados 24 veículos 
passando por uma via local na seção onde foi instalado o equipamento de detecção de velocidade. 
A velocidade média de aproximação desses veículos observada à montante do equipamento foi 
igual a 47,9 km/h, com desvio padrão de 3,4 km/h. Exatamente sobre a lombada eletrônica, a 
velocidade média observada foi de 26,7 km/h (desvio padrão de 5,0 km/h). Enquanto que numa 
seção localizada 50m à jusante do equipamento a velocidade média foi de 43,2 km/h (desviopadrão de 5,6 km/h). 
 
a) Assumindo que as velocidades em qualquer seção pesquisada seguem uma distribuição 
Normal e que a velocidade máxima regulamentada na lombada eletrônica é de 30 km/h, será 
que podemos afirmar, com um grau de confiança de 95%, que o equipamento é eficaz no 
controle da velocidade (na Engenharia de Tráfego, considera-se que uma velocidade 
máxima está sendo respeitada se o 85º percentil da população de velocidades estiver abaixo 
do limite regulamentado)? 
 
b) Você arriscaria classificar a lombada eletrônica como mecanismo eficiente de redução de 
velocidade, comparando a velocidade média observada à montante do equipamento com 
aquela observada 50m à jusante (nível de significância de 5%)? 
 
14) Montou-se uma central telefônica na suposição de que as chamadas ocorressem à razão de 2,2 por 
minuto e que a distribuição chamadas/minuto pudesse ser aproximada por uma distribuição de 
Poisson. A observação cuidadosa de um período de 1.000 minutos deu os seguintes resultados: 
 
Chamadas/minuto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ou mais Total 
Número de minutos 20 130 150 220 185 140 100 55 0 1000 
 
Use o teste Qui-Quadrado ao nível de 10% para testar a suposição inicial. 
 
15) Apresenta-se, a seguir, uma relação de dados sócio-econômicos do Município de Fortaleza, por 
zonas de análise de tráfego, extraídos da pesquisa domiciliar realizada em 1977 para o PDTU/FOR 
- Plano Diretor de Transportes Urbanos de Fortaleza. Deseja-se testar alguns modelos de 
regressão linear que estimem o “número de deslocamentos gerados em cada zona” (variável 
dependente), com base nas variáveis “número de domicílios”, “empregos ofertados” e “veículos 
privados registrados” por zona. Para tanto, siga os passos seguintes e responda: 
 
a) com base no grau de correlação entre as variáveis, selecione a variável independente que 
melhor pode descrever o comportamento da variável dependente; 
b) determine uma relação linear entre estas variáveis (y = a + bx), estimando os coeficientes a e b , 
assim como calculando o seu coeficiente de determinação; 
c) qual o total estimado de deslocamentos originados numa zona que apresente 3.452 domicílios, 
12.534 empregos e 1.544 veículos? 
d) quais as restrições inerentes à utilização deste modelo de regressão simples para fazer 
estimativas acerca do número de deslocamentos realizados em cada zona? 
e) caso você fosse desenvolver um modelo de regressão múltipla com duas variáveis 
independentes, quais você escolheria? Descreva em detalhes o processo de seleção do melhor 
modelo. 
 
 
Zona Número de Empregos Veículos Deslocamentos 
 Domicílios Ofertados Privados Observados 
1 2.178 8.656 685 26.767 
2 1.758 2.236 24 4.409 
3 2.324 6.397 1.066 23.279 
4 11.474 10.579 1.642 39.914 
5 28.086 24.091 3.619 85.697 
 
 
16) Considere uma amostra de velocidades medidas em uma seção da CE-040. As observações foram 
feitas em ambos os sentidos do tráfego. Baseada em uma amostra de 158 veículos, o tráfego no 
sentido leste apresentou uma velocidade média de 83,3 km/h com um desvio padrão de 7,8 km/h. 
Já no sentido oeste, a velocidade média dos 100 veículos observados foi de 86,7 km/h, com desvio 
padrão de 9,4 km/h. Será que podemos afirmar, com um grau de confiança de 95%, que as 
velocidades médias nos dois sentidos são significativamente diferentes? 
 
17) A revista EXAME (30/6/99) apresenta uma notícia à qual se refere como "O Paradoxo das 
Estatísticas: Nos últimos três anos, a emissão de portes e registros de armas de fogo na cidade de 
São Paulo diminuiu ... mas o número de homicídios aumentou." Os dados são os seguintes: 
 
Ano Portes Registros Homicídios 
1996 8399 22025 4891 
1997 3509 8904 4778 
1998 2123 6714 5157 
 
a) De acordo com os dados acima, qual das variáveis independentes (porte ou registro) melhor 
explicaria o comportamento da variável dependente (homicídios)? 
b) Em função da resposta do item (a), desenvolva uma equação de regressão linear simples 
entre “homicídios” e a variável escolhida (estime os coeficientes a e b); 
c) Com base na variação verificada ao longo dos últimos três anos, projete o valor da variável 
explicativa para 2001 e estime qual o número esperado de homicídios ao final deste ano; 
d) Faça papel de “advogado do diabo” e critique o modelo proposto! 
 
18) Analisando dados de número de ocorrência de acidentes na área controlada pelo CTAFOR (ver 
tabela abaixo), registrados em dias úteis no período de janeiro a março de 2002, a partir das 
câmeras de vídeo do sub-sistema de CFTV, deseja-se verificar, ao nível de significância de 10%, se 
estas ocorrência seguem um padrão uniforme de variação horária, no período compreendido entre 
7:30 e 19:30 hs. 
 
Horário 7:30 8:30 9:30 10:30 11:30 12:30 13:30 14:30 15:30 16:30 17:30 18:30 
Ocorrências 34 29 31 30 26 37 35 32 29 25 39 38 
 
 
19) O tempo médio de permanência dos automóveis no estacionamento interno de um shopping center 
foi analisado para se verificar possíveis diferenças no comportamento dos clientes entre os dias de 
sexta-feira e sábado. As estatísticas observadas nas duas amostras coletadas estão indicadas no 
quadro abaixo. Com 90% de confiança, qual seria sua conclusão? 
 
Estatística n Média (min.) Desvio Padrão (min.) 
Sexta 626 41,4 27,44 
Sábado 999 35,8 38,27 
 
20) Com base na amostra apresentada na tabela abaixo, deseja-se calibrar um modelo de regressão 
linear simples que busque explicar o comportamento da variável “teor de asfalto” em projetos de 
pavimentos com revestimento de Concreto Betuminoso Usinado a Quente (CBUQ), a partir da 
variável “fração graúda de agregados”, representada pelo percentual de grãos retidos na peneira No 
10. 
 
Teor Asfáltico (%) 6,0 6,5 6,3 5,5 6,8 5,4 5,8 5,9 
Fração Graúda (%) 54,8 57,5 58,8 48,9 65,1 51,9 54,8 57,3 
 
a) faça um diagrama de dispersão e analise a correlação linear entre as duas variáveis; 
b) calibre o modelo e teste sua significância ao nível de 5%; 
c) caso você considere este modelo adequado, estime o teor de asfalto para um determinado 
agregado com fração graúda de 60%.

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