questoes de referencia de calculo

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1.
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k
	
	
	
	
	 
	k
	
	
	j - k
	
	
	j + k
	
	
	j
	
	
	i - j + k
	
	
	
		2.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j.
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1.
	
	
	
	
	 
	3t2 i  + 2t j
	
	
	  2t j
	
	
	t2 i + 2 j
	
	
	- 3t2 i + 2t j
	
	
	0
	
	
	
		3.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)  = t3 i  + t2 j.
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1.
	
	
	
	
	 
	6ti+j
	
	
	ti+2j
	
	
	6ti -2j
	
	 
	6ti+2j
	
	
	6i+2j
	
	
	
		4.
		Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
	
	
	
	
	 
	-cost j + t2 k + C
	
	
	2senti + cost j - t2 k + C
	
	
	πsenti - cost j + t2 k + C
	
	 
	2sent i - cost j + t2 k + C
	
	
	sent i - t2 k + C
	
	
	
		5.
		Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta.
	
	
	
	
	 
	(0,-1,2)
	
	
	(0,0,0)
	
	
	(0,0,2)
	
	
	(0,-1,-1)
	
	
	(0, 1,-2)
	
	
	
		6.
		Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
	
	
	
	
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	
	
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1+t ; y=2+5t
	
	
	
	
		1.
		Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
	
	
	
	
	
	- 11
	
	
	12
	
	
	5
	
	
	-12
	
	 
	11
	
	
	
		2.
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima,  indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
	
	
	
	
	 
	j + k 
	
	 
	i + k
	
	
	i  + j + k 
	
	
	i + j -  k
	
	
	i +  j
	
	
	
		3.
		Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
	
	
	
	
	
	v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
	
	 
	v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
	
	
	v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
	
	
	v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
	
	 
	v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
	
	
	
		4.
		Calcule a integral da função vetorial:
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k
 
	
	
	
	
	 
	3π2 +1
	
	
	π
	
	
	π2+1
	
	 
	3π4+1
	
	
	π4+1
	
	
	
		5.
		Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1
	
	
	
	
	
	y=(23)x-133
	
	 
	y=(23)x+133
	
	
	y=(13)x+133
	
	
	y=(23)x+103
	
	
	y=-(23)x+133
	
	
	
		6.
		Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0.
	
	
	
	
	 
	-aw2coswt i - aw2senwt j
	
	 
	-aw2coswt i - awsenwtj
	
	
	aw2coswt i + aw2senwtj
	
	
	aw2coswt i - aw2senwtj
	
	
	-w2coswt i - w2senwtj
	
	
	
		7.
		Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é:
	
	
	
	
	 
	2i  +  j  +  π24k
	
	
	2i + j + (π2)k
	
	 
	i+j-  π2 k
	
	
	2i -  j + π24k
	
	
	i - j - π24k
	
	
	
		8.
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
	
	
	
	
	 
	- i + j - k
	
	
	j - k
	
	
	i + j - k
	
	 
	i + j + k
	
	
	i - j - k
		.
		Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para  a derivada de  r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
	
	
	
	
	 
	(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
	
	
	(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k
	
	 
	t(cost - sent)i - t(sent  + cost)j + k
	
	
	(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1
	
	
	(sent - tcost)i + (sentcost)j - k
	
	
	
		2.
		Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z)
	
	
	
	
	 
	  1x+1y+1z +3cos(y+2z)
  
	
	
	 1x+1y+1z+2cos(y+2z)
  
	
	
	   1x+1y+1z +1cos(y+2z)
	
	
	(1x)+(1y)+(1z)  
	
	
	 1x+1y+1z+2cos(y+2z)
  
	
	
	
		3.
		Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
	
	
	
	
	
	9((rcos(θ))2+16r2=0
	
	
	9((rcos(θ))2 -16r2=400
	
	 
	9((rcos(θ))2+16r2=400
	
	
	16((rcos(θ))2+9r2=400
	
	 
	9((rcos(θ))2+r2=400
	
	
	
		4.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. Considere a resposta em t=π4
	
	
	
	
	
	(-22,- 22,-π4)
	
	 
	(-22,22,π2)
	
	 
	(-2,2,π4)
	
	
	(22,22,π4)
	
	
	(22,22,π2)
	
	
	
		5.
		Encontre o vetor aceleração da partícula de posição:
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3.
	
	
	
	
	 
	a(t)=e3i +29e3j-2e3k
	
	
	a(t)=3i +89j-6k
	
	 
	a(t)=3i+8j-6k
	
	
	a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k
	
	
	a(t)=e3i +2e3j-4e3k
	
	
	
		6.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t),  indicando a única resposta correta. 
	
	
	
	
	
	(sect,-cost,1)
	
	 
	(-sent, cost,1)
	
	
	(sent,-cost,1)
	
	
	(sent,-cost,2t)
	
	
	(sent,-cost,0)
	
	
	
		7.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
	
	
	
	
	 
	(1-cost,0,0)
	
	
	(1-sent,sent,0)
	
	 
	(1-cost,sent,0)
	
	
	(1-cost,sent,1)
	
	
	(1 +cost,sent,0)
	
	
	
		8.
		Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0.
	
	
	
	
	 
	1
	
	 
	3
	
	
	9
	
	
	2
	
	
	14
	
	1.
		Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado por:v(t)=dr(t)dt
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo.
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t.
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção.
Estão corretas apenas as afirmações:
		
	
	
	
	 
	I,II e III  
	
	
	I,II,III e IV
	
	
	I,II e IV    
	
	 
	I,III e IV      
	
	
	II,III e IV    
	
	
	
		2.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y
		
	
	
	
	 
	-6sen(x - 3y)
	
	 
	-6sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	-6sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	
		3.
		Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula quese move ao longo de uma curva lisa no plano.
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas:
1) (   ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula são   x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula.
 2) (   )  A velocidade é a derivada da posição,isto é:
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt
3) (   )  O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2.
4) (   )  A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja
a(t) = v'(t)= dv(t)dt
5) (   )  O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no instante t.
6) (   )  r(t)é lisa se for contínua e nunca 0.
 
		
	
	
	
	 
	1) (V)                       2)(V)                     3) (F)                   4)) (V)                     5)(V)         6) (F)
	
	
	1) (V)                  2)(F)                  3) (V)                        4) (V)                       5) (V)                6) (F)
	
	
	1) (V)            2)(F)               3) (F)                4)(V)                  5) (F)                         6) (V)
	
	 
	1) (V)          2)(V)             3) (V)                    4)(V)                  5) (V)                  6) (F)
	
	
	1) (V)                2)(F)               3) (V)                     4)(V)                 5) (V)                         6) (V) 
	
	
	
		4.
		Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0.
		
	
	
	
	
	awsenwt i + awcoswtj
	
	 
	-senwt i + coswtj
	
	
	-senwt i + awcoswtj
	
	 
	- awsenwt i + awcoswtj
	
	
	-awsenwt i - awcoswtj
	
	
	
		5.
		Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
		
	
	
	
	 
	∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	 
	∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	
	∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	
		6.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
		
	
	
	
	
	2cos(x - 3y)
	
	 
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x - 3y)
	
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	
	
		7.
		Calcule a velocidade de uma  partícula com vetor de posição r(t) =  (t2, et, tet).  Indique a única resposta correta.
		
	
	
	
	 
	(2,et,(1+t)et)
	
	
	(t,et,(1+t)et)
	
	 
	(2t,et,(1+t)et)
	
	
	(2t,et,(1 - t)et)
	
	
	(t,et,(2+t)et)
	
	
	
		8.
		Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 4r cosΘ
		
	
	
	
	
	(x + 2)2 + y2 = 4
	
	 
	(x - 2)2 + y2 = 4
	
	
	(x - 4)2 + y2 = 2
	
	
	(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4
	
	 
	(x - 2)2 + y2 = 10
	
	
		1.
		Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
	
	
	
	
	 
	w2
	
	 
	0
	
	
	-wsen(wt)
	
	
	w2sen(wt)cos(wt)
	
	
	cos2(wt)
	
	
	
		2.
		Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2
	
	
	
	
	 
	ln t
	
	
	sen t
	
	 
	cos t
	
	
	tg t
	
	
	ln t + sen t
	
	
	
		3.
		Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k
	
	
	
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j - k
	
	 
	(-sen t)i + (cos t)j
	
	
	(-sen t)i - (cos t)j
	
	
	(-sen t - cos t)i + (cos t)j
	
	
	(-sen t)i + (cos t)j + k
	
	
	
		4.
		 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e   x,ye z  são funções de outra variável t
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt.
Diz - se que  dwdt é a derivada total de w  com relação a  t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia.
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et,  y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t= 0
	
	
	
	
	 
	8
	
	
	20
	
	
	12
	
	 
	18
	
	
	10
	
	
	
		5.
		Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0
	
	
	
	
	 
	cos t
	
	
	sen t
	
	
	1/t + sen t + cos t
	
	
	1/t + sen t
	
	 
	1/t
	
	
	
		6.
		Encontre a derivada direcional da função   f(x,y,z)=lnxyz    em   P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k.
 
	
	
	
	
	 
	32        
	
	
	23        
	
	
	3
	
	 
	 33 
	
	
	22      
	
		1.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e].
	
	
	
	
	
	455/3
	
	
	845/3
	
	
	455/2
	
	 
	845/2
	
	 
	455/4
	
	
	
		2.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	
	35/2
	
	 
	35/6
	
	
	35/3
	
	
	7
	
	 
	35/4
	
	
	
		3.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4].
	
	
	
	
	
	203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24
	
	 
	203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24
	
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 8
	
	
	203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24
	
	 
	( 203 * x^(1/2) ) / 6
	
	
	
		4.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z, onde x varia no intervalo [4 , 9] , y varia no intervalo [0 , 1] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	
	12/7
	
	
	12/5
	
	
	12/19
	
	 
	19/12
	
	 
	19/4
	
	
	
		5.
		
	
	
	
	
	
	10 u.v
	
	
	16/3 u.v
	
	
	18 u.v
	
	 
	9/2 u.v
	
	
	24/5 u.v
	
	
	
		6.
		Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
	
	
	
	
	 
	cos(2π)-sen(π)
	
	 
	2π
	
	
	π
	
	
	π+senx
	
	
	0
	
	
	
		7.
		Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz
	
	
	
	
	
	2
	
	
	1-z
	
	 
	1
	
	
	2-2z
	
	 
	0
	
	
	
		8.
		Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor dessa integral é dada por:
 
	
	
	
	
	
	0
	
	 
	12(e-1)
	
	
	e
	
	
	e-1
	
	
	e2
	
	
		1.
		Considere  a  função f(x,y)= y.lnx + x.ey  .
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F):
1) (   ) A derivada da função  f(x,y) em  P(1,0)  na direção do vetor  v =  i-j  é nula.
2) (   ) A função f(x,y)  aumenta mais rapidamente na direção do vetor  u= i + j.
3) (   )  Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2.
4) (   )  A taxa de variação da função é   21/2
5) (   ) A reta tangente à curva  f(x,y)  no ponto    P(1,0)   é      y=x-1.
	
	
	
	
	 
	1) (V)     2) (V)     3) (F)     4) (V)     5) (F)
	
	
	1) (F)      2) (V)     3) (V)      4) (V)      5) (F)1) (V) 2)     (V)     3) (V)     4) (V)     5) (F)
	
	
	1) (V)     2) (V)     3) (V)     4) (F)     5) (F)
	
	 
	1) (V)     2) (V)     3) (F)     4) (V)     5) (V)
	
	
	
		2.
		Integre f(x, y, z) = x - 3.y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado a parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1.
	
	
	
	
	 
	0
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	
		3.
		Seja f:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + z  e  c  o segmento de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcular ∫c fds. Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] .
	
	
	
	
	
	22
	
	 
	3
	
	
	33
	
	
	32
	
	 
	23
	
	
	
		4.
		Integre a função f(x,y,z) = x - 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1). Considere a parametrização r(t) = ti + tj + tk, onde t pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, a integral de f sobre C é:
	
	
	
	
	 
	0
	
	
	2
	
	 
	3
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	
		5.
		Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Considere ainda a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π]. Calcule ∫c fds.
	
	
	
	
	
	2.(π+8π3)
	
	
	2π+8π33
	
	
	2.(π+π33)
	
	 
	2.(2π+8π33)
	
	 
	3.(2π+8π33)
	
	
	
		6.
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	
	
	
	2π
	
	
	2π3
	
	 
	3π2
	
	 
	2π2
	
	
	π2
	
	
	
		7.
		Considere uma função  de três variáveis z=f(x,y,z).
Seja z=sen(xy)+xseny .
 Encontre∂z∂uquando u=0 ;  v=1  ; x=u2 +v2   e   y=u.v.                 
	
	
	
	
	
	0 
	
	
	 -2  
	
	
	1   
	
	 
	 2   
	
	 
	   -1
	
	
	
		8.
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	
	
	 
	14 * (2)^(1/2)
	
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	 
	2 * (14)^(1/2)
	
	
	4 * (14)^(1/2)
	
	
	4
	
		1.
		Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z).
	
	
	
	
	
	9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2)
	
	 
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) +
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z
	
	 
	6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2)
	
	
	
		2.
		Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z)
	
	
	
	
	 
	( x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 * z ) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 *z) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	( x^(2) * y^(1/2) ) / (2 * z) (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / (2 * z^(2)) (k)
	
	 
	( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	
		3.
		Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula A deve tomar.
	
	
	
	
	 
	(-4, -6, -10)
	
	
	(20, -10, -30)
	
	
	(1,2,3)
	
	
	(0, -2, 0)
	
	 
	(4, 3, 0)
	
	
	
		4.
		Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula B deve tomar.
	
	
	
	
	
	(0, -20, 10)
	
	
	(0, -1, 0)
	
	 
	(2, 3, 5)
	
	 
	(0, -2, 0)
	
	
	(-4, -6, -10)
	
	
	
		5.
		Determine o plano tangente à superfície esférica
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3).
	
	
	
	
	 
	3x+4y+3z=20
	
	
	 x+12y+3z=20
	
	 
	 x+6y+3z=22
	
	
	3x+6y+3z=22
	
	
	2x+12y+3z=44
	
	
	
		6.
		 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando integral dupla. .
	
	
	
	
	
	72 u.a.
	
	
	32u.a.
	
	
	52 u.a.
	
	 
	92u.a.
	
	 
	12 u.a.
	
	
		1.
		Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1
	
	
	
	
	
	∂f∂x=-y-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x-1(xy-1)2
	
	 
	∂f∂x=-y2-1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)
	
	
	∂f∂x=-y2+1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy+1)
	
	
	∂f∂x=-y3(xy-1)2 e ∂f∂y=-x3(xy-1)2
	
	 
	∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)2
	
	
	
		2.
		Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração
	
	
	
	
	 
	e-22
	
	
	2e-22
	
	
	2e+22
	
	
	e-24
	
	
	2e+24
	
	
	
		3.
		Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral ∫-11∫01-x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu valor.
	
	
	
	
	 
	π2
	
	
	π
	
	 
	π4
 
	
	
	π3
	
	
	π5
	
	
	
		4.
		Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
	
	
	
	
	 
	e7
	
	
	7
	
	 
	 7e-7
	
	
	7e
	
	
	e-1
	
	
	
		5.
		Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	1/2
	
	 
	9/2
	
	
	1
	
	
	5/6
	
	
	
		6.
		Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx
	
	
	
	
	
	10
	
	 
	2
	
	
	20
	
	 
	16
	
	
	1
	
	
	
		7.
		Encontre a derivada parcial para a função f(x,y,z)=e-(x2+y2+z2)
	
	
	
	
	 
	∂f∂x=-2xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2+z2)
	
	
	∂f∂x=xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=ze-(x2+y2+z2)
	
	
	∂f∂x=-2xe e ∂f∂y=-2ye e ∂f∂z=-2ze
	
	
	∂f∂x=-2xe-(x2+y2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2)
	
	 
	∂f∂x=-e-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=e-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=e-(x2+y2+z2)
	
	
	
		8.
		Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração
	
	
	
	
	
	e
	
	 
	2
	
	
	2
	
	
	e+2
	
		1.
		 Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t)=6t3i-2t3j-3t3k,  considerando  1≤t≤2.
	
	
	
	
	
	21
	
	 
	7
	
	
	14
	
	 
	49
	
	
	28
	
	
	
		2.
		A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
	
	
	
	
	 
	1,2,5
	
	
	1,2,3
	
	
	1,3,5
	
	
	1,2,4
	
	 
	1,3,4
	
	
	
		3.
		Quais dos campos abaixo são conservativos?
1. F=yzi+xzj+xyk
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k
3. F=yi+(x+z)j-yk
4. F=-yi+xj
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zkcampos 1, 2 e 6
	
	
	campos 1, 2 e 4
	
	
	campos 2, 3 e 6
	
	
	campos 1, 3 e 6
	
	
	campos 1, 2 e 5
	
	
	
		4.
		Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de ∫-11∫01-x2dydx
	
	
	
	
	 
	π2
	
	
	π
	
	 
	3
	
	
	1/2
	
	
	π2+3
	
	
	
		5.
		Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo limitado por x=0; y=0 e  y=1-x.
 
	
	
	
	
	 
	12
	
	 
	0
	
	
	13
	
	
	15
	
	
	14
	
	
	
		6.
		 Apresente a expressão do operador divergente do campo vetorial:
 V→ = (ex+z.cosy)i+(x2.z -ey) j+(x.y2+z2seny)k  
	
	
	
	
	 
	divV→=ex-ey+2z   
	
	
	divV→=(eysenx)i-(excosy)j+(2zsenx)k
	
	 
	divV→=ex-ey+2zseny 
	
	
	divV→=ey-excosy +2z 
	
	
	divV→=eyi-excosyj +2zsenyk
	
	
	
		7.
		Calcule a integral  de linha  ∫C (xy+2y-z)ds  ao longo da curva r(t)=2ti+tj+(2-2t)k sendo  0≤t≤1.
	
	
	
	
	 
	0
	
	 
	2
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	
		8.
		Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2
	
	
	
	
	
	2
	
	
	82
	
	
	8π3
	
	 
	8π2
	
	 
	π2