questoes de referencia algebra

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1.
		Três colegas de uma turma de Ensino Médio, André, João e Marcos, fizeram uma aposta para ver quem conseguiria a maior média no Simulado do ENEM, constituído por provas de Matemática, Física e Química, com pesos, respectivamente, 0,30, 0,50 e 0,20.
As matrizes abaixo representam as notas obtidas pelos alunos, bem como a distribuição dos pesos.
Qual dos alunos ganhou a aposta e com qual média? 
		
	
	
	
	
	Marcos, com média 7,75.
	
	 
	João, com média 8,15.
	
	
	André, com média 7,16.
	
	
	André e Marcos, ambos com média 8,55.
	
	
	João, com média 7,98.
	
	
	
		2.
		Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i - j.
		
	
	
	
	 
	32
	
	
	12
	
	
	-48
	
	
	-20
	
	 
	24
	
	
	
		3.
		Encontre x na equação abaixo
		
	
	
	
	
	x = 3/8
	
	 
	x = 8/3
	
	
	x = -8/3
	
	
	x = -3/8
	
	
	x = 8
	
	
	
		4.
		Considere as matrizes  A = [30-1211] ,  B = [4-102] ,  C = [142315] e  D = [152-101324] . Marque a alternativa correta
		
	
	
	
	 
	A.D = C
	
	
	A.B = C
	
	
	B.D  existe
	
	 
	B - C  não existe
	
	
	A - C = D
	
	
	
		5.
		Uma matriz A = (aij)3x3 é definida conforme descrito abaixo. A soma de todos os seus termos será
		
	
	
	
	
	-5
	
	
	0
	
	
	14
	
	
	6
	
	 
	-12
	
	
	
		6.
		Definimos como sendo o menor complementar do elemento ai,j de uma matriz A, ao determinante da matriz resultante da retirada da linha i e da coluna j da matriz A. Assim, o menor complementar do elemento a3,2, da matriz A será:
		
	
	
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	3
	
	 
	2
	
	 
	1
	
	
	
		7.
		
		
	
	
	
	
	9
	
	
	15
	
	 
	18
	
	 
	12
	
	
	14
	
	
	
		8.
		Dadas as matrizes A = (aij)3x3, tal que aij = 2i - j + 2 e B = (bij)3x3, tal que bij = i2 + j - 4, vamos realizar o produto dos elementos da primeira linha da matriz A com os elementos da primeira coluna da matriz B, somando, em seguida, os resultados desses produtos (ou seja, a11.b11+a12.b21+a13.b31). O resultado obtido nessa operação será:
		
	
	
	
	 
	-5
	
	
	18
	
	 
	2
	
	
	0
	
	
	9
		1.
		Seja A= [11232-1-104] uma matriz 3x3 não singular. Sabendo que
A-1 =[8-4-5-a672-1b]  é a inversa da matriz A,
determine os valores de a  e b
	
	
	
	
	 
	a =11 e b=2
	
	
	a=-11 e b=2
	
	
	a = -11 e b = -1
	
	
	a= -11 e b = -2
	
	 
	a = 11 e b =-1
	
	
	
		2.
		Inverta a seguinte matriz:
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
		3.
		Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
	
	
	
	
	 
	gera uma matriz identidade de mesma ordem de A
	
	
	gera a transposta de A
	
	
	gera a própria matriz A
	
	
	gera uma matriz triangular superior
	
	
	gera uma matriz nula
	
	
	
		4.
		Encontre a matriz inversa da matriz A se existir. 3 6 A= 1 2
	
	
	
	
	 
	2 6 3 2
	
	 
	não existe a matriz inversa.
	
	
	1 2 3 6
	
	
	3 2 1 6
	
	
	2 1 6 3
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Determine A-1.
A=[21-102152-3]
	
	
	
	
	 
	[8-1-3-51210-1-4]
	
	
	[10-1-3-51310-1-4]
	
	
	[0-1-3-51210-1-4]
	
	
	[-8-1351210-1-4]
	
	
	[8-2-0-512102-4]
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Sabe-se que A e B são matrizes quadradas (mxm), tais que AxB=I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem. Com base nessa informação, analise as afirmativas abaixo:
I. B é a matriz transposta de A;
II. A é uma matriz simétrica;
III. Se o determinantes de A é diferente de zero, B é a inversa de A;
Encontramos afirmativas CORRETAS somente em:
	
	
	
	
	 
	I
	
	
	II e III
	
	
	II
	
	
	I, II e III
	
	 
	III
	
	
	
		7.
		Seja A a matriz  A=[2-12yx0z-1432].
Considere que A é uma matriz simétrica.
   Determine uma matriz X sabendo que X+2At = 3I, onde At é a transposta da matriz A    e   I  é  a matriz identidade de ordem 3.
 
	
	
	
	
	
	[-1-2-823-6-8-6-4]
	
	
	[12-823-6-8-6-3]
	
	
	[34-123-6-2-33]
	
	 
	[-12-823-6-8-6-4]
	
	 
	[-3-2-82-1-6-8-6-3]
	
	
	
		8.
		O cálculo de A x B , sendo A = [1  2  3] e B = [-3  0  -2]t , é obtido por:
	
	
	
	
	 
	(1-2)(2+0)(3-3) = 0
	
	 
	[1x(-3) + 2x0 + 3x(-2)] = [ -9] = -9 
	
	
	[(1-3)  (2-0)  (3-2)] = [-2   2  1]t
	
	
	(1-3)(2+0)(3-2) = -4
	
	
	[1x (-3)  2x0  3x(-2)] = [-3  0  -6]
	
	
		
	CCE1003_A3_201512957712
	 
		
	 
	Lupa
	 
	Aluno: DANIELE DOS SANTOS COLOMBARI
	Matrícula: 201512957712
	Disciplina: CCE1003 - ÁLGEBRA LINEAR 
	Período Acad.: 2016.2 (G) / EX
	Deseja carregar mais 3 novas questões a este teste de conhecimento?
	
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		1.
		Uma criança economizou a quantia de R$500,00 guardando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 95 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais eram iguais. Neste caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais a criança economizou?
	
	
	
	
	
	50
	
	 
	25
	
	 
	45
	
	
	35
	
	
	15
	
	
	
		2.
		Considere um sistema de equações lineares de coeficientes reais com 3 equações e 3 variáveis (x, y, z). Seja A a matriz dos coeficientes das variáveis deste sistema. Se o determinante da matriz A for igual a zero (det A = 0), então pode-se afirmar que para as variáveis (x, y, z) do sistema:
	
	
	
	
	 
	Admite uma única solução
	
	 
	Admite infinitas soluções
	
	
	Admite apenas soluções complexas
	
	
	Não admite solução real
	
	
	Admite apenas três soluções reais
	
	
	
		3.
		Considere o seguinte sistema de equações:
x + y - z = 1
2x +3y +az = 3
x + ay +3z =2
Para que valores de a:
a) não teremos solução e
b) mais de uma solução:
	
	
	
	
	 
	d) Nenhuma solução a= 3 e mais de uma solução a = 2
	
	
	b) Nenhuma solução a= -3 e mais de uma solução a = - 2
	
	
	a) Nenhuma solução a= 2 e mais de uma solução a = - 2
	
	
	a) Nenhuma solução a= -2 e mais de uma solução a = - 3
	
	 
	c) Nenhuma solução a= -3 e mais de uma solução a = 2
	
	
	
		4.
		Considere a matriz  [1-312-hk]  como sendo a matriz aumentada correspondente a um sistema de equações lineares. Os valores de  h  e  k,  são tais que o sistema não tenha solução:
	
	
	
	
	
	h = 6 e  k = 2 
	
	
	h = -6 e  k = 2 
	
	
	h = 3 e  k ≠ 1 
	
	 
	h = 6 e  k ≠ 2 
	
	 
	h = -6 e  k ≠ 2 
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Para qual(is) valor(es) da constante  K  o sistema, abaixo indicado, não tem solução.
    x - y = 5
 2x - 2y = K
	
	
	
	
	
	K = -10
	
	 
	K = 10
	
	
	K ≠ -10
	
	 
	K ≠ 10
	
	
	K = 06.
		Das opções abaixo, aquela que representa uma solução do sistema abaixo é.
	
	
	
	
	 
	x = 2 e y = 1/2
	
	
	x = 5/2 e y = 1
	
	
	x = 1/2 e y = -2
	
	 
	x = 1 e y = 1
	
	
	x = -1 e y = 0
	
	
	
		7.
		Considere as afirmações:
I - Se o sistema linear, representado por  AX = B,  tem mais de uma solução, então o mesmo vale para o sistema AX = O .
II - O sistema AX = O  tem solução trivial se, e somente se, não existem variáveis livres.
III - Se um sistema linear tem duas soluções distintas, então ele tem infinitas soluções.
	
	
	
	
	
	I  e  II  são verdadeiras e   III  é falsa.
	
	
	II  e  III  são verdadeiras e  I  é falsa.
	
	 
	I,  II  e III  são falsas.
	
	
	I,  II  e III são verdadeiras.
	
	 
	I  e III  são verdadeiras,  II  é falsa. 
	 Gabarito Comentado
	
	
		8.
		(PUC-SP)
A solução do Sistema
(a-1)x1 + bx2 = 1
(a+1)x1 + 2bx2 = 5,        são respectivamente: x1 = 1  e x2 = 2 . Logo,
	
	
	
	
	
	a=2  e  b=0
	
	 
	a=0  e  b=1
	
	
	a=1  e  b=2
	
	
	a=0  e  b=0
	
	 
	a=1  e  b=0
		1.
		O valor de k para que as equações ( k - 2 ) x + 3y = 4 e 2x + 6y = 8 , represente no plano cartesiano um par de retas coincidentes é:
		
	
	
	
	 
	k = 3
	
	
	k = 4
	
	
	k = 7
	
	 
	k = 5
	
	
	k = 6
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		O sistema de equações 2 x + y = 3 e 4 x + 2y = 5 , representa no plano cartesiano um par de retas:
		
	
	
	
	
	concorrentes
	
	 
	coincidentes
	
	
	simétricas
	
	
	reversas
	
	 
	paralelas distintas
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Para que o sistema de equações (a-1) x + 3 y = 5 e 3 x + 6 y = 10 , represente no sistema cartesiano retas coincidentes , o valor de a deve ser igua a :
		
	
	
	
	
	a = 4,5
	
	
	a = 6,5
	
	
	a = 3,5
	
	
	a = 5, 5
	
	 
	a = 2,5
	 Gabarito Comentado
	
	
		4.
		Para que o sistema de equações ax + 2y = 3 e x + y = 5 , represente no plano cartesiano um par de retas paralelas o valor de a deve ser:
		
	
	
	
	 
	a = 2
	
	 
	a =5
	
	
	a = 4
	
	
	a = 6
	
	
	a = 3
	
	
	
		5.
		Uma fábrica produz óleo de mamona de modo que toda a produção é comercializada. O custo da produção é dado pela função  y = 23x + 10 000  e o faturamento da empresa por  y = 32x, ambas em função do número  x  de litros comercializados.
O volume mínimo (em litros) de óleo a ser produzido para que a empresa não tenha prejuízo corresponde à abscissa  x  do ponto de interseção das duas funções. Assim sendo, a empresa começa a ter lucro a partir de:  
		
	
	
	
	
	x = 12
	
	
	x = 18 000
	
	
	Para qualquer valor de  x  , a empresa não terá prejuízo.
	
	
	x = 18
	
	 
	x = 12 000
	
	
	
		6.
		O sistema de equações (a-2) x + 2y = 4 e 3x -3y = 9 tem como representação gráfica no plano cartesiano duas retas paralelas. O valor de a é :
		
	
	
	
	 
	-2
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	-1
	
	 
	0
	
	
	
		7.
		Determine o valor de k para que o sistema seja indeterminado;
		
	
	
	
	
	k = 10
	
	 
	k = 20
	
	 
	k = - 10
	
	
	k = 15
	
	
	k = - 18
	
	
	
		8.
		Considerando um sistema formado pelas equações, com incógnitas x e y, e1: ax + 3y = 3 e e2: 4x - y = b, é correto afirmar que:
		
	
	
	
	
	é possível e indeterminado para a = -12 e b diferente de -1
	
	 
	é impossível para a = -12 e b diferente de -1
	
	 
	é possível e indeterminado para a = -12, qualquer que seja b
	
	
	é impossível para a diferente de -12
	
	
	é possível e determinado para a = -12
	
	
		1.
		Considerando o espaço vetorial R^3, os vetores u=(1,2,1), v=(3,1,-2) e w=(4,1,0), qual é o valor de 2u+v-3w ?
	
	
	
	
	
	(1,0,1)
	
	 
	(-7,2,0)
	
	
	(0,0,0)
	
	 
	(2,-7,1)
	
	
	(-7,0,2)
	
	
	
		2.
		Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução de 2u + v = 3w.
	
	
	
	
	
	(-7, -3, 1)
	
	 
	(-7, 2, 0)
	
	 
	(-6, 1, 0)
	
	
	(7, 2, 0)
	
	
	(6, -2, 0)
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Seja u = (1,1,0) , w = (x, -1, y) e r = (2, z, 3). Indique nas alternativas abaixo os escalares x, y e z de modo que w - r = u.
	
	
	
	
	
	x = -3, y = 3 e z = -2
	
	 
	x = 3, y = 3 e z = -2
	
	 
	x = 3, y = -3 e z = 2
	
	
	x = 3, y = 3 e z = 2
	
	
	x = -3, y = -3 e z = -2
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
		4.
		Todos os conjuntos abaixo são base para R2, exceto:
	
	
	
	
	 
	{(1,1), (-1,-1)}
	
	
	{(1,0), (1,1)}
	
	 
	{(1,0), (0,1)}
	
	
	{(0,1), (1,-1)}
	
	
	{(0,1), (1,1)}
	
	
	
		5.
		Considere V o espaço vetorial das matrizes 2x2 a coeficientes reais e sejam os seguintes subconjuntos de V:
W1={A=[abcd]: det A≠0}
W2={A=[a0bc]}
W3={A=[abcd]: det A=1}
W4={A=[abcd]: a,b,c,d são números pares}
W5={A=[abcd]: a,b,c,d são números racionais}
Selecione os subespaços vetoriais de V
	
	
	
	
	
	W1, W2 e W5
	
	
	W2  , W4 e W5
	
	 
	W1, W2 e W4
	
	
	W2 e W4
	
	 
	 W2 e W5
	
	
	
		6.
		Qual(is) vetore(s) é/são combinação(ões) linear(es) de u = (1,-1,3) e de v = (2,4,0):
I -   (3, 3, 3)
 
II -  (2, 4, 6) 
 
III - (1, 5, 6)
	
	
	
	
	 
	I - III
	
	
	II - III
	
	
	II
	
	 
	I
	
	
	I - II - III
	 Gabarito Comentado
	
	
		7.
		Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
	
	
	
	
	
	x = (2, -2, -5)
	
	
	x = (-5/2, -2, -2)
	
	 
	x = (-2, 2, 5/2)
	
	
	x = (2, -2, 0)
	
	 
	x = (2, -2, -5/2)
	
	
		1.
		Dos conjuntos abaixo, podemos afirmar que são Linearmente Dependentes somente
A = {(1, 2), (-2, -4)}
B = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, -1, 1)}
C = {(2, 1, 0), (-1, 0, 1), (3, 1, -1)}
		
	
	
	
	
	o conjunto A
	
	
	os conjuntos A, B e C
	
	 
	os conjuntos A e C
	
	
	o conjunto B
	
	 
	o conjunto C
	
	
	
		2.
		Se v = (4, 6, -2) é uma combinação linear de u = (2, 3, k), então o valor de k é
		
	
	
	
	 
	k = -2
	
	
	k = 2
	
	
	k = 3
	
	
	k = 1
	
	 
	k = -1
	
	
	
		3.
		Considere os vetores u=(1,-3,2) e v=(2,-1,1) para que valores de k o vetor (1,k,5) é uma combinação linear de u e v?
		
	
	
	
	
	-5
	
	
	-6
	
	
	8
	
	 
	-8
	
	
	6
	
	
	
		4.
		Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear do vetor v = (1, 2, -3)?
		
	
	
	
	
	u = (4, 8, -9)
	
	
	u = (-1, 2, 3)
	
	 
	u = (-3, 8, 9)
	
	
	u = (3, 10, -15)
	
	 
	u = (-2, -4, 6)
	
	
	
		5.
		Determine o valor de k para o qual os vetores u = (1, 1, 0), v = (0, 2, 2) e w = (1, 0, k) são Linearmente Independentes.
		
	
	
	
	
	k = 2
	
	
	k = 0
	
	
	k diferente de +3 e -3
	
	
	k diferente de -2
	
	 
	k diferente de -1
	
	
	
		6.
		Se u = (8,-1, 3) é uma Combinação Linear de v1 = (1, 1, 0) e v2 = (2, -1, k), então o valor de k é:
		
	
	
	
	
	2
	
	 
	1
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	
		7.
		Escrever um vetor w como combinação linear dos vetores t, u e v é encontrar os valores dos escalares a, b e c, tais que, w = a.t + b.u + c.v. Assim, se for possível escrever o vetor w = (10, 7, 4) como uma combinação linear entre t = (1, 0, 1), u = (1, 1, 1) e v = (0, -1,1), o valor de a + b + c será
		
	
	
	
	
	-6
	
	 
	0
	
	
	9
	
	 
	4
	
	
	1
	
	
	
		8.
		Escrever um vetor w como combinação linear de dois vetores u e v é encontrar os valores dos escalares a e b, tais que, w = a.u + b.v. Assim, se for possível escrever o vetor w = (-5, -11) como uma combinação linear entre u = (3, 5) e v = (-1,-3), o valor de a + b será
		
	
	
	
	 
	-1
	
	 
	1
	
	
	0
	
	
	-2
	
	
	2
	
	
		1.
		Seja T: : R2 - R  a transformação linear tal que T(1,1)=3 e T(0,1)=2. Determine T(x, y).
	
	
	
	
	 
	T(x , y)= x + 2y
	
	
	T(x , y)= 2x + y
	
	 
	T(x , y)= x + y
	
	
	T(x , y)= x - 2y
	
	
	T(x , y)= 2x + 2y
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		 Considere as afirmações abaixo,  em que S = { v1 , ... , vp } é um conjunto de vetores do espaço vetorial  V  não trivial de dimensão finita
I - Se  S  é linearmente independente, então S é uma base para  V
II - Se  SpanS = V , então algum subconjunto de S é uma base para  V
III - Um plano do R3  é um subespaço vetorial bidimensional
	
	
	
	
	 
	 I,  II  e  III são falsas
	
	 
	I  e  III são falsas,  II é  verdadeira
	
	
	 I  e  II são verdadeiras,  III é falsa 
	
	
	 I,  II  e  III são verdadeiras 
	
	
	 I  e  II são falsas, III é verdadeira
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Encontre as condições em X, Y, Z de modo que (x, y, z) є R3 pertença ao espaço gerado por r = (2, 1, 0), s= (1, -2, 2) e t = (0, 5, -4).
	
	
	
	
	
	2X – 4Y – 5Z ≠ 0
	
	
	2X – 3Y + 2Z ≠ 0
	
	 
	2X – 4Y – 5Z = 0
	
	
	X + Y – Z = 0
	
	
	2X  - 3Y + 2Z = 0
	
	
	
		4.
		Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta.
 
(I)  O conjunto {1} não é uma base de R.
 (II) O conjunto {(1,-1), (-2,2),(1,0)} é uma base de R2. 
 (III)  O conjunto A = {(1,2,3), (0,1,2), (0,0,1)} é uma base de R3.
	
	
	
	
	
	II e III, apenas
	
	
	II, apenas
	
	
	I e III, apenas
	
	
	I, apenas
	
	 
	III, apenas
	
	
	
		5.
		Considere as assertivas abaixo:
I - Se nenhum dos vetores de R3 no conjunto S = {v1, v2, v3} é um múltiplo escalar de um dos outros vetores, então S é um linearmente independente;
II - Em alguns casos, é possível que quatro vetores gerem o R5;
III - Se {u, v, w} é um conjunto linearmente independente, então u,  v e w não estão no R2;
IV- Sejam u,  v e w vetores não nulos do R5, v não é um múltiplo de  u , e w não é uma combinação linear de  ue  v. Então {u, v, w} é linearmente independente.
 
	
	
	
	
	 
	As afirmações I e IV são verdadeiras e as afirmações II e III são falsas
	
	
	As afirmações III e IV são falsas e as afirmações I e II são verdadeiras
	
	 
	As afirmações I e II são falsas e as afirmações III e IV são verdadeiras
	
	
	As afirmações I e III são falsas e as afirmações II e IV são verdadeiras
	
	
	As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e IV são falsas
	
	
	
		6.
		Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo formam uma base do R3
	
	
	
	
	
	{(1, 2, 3),(1, 0, -1), (3, -1, 0) , (2, 1, -2)}
	
	
	{( 1, 1, 2), (1, 2, 5), ( 5, 3, 4)}
	
	
	{(1, 1, 1), (1, -1, 5)}
	
	 
	{(1, 1, 1), ( 1, 2, 3), ( 2, -1, 1)}
	
	 
	{(0,0,1), (0, 1, 0)}
	
	
	
		7.
		Qual dos seguintes conjuntos de vetores abaixo forma uma base de R4?
	
	
	
	
	
	{(1, 3, 4, 5), (1,2,3,4), (2,3,-1,0) }
	
	 
	{(1,2,3,4), (0,-2, 4, 7), (0,0,1,0), (0,0,0,3)}
	
	
	{(1,2,3,4), (0,2,-3,4),(0,-4, 6,-8),(0,0,2,3)}
	
	
	{(1,0,0, 0), (0,1,0,4), (0, 2, 0, 8), (0,0,2,3)}
	
	 
	{(1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0), (0,0,0,3), (0,2,3,1) }
	 Gabarito Comentado
	
	
		8.
		Considere a seguinte base do ℝ 3: β= {(1, 2, 3), (1, 1, 1),(a ,b, c)}.
Sabendo que as coordenadas do vetor (1, 4, 9), na base βsão (1, 2, 2) , determine o valor de (a+b-c).
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	1
	
	
	3
	
	 
	-3
	
	
	-2
		1.
		A função f: R2 →R2, tal que f(x, y) = (2x - y, x + 3y) é uma Transformação Linear do R2. A imagem do vetor v = (1, 2) será
	
	
	
	
	 
	(0, 7)
	
	
	(-2, 0)
	
	
	(2, 6)
	
	
	(3, 5)
	
	
	(-1, 5)
	
	
	
		2.
		A função f: R3 →R3, tal que f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x - y, 0) é uma Transformação Linear do R3. A imagem do vetor v = (0, 1, 5) será
	
	
	
	
	 
	(11, -1, 0)
	
	
	(-3, 5, 0)
	
	
	(13, 5, 2)
	
	
	(9, 1, 0)
	
	
	(0, -5, 2)
	
	
	
		3.
		Considere uma transformação  linear T de R2 em R2 definida por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Seja A a matriz associada à transformação linear em relação à base canônica. Uma matriz A é diagonalizável se existe uma matriz não singular P, tal que P-1.A.P = D ,onde D é uma matriz diagonal. Sabendo que essa matriz A é diagonalizável, apresente A5 utilizando a fatoração da matriz A.
	
	
	
	
	 
	[1717-2757].[6500-1].[5-121]
	
	 
	[5-1-21].[6500-1].[1717-2757]
	
	
	[52111].[6500-1].[11-25]
	
	
	[1717-2757].[600-1].[5-121]
	
	
	[5-121].[600-1].[17172757]
	
	
	
		4.
		 Considere  T  uma Transformada Linear. Defina T(X) = AX , sendo A =  [13-12-1-5]. A imagem de  X = [1-20] por T  é
	
	
	
	
	
	[-540]
	
	
	  [70]
	
	 
	[-54]
	
	
	 
[260]
	
	
	[11]
	
	
	
		5.
		A função f: R3 →R3, tal que f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x - y, 0) é uma Transformação Linear do R3. A imagem do vetor v = (2, -1, 3) será
	
	
	
	
	
	(-5, 3, 2)
	
	 
	(6, -1, 1)
	
	
	(2, -1, 0)
	
	 
	(7, 5, 0)
	
	
	(1, 4, 0)
	
	
	
		6.
		As transformações Lineares estão presentes em diversos sistemas dinâmicos lineares. A seguir apresentamos algumas assertivas sobre transformações lineares. Considere as mesmas e assinale a alternativa correta:
I - O princípio da superposição descrito pela equação abaixo é uma transformada linear empregada em sistemas lineares:
T(c1v1+c2v2+...+cpvp) = c1T(v1 )+ c2T(v2 ) + ...+ cpT(vp);
II - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R3;
III - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R5;
IV - Se T é uma transformada linear, então T(0) = 0 e T(cv +du) = cT(v) + dT(u)
 
	
	
	
	
	 
	As afirmações II, III e IV são verdadeiras e a afirmação I é falsa
	
	
	As afirmações I e III são verdadeiras e as afirmações II e IV são falsas
	
	
	As afirmações I, III e IV são verdadeiras e a afirmação II é falsa
	
	
	As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e III são falsas
	
	 
	As afirmações I, II e IV são verdadeiras e a afirmação III falsa
	
	
	
		7.
		Nas teorizações sobre diagonalização de matrizes temos o Teorema:
Uma matriz  A, n x n,  é diagonalizável se, e somente se,  A  pode ser fatorada na forma  A = P. D. P-1 , sendo:
P  uma matriz invertível, tal que as colunas de  Psão  n  autovetores de  A, linearmente independentes e,
D  uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são os autovalores de  A  associados, respectivamente, aos autovalores de  P.
Desse modo, para  A = [72-41],  cujos autovalores são  5 e 3 , com autovetores associados  v1 = ( 1, -1 )  e  v2 = ( 1, -2 ), respectivamente temos:
	
	
	
	
	
	P = [11-1-2]  e  D = [0530]
	
	 
	P = [11-1-2]  e  D = [5003]
	
	
	P = [1-11-2]  e  D = [5003]
	
	
	P = [1001]  e  D = [53-3-5]
	
	
	P = [2-1-11]  e  D = [3005]
	
	
	
		8.
		Considere a Transformada Linear  T(X) = AX  tal que A = [231-252]Sendo B = [13327]  a imagem de  X  por  T, o vetor  X  é
	
	
	
	
	 
	 [135]
	
	
	[531]
	
	
	[15]
	
	
	 [-5-1]
	
	 
	 [51]
		
		Considere as seguintes transformações lineares T:R²->R² assim definidas:
 um cisalhamento no plano, na direção do eixo dos x, de um fator α, dado pela matriz canônica[1α01]
uma rotação do plano em torno da origem que faz cada ponto descrever um ângulo β, cuja matriz canônica é:[cosβ-senβsenβcosβ].
O vetor v=(3,2) experimenta sequencialmente: um cisalhamento horizontal de fator 2 e uma rotação de 900 no sentido anti-horário.
Encontre a matriz da transformação linear que representa a composta dessas duas operações e o vetor resultante dessa sequência de operações.
	
	
	
	
	
	[2-110] e  (T1oT2)(3,2) = (4,3)
	
	
	[1-112] e  (T1oT2)(3,2) = (1,5)
	
	
	[2-111] e  (T1oT2)(3,2) = (4,5)
	
	 
	[0-112] e  (T1oT2)(3,2) = (-2,7)
	
	
	[1201]  e   (T1oT2)(3,2) = (7,2)
	
	
	
		2.
		Considere as matrizes A=[111111111]    e     B=[600033033]. Encontre os polinômios característicos de A  e  de  B.
	
	
	
	
	 
	-λ3 +λ2 +λ    e       λ(λ-6)2
	
	
	-λ3 +λ2     e       λ2 (λ-6)
	
	
	-λ3 +λ     e       λ(λ-6)
	
	
	-λ +λ2     e       λ(λ-6)
	
	 
	-λ3 +λ2     e       λ(λ-6)2
	
	
	
		3.
		Marque a alternativa que indica os autovalores da matriz A.
A = [-2-152]
	
	
	
	
	
	λ= -i
	
	
	λ= 1
	
	 
	λ1 = i , λ2= -i
	
	
	λ = i
	
	 
	λ1 = 1 , λ2= -1
	 Gabarito Comentado
	
	
		4.
		Um dos autovalores associados a matriz A = [1 3 4 2] , é:
	
	
	
	
	 
	2
	
	
	3
	
	 
	5
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	
		5.
		Seja a matriz A = [51-41] . Marque a alternativa que indica os autovalores da matriz de A.
	
	
	
	
	
	λ = -1  e λ = -3
	
	
	λ = -1  e λ = 3
	
	
	λ = 1  e λ = 3
	
	 
	 λ = 3
	
	 
	 λ = -3
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Complete a afimativa, abaixo, com a opção correta:
Uma matriz  A,  n x n, é diagonalizável se, e somente se, ...
	
	
	
	
	 
	A  possui  n  autovetores distintos
	
	
	A  não possui autovalores reais
	
	 
	A  possui  n  autovetores linearmente independentes
	
	
	A  possui  n  autovetores linearmente dependentes
	
	
	A  possui  n x n  autovetores
	
	
	
		7.
		Os autovalores da matriz abaixo são?
 
	
	
	
	
	
	-3,54 e -2,54
	
	
	-3,54 e 2,54
	
	
	3,54 e 2,54
	
	
	3,54 e 1,54
	
	 
	3,54 e -2,54
	
	
	
		8.
		Considere a matriz  A = [10-11-304-131].  Um dos 3 autovalores de  A  é
	
	
	
	
	 
	λ = 4
	
	 
	λ = 1
	
	
	λ = 5
	
	
	λ = -1
	
	
	λ = -2
		1.
		Determine a representação matricial do operador do  R2 - R2  em relação à  T(x, y)=(4x, 2y -x) e base canônica.
	
	
	
	
	
		 
	 
	4
	0
	 
	 
	 
	0
	2
	 
	
	 
		 
	 
	4
	0
	 
	 
	 
	-1
	2
	 
	
	 
		 
	 
	-4
	0
	 
	 
	 
	-1
	2
	 
	
	
		 
	 
	4
	0
	 
	 
	 
	1
	2
	 
	
	
		 
	 
	4
	1
	 
	 
	 
	-1
	0
	 
	
	
	
		2.
		Quais são os valores próprios (autovalores) do operador T do R¿2 dado por T(x,y) = (x+y, x-y)?
	
	
	
	
	 
	1 e 1
	
	 
	Raiz de 2 e -(Raiz de 2)
	
	
	1 e -1
	
	
	0 e 1
	
	
	Raiz de 2 e 0
	
	
	
		3.
		O número de autovalores racionais da matriz A = [0 -1 0 0 0 1 -4 -17 8], é:
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	3
	
	
	5
	
	 
	1
	
	
	4
	
	
	
		4.
		Seja um operador definido por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Apresente a matriz P que diagonaliza a matriz do operador.
	
	
	
	
	
	[P] = [-1006]
	
	 
	[P] =[4521]
	
	
	[P] =[1757-1727]
	
	
	[P] =[2-511]
	
	 
	[P] = [15-12]
 
	
	
	
		5.
		Uma matriz e sua transposta têm o mesmo polinômio característico quando a ordem dessas matrizes for:
	
	
	
	
	 
	3
	
	
	4
	
	
	2
	
	 
	qualquer ordem
	
	
	5
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Os valores próprios de um operador linear T:R2 em R2 são a1 = 2 e a2 = 3, sendo v1 = (1,-1) e v2 = (-1,0) os respectivos vetores associados. Determine T (x,y):
	
	
	
	
	 
	T(x,y) = (-3x-5y, 3y)
	
	
	T(x,y) = (-3x-7y, 4y)
	
	
	T(x,y) = (-3x-5y, 4y)
	
	
	T(x,y) = (-4x-5y, 2y)
	
	 
	T(x,y) = (-3x-5y, 2y)
	
	
	
		7.
		Os autovalores de  [00005200-1]  são
	
	
	
	
	 
	λ1 = -5 ,  λ2 = -2 ,  λ3 = 1
	
	 
	λ1 = 0 ,  λ2 = 5 ,  λ3 = -1
	
	
	λ1 = 5  e  λ2 = -1
	
	
	λ1 = 0 ,  λ2 = -5 ,  λ3 = 1
	
	
	λ1 = 5 ,  λ2 = 2 ,  λ3 = -1
	
	
	
		8.
		O número de autovalores reais associados a matriz A = [-2 -1 5 2] é igual a :
	
	
	
	
	 
	0
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	4