ELM Apostila de Exercícios Resolvidos

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ELM - ER07 - Cap3.doc
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�EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
	CAPÍTULO 03	–	DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA
CAPÍTULO 03
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA
3.1)	Dentro da região cilíndrica 
� m, a densidade de fluxo elétrico é dada como sendo 
C/m2.
Qual a densidade volumétrica de carga em ( = 3 m?
Qual a densidade de fluxo elétrico em ( = 3 m?
�
Quanto de fluxo elétrico deixa o cilindro, ( = 3 m, 
� m?
Quanto de carga existe dentro do cilindro, ( = 3 m, 
� m?
Resolução:
Dados: 
	
b)	
c)	Pela Lei de Gauss: 
	
d)	Pela Lei de Gauss, 
.
Logo, 
�
3.2)	Dado o campo 
, encontrar a carga total que se encontra dentro da região, 
�
Resolução:
Dados: 
	De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência:
	
	(01)
Cálculo de 
:
	
�
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
3.3)	Dado o campo 
, na região, 
�, 
�, 
�, determinar a carga total contida no interior desta região, por dois modos diferentes
Resolução:
	Dados: 
 
	De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência:
	
	1o modo: 
 
Cálculo de 
:
	
�
	
Cálculo de 
:
	
	
	2o modo: 
 
	
	(01)
	Para a Lateral	
	(02)
�
	Para o Topo	
	(03)
	Para a Base	
	(04)
	Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos:
	
	
3.4)	Uma casca esférica não condutora, de raio interno a e raio externo b, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica 
�. Determine o campo elétrico em função do raio r.
�
Resolução:
	Pela Lei de Gauss: 
Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a: 
	
�
Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b: 
	
, onde 
	
	Mas 
 e 
.
	Portanto: 
Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r ( b: 
	
, onde 
	
	Mas 
 e 
.
	Portanto: 
�
3.5)	Ao longo do eixo z existe uma distribuição linear uniforme de carga com 
, e no plano z = 1 m existe uma distribuição superficial uniforme de carga com 
. Determinar o fluxo total saindo da superfície esférica de raio 2 m, centrada na origem
Resolução:
	Lei de Gauss: 
, onde 
	(01)
Cálculo de 
:
	
Cálculo de 
:
	
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
�
3.6)	Se uma carga Q está na origem de um sistema de coordenadas esféricas, calcule o fluxo elétrico ( que cruza parte de uma superfície esférica, centrada na origem e descrita por 
.
Resolução:
	1o modo: Lei de Gauss: 
	
	
	
	2o modo:
	Considerando a esfera de raio r na sua totalidade:
	(01)
	Considerando somente a casca esférica 
�: (
= ?
	
�
	Através de uma regra de três, encontramos:	
.	(03)
	Substituindo (02) e (03) em (01),temos:
	
3.7)	Dado o campo 
, na região, 
, 
, 
, determinar a carga total contida no interior da região.
Resolução:
	Dados: 
	De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência:
	
	1o modo: 
 
Cálculo de 
:
	
	
	
�
Cálculo de 
:
	
	
	2o modo: 
 
	(01)
	Para a Lateral Esquerda	
	(02)
	Para a Lateral Direita	
	(03)
	Para a Frente	
	(04)
	Para o Fundo	
	(05)
	Para o Topo	
	(06)
	Para a Base	
	(07)
�
	Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos:
	
3.8)	Uma carga pontual de 6( [C] está localizada na origem do sistema de coordenadas, uma densidade linear uniforme de carga de 180( 
 está distribuída ao longo do eixo x, e uma densidade superficial uniforme de carga de 25( 
está distribuída sobre o plano z = 0.
Determinar 
em A (0,0,4);
Determinar 
em B (1,2,4);
Determinar o fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de 4 m de raio, centralizada na origem.
Resolução:
a)
	Dados:
	A densidade de fluxo total 
 produzida no ponto A será a soma das densidades de fluxo produzidas pela carga Q, pela distribuição linear (L e pela distribuição superficial (S.
	
	(01)
Cálculo de 
:
	
�
	
Cálculo de 
:
	
	
	(03)
Cálculo de 
:
	
	Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos:
	
b)
	Dados:
	A densidade de fluxo total 
 produzida no ponto B será a soma das densidades de fluxo produzidas pela carga Q, carga Q, pela distribuição linear (L e pela distribuição superficial (S.
	
	(01)
�
Cálculo de 
:
	
	
Cálculo de 
:
	
Cálculo de 
:
	
	Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos:
	
	
�
c)
	O fluxo total que deixa a esfera será a soma dos fluxos produzidos pela carga Q, pela distribuição linear (L e pela distribuição superficial (S.
	De acordo com a Lei de Gauss: 
.
	(01)
Cálculo de 
:
	
Cálculo de 
:
	
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
(02)
 Área da esfera Volume da casca esférica
 Área da esfera Volume da casca esférica
(04)
(02)
(02)
(03)
-2
 2
(02)
(04)
(03)
(02)
(03)
(02)
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ELM - ER08 - Cap4.doc
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�EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
	CAPÍTULO 04	–	ENERGIA E POTENCIAL
CAPÍTULO 04
ENERGIA E POTENCIAL
4.1)	A densidade de fluxo elétrico é dada por: 
. Encontre o fluxo elétrico total efluente do volume cilíndrico limitado por um cilindro de 2 m de raio e 4 m de altura, cujo eixo é o eixo z e cuja base se encontra no plano z = 1 m.
Resolução:
	Dados: 
	De acordo com o Teorema da Divergência e com a Lei de Gauss:
	
	(02)
Cálculo de 
:
	
	Substituindo (01) e (03) em (02):
	
�
4.2)	Dentro da esfera de raio r = 1 m, o potencial é dado por: 
Encontre 
 em P (r =1; ( = 
;( = 0 ). 
Quanto de carga existe dentro da esfera de raio r = 1 m?
Resolução:
	Dados: 
a)	Sabe-se que 
	(01)
Cálculo de 
	(02)
Cálculo de 
	(03)
Cálculo de 
	(04)
	Substituindo (02), (03) e (04) em (01):
	
	(05)
	Substituindo as coordenadas de P em (05) , temos:
	
b)	De acordo com a Lei de Gauss:
	
	(01)
Cálculo de 
 
	
Substituindo (02) em (01):
	
�
	
4.3)	Uma carga pontual de 16 (C está localizada em Q (2, 3, 5) no espaço livre, e uma linha de cargas uniforme de 5 ( C/m está localizada na interseção dos planos x = 2 e y = 4. Se o potencial na origem é 100 V, encontrar V em P (4,1,3).
Resolução:
	
	(01)
	O potencial elétrico do ponto P em relação ao ponto 0 ( VP0 ) é a soma do potencial gerado pela carga em Q ( 
) com o potencial gerado pela distribuição linear (L (
). Portanto, 
	(02)
Cálculo de 
: 
	
	
	(03)
Cálculo de 
: 
	(04)
�
Cálculo de 
: 
	(05)
	Substituindo (04) e (05) em (03), temos:
	
Cálculo de 
: 
	
Cálculo de 
: 
	(08)
Cálculo de 
: 
	(09)
	Substituindo (08) e (09) em (07), temos:
	
 
	Substituindo ( 06 ) e ( 10 ) em ( 02 ), temos:
	
	(11)
	Substituindo (11) em (01), temos:
	
�
4.4)	Dado o campo potencial expresso por 
� [volts], no espaço livre.
Mostrar que 
;
Mostrar que y = 0 representa uma superfície equipotencial;
Mostrar que 
 é perpendicular à superfície y = 0;
Encontrar a carga total no plano y = 0, 0 < x < (, 0 < z < 1. Assumir que y < 0 é o interior do condutor;
Encontrar a energia armazenada no cubo 0 < x < 1, 0 < y < 1 e 0 < z < 1.
Resolução:
	Dados: 
a)	Sabe-se que: 
Cálculo do 
:
	
	Substituindo (03) em (02):
	
	Substituindo (04) em (01):
	
Cálculo do 
:
	
	
�
b)	Seja ( x, 0, z ) a representação dos pontos da superfície y = 0. Para estes pontos, temos 
�.
Se V apresentar o mesmo valor para todos estes pontos, então V é uma superfície equipotencial.
Assim, substituindo ( x, 0, z ) em 
�, conclui-se que V = 0 para todos os pontos da superfície y = 0.
c)	Da equação (04) do item (a), conclui-se que:
	
Para os pontos ( x, 0, z ) da superfície y = 0, 
, o que prova que 
 é perpendicular à superfície y = 0.
d)	
	
e)	 
	(01)
Cálculo de E:
	
	Substituindo (02) em (01):
	
	
�
4.5)	Uma carga pontual Q de 6 (C está localizada na origem do sistema de coordenadas, no espaço livre. Determinar o potencial VP sendo P (0,2;-0,4;0,4) e:
V = 0 no infinito
V = 0 no ponto A (1,0,0)
V = 20 volts no ponto B (0,5;1,0;-1,0)
Resolução:
	Por Definição:
Dados: V = 0 no infinito.
	
	(01)
Cálculo de rP: 
	(02)
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
Dados: V = 0 em A (1,0,0).
	
Cálculo de rP: 
	(02)
�
Cálculo de rA: 
	(03)
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
Dados: V = 20 [V] em B (0,5;1,-1).
	
	(01)
Cálculo de VPB:
	
	(02)
Cálculo de rP: 
	(03)
Cálculo de rB: 
	(04)
	Substituindo (03) e (04) em (02), temos:
	
	(05)
	Substituindo (05) em (01), temos:
	
4.6)	Calcular a energia acumulada em um sistema com três cargas pontuais iguais a Q, todas sobre a mesma reta, separadas entre si por distâncias iguais a d.
Resolução:
	1o modo:
	Dados: Q1 = Q2 = Q3 = Q
	Potencial de uma carga pontual:
	
	(01)
	Energia acumulada por um sistema de cargas discretas:
	
	(02)
�
	De (02), conclui-se que a energia acumulada pelo sistema de três cargas pontuais acima é dado por:
	
	(03)
Cálculo do potencial da carga Q1:
	
	(04)
Cálculo do potencial da carga Q2:
	
	(05)
Cálculo do potencial da carga Q3:
	
	(06)
	Substituindo (04), (05) e (06) em (03):
	
2o modo:
Cálculo do trabalho para mover Q1 do infinito para o ponto 1:
	WE 1 = 0	(01)
Cálculo do trabalho para mover Q2 do infinito para o ponto 2: 
	
Cálculo do trabalho para mover Q3 do infinito para o ponto 3: 
	
�
Cálculo do trabalho total:
WE = WE 1 + WE 2 + WE 3	(04)
	Substituindo (01), (02) e (03) em (04), temos:
	
4.7)	Uma densidade de carga 
 estende-se ao longo do eixo z para z ( 1 m e uma densidade de carga 
 estende-se ao longo do eixo z para z < -1 m. Determine V em P ( (, 0, 0 ), se V = 0 em ( = (.
Resolução:
	Para uma distribuição linear de cargas, 
. Logo, para o caso acima, teremos:
	Portanto,	
	(01)
�
Solução da integral:
	
	(02)
	Substituição de variáveis na integral:
	(03)
	Substituindo ( 03) em ( 02 ), temos:
	
	Substituição de variáveis na integral:
	(05)
	Substituindo (05) em (04), temos:
	
	(06)
	De (03), 
	(07)
	Substituindo (07) em (06), temos:
	
	(08)
	Substituindo (08) em (01), temos: 
	
�
4.8)	Duas esferas condutoras concêntricas de raios a = 6 cm e b = 16 cm possuem cargas iguais e opostas, sendo 10-8 C na esfera interior e -10-8 C na exterior. Assumindo 
� na região entre as esferas, determinar:
a) o máximo valor da intensidade de campo elétrico entre as esferas;
b)	a diferença de potencial (Vo) entre as esferas;
c)	a energia total armazenada (WE) na região entre as esferas.
Resolução:
Seja a superfície gaussiana esférica de raio a < r < b :
	Pela Lei de Gauss: 
 ; onde 
	
	(01)
	Mas 
	(02)
	De (02), conclui-se que 
	(03)
	De (03), conclui-se que E varia de acordo com 
para a região entre as esferas. Logo, o maior valor que E atinge nesta região ocorre para o menor valor de r.
	Assim, para r = 6 cm, temos: 
	
�� EMBED Equation.3 
b)	
	
�
c)	
	
(03)
(01)
(02)
(07)
(10)
(02)
(03)
(01)
(02)
(04)
(03)
(01)
(02)
 (04)
(06)
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ELM - ER09 - Cap5.doc
�EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
	CAPÍTULO 05	–	CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA
CAPÍTULO 05
CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA
Um capacitor de placas paralelas está cheio de ar, possui placas de áreas 4 x 4 cm2, separadas uma da outra por uma distância de 0,3 cm. Como devem ser usadas 2 cm3 de parafina (
�) para obter máxima capacitância? Qual é o valor desta máxima capacitância?
Resolução:
	Dados:
	Para aumentar a capacitância, a melhor combinação consiste em colocar toda a parafina entre as placas, de modo que sua capacitância fique em paralelo com a capacitância do restante do meio entre as placas (ar).
	Portanto, 
	(01)
Cálculo de x: 
	Volume de parafina
Cálculo de 
:
	
, onde 
	
Cálculo de 
:
	
, onde 
�
	
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
5.2)	As superfícies esféricas, r = 2 cm e r = 10 cm, são condutoras perfeitas. A corrente total passando radialmente para fora através do meio entre as esferas é de 2,5 A. Determinar:
a diferença de potencial entre as esferas; 
a resistência entre as esferas;
o campo elétrico 
 na região entre as esferas.
Assumir que a região está preenchida com um material dielétrico cuja condutividade é ( = 0,02 mho/m (ou ( = 0,02 S/m). 
Resolução:
a)	
	(01)
	
	(02)
Cálculo de 
:
	
	(03)
	Substituindo (02) em (03), temos:
	
�
	
	
b)	
c)	Da Equação (02) do ítem a, temos: 
	
5.3)	Uma pequena esfera metálica de raio a, no vácuo, dista d (d >> a) de um plano condutor. Calcular o campo elétrico a meia distância entre a esfera e o plano condutor.
Resolução:
Método das Imagens:
	O Campo Elétrico resultante no ponto P será: 
	
, onde 
Cálculo de 
:
	
�
5.4)	As superfícies esféricas, r = 2 cm e r = 6 cm, são condutoras perfeitas e a região entre elas é preenchida com um material de condutividade ( = 80 mho/m. Se a densidade de corrente é 
 [A/m2] para 2 < r < 6 cm, determinar:
A corrente I fluindo de uma superfície condutora perfeita
para a outra;
O campo elétrico 
 na região entre as esferas;
A diferença de potencial entre as duas superfícies condutoras;
A potência total dissipada no material condutor.
Resolução:
a)	
, onde 
	
b)	
c)	
	
d)	
�
5..5)	A fronteira entre dois dielétricos de permissividade relativas (R1 = 5 e (R2 = 2 é definida pela equação do plano 
�. Se, na região do dielétrico 1, a densidade de fluxo elétrico for dada por 
, determinar:
;
 
;
;
;
A densidade de energia na região do dielétrico 2.
Resolução:
Cálculo de 
:
	Seja 
 a fronteira entre os dois meios (plano de separação).
	
. Logo, 
Cálculo dos componentes de 
:
	
Cálculo de 
:
	
	
�
Cálculo de 
:
	
a)	
	
c)	
	
d)	
	
e)	
	
Nota:
Cálculo de 
:
	
�
	
5.6)	Duas pequenas esferas metálicas iguais de raio a estão bastante afastadas de uma distância d e imersas num meio de condutividade (. Aplica-se a elas uma tensão V. Calcule a resistência oferecida pelo material entre as duas esferas.
Resolução:
Como d >> a, pode-se considerar as duas esferas como duas cargas pontuais. Isto é, a corrente flui radialmente de uma esfera a outra sendo a resistência entre elas igual a soma das resistências de aterramento de cada uma, isto é, duas resistências iguais em série. 
1o modo:
Cálculo da resistência de aterramento de uma única esfera:
	
	(01)
Cálculo de V para uma esfera com o campo elétrico sendo 
:
	
Cálculo de I:
	
�
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
2o modo:
	
	(01)
Cálculo de 
:
	
Cálculo de V:
	
	Substituindo (03) em (01), temos:
	
5.7)	O vetor unitário 
, é dirigido da região 1 para a região 2, sendo normal a fronteira plana entre os dois dielétricos perfeitos com (R1 = 3 e (R2 = 2. Sendo 
, determine
.
Resolução:
Cálculo dos componentes de 
:
	
Cálculo de 
:
	
	
�
Cálculo de 
:
	
Cálculo dos componentes de 
:
	
	(01)
Cálculo de 
:
	
	
Cálculo de 
:
	
	(03)
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
5.8)	Dado o campo potencial 
 [V], determinar:
A equação da superfície condutora na qual V = 100 V;
O campo elétrico 
 no ponto P (r, 30o, 30o) sobre a superfície condutora;
A densidade superficial (S no ponto P.
	Assumir: ( = (o na superfície adjacente
Resolução:
a)	Para determinar a equação da superfície condutora na qual V = 100 V, basta substituir este valor na equação de campo dada.
	Portanto: 
�
b)	Dados: P (r,( = 30o, ( = 30o )
	
	
	Substituindo as coordenadas de P em (01), temos:
	
	Mas 
(item a).Portanto 
	(03)
	Substituindo (03) em (02), temos:
	
c)	
Cálculo de 
:
	
�
5.9)	Duas cargas pontuais e simétricas de 100 (C estão localizadas acima de um plano condutor situado em z = 0, sendo a carga positiva em (( = 1 m, ( = (/2, z = 1 m) e a carga negativa em (( = 1 m, ( = 3(/2, z = 1 m). Determinar:
A densidade superficial de carga na origem;
A densidade superficial de carga no ponto A(( = 1 m, ( = (/2, z = 0);
c)	A densidade de fluxo elétrico 
 no ponto B(( = 0, ( = 0, z = 1 m).
Resolução:
	Dados: 
a)	Na origem, o vetor densidade de fluxo elétrico (
) é nulo, pois os campos criados pelas cargas objeto (
) são anulados pelos campos criados pelas cargas imagem (
).
	Logo, 
b)	
, onde 
 é o vetor densidade de fluxo elétrico resultante no ponto 	(01)
Cálculo de 
:
	
	(02)
	
, onde 
	(03)
�
	
, onde 
	(04)
	
, onde 
	(05)
	
, onde 
	(06)
	Substituindo (03), (04), (05) e (06) em (02), temos:
	
	Substituindo (07) em (01), temos:
	
c)	Cálculo de 
:
	
	(01)
	
, onde 
	(02)
	
, onde 
	(03)
�
	
, onde 
	(04)
	
, onde 
	(05)
	Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01), temos:
	
5.10)	A região entre as placas de metal de um capacitor é preenchida por 4 (quatro) camadas de dielétricos diferentes, com permissividades 2(o, 3(o, 4(o e 5(o, onde (o é a permissividade elétrica do vácuo. Cada camada tem espessura a e área S. Determinar, para os arranjos de dielétricos em série e em paralelo:
a)	As magnitudes do campo elétrico (E) e da densidade de fluxo (D) em cada camada;
b)	A diferença de potencial (Vo) entre as placas;
c)	A capacitância total (C) resultante;
	Nota: Usar apenas os parâmetros dados, adotando as cargas das placas iguais (Q.
Obs: 	Para um arranjo série de dielétricos, deve-se considerar que a área das placas que formam o capacitor é igual a área de cada camada de dielétrico , ou seja, Splaca = Scamada = S;	(Arranjo Série)
	Para um arranjo paralelo de dielétricos, deve-se considerar que a área das placas que formam o capacitor foi dividida em quatro, de modo que Splaca = 4Scamada = 4S;	(Arranjo Paralelo)
�
Resolução:
Arranjo Série:
a)	Pelas condições de contorno, 
.
Sabe-se que 
 e que 
. Portanto, 
	(01)
	Mas 
	(02)
	Substituindo (01) em (02), temos:
	
	
	
	
b)	
	
, onde 
	(01)
	Substituindo os valores de 
 em (01), temos:
	
�
c)	O cálculo da capacitância pode ser feito de duas maneiras. A primeira considera a definição de capacitância para um capacitor de placas paralelas (
). A segunda considera que a capacitância total (C)do arranjo acima é equivalente à capacitância resultante quando admitimos que os quatro capacitores formados pelas camadas de dielétricos acima estão colocados em série.
	1o modo:
	
	2o modo:
	
Arranjo Paralelo:
	Para esta configuração, a solução torna-se mais simples quando iniciada em ordem inversa.
c)	
	(01)
	onde 
v	(02)
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
b)	
	(03)
�
a)	Sabe-se que : 
	(04)
	Mas 
	(05)
	Substituindo (05) em (04), tem-se: 
	(06)
	Sabe-se que : 
	(07)
	Substituindo (07) em (06) para cada região, tem-se:
	
	
	
	
Nota: Das equações (02) e (03) , pode-se calcular a forma com que a carga total Q foi distribuída entre as camadas de dielétricos.
	
	
	
	
Logo, devido às diferentes permissividades, a carga Q não foi igualmente distribuída entre as camadas. Deve-se ressaltar que a relação 
continua verdadeira.
�
5.11)	Duas esferas condutoras concêntricas de raios r = 3 mm e r = 7 mm são separadas por dois dielétricos diferentes, sendo a fronteira entre os dois dielétricos localizada em r = 5 mm. Se as permissividades relativas são (R1 = 4, para o dielétrico mais interno, e (R2 = 6, para o outro dielétrico, e (S = 10 (C/m2 na
esfera interna, determinar:
A expressão que fornece o campo elétrico entre as duas esferas, utilizando a Lei de Gauss;
A diferença de potencial entre as duas esferas;
A capacitância (*) do capacitor esférico formado.
(*) A fórmula da capacitância do capacitor esférico não poderá ser usada diretamente.
Resolução:
	Dados:
a)	Pela Lei de Gauss: 
Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a: 
	
Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b: 
	
, onde: 
	
	Mas 
 e portanto, teremos duas expressões para o campo elétrico entre as duas esferas.
Campo elétrico para 3mm < r < 5mm:
	
Campo elétrico para 5mm < r < 7mm:
	
b)	
	
c)	
 (02)
 (03)
 (02)
 (03)
 (02)
 (03)
(02)
(02)
(01)
 (07)
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ELM - ER10 - Cap6.doc
�EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
	CAPÍTULO 06	–	EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE
CAPÍTULO 06
EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE
6.1)	Seja o potencial no espaço livre (vácuo) expresso por 
 volts.
a)	Determinar o campo elétrico (
) em P (2, -1, 3);
b)	Determinar a densidade volumétrica de carga ((v) em P;
c)	Determinar a equação da superfície equipotencial que passa por P;
d)	Verificar se a função V acima satisfaz a Equação de Laplace.
Resolução:
Sabe -se que 
	(01)
Cálculo do Gradiente (coordenadas cartesianas):
	
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
	(03)
	Substituindo as coordenadas de P em (03), temos o campo elétrico 
:
	
b)	
	(01)
Cálculo do Laplaciano (coordenadas cartesianas):
	
	Substituindo as coordenadas de P em (02), temos:
	
	(03)
�
Substituindo (03) em (01), temos:
	
O potencial em P(2;-1;3),é dado por: 
	Logo, a equação da superfície equipotencial que passa por P é:
	
A equação não satisfaz a Equação de Laplace, pois 
(item b), indicando que a região contém cargas livres. Portanto, 
.
6.2)	Planos condutores em ( = 10o e ( = 0o, em coordenadas cilíndricas, possuem tensões de 75 volts e zero, respectivamente. Obtenha 
 na região entre os planos que contém um material para o qual (R = 1,65.
Resolução:
	As superfícies equipotenciais para ( constante são planos radiais conforme mostrado na figura anterior.
	Equação de Laplace: 
, pois 
.
	
	Integrando pela 1a vez:
	
�
	Integrando pela 2a vez:
	
	(01)
	Condições de Contorno: 
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
	(04)
Cálculo de 
:
	
Cálculo de 
:
	
6.3)	Sendo o potencial 
 função somente da coordenada cilíndrica
( (como num cabo coaxial), determinar:
a)	a expressão matemática de, sendo V =V0 em ( = a e V = 0 em ( = b (b ( a);
b)	a expressão da capacitância C, com as mesmas condições do item (a);
c)	o valor de VP em P(2,1,3) se V = 50 V em a = 2 m e V = 20 V em b = 3 m.
Resolução:
Segundo a Equação de Laplace: 
, pois 
.
	
	(01)
	Condições de Contorno:
	(02)
�
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
b)	Sabe-se que 
	(01)
	Porém, 
, onde 
	(02)
Cálculo de 
:
	
Cálculo de 
:
	
	Substituindo (03) em (02), temos:
	
	(04)
	Substituindo (04) em (01), temos:
	
c)	
, onde a = 2 m e b = 3 m.	(01)
Cálculo de VO:
	
	(02)
Cálculo de (:
	
	(03)
�
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
	(Para V = 0 em ( = a)
	VP = 20 + 21,74 ( VP = 41,74 [V]	(Para V = 20 V em ( = a)
6.4)	Dado o potencial 
, r(0 [V], no espaço livre.
a)	Verifique se V satisfaz a equação de Laplace;
b)	Encontrar a carga total armazenada dentro da casca esférica (1 ( r ( 2).
Resolução:
Cálculo do Laplaciano (coordenadas esféricas):
	
b)	1o modo:
	Equação de Poisson: 
	
, onde: 
	
�
	
	2o modo: 
Cálculo de 
:
	
Cálculo de 
:
	
	(02)
Cálculo de 
:
	
Cálculo de Q:
	
, onde: 
	
�
	3o modo:
	
, onde:
	
	Em 
	Em 
	Para 
6.5)	Dois cilindros condutores coaxiais de raios a = 2 cm e b = 6 cm apresentam potenciais de 100 V e de 0 V, respectivamente. A região entre os cilindros é preenchida com um dielétrico perfeito, porém, não homogêneo, no qual 
. Determinar para esta região:
a)	o potencial elétrico 
�;
b)	o campo elétrico 
;
c)	a densidade de fluxo elétrico 
;
d)	a capacitância C por metro de comprimento.
Resolução:
a)	
 As Equações de Laplace e de Poisson não podem ser usadas diretamente;
Deve-se calcular uma relação a partir da forma puntual de Lei de Gauss, da definição de 
 e da relação do Gradiente. Portanto:
�
	
	(01)
	No dielétrico perfeito, (v = 0 e ( = (o(R 	(02)
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
	(03)
	Desenvolvendo (03), temos:
	
	Integrando pela 1a vez:
	
	Integrando pela 2a vez:
	
	(04)
	Condições de Contorno: 
	Fazendo (05) – (06), temos:
	
	(07)
	Substituindo (07) em (06), temos:
	
	(08)
	Substituindo (07) e (08) em (04), temos:
	
�
b)	Cálculo do Campo Elétrico 
:
	
c)	Cálculo da Densidade de Fluxo Elétrico 
:
	
	
	(01)
	Mas 
	
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
d)	Cálculo da capacitância C por metro de comprimento:
	
6.6)	Uma região entre dois cilindros condutores concêntricos com raios a = 2 cm e b = 5 cm contém uma densidade volumétrica de carga uniforme 
C/m3. Se o campo elétrico 
 e o potencial V são ambos nulos no cilindro interno, determinar:
a)	A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Equação de Poisson;
b)	A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Lei de Gauss;
c)	O valor do potencial V no cilindro externo.
Assumir a permissividade do meio como sendo a do vácuo.
Resolução:
a)	Equação de Poisson: 
	Integrando pela 1a vez:
	
	
	(01)
�
Porém, sabe-se que:
	(02)
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
	(03)
	1a Condição de Contorno: 	
 para ( = a.	(04)
	Substituindo (04) em (03), temos:
	
	(05)
	Substituindo (05) em (01), temos:
	
	(06)
	Integrando pela 2a vez:
	
	(07)
	2a Condição de Contorno: 	
 para ( = a.	(08)
	Substituindo (08) em (07), temos:
	
	(09)
	Substituindo (09) em (07), temos:
	
�
b)
	Lei de Gauss: 
	
Cálculo do Campo Elétrico 
:
	
Cálculo de V:
	
c)	No cilindro externo, ( = b = 0,05 m .
	
�
Dois cilindros condutores, circulares retos, coaxiais, acham-se em ( = a = 10 mm e ( = b = 30 mm, com tensões de 10 volts no cilindro interno e Vo no cilindro externo. Se 
 em ( = 20 mm, determinar:
a)	A expressão do potencial V em função de ( por Laplace;
b)	O valor de Vo;
c)A densidade de cargas do condutor externo.
Resolução:
a)	Equação de Laplace: 
, pois 
.
	
	(01)
	1a Condição de Contorno: V = 10 V em ( = 10 mm .	(02)
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
	(03)
	Porém, sabe-se que 
 ( = 20 mm, oque indica que:
	
	Substituindo (04) em (03), temos:
	
	(05)
	Substituindo (04) e (05) em (01), temos:
	
	(06)
�
b)	2a Condição de Contorno: V = Vo em ( = 30 mm .	(01)
	Substituindo a equação (01) do item (b) na equação (06) do item (a), temos:
	
c)	
, onde 
 é o módulo de 
 (da Equação (04) do item (a)) para ( = 0,03 m .
	
6.8)	Um cabo coaxial possui seu condutor interno com cargas uniformemente distribuída de 1(C/m. Os raios dos condutores interno e externo são a = 1 cm e b = 4 cm, respectivamente. Entre o condutor interno e o externo são colocadas duas camadas de material dielétrico possuindo, respectivamente, permissividades relativas (R1 = 2 e (R2, e espessuras w1 e w2. Determinar (R2, w1 e w2, de modo que a diferença de potencial de cada camada seja a mesma e a capacitância total do cabo seja de 75 pF/m.
Resolução:
Cálculo da Capacitância:
	Equação de Laplace: 
, pois 
.
	
	(01)
	Condições de Contorno:
	Seja 
	Fazendo (03) – (02),temos:
	
	(04)
�
	Substituindo (04) em (02), temos:
	
	(05)
	Substituindo (04) e (05) em (01), temos:
	
	
�
	Dados: 
	(07)
	De (06), temos:
	
	De (07), temos:
	
	De acordo com a figura, CT é a capacitância equivalente do arranjo série de C1 e C2.
	Portanto, podemos escrever:
	
	(10)
	Substituindo (10) em (08), temos:
	
�
	De (07), sabemos que w1 + w2 = 3cm. Portanto, w2 = 1,9 cm	(12)
	Substituindo (11) em (09), temos:
	
� EMBED PBrush ���
	(05)
	(06)
(Lei de Gauss para uma Superfície Gaussiana Cilíndrica de raio 2<(<6 cm)
	(03)
	(02)
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
	(06)
� EMBED PBrush ���
	(08)
	(09)
	(11)
	(02)
	(03)
	(02)
	(02)
	(03)
	(03)
	(02)
	(02)
( V não satisfaz a Equação de Laplace
�PAGE �1�
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ELM - ER11 - Cap7.doc
�EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
	CAPÍTULO 07	–	CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
CAPÍTULO 07
CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Calcular 
 no centro de uma espira quadrada de lado a percorrida por uma corrente I.
Resolução:
	Os lados AB, BC, CD e DA da espira produzem campos magnéticos no mesmo sentido no ponto O (centro da espira). Portanto, o campo magnético total no ponto O (
) será quatro vezes maior que aquele produzido por qualquer um dos lados da espira.
	
	(01)
Cálculo de 
 (campo magnético produzido no ponto O pelo lado AB da espira):
	Lei de Biot-Savart:
	
, onde: 
	(02)
	
	(03)
�
	Substituindo (03) em (02), temos:
	
	(04)
	Substituição de variáveis na integral: 
	Substituindo (05) em (04), temos:
	
	Substituindo (06) em (01), temos:
	
	(07)
Cálculo de 
:
	
�
7.2)	Duas espiras circulares de corrente, idênticas, de raios a e corrente I situam-se em planos horizontais paralelos separados no seu eixo comum por uma distância 2h. Encontre 
 no ponto médio entre as duas espiras.
Resolução:
	A Espira 01 gera o campo magnético 
no ponto P (ponto médio), enquanto a Espira 02 gera o campo magnético 
, de mesma magnitude e na mesma direção de 
. Portanto, o campo magnético total gerado em P será:
	
	(01)
Cálculo de 
:
	Lei de Biot-Savart:
	
, onde: 
	(02)
	
	(03)
	Substituindo (03) em (02), temos:
	
	(04)
�
	A inspeção da figura anterior nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos produzem componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, 
 possui somente componente na direção de 
, reduzindo a equação (04) a:
	
	(05)
	Substituindo (05) em (01), temos:
	
7.3)	Uma espira quadrada de lado 2a, centrada na origem, situada no plano z = 0 e lados paralelos aos eixos x e y, conduz uma corrente I no sentido anti-horário vista do sentido positivo do eixo z. Determinar o campo magnético 
 no ponto P(0; 0; a).
Resolução:
	Os lados AB e CD da espira geram campos magnéticos componentes no ponto P nas direções de 
 e 
. Portanto, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados AB e CD da espira terão a seguinte forma: 
. Nota-se, então, que as componentes 
 e 
 se anulam. Seguindo o mesmo raciocínio, os campos magnéticos totais gerados no ponto P pelos lados BC e DA da espira terão a seguinte forma: 
 e 
. Nota-se, então, que as componentes 
 e 
 se anulam. Logo, o campo gerado em P pelos lados AB, BC, CD e DA será quatro vezes maior que aquela componente no sentido de 
 produzida por qualquer um dos lados da espira.
	
	(01)
�
Cálculo de 
:
Lei de Biot-Savart:
	
, onde: 
	(02)
	
	(03)
	Substituindo (03) em (02), temos:
	
	Substituição de variáveis na integral: 
	
	Substituindo (05) em (04), temos:
	
�
	
	Substituindo (06) em (01), temos:
	
7.4)	Seja 
 no plano z = 0.
Determinar a corrente total passando através do plano z = 0, na direção 
, no interior do retângulo 
 e 
.
Se o potencial magnético 
 é nulo no vértice P(-1; -2; 0) do retângulo RSPQ, determinar 
 no vértice R(1; 2; 0), utilizando um percurso que passa pelo vértice Q(1; -2; 0).
Resolução:
a)	De acordo com a Lei Circuital de Ampère e com o Teorema de Stokes, temos:
	
	(01)
Cálculo do Rotacional:
	
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
�
	
b)	VmRP = VmRQ + VmQP, onde 
	(01)
	Trecho P(Q:
	
	Trecho Q(R:
	
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
�
7.5)	A superfície cilíndrica ( = a = 20 mm conduz a corrente 
, enquanto que a superfície ( = b = 40 mm possui
a corrente solenoidal 
. Calcule a intensidade do campo magnético 
 em:
a)	( = 10 mm;
b)	( = 30 mm;
c)	( = 50 mm.
Resolução:
Cálculo de 
 para a superfície cilíndrica (
) ( Lei Circuital de Ampère:
	Para ( < 20 mm
	(01)
	Para ( > 20 mm
	
Cálculo de 
 para o solenóide (
) ( Lei Circuital de Ampère:
	Para ( < 40 mm
	
	Para ( > 40 mm
	(04)
a)	O campo magnético gerado em ( = 10 mm (
) será proveniente somente do solenóide. Portanto, a equação (03) é suficiente para defini-lo.
	
�
b)	O campo magnético gerado em ( = 30 mm (
) será proveniente tanto da superfície cilíndrica quanto do solenóide. Portanto, 
será a soma das equações (02) e (03).
	
c)	O campo magnético gerado em ( = 50 mm (
) será proveniente somente da superfície cilíndrica. Portanto, a equação (02) é suficiente para defini-lo.
	
7.6)	Um fio de raio igual a 2a [m] estende-se ao longo do eixo z e é constituído de dois materiais condutores, sendo:
	Condutor 01: condutividade = ( para 0 < ( <a..
	Condutor 02: condutividade = 4( para a < ( <2a..
	Se o fio conduz uma corrente contínua total de I ampères, calcular:
a)	a corrente devido a cada condutor;
b)	o campo magnético 
 para 0 < ( <3a.
Resolução:
a) 	
	onde 
	
�
	
Lei Circuital de Ampère:
Cálculo de 
 para ( < a:
	
Cálculo de 
 para a < ( < 2a:
	
Cálculo de 
 para 2a <( < 3a:
	
7.7)	Um cabo coaxial consiste de um fio central fino conduzindo uma corrente I envolvido por um condutor externo de espessura despresível a uma distância a conduzindo uma corrente na direção oposta. Metade do espaço entre os condutores é preenchido por um material magnético de permeabilidade ( e a outra metade com ar. Determinar 
, 
 e 
 em todos os pontos do condutor.
Resolução:
Cálculo de 
:
Lei Circuital de Ampère para ( < a:
	
	(01)
�
	Mas 
	(02)
	
	(03)
	Substituindo (02) e (03) em (01), temos:
	
	
Cálculo de 
:
No ar:
	
�� EMBED Equation.3 
No material magnético:
	
Cálculo de 
:
No ar:
	
No material magnético:
	
�
7.8)	Uma película infinita de corrente com 
 estende-se no plano z = 0. Duas outras películas de corrente com 
 são colocadas nos planos z = h e z = -h.
Determinar o campo vetorial 
 em todo o espaço;
Determinar o fluxo magnético líquido que cruza o plano y = 0 na direção 
, entre 0 < x < 1 e 0 < z < 2h.
Resolução:
a)	Campo magnético para um plano infinito: 
.
	Pela análise da figura acima, nota-se que, em qualquer ponto do espaço, o campo magnético terá a seguinte forma: 
, onde 
 são os campos gerados pelas películas 
 respectivamente.
	 Portanto, 
	(01)
Cálculo de 
 para z > h:
	
Cálculo de 
 para 0 < z < h:
	
Cálculo de 
 para -h < z < 0:
	
�
Cálculo de 
 para z < -h:
	
b)
	
7.9)	Um fio infinito foi dobrado e colocado segundo a figura abaixo. Empregando a Lei de Biot-Savart, calcular o campo magnético resultante 
 num ponto genérico P situado sobre o eixo y. Determinar também o valor de 
 para o valor de y do ponto P igual a:
Zero;
d;
;
d)	2d.
Resolução:
	O campo magnético resultante em P apresenta uma parcela que é gerada pelo segmento semi-infinito localizado em y = 0 (
), uma parcela que é gerada pelo segmento semi-infinito localizado em y = d (
) e uma parcela que é gerada pelo segmento condutor localizado em x = 0 (
).
	
	(01)
�
Cálculo de 
:
Lei de Biot-Savart:
	
, onde: 
	(02)
	
	(03)
	Substituindo (03) em (02), temos:
	
	(04)
	Substituição de variáveis na integral: 
	
	Substituindo (05) em (04), temos:
	
Cálculo de 
:
	A parcela 
 apresente a mesma direção e sentido de 
, porém varia inversamente com a distância (y – d).
�
	Portanto: 
. para (y ( d)	(07)
Cálculo de 
:
	O segmento condutor localizado em x = 0 não pode gerar um campo magnético no ponto P, pois 
.Logo, 
	(08)
	Substituindo (06), (07) e (08) em (01), temos:
	
a)	Neste caso, 
e 
b)	Neste caso, 
e 
c)	
d)	
7.10)	Calcular 
 no ponto P(0; 0; 2a) gerado por uma espira circular de raio ( = a, situada no plano xy, percorrida por uma corrente I no sentido horário e por um condutor filamentar passando pelo ponto (2a; 0; 0), conduzindo uma corrente I o sentido 
.
Resolução:
		(01)
�
Cálculo de 
 para a espira:	Lei de Biot-Savart: 
	(02)
	
	onde: 
	
	(03)
	Substituindo (03) em (02), temos:
	
	(04)
	A inspeção da figura nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos produzem componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, 
 possui somente componente na direção de 
, reduzindo a equação (04) a:
	
	(05)
	
	(06)
Cálculo de 
 para o condutor:
	
, onde 
	(07)
	
	(08)
	
�
	Substituindo (08) em (07), temos:
	
	(09)
	Substituindo (06) e (09) em (01), temos:
	
7.11)	a)	Demonstrar, utilizando a lei de Biot Savart, que a expressão para o cálculo de um campo magnético 
 em um ponto P qualquer devido a um elemento de corrente de tamanho finito é dada por: 
, onde ( é a menor distância do ponto P ao elemento de corrente.
	b)	Encontre a indução magnética 
 no centro de um hexágono regular de lado a, conduzindo uma corrente I.
Resolução:
a)
Lei de Biot-Savart: 
, 
	
	onde: 
	(01)
	
	(02)
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
	(03)
�
	Substituição de variáveis na integral: 
	(04)
	Substituindo (04) em (03), temos:
	
	
b)	
Os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA do hexágono correspondem a elementos de corrente de tamanho finito do item (a). Deste modo, o campo magnético total gerado no centro do hexágono será seis vezes maior que o campo magnético gerado por cada um dos lados individualmente.
	Logo: 
	(01)
Cálculo de 
:
	
, onde 
	(02)
Cálculo de (:
	
	(03)
	Substituindo (03) em (02), temos:
	
	(04)
�
	Substituindo (04) em (01), temos:
	
Cálculo de 
:
	
(05)
(06)
	a
	I
	 � EMBED Equation.3 ���
	a
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
I
� EMBED Equation.3 ���
2h
h
Espira 01
Espira 02
y
 z
x
P
(02)
(03)
(06)
(05)
(04)
 y
 z
� EMBED Equation.3 ���
P (0; 0; 2a)
I
	a
	 I
� EMBED Equation.3 ���
x
 z
2a
x
� EMBED Equation.3 ���
y
	 � EMBED Equation.3 ���
	a
� EMBED Equation.3 ���
I
� EMBED Equation.3 ���
P
(06)
para (y ( 0)
(05)
(05)
(03)
(02)
(02)
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ELM - ER12 - Cap8.doc
�EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
	CAPÍTULO 08	–	FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA
CAPÍTUO 08
FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA
8.1)	No circuito magnético abaixo, construído com uma liga de ferro-níquel, calcular a fmm para que o fluxo no entreferro g seja de 300 [(Wb]. Desprezar o espraiamento de fluxo no entreferro.
Resolução:
Circuito elétrico análogo:
	Dados:
	Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços direito e esquerdo. Portanto, (1 = (2 ( (1 = (2.
	Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:
	
	(01)
Cálculo de 
:
	
�
	Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se:
	Para 
	(02)
Cálculo de 
:
	
	(03)
Cálculo de 
:
	De (01): (3 = 2(1 ( (3 =600 [( Wb]
	
	Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se:
	Para 
	(04)
	Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos:
	
8.2)	Dois circuitos condutores são constituídos por um fio reto bastante longo e uma espira retangular de dimensões h e d. A espira pertence a um plano que passa pelo fio, sendo os lados de comprimento h paralelos ao fio e distantes de r e r+d deste. Determinar a expressão que fornece a indutância mútua entre os dois circuitos.
Resolução:
	
	(01)
Cálculo de (12:
	Para o fio infinito de corrente, temos:
	
�
	
	
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
8.3)	Um filamento infinito estende-se sobre o eixo z, no espaço livre, e uma bobina quadrada de N espiras é colocada na plano y = 0 com vértices em (b; 0; 0), (b+a; 0; 0), (b+a; 0; a) e (b; 0; a).
Determinar a indutância mútua entre o filamento e a bobina em termos de a, b, N e (o.
Resolução:
	
	
	(01)
Cálculo de (12:
	Para o filamento infinito de corrente, temos:
	
�
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
8.4)	Dado o circuito magnético da figura abaixo, assumir 
 através da seção reta da perna esquerda e determinar:
A queda de potencial magnético no ar (
);
A queda de potencial magnético no aço-silício (
);
A corrente que circula em uma bobina com 1250 espiras enroladas em volta da perna esquerda.
	Circuito elétrico análogo
Resolução:
	Dados:
	Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:
	
	(01)
De (01):
	
�
b)	 De (01):
	
	(03)
Cálculo de 
:
	Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se:
	Para 
	(04)
Cálculo de 
:
	
	Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se:
	Para 
	(05)
	Substituindo (04) e (05) em (03), temos:
	
	(06)
c)	Substituindo (05) e (06) em (01), temos:
	
8.5)	Uma espira filamentar quadrada de corrente tem vértices nos pontos (0; 1; 0), (0; 1; 1), (0; 2; 1) e (0; 2; 0). A corrente é de 10 [A] e flui no sentido horário quando a espira é vista do eixo +x. Calcule o torque na espira quando esta é submetida :
a uma densidade de fluxo magnético 
;
ao campo produzido por uma corrente filamentar de 10 [A] que flui ao longo do eixo z no sentido 
.
Resolução:
a)	
�
b)	
	(01)
Cálculo de 
:
	
	(02)
	Substituindo (02) em (01), temos:
	
8.6)	Suponha que o núcleo do material magnético da figura abaixo possui uma permeabilidade relativa de 5000. O fluxo 
 do braço esquerdo circula de a para b com um comprimento médio de 1 m. O comprimento médio do braço direito é igual ao do braço esquerdo. O braço central possui um comprimento médio de 0,4 m. Adotar a área da seção reta de cada caminho igual a 0,01 m2 e o fluxo de dispersão desprezível. Calcular a indutância própria da bobina 01 e a indutância mútua entre as bobinas 01 e 02.
Resolução:
	Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços direito e esquerdo. Portanto, (1 = (3.
Circuito elétrico análogo:
	
	(01)
	
	(02)
	Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:
	
	(03)
�
Cálculo de (1e de (3:
	
Cálculo de (2:
	
	(05)
	De (03), conclui-se que: 
	(06)
	Substituindo (04) e (05) em (06), temos:
	
	(07)
	Substituindo (07) em (03), temos:
	
	(08)
	Substituindo (07) e (08) em (03), temos:
	
	Substituindo (09) em (07) e em (08), temos:
	
	(10)
e
	
	(11)
	Substituindo (10) em (01), temos:
	
e
	Substituindo (11) em (02), temos:
	
�
8.7)	Determinar a densidade de fluxo magnético (
) em cada uma das três pernas do circuito magnético da figura abaixo. Assumir que, dentro do material ferromagnético do núcleo, 
 é relacionado diretamente com 
, através da expressão 
.
Resolução:
Circuito elétrico análogo:
	Dados:
	Se 
, então, ( = 200.
	Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:
	
	(01)
Cálculo de (1:
	
	(02)
Cálculo de (2:
	
	(03)
�
Cálculo de (3:
	
	(04)
Cálculo de (g:
	
	(05)
	Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01), temos:
	
	Substituindo (07) em (06), temos:
	
	Substituindo (08) em (06), temos:
	
	(09)
	Substituindo (08) e (09) em (01), temos:
	
Cálculo de 
:
	
Cálculo de 
:
	
Cálculo de 
:
	
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(02) 
(09) 
(04) 
(06) 
(08) 
(02) 
(02) 
(07) 
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ELM - ER13 - Cap9.doc
�EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO
	CAPÍTULO 09	–	CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL
CAPÍTULO 09
CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL
A figura abaixo mostra uma barra condutora paralela ao eixo y, que completa uma malha através de contatos deslizantes com os condutores em y = 0 e em y = 0,05 [m].
Calcular a tensão induzida quando a barra está parada em x = 0,05 [m] e 
.
Repita o item acima supondo que a barra desloca-se com velocidade 
.