Aula 05 - Grafico das Medias e Amplitudes

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Carta de Controle X-Barra / R
Prof. Dr. Rafael H. P. Lima
Gráficos de controle
 Etapas para o cálculo e a utilização dos limites de controle
Cálculo dos Limites de 
Controle
Utilização das Cartas de 
Controle
Nesta fase, amostras são 
coletadas para estudar a 
variabilidade do processo e 
detectar se ele está apenas sob 
a influência de causas comuns 
de variação. Ao final, são 
obtidos os limites de controle 
que serão colocados em uso
Os limites de controle são 
colocados em uso para monitorar 
mudanças no processo. O gráfico 
de controle ajuda a verificar se o 
processo continua estável, em 
comparação com a variabilidade 
que o processo tinha durante a 
fase de cálculo
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Os limites de controle são calculados a partir das 
amostras coletadas durante a fase de estudo do processo:
Amostra X1 X2 X3 X4 X5 Média Amplitude
1 5000,13 5001,82 5007,48 5004,37 5001,64 5003,09 7,35
2 5006,15 4997,98 5005,02 5004,62 4996,71 5002,10 9,44
3 5002,56 5008,53 4996,46 5006,60 4999,80 5002,79 12,07
4 5003,53 5010,98 5003,91 4997,42 5003,75 5003,92 13,55
5 5005,40 4999,03 5000,62 5003,97 5004,35 5002,67 6,37
6 5000,49 5001,54 5003,75 4991,20 4997,78 4998,95 12,55
7 5000,19 4999,26 5001,82 4999,53 4995,85 4999,33 5,97
8 4995,32 5004,70 5002,27 5004,75 4999,91 5001,39 9,43
9 4999,63 4994,95 4997,38 5000,18 4991,33 4996,69 8,85
10 4999,55 4999,55 5000,93 5003,45 5005,38 5001,77 5,83
Média 5001,27 9,14
Gráfico de Controle X-Barra / R
 O Gráfico X-Barra / R é, na verdade, composto por dois 
gráficos de controle:
 Gráfico da Média (X-Barra): controla a média do processo, 
usando as médias das amostras coletadas; as médias são 
um indicativo da variação entre as amostras;
 Gráfico da Amplitude (R): controla a amplitude das 
amostras, que medem a variabilidade intra-amostral.
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Limites de controle para o gráfico X-Barra
n
s
XLIC
XLM
n
s
XLSC
XGráfico
X
X
X
3
3



Cálculo do desvio padrão
2d
R
s 
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Constantes usadas para calcular os limites de controle:
n 2 3 4 5 6 7 8
d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847
d3 0,853 0,888 0,880 0,864 0,848 0,833 0,820
n 9 10 11 12 13 14 15
d2 2,970 3,078 3,173 3,258 3,336 3,407 3,472
d3 0,808 0,797 0,787 0,778 0,770 0,763 0,756
929,3
326,2
14,9
2

d
R
s
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Cálculo dos limites do Gráfico X-Barra:
998,995,4
5
929,33
27,5001
3
27,5001
542,5006
5
929,33
27,5001
3







n
s
XLIC
XLM
n
s
XLSC
XGráfico
X
X
X
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Limites de controle do gráfico X-Barra e amostras 
coletadas durante a fase de estudo
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Alguns livros apresentam a seguinte fórmula de cálculo 
para os gráfico X-Barra
RAXLIC
XLM
RAXLSC
X
X
X
2
2



nd
A
2
2
3

Gráfico de Controle X-Barra / R
 Valores para as constantes
n A2 D3 D4
2 1,880 0 3,267
3 1,023 0 2,575
4 0,729 0 2,282
5 0,577 0 2,115
6 0,483 0 2,004
7 0,419 0,024 1,924
8 0,373 0,388 1,864
9 0,337 0,547 1,816
10 0,308 0,687 1,777
Gráfico de Controle X-Barra / R
 O gráfico de controle automatiza a realização dos testes 
de hipótese sobre o processo
 Hipótese testada pelo gráfico:


ˆ:
ˆ:
1
0


xH
xH
Média de uma 
amostra retirada do 
processo
Estimativa histórica 
da média do 
processo
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Qual será a probabilidade de Erro do Tipo I (rejeitar H0
quando H0 é verdadeira) usando 3 desvios padrão?
 O valor α indica a probabilidade de erro do Tipo I
 Usando 3 desvios padrão, a probabilidade é:
 Qual seria a largura dos limites de controle se 
quiséssemos um α = 0,002 ?
0027,0)3(1)3( 
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Limites para o Gráfico da Amplitude (R)
sdRLIC
RLM
sdRLSC
RGráfico
R
R
R



3
3
3
3
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Cálculo dos limites do Gráfico R
045,1929,3864,0314,93
14,9
325,19929,3864,0314,93
3
3



sdRLIC
RLM
sdRLSC
RGráfico
R
R
R
0RLIC
Lembrem-se, não existe 
amplitude negativa!
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Limites de controle do gráfico R e amostras coletadas:
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Alguns livros utilizam as fórmulas a seguir para o gráfico 
das amplitudes
RDLIC
RLM
RDLSC
R
R
R
3
4



2
3
4
2
3
3
3
1
3
1;0max
d
d
D
d
d
D








Gráfico de Controle X-Barra / R
 Síntese dos limites de controle:
Gráfico da Média
(X-Barra)
Gráfico da 
Amplitude (R)
LSC 5006,542 19,32525
LM 5001,27 9,14
LIC 4995,998 0
O processo aparentemente está sob controle estatístico e 
os limites de controle podem ser usados para monitorar 
se o processo continuará sob controle no futuro.
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Avaliação do “controle estatístico”:
 Ponto fora dos limites de controle durante a fase de cálculo 
dos limites
 O processo não estava sob controle durante a fase de cálculo
 Duas ações são possíveis: (1) remover o ponto do conjunto de 
amostras e recalcular os limites ou (2) estabilizar o processo e 
reiniciar a fase de cálculo;
 Ponto fora dos limites de controle durante a fase de uso do 
gráfico de controle
 Existe um indício forte de que o processo não está mais sob 
controle, da mesma forma que estava durante a fase de cálculo
Gráfico de Controle X-Barra / R
 Não apenas pontos fora dos limites de controle indicam 
um processo fora de controle estatístico:
 7 pontos em sequência de um mesmo lado da média
 7 pontos em sequência que estão consistentemente 
aumentando ou diminuindo
 Entre 70% e 90% dos pontos devem estar até 2 desvios 
padrão da média
 No máximo 30% dos pontos devem estar entre 2 e 3 
desvios padrão da média
Gráfico de Controle X-Barra / R
Exercício
Um fornecedor de sistemas de direção deve produzir 
barras de direção com comprimento contido no 
intervalo [624, 626]. Por se tratar de um fator crítico 
para o cliente, a empresa decidiu fazer um estudo 
sobre a variabilidade do processo. Para tal, analisou o 
processo ao longo de dois dias de produção e coletou 
15 subgrupos, com 5 amostras cada: