p2_calc3_2013-1_T01

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC243 - Ca´lculo III Turma: T01
Prof.a: Aline Data: 17/09/2013
2a Prova de Ca´lculo III
1a Questa˜o: Calcule o volume do so´lido E, o qual e´ limitado superiormente pelo cone
z =
√
3x2 + 3y2 e inferiormente pela esfera x2 + y2 + (z − 1)2 = 1.
2a Questa˜o: Considere o campo vetorial
−→
F (x, y, z) =
(
ey+2z, x ey+2z, 2x ey+2z
)
.
(a) Encontre o potencial do campo
−→
F .
(b) Calcule o trabalho realizado por
−→
F para mover um objeto do ponto P = (1, 0, 0) ao
ponto Q = (0, 0, 1), neste sentido, usando um arco de para´bola no plano y = 0.
3a Questa˜o: Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha do campo
vetorial
−→
F (x, y) =
(
x2y − 2xy, xy2
)
, ao longo do quadrado formado por x = 3, x = −3,
y = 3 e y = −3, percorrido uma vez no sentido anti-hora´rio.
4a Questa˜o: Calcule a integral de superf´ıcie
∫ ∫
S
−→
F · d~S,
onde
−→
F (x, y, z) = (x, y, z4) e S e´ a parte do cone z =
√
x2 + y2 abaixo do plano z = 1,
com orientac¸a˜o para baixo.
Boa Prova!