Lista de Exercícios de Lógica

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Primeira	
  lista	
  de	
  exercícios	
  de	
  Lógica	
  	
   1) Determinar	
  o	
  valor	
  lógico	
  das	
  proposições:	
  a. O	
  sol	
  é	
  menor	
  que	
  a	
  lua.	
  (F)	
  b. Salvador	
  é	
  uma	
  capital	
  no	
  Brasil.	
  (V)	
  c. O	
  número	
  96	
  é	
  divisível	
  por	
  3.	
  (V)	
  d. A	
  neve	
  é	
  branca.	
  (V)	
  e. A	
  Espanha	
  é	
  um	
  país	
  da	
  África.	
  (F)	
  f. Pedro	
  Álvares	
  Cabral	
  descobriu	
  o	
  Brasil.	
  (V)	
  	
  	
   2) Simbolizar	
  as	
  seguintes	
  proposições	
  a. X	
  é	
  maior	
  que	
  5	
  e	
  menor	
  que	
  7	
  ou	
  X	
  não	
  é	
  igual	
  a	
  6.	
  𝒙 > 𝟓   ∧ 𝒙 < 𝟕 ∨ 𝑿 ≠ 𝟔	
  b. Se	
  X	
  é	
  menor	
  que	
  5	
  e	
  maior	
  que	
  3,	
  então	
  x	
  é	
  igual	
  a	
  4.	
  𝒙 < 𝟓   ∧ 𝒙 > 𝟑 → 𝑿 = 𝟒	
  c. X	
  é	
  maior	
  que	
  1	
  ou	
  X	
  é	
  menor	
  que	
  1	
  e	
  maior	
  que	
  0.	
  𝒙 > 𝟏   ∨ 𝒙 < 𝟏 ∧ 𝒙 > 𝟎	
  d. Se	
  X	
  é	
  maior	
  que	
  4	
  então	
  X	
  <7,	
  ou	
  X	
  >5	
  e	
  X<6.	
  𝒙 > 𝟒 → 𝑿 < 𝟕 ∨ 𝒙 > 𝟓 ∧ 𝒙 < 𝟔	
  	
  3) Sabendo	
  que	
  o	
  valor	
  lógico	
  das	
  proposições	
  p	
  e	
  q	
  são	
  respectivamente	
  V	
  e	
  F,	
  determinar	
  o	
  valor	
  lógico	
  das	
  proposições:	
  a. ~𝑝 ∧ 𝑞	
   ~𝑝 ∧ 𝑞 = ~𝑉 ∧ 𝐹 = 𝐹 ∧ 𝐹 = 𝐹	
  b. 𝑞 ∧ 𝑝 → 𝑞	
  𝑞 ∧ 𝑝 → 𝑞 = 𝐹 ∧ 𝑉 → 𝐹 = 𝐹 → 𝐹 = 𝑉	
  c. (𝑝 ↔ 𝑞) ∧ ~𝑝 ∨ 𝑞	
  𝑝 ↔ 𝑞 ∧ ~𝑝 ∨ 𝑞 = 𝑉 ↔ 𝐹 ∧ ~𝑉 ∨ 𝐹 = 𝐹 ∧ 𝐹 ∨ 𝐹 = 𝐹 ∨ 𝐹 = 𝐹	
  	
   4) Determinar	
  P(VFV)	
  em	
  cada	
  proposição:	
  a. ~ 𝑝 ∧ 𝑞 ↔ ~ 𝑝 ∨ ~𝑟 = ~ 𝑉 ∧ 𝐹 ↔ ~ 𝑉 ∨ ~𝑉 = ~ 𝐹 ↔ ~ 𝑉 = 𝑉 ↔ 𝐹 = 𝐹	
  b. 𝑟 ∧ 𝑝 ∨ ~𝑞 ∧ ~ ~𝑟 ∨ 𝑝 ∧ 𝑞 =  𝑉 ∧ 𝑉 ∨ ~𝐹 ∧ ~ ~𝑉 ∨ 𝑉 ∧ 𝐹 =  𝑉 ∧ 𝑉 ∧~ 𝐹 ∨ 𝐹 =  𝑉 ∧ 𝑉 = 𝑉.	
  c. 𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟 → 𝑞 ∨ ~𝑟 = 𝑉 ∧ 𝐹 → 𝑉 → 𝐹 ∨ ~𝑉 = 𝐹 → 𝑉 → 𝐹 ∨ 𝐹 = 𝑉 → 𝐹 = 𝐹.	
  d. 𝑝 ∨ 𝑞 → ~𝑟 ∧ ~𝑝 ∨ 𝑟 ↔ ~𝑞 = 𝑉 ∨ 𝐹 → ~𝑉 ∧ ~𝑉 ∨ 𝑉 ↔ ~𝐹 = 𝑉 → 𝐹 ∧𝑉 ↔ 𝑉 = 𝐹 ∧ 𝑉 = 𝐹.	
  e. 𝑝 ↔ 𝑝 → 𝑞 ∨ 𝑝 ∧ 𝑟 = 𝑉 ↔ 𝑉 → 𝐹 ∨ 𝑉 ∧ 𝑉 = 𝑉 ↔ 𝑉 → 𝑉 = 𝑉 ↔ 𝑉 = 𝑉.	
  	
   5) Chama-­‐se	
  tautologia	
  a	
  toda	
  proposição	
  que	
  é	
  sempre	
  verdadeira,	
  independentemente	
  da	
  verdade	
  dos	
  termos	
  que	
  a	
  compõem.	
  Um	
  exemplo	
  de	
  tautologia	
  é:	
  	
  
p:	
  João	
  é	
  alto.	
  
q:	
  Guilherme	
  é	
  gordo.	
  a. Se	
  João	
  é	
  alto,	
  então	
  João	
  é	
  alto	
  ou	
  Guilherme	
  é	
  gordo.	
  𝒑 → 𝒑 ∨ 𝒒.	
  É	
  uma	
  tautologia	
  pois	
  independente	
  dos	
  valores	
  de	
  p	
  e	
  q	
  
sempre	
  será	
  verdade	
  o	
  resultado.	
  b. Se	
  João	
  é	
  alto,	
  então	
  João	
  é	
  alto	
  e	
  Guilherme	
  é	
  gordo.	
  	
  
𝒑 → 𝒑 ∧ 𝒒.	
  Não	
  é	
  uma	
  tautologia	
  pois	
  quando	
  V(p)	
  =	
  V,	
  o	
  resultado	
  
depende	
  do	
  V(q).	
  Se	
  V(q)	
  =	
  F,	
  o	
  resultado	
  é	
  Falso.	
  c. Se	
  João	
  é	
  alto	
  ou	
  Guilherme	
  é	
  gordo,	
  então	
  Guilherme	
  é	
  gordo.	
  	
  𝒑 ∨ 𝒒 → 𝒒.	
  Se	
  V(p)	
  =	
  V	
  e	
  V(q)	
  =	
  F,	
  o	
  resultado	
  é	
  Falso.	
  d. Se	
  João	
  é	
  alto	
  ou	
  Guilherme	
  é	
  gordo,	
  então	
  João	
  é	
  alto	
  e	
  Guilherme	
  é	
  gordo.	
  	
  𝒑 ∨ 𝒒 → 𝒑 ∧ 𝒒 .	
  Não	
  é	
  uma	
  tautologia,	
  os	
  resultados	
  depende	
  dos	
  
valores	
  de	
  p	
  e	
  q.	
  e. Se	
  João	
  é	
  alto	
  ou	
  não	
  é	
  alto,	
  então	
  Guilherme	
  é	
  gordo.	
  (𝒑 ∨ ~𝒑) →q.	
  O	
  resultado	
  depende	
  do	
  V(q),	
  logo	
  não	
  é	
  uma	
  tautologia.	
  	
  	
  
6) X	
  e	
  Y	
  são	
  números	
  tais	
  que:	
  Se	
  X	
  ≤	
  4,	
  então	
  Y>7.	
  Sendo	
  assim: 𝒑:𝑿 ≤ 𝟒. 𝒒:𝒀 > 𝟕. 𝒑 → 𝒒. a)	
  Se	
  Y≤	
  7,	
  então	
  X>	
  4.	
  ~𝒒 → ~𝒑	
  	
  b)	
  Se	
  Y>	
  7,	
  então	
  X≥	
  4.	
  𝒒 → 𝒓	
  	
  c)	
  Se	
  X≥	
  4,	
  então	
  Y<	
  7.	
  𝒓 → 𝒔	
  	
  d)	
  Se	
  Y<	
  7,	
  então	
  X	
  ≥	
  4.	
  𝒔 → 𝒓	
  	
  e)	
  Se	
  X<	
  4,	
  então	
  Y≥	
  7.	
  ~𝒓 → ~𝒔 
Resposta	
  é	
  letra	
  a	
  que	
  é	
  a	
  contrapositiva	
  da	
  condicional	
  dada.	
  
 
 
7) Dizer	
  -­‐	
  Se	
  corro	
  então	
  fico	
  cansado.	
  -­‐	
  é,	
  do	
  ponto	
  de	
  vista	
  lógico,	
  o	
  mesmo	
  que	
  dizer: 
p:	
  Eu	
  corro	
  
q:	
  Eu	
  fico	
  cansado	
  𝒑 → 𝒒	
  	
  a)	
  Não	
  corro	
  ou	
  fico	
  cansado.	
  ~𝒑 ∨ 𝒒	
  	
  b)	
  Corro	
  e	
  não	
  fico	
  cansado.	
  𝒑 ∧ ~𝒒	
  	
  c)	
  Não	
  corro	
  e	
  fico	
  cansado.	
  ~𝒑 ∧ 𝒒	
  	
  d)	
  Não	
  fico	
  cansado	
  e	
  corro.	
  ~𝒒 ∧ 𝒑	
  	
  e)	
  Fico	
  cansado	
  e	
  não	
  corro.	
  𝒒 ∧ ~𝒑	
  	
  
A	
  resposta	
  é	
  letra	
  a,	
  pois	
  esta	
  é	
  a	
  proposição	
  equivalente	
  à	
  condicional	
  dada.	
  
 
 	
   8) Dada	
  a	
  condicional	
  “Se	
  T	
  é	
  um	
  triângulo	
  equilátero,	
  então	
  T	
  é	
  isósceles”,	
  informe	
  a	
  contrária,	
  a	
  recíproca	
  e	
  a	
  contrapositiva	
  desta	
  condicional.	
  
Contrária	
  da	
  condicional:	
  Se	
  T	
  não	
  é	
  um	
  triângulo	
  equilátero,	
  então	
  T	
  não	
  é	
  
iscósceles.	
  
Recíproca	
  da	
  condicional:	
  Se	
  T	
  é	
  um	
  triângulo	
  isósceles,	
  então	
  T	
  é	
  equilátero.	
  
Contrapositiva	
  da	
  condicional:	
  Se	
  T	
  não	
  é	
  um	
  triângulo	
  isósceles,	
  então	
  T	
  não	
  é	
  
equilátero.	
  	
  	
   9) A	
  sentença	
  “Duda	
  é	
  bonita	
  ou	
  Hélio	
  não	
  é	
  magro”	
  é	
  logicamente	
  equivalente	
  a:	
  
p:	
  Duda	
  é	
  bonita	
  
q:	
  Hélio	
  não	
  é	
  magro	
  𝒑 ∨ 𝒒	
  	
  a)	
  se	
  Duda	
  é	
  bonita,	
  então	
  Hélio	
  é	
  magro;	
  𝒑 → ~𝒒	
  	
  b)	
  se	
  Duda	
  é	
  bonita,	
  então	
  Hélio	
  não	
  é	
  magro;	
  𝒑 → 𝒒	
  	
  c)	
  se	
  Duda	
  não	
  é	
  bonita,	
  então	
  Hélio	
  não	
  é	
  magro;	
  ~𝒑 → 𝒒	
  	
  d)	
  se	
  Duda	
  não	
  é	
  bonita,	
  então	
  Hélio	
  é	
  magro;	
  ~𝒑 → ~𝒒	
  	
  e)	
  se	
  Hélio	
  não	
  é	
  magro,	
  então	
  Duda	
  não	
  é	
  bonita	
  𝒒 → ~𝒑	
  	
  
Pela	
  regra	
  da	
  condicional	
  a	
  sentença	
  acima	
  é	
  logicamente	
  equivalente	
  a	
  letra	
  c.	
  	
   10) Verificar	
  a	
  equivalência	
  lógica	
  	
  𝑝 ∨ 𝑞⟺ (𝑝 ↓ 𝑞) ↓ (𝑝 ↓ 𝑞)	
  	
  𝒑 ∨ 𝒒⟺ (𝒑 ↓ 𝒒) ↓ (𝒑 ↓ 𝒒)	
  	
  𝒑 ∨ 𝒒⟺ ~ ~𝒑 ∧ ~𝒒 ∧ ~ ~𝒑 ∧ ~𝒒 	
  	
  
Pela	
  tabela	
  verdade	
  segue	
  que:	
  𝒑	
   𝒒	
   ~𝒑	
   ~𝒒	
   𝒑 ∨ 𝒒(1)	
   ~𝒑 ∧ ~𝒒(2)	
   ~𝟐(3)	
   𝟑 ∧ 𝟑(𝟒)	
  
V	
   V	
   F	
   F	
   V	
   F	
   V	
   V	
  
V	
   F	
   F	
   V	
   V	
   F	
   V	
   V	
  
F	
   V	
   V	
   F	
   V	
   F	
   V	
   V	
  
F	
   F	
   V	
   V	
   F	
   V	
   F	
   F	
  
Como	
  as	
  colunas	
  1	
  e	
  4	
  são	
  idênticas,	
  então	
  vale	
  a	
  equivalência	
  lógica.