1263011 Taxas Relacionadas

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Procedimentos para resolver o problema: 
 
(a) Determine as grandezas dadas no problema. 
(b) Determine a grandeza desconhecida? 
(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t. 
(d) Escreva uma equação que relacione as grandezas. 
(e) Termine resolvendo o problema. 
 
1) Se V for o volume de um cubo com aresta de comprimento x e à medida que o 
tempo passa o cubo se expande, encontre dV/dt em termos de dx/dt . 
 
2) (a) Se A for a área do círculo com raio r e à medida que o tempo passa o círculo se 
expande, encontre dA/dt em termos de dr/dt . 
(b) Suponha que o óleo sai por uma ruptura de um petroleiro e espalha-se em um 
padrão circular. Se o raio do óleo derramado cresce a uma taxa constante de 1m/s, 
quão rápido a área do derramamento está crescendo quando o raio é igual a 30m? 
 
3) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 mi, a 500 mi/h, e passa 
diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância 
do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 mi além da estação. 
 
4) Se uma bola de neve derrete de forma que a sua área de superfície decresce a uma 
taxa de 1cm2/min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o 
diâmetro esta a 10cm. 
 
5) Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 15 pés. Um homem com 6 pés 
de altura anda afastando-se do poste com uma velocidade de 5pés/s de acordo com 
uma trajetória reta. Com que velocidade se move o topo de sua sombra quando ele 
está a 40 pés do poste? 
 
6) Ao meio dia, o navio A está a 150km a oeste do navio B. O navio A está navegando 
para leste a 35 km/h, e o navio B está navegando para norte a 25km/h. Quão rápido 
estará variando a distância entre os navios às 4 horas da tarde? 
 
7) Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 
mi/h, e o outro para o oeste a 25mi/h. A que taxa esta crescendo a distancia entre os 
carros duas horas depois? 
 
8) Um holofote sobre o chão ilumina uma parede 12m de distância dele. Se um 
homem de 2m de altura anda do holofote em direção à parede a uma velocidade de 
1,6m/s, quão rápido decresce sua sombra sobre a parede quando ele está a 4m dela? 
 
9) A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1cm/min, enquanto a área do 
triângulo cresce a uma taxa de 2cm2/min. A que taxa está variando a base do 
triângulo quando a altura é 10cm e a área, 100 cm2? 
 
10) Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada na 
proa do bote e que passa por uma polia sobre o ancoradouro ( que está 1m mais alto 
que a proa). Se a corda for puxada a uma taxa de 1m/s, quão rápido está aproximando 
o bote do ancoradouro quando ele estiver a 8m dele? 
 
11) Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está 
navegando para o sul a 35km/h, e o B está indo para o norte a 25km/h. Quão rápido 
está variando a distância entre eles as 4 horas da tarde? 
 
12) Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min. 
Ao mesmo tempo está sendo bombeada a água para dentro do tanque a uma taxa 
constante de 6m de altura, e o diâmetro no topo é de 4m. Se o nível da água estiver 
subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura da água for 2m, encontre a taxa 
segundo a qual a água esta sendo bombeada dentro do tanque. 
 
13) Um cocho tem 10 pés de comprimento, e suas extremidades têm a forma de 
triângulos isósceles com 3 pés na base e 1 pé de altura. Se o cocho for preenchido 
com água a uma taxa de 12 pés3/min, quão rápido estará se elevando o nível da água 
quando ele estiver com 6 polegadas de profundidade? 
 
14) Um esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 
30pés3/min, constituindo uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura 
sempre igual. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 pés de 
altura? 
 
15) Dois lados de um triangulo são 4m e 5m, e o ângulo entre eles esta crescendo a 
uma taxa de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a área está crescendo 
quando o ângulo entre os lados do comprimento fixo é de pi/3, 
 
16) Dois lados de um triângulo são 12m e 15m, e o ângulo entre eles esta crescendo a 
uma taxa de 2º/min. Quão rápido está crescendo o comprimento do terceiro lado 
quando ângulo entre os lados do comprimento fixo é 60º? 
 
17) Uma escada de 10 pés de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. 
Se a base as escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2pés/s, 
quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o 
ângulo é de 4b pi rad? 
 
18) Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre eles e o ponto mais 
próximo P em uma praia reta do continente é de 3 km. Sua luz faz quatro revoluções 
por minuto. Quão rápido estará se movendo o feixe de luz ao longo da praia quando 
ele estiver a 1km de P?