Aula-6-Circuitos-CC-Resistores-em-Série-e-em-Paralelo - 2014.1

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Graduação em Engenharia Civil 
ELETROTÉCNICA (ENE078) 
PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
E-mail: ricardo.henriques@ufjf.edu.br 
 
Aula Número: 06 
UNIVERSIDADE FEDERAL 
DE JUIZ DE FORA 
Curso de “Eletrotécnica” – Aula Número: 06 – PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES 
Revisão Aula Anterior... 
• Revisão da aula 5 
 Lei de Ohm (V = R x I ) 
 Fontes independentes e dependentes (tensão e corrente) 
 Independente de quaisquer ligações externas 
 Dependente: uma função conhecida de alguma outra tensão ou corrente 
 W = V · q 
 W = V · I · t 
 W = R · I2 · t 
 
2 
 P = V · I 
 P = R · I2 
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Revisão Aula Anterior... 
• Revisão da aula 5 
• A energia através da equação da potência: 
 E = P · t 
 E,W: energia; P: potência; t: tempo. 
• O efeito Joule ocorre em todos os equipamentos elétricos que podem ser 
modelados por resistores. Os resistores transformam em calor toda a 
energia elétrica recebida. 
• Unidades de Energia: 
 o watt-hora: 1 Wh = 3600 J 
 o quilowatt-hora: 1 kWh = 3,6 · 106 J 
 
3 
   
   
1 746
1 735
hp W
cv W


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Revisão Aula Anterior... 
• Revisão da aula 5 
 
• Resumindo... 
 Lei de Ohm 
 Relação entre tensão (d.d.p.) e corrente em 
um circuito resistivo 
 Trabalho 
 Conversão de energia de uma forma em 
outra 
 Potência 
 Grandeza que mede quanto trabalho pode 
ser realizado em um certo período de tempo 
4 
Lei de Ohm: 
𝑉(𝑡) = 𝑅 × 𝐼(𝑡) 
 
Potência: 
𝑃 𝑡 = 𝑉 𝑡 × 𝐼 𝑡 
 
𝑃 𝑡 = 𝑅 × 𝐼 𝑡 2 
 
𝑃 𝑡 =
𝑉 𝑡 2
𝑅
 
 
Energia: 
𝑊 𝑡 = 𝑃 𝑡 × ∆𝑡 
𝐸 𝑡 = 𝑃 𝑡 × ∆𝑡 
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Circuitos CC: Resistores em Série e em Paralelo 
• ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
 
 
• Tem-se uma associação de resistores quando há dois ou mais deles 
conectados ao circuito elétrico considerado. 
 
 
• Resistor equivalente é o que substitui qualquer associação destes 
componentes, produzindo o mesmo efeito que todos os resistores do 
conjunto. 
 
5 
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Circuitos CC: Resistores em Série e em Paralelo 
• ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE RESISTORES 
 
• Dois ou mais resistores estão associados em série quando ligados um em 
seguida do outro; o terminal de saída de um resistor está ligado ao 
terminal de entrada do outro resistor e somente a este: 
 
6 
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• ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE RESISTORES 
 
 
• Dois ou mais resistores estão associados em paralelo quando seus 
terminais de entrada estão ligados em um ponto comum e seus terminais de 
saída em outro ponto comum: 
7 
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• PROPRIEDADES DA ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE RESISTORES 
 
• A corrente que circula pelos resistores é a mesma em qualquer ponto do 
circuito, porque só há um caminho por onde ela pode fluir. Então: 
 
• I1 = I2 = I3 
8 
V1 
V2 
V3 
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• PROPRIEDADES DA ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE RESISTORES 
 
• Cada resistor ficará submetido a uma d.d.p., de acordo com a Lei de Ohm: 
 
• V1 = R1 · I1 
• V2 = R2 · I2 
• V3 = R3 · I3 
 
• I1 = I2 = I3 = I 
 
 
• A soma das tensões nos resistores é igual à força eletromotriz da fonte: 
• V = V1 + V2 + V3 = R1·I1 + R2·I2 + R3I3 = (R1+R2+R3).I 
9 
V1 
V2 
V3 
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• PROPRIEDADES DA ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE RESISTORES 
 
• Para a fonte, é como se houvesse um único resistor no circuito solicitando 
corrente. Este resistor é o resistor equivalente Req: 
 
• V = Req · I 
 
• o resistor equivalente é igual à soma dos 
 resistores associados: 
 
• Req = R1 + R2 + R3 
10 
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Circuitos CC: Resistores em Série e em Paralelo 
• PROPRIEDADES DA ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE RESISTORES 
RESUMO 
• Associação série: Na associação série, os resistores (ou 
equipamentos) estão ligados em “cascata” de forma que a corrente (I) que 
passa por eles seja a mesma. 
 
11 
R
1
R
2
R
3
V
I
V1 
V2 
V3 
Req
V 
I 
EQUIPAMENTOS SUBMETIDOS A MESMA CORRENTE ELÉTRICA 
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• PROPRIEDADES DOS RESISTORES ASSOCIADOS EM PARALELO 
 
• Todos os resistores associados são submetidos à mesma tensão V da 
fonte: 
 
• V = V1 = V2 = V3 
 
• A corrente I fornecida pela fonte se divide pelos resistores associados, de 
modo que: 
 
• I = I1 + I2 + I3 
 
12 
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Circuitos CC: Resistores em Série e em Paralelo 
• PROPRIEDADES DOS RESISTORES ASSOCIADOS EM PARALELO 
 
 Da Lei de Ohm segue o cálculo das correntes individuais nos resistores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑰 =
𝑽𝟏
𝑹𝟏
+
𝑽𝟐
𝑹𝟐
+
𝑽𝟑
𝑹𝟑
=
𝑽
𝑹𝟏
+
𝑽
𝑹𝟐
+
𝑽
𝑹𝟑
=
𝟏
𝑹𝟏
+
𝟏
𝑹𝟐
+
𝟏
𝑹𝟑
× 𝑽 
 
13 
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• PROPRIEDADES DOS RESISTORES ASSOCIADOS EM PARALELO 
 
 o resistor equivalente é obtido pela equação: 
 
 
 
 
 
 
 Se somente dois resistores estiverem associados em paralelo, usa-se a 
regra do produto dividido pela soma: 
 
 
 
14 
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• PROPRIEDADES DOS RESISTORES ASSOCIADOS EM PARALELO 
RESUMO 
• Associação paralelo: Na associação paralelo, os resistores estão 
submetidos à mesma tensão: 
 
 
 
 
 
 
R
1V R2 R3
I1 I2 I3 
Req
V 
I 
EQUIPAMENTOS SUBMETIDOS A MESMA TENSÃO 
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• PROPRIEDADES DOS RESISTORES ASSOCIADOS EM PARALELO 
RESUMO 
• Associação paralelo: Em resumo, quando se tem n resistores em paralelo 
a resistência equivalente é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
 
Req = R 
 2 
 
Supondo dois resistores em paralelo 
R1 e R2, temos: 
Supondo dois resistores iguais em 
paralelo R1=R2=R, temos: 
OBS.: PARA FACILITAR OS CALCULOS PROCURA-SE FAZER DE 2 A 2. 
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• CIRCUITO ABERTO 
 
• É o impedimento total à passagem da corrente elétrica através do circuito. É 
como se fosse ligado ao circuito um resistor de valor infinitamente grande, 
que representa oposição total à passagem da corrente elétrica. 
 
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• CURTO-CIRCUITO 
 
 É a ligação intencionalou acidental entre dois ou mais pontos de um 
circuito, estando ou não sob d.d.p., através de um fio de resistência 
desprezível. 
 
18 
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• DIVISOR DE TENSÃO RESISTIVO 
 
• Resistores em série formam um divisor de tensão resistivo: 
 
• O cálculo das tensões nos resistores é simplificado: 
 
 
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20 
eqR
V
RRR
V
I 


321
eqR
V
RIRV  111
• DIVISOR DE TENSÃO RESISTIVO (PROVA) 
IIII  321
eqR
V
RIRV  222
eqR
V
RIRV  333
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• DIVISOR DE CORRENTE RESISTIVO 
 
• Resistores em paralelo formam um divisor de tensão resistivo: 
21 
- 
R1 R2 R3 
I3 I2 I1 
V 
V1 V2 V3 
I
R
R
I
eq

1
1
I
R
R
I
eq

2
2
I
R
R
I
eq

3
3
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22 
3
3
2
2
1
1
R
V
I
R
V
I
R
V
I



• DIVISOR DE CORRENTE RESISTIVO (PROVA) 
321 IIII 
VVVV  321
V
RR
V
R
V
R
V
I
eq

1
321
IRV eq 
I
R
R
I
I
R
R
I
I
R
R
I
eq
eq
eq



3
3
2
2
1
1
- 
R1 R2 R3 
I3 I2 I1 
V 
V1 V2 V3 
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• EXEMPLO 1 
 
 Sabendo-se que a tensão no resistor R1 é 3 V, qual a tensão aplicada 
pela fonte? 
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 Solução: 
 
 Como os resistores estão em série, a corrente em um 
deles é igual em qualquer ponto do circuito, inclusive no 
resistor equivalente. 
 
 Req = R1 + R2 + R3 
 
 Req = 4 + 8 + 2 = 14 W 
 
 A corrente no resistor 1 é obtida: 
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Então, segue que: 
 
 I = I1 = I2 = I3 
 
 I = 0,75 A 
 
 V = Req · I 
 V = 14 · 0,75 
 V = 10,5 V 
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• ASSOCIAÇÃO DE FONTES (TENSÃO /CORRENTE) 
 
• Motivação: As fontes de tensão/corrente podem ser associadas, assim 
como os resistores, em série e em paralelo. 
 
• Fonte de tensão equivalente: É aquela que, percorrida pela corrente 
elétrica da associação, mantém entre seus terminais uma tensão igual 
àquela mantida pela associação. 
• 
• Fonte de corrente equivalente: É aquela que, mantém entre seus 
terminais uma corrente igual àquela mantida pela associação. 
 
25 
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• ASSOCIAÇÃO DE FONTES DE TENSÃO 
 
• Associação série: 
 
Exemplo prático: 
 
Associação de 
Pilhas 
V
2
V
3
V
1
Fonte Equivalente 
V1+V2+V3 
I I 
V1 
V2 
V3 
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• ASSOCIAÇÃO DE FONTES DE TENSÃO 
 
• Associação paralelo: 
 
Observação: 
 
1) Pode-se associar em 
paralelo as fontes de 
tensão somente se se 
V1 = V2 = V . 
2) Usa-se associar fonte 
de tensão em paralelo 
quando para uma 
dada tensão terminal 
V necessita-se de 
maior corrente I. 
Fonte Equivalente 
V 
I1+I2 I1 
V1 
I2 
V2 
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• ASSOCIAÇÃO DE FONTES DE CORRENTE 
 
• Associação série: 
 
Observação: 
 
Não faz-sentido associar duas 
fontes de corrente em série, pois 
é inconsistente do ponto de vista 
de circuitos. 
 
I = I1? 
ou 
I = I2 ? 
I1 
I2 
I 
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• ASSOCIAÇÃO DE FONTES DE CORRENTE 
 
• Associação série: 
 
I1+ I2 
Fonte Equivalente 
I2 
I1 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 1: Determine Req. 
 
Resposta: Req = 20,00 Ω 
30 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 1: Determine Req. 
 
Resposta: Req = 20,00 Ω 
• ETAPAS 
a) Série: Ra=30+30=60Ω 
 
b) Ra//Rb//Rc 
 Ra//Rc = 30Ω 
 Ra//Rc//Rb= 15Ω 
 
c) Série: Ra//Rb//Rc + 5= 20Ω 
 
d) (Ra//Rb//Rc+5)//20=10 Ω 
 
e) R(d)+10=20 Ω 
Ra Rc Rb 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
31 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 1: Determine Req. 
 
(a) (b) 
(c) (d) (e) 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
32 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 2: Suponha uma fonte de 200V conectados entre os terminais 
vermelhos. Determine a potência total entregue ao circuito.. 
 
 
 
 
 
• 𝑃 =
𝑉2
𝑅
=
2002
20
= 2000𝑊 
(e) 
200V 
Resposta: P = 2000 W 
33 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 3: Determine Req. 
 
 
 
 
 
 
2Ω
30 Ω
15Ω 10 Ω
40 Ω20 Ω8 Ω
10 Ω
Req 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
34 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 3: Determine Req. 
 Rearranjando o circuito 
 
 
 
 
 
 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
2Ω
30 Ω
15Ω 10 Ω
40 Ω20 Ω8 Ω
10 Ω
Req 
35 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 4: Suponha uma fonte de 127V conectados entre os terminais 
vermelhos. Determine a potência total entregue ao circuito... 
 
 
 
 
 
 
• 𝑃 =
𝑉2
𝑅
=
1272
22,5
= 716,84𝑊 
 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
127V 
36 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 5: Calcule a potência total (Ptotal) fornecida da fonte do circuito a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
2Ω 3 Ω
3Ω6Ω12 V
37 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 5: Calcule a potência total (Ptotal) fornecida da fonte do circuito a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
•𝑃 =
𝑉2
𝑅
=
122
5
= 28,8𝑊 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
2Ω 3 Ω
3Ω6Ω12 V
Resposta: Ptotal = 28,8W 38 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 6: Calcule a corrente total (Itotal) e a potência total (Ptotal) fornecida 
pela fonte do circuito a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
1,5 Ω
5 Ω 6 Ω 6Ω
2 Ω
6 V
Respostas: Itotal = 1,5A ; Ptotal = 9W 
39 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 6: Calcule a corrente total (Itotal) e a potência total (Ptotal) fornecida 
pela fonte do circuito a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
• 𝐼 =
𝑉
𝑅
=
6
4
= 1,5𝐴 
• 𝑃 = 𝑉 × 𝐼 = 6 × 1,5 = 9𝑊 
 
 
 
 
 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
1,5 Ω
5 Ω 6 Ω 6Ω
2 Ω
6 V
Respostas: Itotal = 1,5A ; Ptotal = 9W 
40 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 7: Calcule a corrente (I) usando as técnicas de associação de 
fontes e resistores: 
 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 7Ω10 Ω 5 Ω
80V
30 V
20V
8Ω
Resposta: I = 3A 
41 
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• EXERCÍCIOS 
• Exemplo 7: Calcule a corrente (I) usando as técnicas de associação de 
fontes e resistores: 
 
 
 
 
 
 
• 𝐼 =
𝑉
𝑅
=
90
30
= 3𝐴 
• 𝑃 = 𝑉 × 𝐼 = 90 × 3 = 270𝑊 
 
 
Req = R1.R2 
 (R1+R2) 
Req = R 
 2 
7Ω10 Ω 5 Ω
80V
30 V
20V
8Ω
Resposta: I = 3A 
V
2
V
3
V
1
I 
V1 
V2 
V3 
42 
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• Alguma dúvida? 
 
 E-mail: ricardo.henriques@ufjf.edu.br 
 Sala: 4272, ao lado do R.U. 
 Horário preferencial: 2ª e 4ª Feira pela manhã 
43