Cálculo Diferencial E Integral (298)

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Prof. Drª Marília Brasil Xavier 
REITORA 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Rubens Vilhena Fonseca 
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
EDITORAÇÃO ELETRONICA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 ARTE FINAL DA CAPA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 
 
REALIZAÇÃO 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 
F676p Fonseca, Rubens Vilhena 
Pré-cálculo / Rubens Vilhena Fonseca, Adriano Santos 
de França – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais 
e Educação, 2011. 
100 p.; iI. 
 
ISBN: 978-85-88375-65-9 
 
1.Cálculo – Estudo e ensino. 2. Geometria – Estudo e 
ensino. 3. Números reais – Estudo e ensino. I. França, 
Adriano Santos de. II. Universidade Estadual do Pará. III. 
Título. 
CDU: 517 
CDD: 515 
Índice para catálogo sistemático 
1. Cálculo – Estudo e ensino: 517 
 
 
 
 
 
 
Belém - Pará - Brasil 
- 2011 - 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
1 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
 
 Introdução aos conjuntos 
 Alguns conceitos primitivos 
 Algumas notações p/ conjuntos 
 Subconjuntos 
 Alguns conjuntos especiais 
 Reunião de conjuntos 
 Interseção de conjuntos 
 Propriedades dos conjuntos 
 Diferença de conjuntos 
 Complemento de um conjunto 
 Leis de Augustus de Morgan 
 Diferença Simétrica 
 
INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS 
o estudo de Conjuntos, trabalhamos com 
alguns conceitos primitivos, que devem ser 
entendidos e aceitos sem definição. Para 
um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos 
Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos 
ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro 
deles foi traduzido para o português sob o título 
(nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos. 
 
Alguns conceitos primitivos 
Conjunto: representa uma coleção de objetos. 
a. O conjunto de todos os brasileiros. 
b. O conjunto de todos os números naturais. 
c. O conjunto de todos os números reais tal que 
x²-4=0. 
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra 
maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. 
Elemento: é um dos componentes de um conjunto. 
a. José da Silva é um elemento do conjunto dos 
brasileiros. 
b. 1 é um elemento do conjunto dos números 
naturais. 
c. -2 é um elemento do conjunto dos números 
reais que satisfaz à equação x²-4=0. 
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado 
por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z. 
Pertinência: é a característica associada a um 
elemento que faz parte de um conjunto. 
a. José da Silva pertence ao conjunto dos 
brasileiros. 
b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais. 
c. -2 pertence ao conjunto de números reais que 
satisfaz à equação x²-4=0. 
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence 
a um conjunto utilizamos o símbolo  que se lê: 
"pertence". 
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 
pertence ao conjunto dos números naturais, 
escrevemos: 
1  N 
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 
0 não pertence ao conjunto dos números naturais, 
escrevemos: 
0  N 
Um símbolo matemático muito usado para a 
negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal. 
ALGUMAS NOTAÇÕES PARA 
CONJUNTOS 
Muitas vezes, um conjunto é representado com os 
seus elementos dentro de duas chaves { e } através 
de duas formas básicas e de uma terceira forma 
geométrica: 
Apresentação: Os elementos do conjunto estão 
dentro de duas chaves { e }. 
a. A={a,e,i,o,u} 
b. N={1,2,3,4,...} 
c. M={João,Maria,José} 
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais 
propriedades. 
a. A={x: x é uma vogal} 
b. N={x: x é um número natural} 
c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria} 
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os 
conjuntos são mostrados graficamente. 
 
N 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
2 
SUBCONJUNTOS 
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está 
contido em B, denotado por A  B, se todos os 
elementos de A também estão em B. Algumas 
vezes diremos que um conjunto A está 
propriamente contido em B, quando o conjunto B, 
além de conter os elementos de A, contém também 
outros elementos. O conjunto A é denominado 
subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto 
que contém A. 
ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS 
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui 
elementos. É representado por { } ou por Ø. O 
conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. 
Conjunto universo: É um conjunto que contém 
todos os elementos do contexto no qual estamos 
trabalhando e também contém todos os conjuntos 
desse contexto. O conjunto universo é representado 
por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o 
conjunto universo. 
REUNIÃO DE CONJUNTOS 
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao conjunto A 
ou ao conjunto B. 
A  B = { x: x  A ou x  B } 
Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então 
A  B = {a,e,i,o,3,4}. 
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e 
ao conjunto B. 
A  B = { x: x A e x B } 
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então 
A  B=Ø. 
 
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o 
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são 
disjuntos. 
PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS 
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada 
por A  B e a interseção de A e B, denotada 
por A  B, ainda são conjuntos no universo. 
 
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, 
tem-se que: 
A  A = A e A  A = A 
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A 
e B, tem-se que: 
A  A  B, B  A  B, 
A  B  A, A  B  B 
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A e B, tem-se que: 
A  B equivale a A  B = B 
A  B equivale a A  B = A 
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos 
A, B e C, tem-se que: 
A  (B  C) = (A  B)  C 
A  (B  C) = (A  B)  C 
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A e B, tem-se que: 
A  B = B  A 
A  B = B  A 
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto 
vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de 
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se 
tem: 
A  Ø = A 
8. Elemento "nulo" para a interseção: A 
interseção do conjunto vazio Ø com qualquer 
outro conjunto A, fornece o próprio conjunto 
vazio. 
A  Ø = Ø 
9. Elemento neutro para a interseção: O 
conjunto universo U é o elemento neutro para a 
interseção de conjuntos, tal que para todo 
conjunto A, se tem: 
A  U = A 
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A, B e C, tem-se que: 
A  (B  C ) = (A  B)  (A  C) 
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
Os gráficos abaixo mostram a distributividade. 
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3 
 
DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto 
de todos os elementos que pertencem ao conjunto A 
e não pertencem ao conjunto B. 
A-B = {x: x  A e x B} 
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista 
como: 
 
COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO 
O complemento do conjunto B contido no conjunto 
A, denotado por CAB, é a diferença entre os 
conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os 
elementos que pertencem ao conjunto A e não 
pertencem ao conjunto B. 
CAB = A-B = {x: x  A e x B} 
Graficamente, o complementodo conjunto B no 
conjunto A, é dado por: 
 
Quando não há dúvida sobre o universo U em que 
estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a 
letra c posta como expoente no conjunto, para 
indicar o complemento deste conjunto. Muitas 
vezes usamos a palavra complementar no lugar de 
complemento. 
Exemplos: Ø
c 
= U e U
c 
= Ø. 
LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN 
1. O complementar da reunião de dois conjuntos 
A e B é a interseção dos complementares 
desses conjuntos. 
(A  B)c = Ac  Bc 
2. O complementar da reunião de uma coleção 
finita de conjuntos é a interseção dos 
complementares desses conjuntos. 
(A1  A2 ...  An)
c
 = A1
c
  A2
c
 ...  An
c
 
3. O complementar da interseção de dois 
conjuntos A e B é a reunião dos 
complementares desses conjuntos. 
(A  B)c = Ac  Bc 
4. O complementar da interseção de uma coleção 
finita de conjuntos é a reunião dos 
complementares desses conjuntos. 
(A1  A2 ...  An)
c
 = A1
c
  A2
c ...  An
c
 
DIFERENÇA SIMÉTRICA 
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o 
conjunto de todos os elementos que pertencem à 
reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à 
interseção dos conjuntos A e B. 
A  B = {x: x A  B e x  A  B} 
O diagrama de Venn-Euler para a diferença 
simétrica é: 
 
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se 
mostrar que: 
1. A = Ø se, e somente se, B = A  B. 
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a 
operação de diferença simétrica. Usar o ítem 
anterior. 
3. A diferença simétrica é comutativa. 
4. A diferença simétrica é associativa. 
5. A  A = Ø (conjunto vazio). 
6. A interseção entre A e B  C é distributiva, isto 
é: 
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
7. A  B está contida na reunião de A  C e de B 
 C, mas esta inclusão é própria, isto é: 
A  B  (A  C)  (B  C) 
 
 
 
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4 
 
Exercícios resolvidos 
 
1. Determinar o conjunto X tal que: 
 
1) {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e} 
2) {c,d} U X = {a,c,d,e} 
3) {b,c,d} ∩ X = {c} 
 
a) {a,b} 
b) {a,c,e} 
c) {b,d,e) 
d) {c,d,e} 
e) {a,b,c,d} 
Solução: 
De {b,c,d} ∩ X = {c} tiramos da definição de 
interseção de conjuntos que: 
c ε X e que b e d não pertencem a X 
Da igualdade {c,d} U X = {a,c,d,e} e da 
definição de união de conjuntos pode-se 
concluir que: 
a, c, d e e são possíveis elementos de X 
Mas como d não pode pertencer a X em 
decorrência da primeira igualdade acima, 
temos, até aqui, que X = {a,c,e} 
E finalmente, de {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}, 
concluímos de forma análoga à colocada para a 
segunda igualdade que: 
a, b, c, d e e são possíveis elementos de X 
E, como b e d não pertencem a X, concluímos 
então que X = {a,c,e}. 
Para comprovar verifique que as três 
igualdades dadas são verdadeiras para X = 
{a,c,e} 
2. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 
estudam inglês, 163 estudam francês e 52 
estudam ambas as línguas. Quantos alunos 
estudam inglês ou francês? Quantos alunos 
não estudam nenhuma das duas? 
a) 384 e 52 
b) 332 e 31 
c) 332 e 83 
d) 384 e 83 
e) Nenhuma das respostas anteriores 
Solução: 
U = {alunos da escola} 
E = {alunos que estudam inglês} 
F = {alunos que estudam francês} 
Dados da questão: 
n(U) = 415, onde n(U) representa o número de 
elementos de U 
n(E) = 221 
n(F) = 163 
n(E ∩ F) = 52 
Logo para determinar quantos alunos 
estudam inglês ou francês - n(E U F) - basta 
utilizar a seguinte propriedade dos conjuntos, 
cuja demonstração não será feita aqui. No 
entanto você pode verificar, intuitivamente, a 
sua veracidade através de um diagrama de 
Euler-Venn: 
n(E U F) = n(E) + n(F) - n(E ∩ F) = 221 + 163 
- 52 = 332 
Como 332 são os alunos que estudam uma 
língua, vem que o número de alunos que não 
estudam nenhuma das duas é: 
n(U) - n(E U F) = 415 - 332 = 83 
3. Sejam A, B e C três conjuntos finitos. 
Sabendo-se que: 
n(X U Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y) [1] 
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5 
é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos X e Y, 
onde a notação n(Z) representa a quantidade de 
elementos do conjunto Z, então n(A U B U C) é 
igual a: 
4. Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número 
máximo de subconjuntos distintos é: 
a) 21 
b) 128 
c) 64 
d) 32 
e) 256 
 
Solução: 
 
 Este exercício envolve o cálculo do 
Conjunto das Partes do conjunto dado e a 
fórmula para este cálculo é n(P(A)) = 2 n(A) 
onde: P(A) = Conjunto das partes do conjunto 
A; e n = número de elementos de A, logo: 
 Se n = 7 
 n(P(A)) = 2 7 = 128 
 Resposta: letra b) 128 
 
5. Utilizando os símbolos  ou , relacione os 
conjuntos A = {0, -1, - 3, -5}, B = {-3, 5} e C = 
{0, -1}. 
a) A e B 
b) B e A 
c) A e C 
d) C e A 
 
Solução: 
 
a) A e B _ A B 
b) B e A _ B  A 
c) A e C _ A C 
d) C e A _ C  A 
 
6. Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B 
= {x  x é par}, C = {2, 3, 4, 5} classifique em 
F(falso) ou V(verdadeiro). 
a) 2  B 
b) {4, 5}  C 
c) B  A 
d) A  B 
e) {2, 3, 4}   (A  C) 
f) {2, 3}  C 
g) 2  A 
 
Solução: 
 
a) 2  B _ V, 2 é par 
b) {4, 5}  C _ F, a relação é entre conjuntos 
c) B A _ F, B não está contido em A 
d) A  B _ V, A está contido em B 
e) {2, 3, 4}  (A  C) _ V, pois A   C = {0, 
2, 3, 4, 5} 
f) {2, 3} C _ F, a relação é entre conjuntos 
g) 2  A _ F, a relação é de pertinência 
 
7. O conjunto intersecção de {2, 4, 6, 8, 10} e {1, 
2, 3, 5, 7} é: 
a) {0} 
b)  
c) {2} 
d) {1} 
e) {6} 
 
Solução: 
a) {0} 
b)  
c) {2} 
d) {1} 
e) {6} 
 
8. Se A e B são dois conjuntos não vazios e 
ocorrer A  B, então: 
a) A   B = B 
b) A   B =B 
c) B  A 
d) A B =  
 
Solução: 
 
a) A  B = B 
b) A   B =B  A  B = A 
c) B  A _ só ocorre se A = B 
d) A   B =  _ A   B = A 
 
9. Depois de n dias de férias, um estudante 
observa que: 
 
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
b) quando chove de manhã não chove à tarde; 
c) houve 5 tardes sem chuva; 
d) houve 6 manhãs sem chuva. 
Podemos afirmar então que n é igual a: 
 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
Solução: 
 
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela 
manhã e T o conjunto dos dias que choveu à 
tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos 
complementares de M e T respectivamente, 
temos: 
 
n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva) 
 
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6 
n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva) 
n(M T) = 0 (pois quando chove pela manhã, 
não chove à tarde) 
 
Daí: 
n(M  T) = n(M) + n(T) – n(M T) 7 = n(M) 
+ n(T) – 0 
 
Podemos escrever também: 
n(M') + n(T') = 5 + 6 = 11 
 
Temos então o seguinte sistema: 
n(M') + n(T') = 11 
n(M) + N(T) = 7 
 
Somando membro a membro as duas 
igualdades, vem: 
n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18 
Observe que n(M) + n(M') = total dos dias de 
férias = n 
Analogamente, n(T) + n(T') = total dos dias de 
férias = n 
Portanto, substituindo vem: 
n + n = 18 
2n = 18 
n = 9 
 
 
10. 52 pessoas discutem a preferência por dois 
produtos A e B, entre outros e conclui-se que o 
número de pessoas que gostavam de B era: 
 
I. O quádruplo do número de pessoas que 
gostavam de A e B; 
II. O dobro do número de pessoas que 
gostavam de A; 
III. A metade do númerode pessoas que não 
gostavam de A nem de B. 
 
Nestas condições, o número de pessoas que 
não gostavam dos dois produtos é igual a: 
a) 48 
b) 35 
c) 36 
d) 47 
e) 37 
 
Solução: 
Considere a figura abaixo, onde estão 
representados os conjuntos A e B, e a 
quantidade de elementos x, y, z e w. 
 
Pelo enunciado do problema, poderemos 
escrever: 
x+y+z+w = 52 
y+z = 4y 
y+z = 2(x+y) 
y+z = w/2 
 
Desenvolvendo e simplificando, vem: 
x+y+z+w = 52 (eq.1) 
z = 3y (eq. 2) 
z = 2x + y (eq. 3) 
w = 2y + 2z (eq. 4) 
 
Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq. 3, 
vem: x = y Podemos também escrever: w = 2y 
+ 2(3y) = 8y 
 
Expressando a eq. 1 em função de y, vem: 
y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de 
onde vem y = 4. 
 
Temos então por simples substituição: 
z = 3y = 12 
x = y = 4 
w = 8y = 32 
 
A partir daí, é que vem a sutileza do problema. 
Vejamos: 
O problema pede para determinar o número de 
pessoas que não gostam dos produtos A e B. O 
conectivo e indica que devemos excluir os 
elementos da interseção A  B. Portanto, a 
resposta procurada será igual a: 
w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas. 
A resposta seria 32 (como muitos acham como 
resultado), se a pergunta fosse: 
Quantas pessoas não gostam do produto A ou 
do produto B? Resp: 48 pessoas 
 
 
11. 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 
visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. 
Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e 
Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São 
Paulo. O número de estudantes que visitaram 
Manaus ou São Paulo foi: 
 
a) 29 
b) 24 
c) 11 
d) 8 
e) 5 
Solução: 
Observe o diagrama de VENN abaixo: 
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7 
 
Podemos escrever: 
x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11 .Eq. 1 
x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.Eq. 2 
t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.Eq. 3 
x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z + 
w + t = 30.Eq. 4 
Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem: 
11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.Eq. 5 
Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem: x + w 
+ 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui 
que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros 
positivos ou nulos. 
Substituindo o valor de x encontrado acima na 
Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11. 
Observando que o número de elementos de M 
U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem 
imediatamente, substituindo os valores: n(M U 
SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29 
Observe que n(M U SP) representa o conjunto 
dos estudantes que visitaram Manaus OU São 
Paulo, conforme foi solicitado no problema. 
Portanto, a alternativa correta é a letra A. 
12. Um teste de literatura, com 5 alternativas em 
que uma única é verdadeira, referindo-se à 
data de nascimento de um famoso escritor, 
apresenta as seguintes alternativas: 
a) século XIX 
b) século XX 
c) antes de 1860 
d) depois de 1830 
e) nenhuma das anteriores 
 
Pode-se garantir que a resposta correta é: 
a) a 
b) b 
c) c 
d) d 
e) e 
 
SOLUÇÃO: 
Veja os seguintes comentários: 
As alternativas (A) e (B): não há elementos 
para se concluir por uma delas, inicialmente. 
A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois 
implicaria - pelo enunciado - que o escritor 
nem teria nascido! 
Para visualizar isto, veja a figura abaixo. 
A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois 
implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou 
XX e, pelo enunciado, só existe uma 
alternativa verdadeira. 
POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só 
pode ser a C. 
Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu 
entendimento dos argumentos acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 
NÚMEROS RACIONAIS 
 
 
RELACIONANDO NÚMEROS 
RACIONAIS COM FRAÇÕES 
Um número racional é o que pode ser escrito na 
forma 
 
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve 
ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. 
Frequentemente usamos m/n para significar a 
divisão de m por n. Quando não existe 
possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma 
letra como q para entender que este número é um 
número racional. 
Como podemos observar, números racionais podem 
ser obtidos através da razão (em Latim: 
ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os 
números racionais é denotado por Q. Assim, é 
comum encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero} 
Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o 
conjunto dos números racionais positivos e Q_ o 
conjunto dos números racionais negativos. O 
número zero é também um número racional. 
No nosso link Frações já detalhamos o estudo de 
frações e como todo número racional pode ser posto 
na forma de uma fração, então todas as 
propriedades válidas para frações são também 
válidas para números racionais. Para simplificar a 
escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais 
para nos referirmos aos números racionais. 
DÍZIMA PERIÓDICA 
Uma dízima periódica é um número real da forma: 
m,npppp... 
onde m, n e p são números inteiros, sendo que o 
número p se repete indefinidamente, razão pela qual 
usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte 
que se repete é denominada período. 
Em alguns livros é comum o uso de uma barra 
sobre o período ou uma barra debaixo do período 
ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa 
facilidade de escrita na montagem desta Página, 
usaremos o período sublinhado. 
Exemplos: Dízimas periódicas 
1. 0,3333333... = 0,3 
2. 1,6666666... = 1,6 
3. 12,121212... = 12,12 
4. 0,9999999... = 0,9 
5. 7,1333333... = 7,13 
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal 
é formada apenas pelo período. Alguns exemplos 
são: 
1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3 
2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63 
Uma dízima periódica é composta se possui uma 
parte que não se repete entre a parte inteira e o 
período. Por exemplo: 
1. 0,83333333... = 0,83 
2. 0,72535353... = 0,7253 
Uma dízima periódica é uma soma infinita de 
números decimais. Alguns exemplos: 
1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... 
2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... 
3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ... 
A conexão entre números racionais e números reais 
Um fato importante que relaciona os números 
racionais com os números reais é que todo número 
real que pode ser escrito como uma dízima 
periódica é um número racional. Isto significa que 
podemos transformar uma dízima periódica em uma 
fração. 
O processo para realizar esta tarefa será mostrado 
na sequência com alguns exemplos numéricos. Para 
pessoas interessadas num estudo mais aprofundado 
sobre a justificativa para o que fazemos na 
sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries 
geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo 
estudar números racionais do ponto de vista do 
Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na 
Reta no âmbito do Ensino Superior. 
A GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA 
Dada uma dízima periódica, qual será a fração que 
dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um 
número racional denominado a geratriz da dízima 
periódica. Para obter a geratriz de uma dízima 
periódica devemos trabalhar com o número dado 
pensado como uma soma infinita de números 
decimais. Para mostrar como funciona o método, 
utilizaremos diversos exemplos numéricos.Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
9 
1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, 
S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 
algarismo. Iremos escrever este número como 
uma soma de infinitos números decimais da 
forma: 
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +... 
Multiplicando esta soma "infinita" por 10
1
=10 (o 
período tem 1 algarismo), obteremos: 
10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... 
Observe que são iguais as duas últimas expressões 
que aparecem em cor vermelha! 
Subtraindo membro a membro a penúltima 
expressão da última, obtemos: 
10 S - S = 3 
donde segue que 
9 S = 3 
Simplificando, obtemos: 
 
Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, 
você saberia mostrar que: 
0,99999... = 0,9 = 1 
2. Vamos tomar agora a dízima periódica 
T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o 
período tem agora 2 algarismos. Iremos 
escrever este número como uma soma de 
infinitos números decimais da forma: 
T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +... 
Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 
(o período tem 2 algarismos), obteremos: 
100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +... 
Observe que são iguais as duas últimas 
expressões que aparecem em cor vermelha, 
assim: 
100 T = 31 + T 
de onde segue que 
99 T = 31 
e simplificando, temos que 
 
3. Um terceiro tipo de dízima periódica é 
T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe 
um número com 1 algarismo após a vírgula 
enquanto que o período tem também 1 
algarismo. Escreveremos este número como 
uma soma de infinitos números decimais da 
forma: 
R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... 
Manipule a soma "infinita" como se fosse um 
número comum e passe a parte que não se 
repete para o primeiro membro para obter: 
R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... 
Multiplique agora a soma "infinita" por 10
1
=10 
(o período tem 1 algarismo), para obter: 
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... 
Observe que são iguais as duas últimas 
expressões que aparecem em cor vermelha! 
Subtraia membro a membro a penúltima 
expressão da última para obter: 
10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8 
Assim: 
10R - 71 - R + 7,1 = 0,8 
Para evitar os números decimais, 
multiplicamos toda a expressão por 10 e 
simplificamos para obter: 
90 R = 647 
Obtemos então: 
 
4. Um quarto tipo de dízima periódica é 
T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe 
que o período tem 3 algarismos, sendo que os 
dois primeiros são iguais a zero e apenas o 
terceiro é não nulo. Decomporemos este 
número como uma soma de infinitos números 
decimais da forma: 
U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... 
Manipule a soma "infinita" como se fosse um 
número comum e passe a parte que não se 
repete para o primeiro membro para obter: 
U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... 
Multiplique agora a soma "infinita" por 
10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para 
obter: 
1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 
0,004004004 +... 
Observe que são iguais as duas últimas 
expressões que aparecem em cor vermelha! 
Subtraia membro a membro a penúltima 
expressão da última para obter: 
1000(U-7) - (U-7) = 4 
Assim: 
1000U - 7000 - U + 7 = 4 
Obtemos então 
999 U = 6997 
 
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
10 
que pode ser escrita na forma: 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
Um número real é dito um número irracional se ele 
não pode ser escrito na forma de uma fração ou 
nem mesmo pode ser escrito na forma de uma 
dízima periódica. 
Exemplo: O número real abaixo é um número 
irracional, embora pareça uma dízima periódica: 
x=0,10100100010000100000... 
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 
aumenta a cada passo. Existem infinitos números 
reais que não são dízimas periódicas e dois números 
irracionais muito importantes, são: 
e = 2,718281828459045..., 
Pi = 3,141592653589793238462643... 
que são utilizados nas mais diversas aplicações 
práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros 
de gravidade, previsão populacional, etc... 
Exercício: Determinar a medida da diagonal de um 
quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado 
numérico é um número irracional e pode ser obtido 
através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz 
quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para 
simplificar as notações estranhas. 
REPRESENTAÇÃO, ORDEM E 
SIMETRIA DOS RACIONAIS 
Podemos representar geometricamente o conjunto 
Q dos números racionais através de uma reta 
numerada. Consideramos o número 0 como a 
origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a 
unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e 
por os números racionais da seguinte maneira: 
 
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem 
que os números racionais obedecem é crescente da 
esquerda para a direita, razão pela qual indicamos 
com uma seta para a direita. Esta consideração é 
adotada por convenção, o que nos permite pensar 
em outras possibilidades. 
Dizemos que um número racional r é menor do que 
outro número racional s se a diferença r-s é 
positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, 
dizemos que o número r é maior do que s. Para 
indicar que r é menor do que s, escrevemos: 
r < s 
Do ponto de vista geométrico, um número que está 
à esquerda é menor do que um número que está à 
direita na reta numerada. 
Todo número racional q exceto o zero, possui um 
elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é 
caracterizado pelo fato geométrico que tanto q 
como -q estão à mesma distância da origem do 
conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que: 
(a) O oposto de 3/4 é -3/4. 
(b) O oposto de 5 é -5. 
Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona 
como a imagem virtual de algo colocado na frente 
de um espelho que está localizado na origem. A 
distância do ponto real q ao espelho é a mesma que 
a distância do ponto virtual -q ao espelho. 
MÉDIA ARITMÉTICA E MÉDIA 
PONDERADA 
Média aritmética: Seja uma coleção formada por n 
números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média 
aritmética entre esses n números é a soma dos 
mesmos dividida por n, isto é: 
 
Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades: 
12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33 
então a idade média do grupo pode ser calculada 
pela média aritmética: 
 
 
o que significa que a idade média está próxima de 
39 anos. 
Média aritmética ponderada: Consideremos uma 
coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, 
..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um 
peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., 
pn. A média aritmética ponderada desses n números 
é a soma dos produtos de cada um por seu peso, 
dividida por n, isto é: 
 
Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha 
(com salário por dia), em uma empresa é formado 
por sub-grupos com as seguintes características: 
12 ganham R$ 50,00 
10 ganham R$ 60,00 
20 ganham R$ 25,00 
Universidade Estadual do Pará 
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11 
15 ganham R$ 90,00 
 7 ganham R$ 120,00 
Para calcular a média salarial (por dia) de todo o 
grupo devemos usar a média aritmética ponderada: 
 
 
MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA 
Média geométrica: Consideremos uma coleção 
formada por n números racionais não negativos: x1, 
x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n 
números é a raiz n-ésima do produto entre esses 
números, isto é: 
G = R
n
[x1 x2 x3 ... xn] 
Exemplo: A a média geométrica entre os números 
12, 64, 126 e 345, é dada por: 
G = R
4
[12 ×64×126×345] = 76,013 
Aplicação prática:Dentre todos os retângulos com 
a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo 
perímetro é o menor possível, isto é, o mais 
econômico? A resposta a este tipo de questão é 
dada pela média geométrica entre as medidas do 
comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64. 
A média geométrica G entre a e b fornece a medida 
desejada. 
G = R[a × b] = R[64] = 8 
Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 
cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo 
só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é 
p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as 
medidas dos comprimentos forem diferentes das 
alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm. 
Interpretação gráfica: A média geométrica entre 
dois segmentos de reta pode ser obtida 
geometricamente de uma forma bastante simples. 
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um 
segmento de reta que contenha a junção dos 
segmentos AB e BC, de forma que eles formem 
segmentos consecutivos sobre a mesma reta. 
 
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. 
Obtenha o ponto médio O deste segmento e com 
um compasso centrado em O e raio OA, trace uma 
semi-circunferencia começando em A e terminando 
em C. O segmento vertical traçado para cima a 
partir de B encontrará o ponto D na semi-
circunferência. A medida do segmento BD 
corresponde à média geométrica das medidas dos 
segmentos AB e BC. 
Média harmônica: Seja uma coleção formada por 
n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A 
média harmônica H entre esses n números é a 
divisão de n pela soma dos inversos desses n 
números, isto é: 
 
Aplicações práticas: Para as pessoas interessados 
em muitas aplicações do conceito de harmônia, 
média harmônica e harmônico global, visite o nosso 
link Harmonia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
12 
ÁLGEBRA BÁSICA – POTÊNCIA 
 DE BASE DEZ 
Como foi dito no início, podemos ter qualquer tipo 
de base para uma potência. Em certos casos é muito 
utilizado a escrita na forma de "BASE DEZ". Que é 
o que iremos estudar neste tópico. 
Vamos começar mostrando uma propriedade 
SUPER básica de uma multiplicação de um número 
qualquer por 10. 
5 x 10 = 50 
52 x 10 = 520 
458 x 10 = 4580 
30 x 10 = 300 
Note que sempre que multiplicamos qualquer 
número inteiro por 10, acrescentamos um zero à 
direita deste número e obtemos o resultado, não 
interessa por quais e por quantos algarismos é 
formado este número. 
Vamos pegar o número 256 e multiplicá-lo por 10 
três vezes: 
256 x 10 = 2560 
2560 x 10 = 25600 
25600 x 10 = 256000 
Ao multiplicar por 10 três vezes, acrescentamos três 
zeros à direita do número. 
Veja que o número 256000 pode ser escrito como 
256 x 10 x 10 x 10. Ou seja: 
256000 = 256 x 10 x 10 x 10 
Aplicando potênciação na multiplicação do 10, 
temos: 
256000 = 256 x 10
3
 
Bom, este exemplo não foi muito satisfatório, pois 
escrever 256000 ou 256 x 103 acaba dando o 
mesmo trabalho. Mas veja agora o número abaixo: 
12450000000000000000000000000000 
Para representá-lo em uma forma mais compacta, 
utilizaremos a potência de base DEZ: 
12450000000000000000000000000000 = 1245 x 1028 
Note que para este tipo de número, o expoente da 
base 10 será igual ao número de zeros à direita que 
existem no número a ser representado. 
Potências de base DEZ também são utilizadas para 
"movimentar a vírgula" de um número decimal. 
Vamos ver agora uma outra propriedade básica de 
DIVISÃO por 10. 
5 ÷ 10 = 0,5 
52 ÷ 10 = 5,2 
458 ÷ 10 = 45,8 
30 ÷ 10 = 3,0 
Note que ao dividir por 10, o resultado será 
composto pelos algarismos do dividendo (número a 
ser dividido), sendo que este resulta 
do terá um destes algarismos DEPOIS da vírgula. 
254 ÷ 10 = 25,4 
Resultado tem os mesmos algarismos, com UM 
algarismo APÓS a vírgula. 
Agora, se pegarmos este resultado e dividirmos 
novamente por 10. O que irá acontecer? Veja o 
quadro abaixo: 
25,4 ÷ 10 = 2,54 
Resultado tem os mesmos algarismos, só que 
agora com DOIS algarismos APÓS a vírgula. 
Note que cada vez que dividimos por 10, a vírgula 
"se movimenta" uma casa para esquerda. Vamos 
dividir novamente para confirmar. 
2,54 ÷ 10 = 0,254 
Resultado tem os mesmos algarismos, agora com 
TRÊS algarismos APÓS a vírgula. Como o 
número só tinha três algarismos, colocamos um 
zero à esquerda, para não ficar ,254 
Portanto, podemos dizer que 0,254 é igual a 254 
dividido por 10 três vezes, ou seja: 
 
Aqui devemos ver que, dividir um número por 10 é 
a mesma coisa que multiplicar pela fração . 
Aplicando esta propriedade: 
 
 
Agora, aplicando as propriedades de potênciação: 
 
 
Esta notação (forma de apresentar o valor) é 
também chamada de notação científica. Para 
números extremamenta pequenos ou absurdamente 
grandes é muito utilizada. 
Continuando no exemplo acima. Se multiplicarmos 
por 10, iremos desfazer a "movimentação" para 
esquerda, ou seja, a vírgula irá "se movimentar" 
para direita. 
0,254 x 10 = 2,54 
 
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Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
13 
Então, se multiplicarmos por 10 três vezes, 
voltaremos para 254: 
0,254 x 10 x 10 x 10 = 254 
0,254 x 103 = 254 
RESUMO 
Quando temos um número multiplicado por uma 
potência de base 10 positiva, indica que iremos 
"aumentar" o número de zeros à direita ou 
"movimentar" para direita a vírgula tantas casas 
quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns 
exemplos: 
54 x 10
5
 = 5400000 
Acrescentamos 5 zeros à direita do 54 
 
2050 x 10
2
 = 205000 
Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050 
 
0,00021 x 10
4
 = 2,1 
"Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita 
 
0,000032 x 10
3
 = 0,032 
"Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita 
 
54 x 10
–5
 = 0,00054 
"Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda 
 
2050 x 10
-2
 = 20,5 
"Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda. 
Lembrando que 20,5 = 20,50 
 
0,00021 x 10
–4
 = 0,000000021 
"Movimentamos" a vírgula 4 casas para esquerda 
0,000032 x 10
-3
 = 0,000000032 
"Movimentamos" a vírgula 3 casas para esquerda 
 
32500000 x 10
-4
 = 3250 
"Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita 
Quando temos um número multiplicado por uma 
potência de base 10 negativa, indica que iremos 
"diminuir" o número de zeros à direita ou 
"movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas 
quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns 
exemplos: 
Agora vamos mostrar um exemplo de uso desta 
matéria: 
– Calcule o valor de : 
– Primeiro de tudo vamos colocar todos números 
em notação científica (potências de base DEZ): 
 
– Vamos organizar os termos, para facilitar o 
cálculo: 
 
 
– Agora ficou fácil. É só calcular o lado direito da 
multiplicação e aplicar as propriedades de 
potênciação no lado esquerdo para calcular. 
Fazendo isso, temos: 
1024 x 10-1 = 102,4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
14 
 
RAZÕES, PROPORÇÕES e PORCENTAGEM 
 
 
 Proporções com números 
 Propriedades das Proporções 
 Grandezas diret. proporcionais 
 Grandezas invers. proporcionais 
 Histórico sobre a Regra de três 
 Regras de três simples direta 
 Regras de três simples inversa Regras de três composta 
 Porcentagem 
 Juros simples 
 
PROPORÇÕES COM NÚMEROS 
Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de 
zero, nessa ordem, formam uma proporção quando: 
 
1. Os números A, B, C e D são denominados 
termos 
2. Os números A e B são os dois primeiros termos 
3. Os números C e D são os dois últimos termos 
4. Os números A e C são os antecedentes 
5. Os números B e D são os consequentes 
6. A e D são os extremos 
7. B e C são os meios 
8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é 
uma constante K, denominada constante de 
proporcionalidade K dessa razão. 
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
Para a proporção 
 
valem as seguintes propriedades: 
1. O produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos, isto é: 
A · D = B · C 
2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos 
está para o primeiro termo, assim como a soma 
(diferença) dos dois últimos está para o terceiro 
termo, isto é: 
 
3. A soma (diferença) dos dois primeiros 
termos está para o segundo termo, assim 
como a soma (diferença) dos dois últimos 
está para o quarto termo, isto é: 
 
4. A soma (diferença) dos antecedentes está 
para a soma (diferença) dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o 
seu consequente, isto é: 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAIS 
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando, aumentando uma delas, a outra também 
aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma 
delas, a outra também diminui na mesma 
proporção. 
Se duas grandezas X e Y são diretamente 
proporcionais, os números que expressam essas 
grandezas variam na mesma razão, isto é, existe 
uma constante K tal que: 
 
Exemplos: 
1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa 
com água azul. A cada 15 minutos é medida a 
altura do nível de água. (cm=centímetros e 
min=minutos) 
 
15 minutos 
50 cm 
30 minutos 
100 cm 
45 minutos 
150 cm 
 
 
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15 
 
2. Construímos uma tabela para mostrar a 
evolução da ocorrência: 
Tempo (min) Altura (cm) 
15 50 
30 100 
45 150 
3. Observamos que quando duplica o intervalo de 
tempo, a altura do nível da água também 
duplica e quando o intervalo de tempo é 
triplicado, a altura do nível da água também é 
triplicada. 
4. Observações: Usando razões, podemos 
descrever essa situação de outro modo. 
5. (a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 
min para 30 min, dizemos que o tempo varia na 
razão 15/30, enquanto que a altura da água 
varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura 
varia na razão 50/100. Observamos que estas 
duas razões são iguais: 
 
6. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 
min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 
150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 
15/45 e a altura na razão 50/150. Então, 
notamos que essas razões são iguais: 
 
7. Concluímos que a razão entre o valor numérico 
do tempo que a torneira fica aberta e o valor 
numérico da altura atingida pela água é sempre 
igual, assim dizemos então que a altura do 
nível da água é diretamente proporcional ao 
tempo que a torneira ficou aberta. 
8. Em média, um automóvel percorre 80 Km em 
1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 
horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos 
uma tabela da situação: 
Distância (Km) Tempo (h) 
80 1 
160 2 
240 3 
 
9. Notamos que quando duplica o intervalo de 
tempo, duplica também a distância percorrida e 
quando o intervalo de tempo é triplicado, a 
distância também é triplicada, ou seja, quando 
o intervalo de tempo aumenta, a distância 
percorrida também aumenta na mesma 
proporção. 
10. Observações: Usando razões e proporções, 
podemos descrever essa situação de outro 
modo. 
11. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 
h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 
Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na 
razão de 1/2 enquanto a distância percorrida 
varia na razão 80/160. Assim temos que tais 
razões são iguais, isto é: 
 
12. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h 
para 3 h, a distância percorrida varia de 160 
Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na 
razão 2/3 e a distância percorrida na razão 
160/240 e observamos que essas razões são 
iguais, isto é: 
 
13. Concluímos que o tempo gasto e a distância 
percorrida, variam sempre na mesma razão e 
isto significa que a distância percorrida é 
diretamente proporcional ao tempo gasto para 
percorrê-la, se a velocidade média do 
automóvel se mantiver constante. 
GRANDEZAS INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS 
Duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando, aumentando uma delas, a outra diminui na 
mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a 
outra aumenta na mesma proporção. Se duas 
grandezas X e Y são inversamente proporcionais, 
os números que expressam essas grandezas variam 
na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal 
que: 
X · Y = K 
Exemplos: 
1. A professora de um colégio, tem 24 livros para 
distribuir entre os seus melhores alunos, dando 
a mesma quantidade de livros para cada aluno. 
2. o melhor aluno receberá 24 livros 
 
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
16 
3. cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 
livros 
4. cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 
livros 
5. cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 
livros 
6. cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 
livros 
Alunos 
escolhidos 
Livros para 
cada aluno 
1 24 
2 12 
3 8 
4 6 
6 4 
7. De acordo com a tabela, a quantidade de alunos 
escolhidos e a quantidade de livros que cada 
aluno receberá, são grandezas que variam 
sendo que uma depende da outra e se 
relacionam da seguinte forma: 
1. Se o número de alunos dobra, o número de 
livros que cada um vai receber cai para a 
metade. 
2. Se o número de alunos triplica, o número 
de livros que cada aluno vai receber cai 
para a terça parte. 
3. Se o número de alunos quadruplica, o 
número de livros que cada aluno vai 
receber cai para a quarta parte. 
4. Se o número de alunos sextuplica, o 
número de livros que cada aluno vai 
receber cai para a sexta parte. 
Sob estas condições, as duas grandezas 
envolvidas (número de alunos escolhidos e 
número de livros distribuídos) são grandezas 
inversamente proporcionais. 
Quando a quantidade de alunos varia na razão 
de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos 
varia de 12 para 6. 
Notemos que essas razões não são iguais, mas 
são inversas: 
 
Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 
para 6, a quantidade de livros distribuídos varia 
de 12 para 4. Observemos que essas razões não 
são iguais, mas são inversas: 
 
Representamos tais grandezas inversamente 
proporcionais com a função f(x)=24/x, 
apresentada no gráfico 
 
8. Um automóvel se desloca de uma cidade 
até uma outra localizada a 120 Km da 
primeira. Se o percurso é realizado em: 
9. 1 hora, velocidade média de 120 Km/h 
10. 2 horas, velocidade média de 60 Km/h 
11. 3 horas, velocidade média de 40 Km/h 
A unidade é Km/h=quilômetro por hora e 
uma tabela da situação é: 
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 
120 1 
60 2 
40 3 
De acordo com a tabela, o automóvel faz o 
percurso em 1 hora com velocidade média 
de 120 Km/h. Quando diminui a 
velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o 
tempo gasto para realizar o mesmo 
percurso dobra e quando diminui a 
velocidade para a terça parte, 40 Km/h o 
tempo gasto para realizar o mesmo 
percurso triplica. 
Para percorreruma mesma distância fixa, 
as grandezas velocidade e tempo gasto, são 
inversamente proporcionais. 
 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
17 
ELEMENTOS HISTÓRICOS SOBRE A 
REGRA DE TRÊS 
Embora os gregos e os romanos conhecessem as 
proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução 
de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram 
ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o 
italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios 
dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), 
com o nome de Regra dos três números 
conhecidos. 
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA 
Uma regra de três simples direta é uma forma de 
relacionar grandezas diretamente proporcionais. 
Para resolver problemas, tomaremos duas 
grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras 
duas grandezas W e Z também diretamente 
proporcionais, de forma que tenham a mesma 
constante de proporcionalidade K. 
 
assim 
 
Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) 
colocada verticalmente, foi pendurado um corpo 
com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu 
um deslocamento no comprimento da mola de 
54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de 
massa na extremidade dessa mola, qual será o 
deslocamento no comprimento da mola? 
(Kg=quilograma e cm=centímetro). 
Representaremos pela letra X a medida procurada. 
De acordo com os dados do problema, temos: 
Massa do 
corpo (Kg) 
Deslocamento da 
mola (cm) 
10 54 
15 X 
As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, 
são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos 
valores no problema, podemos obter o quarto valor 
X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a 
proporção: 
 
Observamos que os números 10 e 15 aparecem na 
mesma ordem que apareceram na tabela e os 
números 54 e X também aparecem na mesma 
ordem direta que apareceram na tabela anterior e 
desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim 
X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm. 
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA 
Uma regra de três simples inversa é uma forma de 
relacionar grandezas inversamente proporcionais 
para obter uma proporção. 
Na resolução de problemas, consideremos duas 
grandezas inversamente proporcionais A e B e 
outras duas grandezas também inversamente 
proporcionais C e D de forma que tenham a mesma 
constante de proporcionalidade K. 
A · B = K e C · D = K 
segue que 
A · B = C · D 
Logo 
 
Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, 
um corredor imprimindo a velocidade média de 180 
Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua 
velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o 
tempo gasto no mesmo percurso? 
(Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). 
Representaremos o tempo procurado pela letra T. 
De acordo com os dados do problema, temos: 
Velocidade (Km/h) Tempo (s) 
180 20 
200 T 
Relacionamos grandezas inversamente 
proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo 
espaço percorrido. Conhecidos três valores, 
podemos obter um quarto valor T. 
 
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem 
que apareceram na tabela, enquanto que os números 
20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que 
apareceram na tabela acima. 
Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 
e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do 
corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para 
realizar o mesmo percurso. 
 
 
 
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18 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Regra de três composta é um processo de 
relacionamento de grandezas diretamente 
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma 
mistura dessas situações. 
O método funcional para resolver um problema 
dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, 
sendo que a primeira linha indica as grandezas 
relativas à primeira situação enquanto que a 
segunda linha indica os valores conhecidos da 
segunda situação. 
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados 
às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, 
C2, D2, E2, ... são os valores associados às 
grandezas para uma segunda situação, montamos a 
tabela abaixo lembrando que estamos interessados 
em obter o valor numérico para uma das grandezas, 
digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor 
numérico Z1 e todas as medidas das outras 
grandezas. 
Situação 
Gra
ndez
a 1 
Gran
deza 
2 
Gran
deza 
3 
Gran
deza 
4 
Gran
deza 
5 
Gra
nd... 
Gran
deza ? 
Situação 
1 
A1 B1 C1 D1 E1 … Z1 
Situação 
2 
A2 B2 C2 D2 E2 … Z2 
Quando todas as grandezas são diretamente 
proporcionais à grandeza Z, resolvemos a 
proporção: 
 
Quando todas as grandezas são diretamente 
proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda 
grandeza (com a letra B, por exemplo) que é 
inversamente proporcional à grandeza Z, 
resolvemos a proporção com B1 trocada de posição 
com B2: 
 
As grandezas que forem diretamente proporcionais 
à grandeza Z são indicadas na mesma ordem 
(direta) que aparecem na tabela enquanto que as 
grandezas que forem inversamente proporcionais à 
grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela 
que apareceram na tabela. 
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: 
A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C 
diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras 
duas B e D inversamente proporcionais à grandeza 
Z, deveremos resolver a proporção: 
 
Observação: O problema difícil é analisar de um 
ponto de vista lógico quais grandezas são 
diretamente proporcionais ou inversamente 
proporcionais. Como é muito difícil realizar esta 
análise de um ponto de vista geral, apresentaremos 
alguns exemplos para entender o funcionamento da 
situação. 
Exemplos: 
1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas 
produziram 400 peças de uma mercadoria. 
Quantas peças dessa mesma mercadoria serão 
produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, 
se essas máquinas funcionarem durante 9 dias? 
Vamos representar o número de peças pela 
letra X. De acordo com os dados do problema, 
vamos organizar a tabela: 
No. de 
máquinas (A) 
No. de dias 
(B) 
No. de peças 
(C) 
5 6 400 
7 9 X 
A grandeza Número de peças (C) servirá de 
referência para as outras grandezas. 
Analisaremos se as grandezas Número de 
máquinas (A) e Número de dias (B) são 
diretamente proporcionais ou inversamente 
proporcionais à grandeza C que representa o 
Número de peças. Tal análise deve ser feita de 
uma forma independente para cada par de 
grandezas. 
Vamos considerar as grandezas Número de 
peças e Número de máquinas. Devemos fazer 
uso de lógica para constatar que se tivermos 
mais máquinas operando produziremos mais 
peças e se tivermos menos máquinas operando 
produziremos menos peças. Assim temos que 
estas duas grandezas são diretamente 
proporcionais. 
Vamos agora considerar as grandezas Número 
de peças e Número de dias. Novamente 
devemos usar a lógica para constatar que se 
tivermos maior número de dias produziremos 
maior número de peças e se tivermos menor 
número de dias produziremos menor número 
de peças. Assim temos que estas duas 
grandezas também são diretamente 
proporcionais. 
Concluímos que todas as grandezas envolvidas 
são diretamente proporcionais, logo, basta 
resolver a proporção: 
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19 
 
que pode ser posta na forma 
 
Resolvendo a proporção, obtemos X=840, 
assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 
dias serão produzidas 840 peças. 
2. Um motociclista,rodando 4h por dia, percorre 
em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias 
esse motociclista irá percorrer 500 Km, se 
rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro). 
Vamos representar o número de dias procurado 
pela letra X. De acordo com os dados do 
problema, vamos organizar a tabela: 
Quilômetros 
(A) 
Horas por 
dia (B) 
No. de 
dias (C) 
200 4 2 
500 5 X 
A grandeza Número de dias (C) é a que servirá 
como referência para as outras grandezas. 
Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) 
e Horas por dia (B) são diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais à 
grandeza C que representa o Número de dias. 
Tal análise deve ser feita de uma forma 
independente para cada par de grandezas. 
Consideremos as grandezas Número de dias e 
Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar 
que se rodarmos maior número de dias, 
percorreremos maior quilometragem e se 
rodarmos menor número de dias percorreremos 
menor quilometragem. Assim temos que estas 
duas grandezas são diretamente proporcionais. 
Na outra análise, vamos agora considerar as 
grandezas Número de dias e Horas por dia. 
Verificar que para realizar o mesmo percurso, 
se tivermos maior número de dias utilizaremos 
menor número de horas por dia e se tivermos 
menor número de dias necessitaremos maior 
número de horas para p mesmo percurso. 
Logo, estas duas grandezas são inversamente 
proporcionais e desse modo: 
 
que pode ser posta como 
 
Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, 
significando que para percorrer 500 Km, 
rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 
dias. 
PORCENTAGEM 
Praticamente todos os dias, observamos nos meios 
de comunicação, expressões matemáticas 
relacionadas com porcentagem. O termo por cento 
é proveniente do Latim per centum e quer dizer por 
cem. Toda razão da forma a/b na qual o 
denominador b=100, é chamada taxa de 
porcentagem ou simplesmente porcentagem ou 
ainda percentagem. 
Historicamente, a expressão por cento aparece nas 
principais obras de aritmética de autores italianos 
do século XV. O símbolo % surgiu como uma 
abreviatura da palavra cento utilizada nas 
operações mercantis. 
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 
10% e isto significa que em cada 100 unidades de 
algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser 
obtido como o produto de 10% por 80, isto é: 
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8 
Em geral, para indicar um índice de M por cento, 
escrevemos M% e para calcular M% de um número 
N, realizamos o produto: 
Produto = M%.N = M.N / 100 
Exemplos: 
1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo 
que 52% dessas fichas estão etiquetadas com 
um número par. Quantas fichas têm a etiqueta 
com número par? uantas fichas têm a etiqueta 
com número ímpar? 
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13 
Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com 
número par e 12 fichas com número ímpar. 
2. Num torneio de basquete, uma determinada 
seleção disputou 4 partidas na primeira fase e 
venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias 
obtida por essa seleção nessa fase? 
Vamos indicar por X% o número que 
representa essa porcentagem. Esse problema 
pode ser expresso da seguinte forma: 
X% de 4 = 3 
Assim: 
(X/100).4 = 3 
4X/100 = 3 
4X = 300 
X = 75 
 
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20 
Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi 
de 75%. 
3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse 
número corresponde a 42,5% do total de 
empregados da indústria. Quantas pessoas 
trabalham nesse local? Quantos homens 
trabalham nessa indústria? 
Vamos indicar por X o número total de 
empregados dessa indústria. Esse problema 
pode ser representado por: 
42,5% de X = 255 
Assim: 
42,5%.X = 255 
42,5 / 100.X = 255 
42,5.X / 100 = 255 
42,5.X = 25500 
425.X = 255000 
X = 255000/425 = 600 
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo 
que há 345 homens. 
4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um 
desconto de 8% sobre o preço marcado na 
etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, 
qual o preço original dessa mercadoria? 
Seja X o preço original da mercadoria. Se 
obtive 8% de desconto sobre o preço da 
etiqueta, o preço que paguei representa 100%-
8%=92% do preço original e isto significa que 
92% de X = 690 
logo 
92%.X = 690 
92/100.X = 690 
92.X / 100 = 690 
92.X = 69000 
X = 69000 / 92 = 750 
O preço original da mercadoria era de R$ 
750,00. 
JUROS Simples 
Juro é toda compensação em dinheiro que se paga 
ou se recebe pela quantia em dinheiro que se 
empresta ou que é emprestada em função de uma 
taxa e do tempo. Quando falamos em juros, 
devemos considerar: 
1. O dinheiro que se empresta ou que se pede 
emprestado é chamado de capital. 
2. A taxa de porcentagem que se paga ou se 
recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada 
taxa de juros. 
3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma 
unidade a que está submetida a taxa, e em caso 
contrário, deve-se realizar a conversão para que 
tanto a taxa como a unidade de tempo estejam 
compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade. 
4. O total pago no final do empréstimo, que 
corresponde ao capital mais os juros, é 
denominado montante. 
Para calcular os juros simples j de um capital C, 
durante t períodos com a taxa de i% ao período, 
basta usar a fórmula: 
 
Exemplos: 
1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. 
A loja oferece este aparelho para pagamento 
em 5 prestações mensais e iguais porém, o 
preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se 
que a diferença entre o preço à prazo e o preço 
à vista é devida aos juros cobrados pela loja 
nesse período, qual é a taxa mensal de juros 
cobrada por essa loja? 
A diferença entre os preços dados pela loja é: 
652,00 - 450,00 = 202,50 
A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 
202,50 / 5 = 40,50 
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse 
problema pode ser resolvido da seguinte forma: 
X% de 450,00 = 40,50 
X/100.450,00 = 40,50 
450 X / 100 = 40,50 
450 X = 4050 
X = 4050 / 450 
X = 9 
A taxa de juros é de 9% ao mês. 
2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma 
taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de 
juro. Qual foi o capital aplicado? 
O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente 
de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital 
aplicado é indicado por C, esse problema pode 
ser expresso por: 
3% de C = 960,00 
3/100 C = 960,00 
3 C / 100 = 960,00 
3 C = 96000 
C = 96000/3 = 32000,00 
O capital aplicado foi de R$ 32.000,00. 
 
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21 
FUNÇÕES 
 
 
INTRODUÇÃO 
 O mundo atual experimenta a cada dia inovações tecnológicas 
importantes graças às relações funcionais entre variáveis. Podemos 
destacar vários exemplos tais como: a função que relaciona voltagem e 
corrente numa placa de computador ou a relação funcional entre o saldo 
devedor e a taxa num financiamento de um carro ou até uma função 
que, a partir de um exame de sangue seu, pode dizer se você tem um 
tipo específico de doença. 
 Uma função ou relação funcional se estabelece quando existe 
uma relação de dependência entre incógnitas. Formalmente, uma função 
se define através de uma equação matemática relacionando as variáveis 
de interesse. 
 Para o curso de cálculo diferencial e integral, o conhecimento de 
funções tem vital importância. Portanto, esse capítulo se dedica a 
analisar detalhadamente os mais variados tipos de funções. 
 
VARIÁVEIS DEPENDENTES E 
INDEPENDENTESUma função se estabelece quando 
descrevemos quais são as suas variáveis 
independentes e qual é a variável dependente. Por 
exemplo, a aceleração de um carro depende da 
intensidade com que você pisa no pedal do 
acelerador. Nesse caso, a aceleração é a variável 
dependente e a intensidade com que você pisa no 
pedal é a variável independente. 
 Note que você controla uma das variáveis 
(controla a sua intensidade) enquanto a outra é 
conseqüência da primeira. 
 Uma função pode conter mais de uma 
variável independente mas apenas uma variável 
dependente. Na prática, isso significa que podem 
existir várias causas com apenas uma conseqüência. 
A função se encarrega de relacionar a contribuição 
de cada causa com a conseqüência final. 
 Por exemplo, a temperatura média de uma 
cidade pode depender da umidade, da distância do 
equador e da altitude em que ela se encontra. 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO 
 Uma função com apenas uma variável 
independente pode ser representada de duas 
formas equivalentes: 
 y = equação da variável x ou f(x) = 
equação da variável x 
 
EXEMPLO 
 Representar uma função em que a 
variável dependente é igual ao quadrado da 
variável independente. 
 
SOLUÇÃO 
 A função pode ser representada das 
seguintes formas: 
 
2xy 
 ou 
2x)x(f 
 
 
OBS.: 
 As variáveis que aparecem na função 
não precisam ser, necessariamente, iguais a y e 
x. Por 
exemplo, a área de uma circunferência 
depende do raio segundo a equação: 
 
2rA 
 ou 
2r)r(A 
 
 Se quisermos conhecer o valor da 
variável dependente, basta substituirmos um 
valor onde aparece a variável independente. 
Por exemplo, se quisermos saber a área da 
circunferência de raio igual a 2 m, basta fazer: 
 
 
2r)r(A 
 
 
56,122)2(A 2 
 m
2
 
 
 
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22 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
 O gráfico de uma função é uma curva 
que expressa a relação entre a variável 
dependente e as independentes. Estudaremos 
nesse capítulo somente funções com uma 
variável independente. 
 
 
 
Podemos construir o gráfico de uma 
função usando um sistema de duas 
coordenadas posicionadas no plano cartesiano. 
 Primeiro, atribuímos valores para a 
variável x e calculamos os valores 
correspondentes da variável y através da 
equação da função. Em seguida, posicionamos 
essas duas coordenadas no plano cartesiano. 
 Atualmente, existem vários recursos 
computacionais que possibilitam a construção 
rápida de gráficos. 
 
DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO 
 
 Definimos uma função como uma 
regra (equação) que permite associar cada 
elemento x, de um conjunto A, a um único 
elemento y de um conjunto B. O conjunto A é 
chamado domínio da função. Já o conjunto B é 
denominado imagem da função se cada 
elemento seu está relacionado a, pelo menos, 
um elemento do conjunto A. 
 Podemos entender melhor essa 
definição usando o diagrama de Venn: 
 
 
 
 Pela definição dada, é natural pensar 
que um único um valor de x se associa a um 
único valor de y, porém, não é tão óbvio que 
dois valores diferentes de x possam ser 
associados ao mesmo valor de y. Um exemplo 
prático disso é que uma cidade pode ter a 
mesma temperatura em dois horários diferentes 
durante o dia. 
 Vejamos essa situação no diagrama de 
Venn: 
 
 
 
 Conforme a definição, a única situação 
que não pode acontecer é um valor de x ser 
associado a mais de um valor de y. Por 
exemplo, uma cidade não pode ter duas 
temperaturas diferentes ao meio-dia não é 
mesmo ? 
 A conseqüência imediata das 
afirmações anteriores é a seguinte regra: 
 
Uma curva no plano cartesiano é gráfico de 
uma função se qualquer reta vertical não 
intercepta essa curva mais de uma vez dentro 
do seu domínio. 
 
 Vejamos dois exemplos: 
 
 
 
É gráfico de uma função 
 
 
f(x) 
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23 
 
Não é gráfico de uma função 
 
 
FUNÇÕES DISCRETAS E FUNÇÕES 
CONTÍNUAS 
 
 Estamos freqüentemente em contato 
com funções de dois tipos: as funções discretas 
e as funções contínuas. 
 As funções discretas aparecem nos 
jornais, na televisão e nas revistas em forma de 
gráficos. Por exemplo, considere que o censo 
demográfico de uma cidade forneceu os 
seguintes resultados: 
 
ANO POPULAÇÃO 
1970 154.000 
1980 285.000 
1990 430.100 
2000 610.300 
 
 
 
 Para visualizar melhor, podemos 
transformar essa tabela num gráfico em forma 
de barras verticais: 
 
 
 
 O exemplo do censo demográfico 
mostra duas características interessantes das 
funções discretas. A primeira característica é 
que toda função discreta é representada por 
uma tabela. 
 A segunda, e mais importante, 
característica é a impossibilidade de sabermos 
o valor da variável dependente para valores 
não-tabelados da variável independente. Por 
exemplo, não sabemos quantos habitantes 
existem na cidade no ano de 1985. 
 Em geral, as funções discretas são 
resultados de medições em intervalos de tempo 
regulares. A inflação mensal, a temperatura 
diária, o lucro anual e o censo demográfico de 
dez em dez anos são exemplos de funções 
discretas. 
 Por outro lado, as funções contínuas 
são representadas por equações no lugar de 
tabelas e é possível saber o valor da variável 
dependente para qualquer valor da variável 
independente. 
 Um exemplo de função contínua é a 
velocidade instantânea de um carro sujeito à 
aceleração constante: 
 
atV)t(V 0 
 
 Suponha que estejamos interessados 
em calcular a velocidade no instante t=2s 
sabendo-se que a velocidade inicial V0 é igual 
a 3m/s e a aceleração a é igual a 1m/s
2
: 
 
5213)2(V 
m/s 
 Qualquer valor de tempo que você 
imaginar tem uma velocidade correspondente. 
 Para visualizar melhor, vamos 
construir o gráfico dessa função: 
 
 
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
 
 O domínio de uma função é o conjunto 
de todos os valores possíveis da variável 
independente. 
 
EXEMPLO 
 
 Encontre o domínio da função: 
 
x)x(f 
 
 
 
Censo demográfico de uma cidade
0
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
600.000
700.000
1970 1980 1990 2000
Ano
Ha
bi
ta
nt
es
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
24 
SOLUÇÃO 
 Não são possíveis valores negativos de 
x já que, dentre os números reais, não existe a 
raiz quadrada de um número negativo. 
 Assim, o domínio da função é 
representado da seguinte forma: 
 
}0x/x{D f  R
 
 Devemos ler essa notação matemática 
da seguinte forma: 
 
x pertence ao conjunto dos números reais 
tal que x é maior ou igual a zero 
 
EXEMPLO 
 
 Encontre o domínio da função: 
 
x
1
)x(f 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 Nesse caso, não é possível x=0 já que 
0
1
 não é definido como um número real. 
 Assim, o domínio da função é 
representado da seguinte forma: 
 
}0x/x{D f  R
 
 
OBS.: 
 A expressão 
0
1
 não é definida porque 
não existe um número real que multiplicado 
por zero seja igual a 1. 
 
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
 
 A imagem é o conjunto de todos os 
resultados que a variável dependente assume 
quando usamos os valores do domínio na 
equação da função. 
 
EXEMPLO 
 
 Encontre a imagem da função: 
 
x)x(f 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 Paraqualquer valor de x dentro do 
domínio da função (só valores positivos de x), 
a variável y assume apenas valores positivos 
(incluindo o zero). 
 Assim, a imagem da função é 
representada da seguinte forma: 
 
}0y/y{Im f  R
 
 
EXEMPLO 
 
 Encontre a imagem da função: 
 
2x)x(f 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 Para qualquer valor de x dentro do 
domínio da função (todos os números reais), a 
variável y assume apenas valores negativos 
(incluindo o zero). 
 Assim, a imagem da função é 
representada da seguinte forma: 
 
}0y/y{Im f  R
 
 
Exercícios 
 
1 – Encontre o domínio das funções abaixo: 
 a) 
3x)x(f 
 
 b) 
3x
1
)x(f 
 
 c) 
2x
1
)x(f


 
 d) 
2x)x(f 
 
 e) 
1x)x(f 
 
 f) 
x
1
)x(f 
 
 g) 
1x
1
)x(f


 
 
FUNÇÃO AFIM 
 
A função Afim é aquela que estabelece 
uma taxa constante de crescimento (ou 
decrescimento) da variável dependente. 
 
EXEMPLO 
 
 O apresentador do jornal da televisão 
informa que as exportações do país atualmente 
atingiram 300 milhões e estão crescendo 100 
milhões por ano. 
 
 
SOLUÇÃO 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
25 
 
 Para entender melhor o problema, 
vamos construir a seguinte tabela: 
 
Prazo 
Total de 
Exportações (em 
milhões) 
Hoje 300 
Após 1 ano 400 (= 300 + 1  100) 
Após 2 anos 500 (= 300 + 2  100) 
Após 3 anos 600 (= 300 + 3  100) 
... ... 
Após x anos 300 + x  100 
 
 A função que relaciona o total de 
exportações e o número de anos é então dada 
por: 
x100300)x(f 
 
 
 Matematicamente, a função afim é 
dada pela relação: 
 
bax)x(f 
 ou 
baxy 
 
 
Essa função é caracterizada 
graficamente por uma reta. O valor de “a” é 
chamado coeficiente angular ( ou taxa de 
variação) e o valor de “b” é chamado 
coeficiente linear. 
 
COEFICIENTE ANGULAR 
 
 O coeficiente angular indica a taxa 
constante de crescimento ou decrescimento de 
y. Podemos analisá-lo de duas formas: 
 Pelo seu sinal; 
 Pelo seu valor absoluto. 
 Quando analisamos o coeficiente 
angular pelo seu sinal estamos interessados em 
saber se a taxa é de crescimento ou de 
decrescimento. 
 Uma taxa de crescimento é 
caracterizada por um valor positivo e uma taxa 
de decrescimento é caracterizada por um valor 
negativo. 
 
EXEMPLO 
 
 Vamos considerar que a temperatura 
no interior de uma sala refrigerada decresce a 
uma taxa constante de 2
o
C a cada hora 
enquanto do lado de fora a temperatura está 
crescendo a uma taxa constante de 2
o
C a cada 
hora. 
 
SOLUÇÃO 
 
 No primeiro caso, o coeficiente 
angular é igual a -2
o
C/h. Isso significa que a 
cada hora a temperatura cai 2
o
C. Por exemplo, 
se a sala estava inicialmente a 30
o
C então após 
1 hora a temperatura será de 28
o
C, após 2 
horas a temperatura será de 26
o
C e assim por 
diante. 
 No segundo caso, o coeficiente angular 
é igual a +2
o
C/h. Isso significa que a cada hora 
a temperatura sobe 2
o
C. Por exemplo, se a 
temperatura do lado de fora da sala estava em 
30
o
C então após 1 hora a temperatura será de 
32
o
C, após 2 horas a temperatura será de 34
o
C 
e assim por diante. 
 O gráfico da temperatura para o lado 
de dentro e para o lado de fora da sala é dado 
por: 
 
 
 
 Por outro lado, quando analisamos o 
coeficiente angular pelo seu valor absoluto 
(apenas o número sem considerar o sinal) 
estamos interessados em saber se a taxa de 
crescimento ou decrescimento (dependendo do 
sinal) é elevada ou não. 
 
COEFICIENTE LINEAR 
 
 O coeficiente linear indica onde a 
função corta o eixo y, ou seja, o valor de y 
quando x é igual a zero. Podemos encontrar 
dois casos: 
 
 Coeficiente linear positivo, quando a 
função corta o eixo y num valor 
positivo; 
 
Departamento de Matemática, Estatística e Informática 
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância 
 
 
26 
 Coeficiente linear negativo, quando a 
função corta o eixo y num valor 
negativo. 
 
EXEMPLO 
 
 Vamos considerar o caso de duas 
funções com coeficiente angular positivo, uma 
com coeficiente linear positivo e a outra com 
coeficiente linear negativo: 
 
 
 
Coeficiente linear positivo 
 
 
 
 
Coeficiente linear negativo 
 
 
EXEMPLO 
 
 Agora vamos considerar o caso de duas 
funções com coeficiente angular negativo, uma com 
coeficiente linear positivo e a outra com coeficiente 
linear negativo: 
 
 
Coeficiente linear positivo 
 
 
 
Coeficiente linear negativo 
 
 
 
 
COMO OBTER A FUNÇÃO 
A FUNÇÃO AFIM 
 
Vamos supor que conhecemos dois pontos 
)y,x( 00
 e 
)y,x( 11
 pelos quais a reta passa. 
 
 
 
 A inclinação da reta é dada pela tangente 
do ângulo  no triângulo mostrado no gráfico: 
 
adjacente cateto
 oposto cateto
tga 
 
 
x
y
xx
yy
a
01
01






 
 
 
 
 Fazendo 
yy1 
 e 
xx1 
 na fórmula 
acima podemos encontrar a equação da reta: 
0
0
xx
yy
a



 
Universidade Estadual do Pará 
Centro de Ciências Sociais e Educação 
 
 
 
27 
)xx(a)yy( 00 
 
 
 Essa equação é usada quando sabemos 
qual é o coeficiente angular e um ponto por onde a 
reta passa. 
 
OBS.: 
 Poderíamos ter feito 
yy0 
 e 
xx0 
. 
Nesse caso, teríamos a seguinte equação da reta: 
 
)xx(a)yy( 11 
 
 
 Isso significa que qualquer um dos dois 
pontos pode ser usado na equação. 
 
EXEMPLO 
 
 Encontrar a equação da reta que passa 
pelos pontos 
)0,1()y,x( 00 
 e 
)3,2()y,x( 11 
. 
 
SOLUÇÃO 
 
 Primeiramente, devemos encontrar o 
coeficiente angular: 
 
3
12
03
xx
yy
a
01
01 






 
 
 Agora, podemos usar a equação da reta: 
 
)xx(a)yy( 00 
 
)1x(3)0y( 
 
3x3y 
 
 
 Por outro lado, poderíamos ter escolhido o 
outro ponto: 
 
)xx(a)yy( 11 
 
)2x(3)3y( 
 
3x336x3y 
 
 
 
CRESCIMENTO OU 
DECRESCIMENTO DA FUNÇÃO 
 
 Definimos uma função crescente quando, à 
medida que x aumenta dentro de um intervalo, o 
valor de y também aumenta. Na função Afim, isso é 
caracterizado pelo valor positivo do coeficiente 
angular. 
 
 
EXEMPLO 
3x3y 
 
coeficiente angular = +3, reta crescente. 
 
1x2y 
 
coeficiente angular = +2, reta crescente. 
 
 Definimos uma função decrescente 
quando, à medida que x aumenta dentro de um 
intervalo, o valor de y diminui. Um coeficiente 
angular negativo caracteriza uma reta decrescente. 
 
EXEMPLO 
1x3y 
 
coeficiente angular = -3, reta decrescente. 
 
3x2y 
 
coeficiente angular = -2, reta decrescente. 
 
 
OBS.: 
 Pode acontecer do valor de “a” ser nulo. 
Nesse caso, a reta, que não é crescente e nem 
decrescente, é chamada função constante (não 
possui inclinação). 
 
 
ESBOÇO DO GRÁFICO ATRAVÉS DA 
EQUAÇÃO DA FUNÇÃO 
 
 Podemos usar o nosso raciocínio para 
construir o gráfico da função encontrando as duas 
coordenadas mais importantes: onde a função corta 
o eixo x e onde corta o eixo y. 
 Para encontrar em que ponto a função 
corta o eixo x, basta colocar zero onde aparecer y 
na equação. O valor calculado de x deve ser 
marcado sobre o eixo x. 
 Para encontrar em que ponto a função 
corta o eixo y, basta colocar zero onde