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Integração por partes Cálculo 2– Prof. Aline Paliga Introdução Para cada regra da diferenciação tem uma regra correspondente de integração. Vimos que a Regra da Substituição corresponde a Regra da Cadeia. A regra que corresponde à Regra do Produto para a diferenciação é chamada de Integração por Partes. A Regra do Produto estabelece que se f e g são diferenciáveis, então: Na notação de integrais indefinidas essa equação torna-se: TFC1 [ ( ) ( )] ( ) '( ) ( ) '( ) d f x g x f x g x g x f x dx ( ) ' ' d uv uv vu dx ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x g x f x dx f x g x f dx F ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x dx g x f x dx f x g x ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x g x dx f x g x g x f x dx udv uv vdu EXEMPLO 1: RESOLUÇÃO: xsenxdx ( cos ) ( cos )xsenxdx x x x dx v=-cosx u x dv senxdx du dx udv uv vdu u dv u du v v cosx x senx C Objetivo: encontrar uma integral mais simples que a integral de partida. Se tivéssemos escolhido u=senx e dv=xdx: 2 x cos v= 2 u senx dv xdx du xdx 2 21 cos 2 2 x xsenxdx senx x xdx mais complicada! EXEMPLO 2: RESOLUÇÃO: 2 xx e dx 2 2 2x x xx e dx x e e xdx 2 x 2 v=e xu x dv e dx du xdx udv uv vdu u dv u du v v 2 2x xx e xe dx Mais simples! Mas não imediata. x v=e xu x dv e dx du dx x x xxe dx xe e dx Imediata! 2 22 2 2 2x x x x x xx e xe e dx x e xe e C EXEMPLO 3: RESOLUÇÃO: ln xdx ln ln dx xdx x x x x ln 1 v=x u x dv dx du dx x udv uv vdu u dv u du v v lnx x dx Simples e imediata! lnx x x C Se combinarmos a fórmula de integração por partes com a TFC2, podemos avaliar integrais definidas por partes: ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) b bb aa a f x g x dx f x g x g x f x dx ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x g x dx f x g x g x f x dx
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