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Física1-02

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sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 1 – Questões 2 
Questão  1  
 
Um carro percorre uma distância de 30 km no sentido Oeste‐Leste; a seguir percorre 10 km no 
sentido Sul‐Norte e finalmente percorre 5 km numa direção que forma um ângulo de 300 com o Norte 
e 600 com o Leste.  
a) Use um sistema cartesiano e ache o módulo do deslocamento resultante. 
b) Obtenha o ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o sentido Oeste‐Leste. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento total na direção OL é de : 
 
030 5 cos60 32,5 .OL km= + ⋅ =  
 
E o deslocamento total na direção SN é de: 
 
010 5 cos30 14,35 .SN km= + ⋅ ≅  
 
Assim, o módulo do deslocamento resultante é dado por: 
 
2 2 2 232,5 14,35
35,5 .
R R
R
V SN OL V
V km
= + ⇒ = +
∴ ≅  
 
O ângulo entre “VR” e a direção OL é dado por: 
 
 
 
 
 
LO 
N 
S 
300
600 
RV
?
014,35 24 .
32,5
SNarctg arctg
OL
θ θ= ⇒ = ≅
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
2 
Questão  2  
 
Um vetor a tem módulo de 10 unidades e sentido de Oeste para Leste. Um vetor b tem módulo de 
20 unidades e sentido de Sul para Norte. Determine o módulo dos seguintes vetores: 
 
a) a+b; 
b) a‐b. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o módulo de a+b é dado por: 
 
2 210 20 500 22,4 .a b unid+ = + = ≅??  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E  como  ,b b− =? ? o módulo de a‐b  também vale 
aproximadamente 22,4 unidades.  
 
Assim, a‐b=a+(‐b).
Questão  3  
 
Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira tacada desloca a 
bola 6 m para o Norte, a segunda tacada desloca a bola 2 m para o Leste e a terceira desloca a bola 2 m 
para o Nordeste. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento equivalente que poderia 
ser obtido com uma única tacada. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento total na direção Norte é dado por: 
06 2 cos45 7,4 .ND m= + ⋅ =  
 
O deslocamento total na direção Leste: 
 
02 2 45 3,4 .LD sen m= + ⋅ =  
a 
b
a+b 
a 
‐b 
a‐b
450
VR 6m
2m
2m
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
3 
 
Assim, para o deslocamento resultante teremos: 
 
2 2 2 27, 4 3,4 8,14 .R N LV D D m= + = + ≅  
 
Forma um ângulo, com a direção Leste, dado por: 
 
07, 4arctan 65,3 .
3,4
θ= ≅  
E o sentido é o de baixo para cima, conforme mostra a figura. 
 
Questão  4  
 
Dois vetores são dados por:  3 2a i j k= − −?  e  3 2b i j k= − −? . Determine: 
a) ;a b+ ??  
b) ;a b− ??  
c) .a b− + ??  
 
Resolução: 
a) 
3 2 3 2
6 3 3 .
a b i j k i j k
i j k
+ = − − + − −
= − −
??
 
 
 
b) 
3 2 3 2
.
a b i j k i j k
j k
− = − − − + +
=− +
??
 
 
c) 
 
3 2 3 2
.
a b i j k i j k
j k
− + =− + + + − −
= −
??
 
 
Questão  5  
 
Uma pessoa viaja de um local situado a uma latitude 300 S e a uma longitude de 400 L para um local 
situado a 300 S e a 800 L. Usando um sistema de coordenadas cartesianas com origem no  centro da 
Terra e um sistema de coordenadas esféricas, determine:  
a) O deslocamento entre os dois pontos; 
b) O  comprimento  da  trajetória  percorrida  supondo  que  a  pessoa  viaje  em  linha  reta  sobre  o 
círculo paralelo ao Equador situado a 300 S. Faça RT = 6 400 km. 
 
Resolução: 
Observando a figura, teremos: 
 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
1 2 6400 cos30 5568xy xyR R km= = ⋅ ≅  
 
No eixo Z, os dois vetores possuem o mesmo componente. O que importa então é o que ocorre com os 
componentes no plano XY. Assim, no plano XY, teremos: 
 
( ) ( )
2 2 2 0
2 1 2 1 2 1
2 22
2 cos40
2 5568 2 5568 0,77
5568 0,46 3786 .
xy xy xy xy xy xyR R R R R R R R
R
R km
= − ⇒ = + − ⋅ ⋅
= − ⋅
= ≅
? ? ?
 
 
O comprimento do arco de circunferência vale: 
 
 
 
 
 
 
 
0,7 5568 3897,6 .S km= ⋅ =  
 
 
Questão  6  
 
Considere a figura ao lado. Sejam “b” e “c” as diagonais que 
se interceptam, pertencentes a um cubo de aresta “a”. 
a) Encontre os componentes do vetor “d” obtido pelo produto 
vetorial  ;b c×? ?  
b) Calcule os valores b c⋅? ? , b d⋅? ?  e  c d⋅ ?? ; 
c) Determine o ângulo entre “b” e  “c”, entre “b” e  “d” e entre 
“c” e “d”; 
d) Determine  o  ângulo  entre  a  diagonal  de  uma  das  faces 
(representada por “b”) e a diagonal do cubo “e”. 
S 
6400⋅cos300 = 5568km 
400 ≅ 0,7 rad 
R1 
R2 
S 
R2xy 
R1xy 
X 
Y 
300 S;400L
300 S;800L 
400 
R 
a
a 
b 
c 
e 
x
y 
z
a
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
5 
Resolução: 
 
a) Da figura, temos:  ( ) ( ), .b a i j c a j k= + = +? ? Agora, para encontrar os componentes do vetor “d”, 
faremos o produto vetorial: 
 
( )20 .
0
i j k
d b c a a a i k j
a a
= × = = + −? ? ?  
 
b) Os produtos escalares: 
 
( ) ( ) ( )2
2
b c a i j a j k a i j i k j j j k
b c a
⋅ = + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
∴ ⋅ =
? ?
? ?  
0.b d c d⋅ = ⋅ =? ? ??  
 
Obs.: O vetor “d” é perpendicular aos vetores “b” e “c”. 
c) Sabemos que  2b c a⋅ =? ? e que  cosb c b c θ⋅ = ⋅? ? . Os módulos de “b” e “c” são dados por: 
 
2.b c a= =  
 
Assim, utilizando esses resultados: 
 
2 2
0 0
1 12 cos cos , arccos
2 2
60 ;0 90 .
a a θ θ θ
θ θ
= ⇒ = =
∴ = < <
 
 
O ângulo entre “d” e “b” e entre “d” e “c”, vide item b. 
d) O ângulo entre os vetores “b” e “e” é dado por: 
 
0
2tan 0,71. arctan 0,71
22
35,4 .
a
a
α α
α
= = ≅ =
≅
 
Questão  7  
 
As  faces  de  um  tetraedro  regular  são  triângulos  eqüiláteros  de  lado  “a”.  Determine,  por 
métodos vetoriais, o ângulo que cada lado faz com a face oposta e a distância entre um vértice e a face 
oposta. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
b 
c  a 
θ 
θ 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
6 
Os vetores “b” e “c” representam os apótemas laterais opostos ao  lado “a”. Observando a disposição 
dos vetores, concluímos se tratar de um triângulo isósceles. Os módulos dos vetores são: 
 
3; .
2
aa a b c= = =?? ?  
 
Podemos tomar a seguinte operação: 
 
2 2 2
2
2 2 2
2
0
3 3 2 3 cos
2 2 2
3 3 2 3 cos
4 4 2
3 3cos arccos
3 3
55 .
a a aa b c a
a a aa
θ
θ
θ θ
θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟− = ⇒ = + −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
/= + − /
= ⇒ =
∴ ≅
?? ?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O módulo de “e”: 
3cos
3
ae a eθ= = = . 
 
Assim, podemos fazer: 
2
2 2
2 2
2 2 2
3
3
3 6
9 9
6 .
3
aa e h a h
a ah a h
ah
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + ⇒ = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
= − ⇒ =
∴ =
?? ?
 
 
e 
h 
b 
c a
θ 
θ

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