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sites.google.com/site/profafguimaraes 1 Prof. A.F.Guimarães Física 1 – Questões 2 Questão 1 Um carro percorre uma distância de 30 km no sentido Oeste‐Leste; a seguir percorre 10 km no sentido Sul‐Norte e finalmente percorre 5 km numa direção que forma um ângulo de 300 com o Norte e 600 com o Leste. a) Use um sistema cartesiano e ache o módulo do deslocamento resultante. b) Obtenha o ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o sentido Oeste‐Leste. Resolução: O deslocamento total na direção OL é de : 030 5 cos60 32,5 .OL km= + ⋅ = E o deslocamento total na direção SN é de: 010 5 cos30 14,35 .SN km= + ⋅ ≅ Assim, o módulo do deslocamento resultante é dado por: 2 2 2 232,5 14,35 35,5 . R R R V SN OL V V km = + ⇒ = + ∴ ≅ O ângulo entre “VR” e a direção OL é dado por: LO N S 300 600 RV ? 014,35 24 . 32,5 SNarctg arctg OL θ θ= ⇒ = ≅ sites.google.com/site/profafguimaraes 2 Questão 2 Um vetor a tem módulo de 10 unidades e sentido de Oeste para Leste. Um vetor b tem módulo de 20 unidades e sentido de Sul para Norte. Determine o módulo dos seguintes vetores: a) a+b; b) a‐b. Resolução: Assim, o módulo de a+b é dado por: 2 210 20 500 22,4 .a b unid+ = + = ≅?? E como ,b b− =? ? o módulo de a‐b também vale aproximadamente 22,4 unidades. Assim, a‐b=a+(‐b). Questão 3 Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira tacada desloca a bola 6 m para o Norte, a segunda tacada desloca a bola 2 m para o Leste e a terceira desloca a bola 2 m para o Nordeste. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento equivalente que poderia ser obtido com uma única tacada. Resolução: O deslocamento total na direção Norte é dado por: 06 2 cos45 7,4 .ND m= + ⋅ = O deslocamento total na direção Leste: 02 2 45 3,4 .LD sen m= + ⋅ = a b a+b a ‐b a‐b 450 VR 6m 2m 2m sites.google.com/site/profafguimaraes 3 Assim, para o deslocamento resultante teremos: 2 2 2 27, 4 3,4 8,14 .R N LV D D m= + = + ≅ Forma um ângulo, com a direção Leste, dado por: 07, 4arctan 65,3 . 3,4 θ= ≅ E o sentido é o de baixo para cima, conforme mostra a figura. Questão 4 Dois vetores são dados por: 3 2a i j k= − −? e 3 2b i j k= − −? . Determine: a) ;a b+ ?? b) ;a b− ?? c) .a b− + ?? Resolução: a) 3 2 3 2 6 3 3 . a b i j k i j k i j k + = − − + − − = − − ?? b) 3 2 3 2 . a b i j k i j k j k − = − − − + + =− + ?? c) 3 2 3 2 . a b i j k i j k j k − + =− + + + − − = − ?? Questão 5 Uma pessoa viaja de um local situado a uma latitude 300 S e a uma longitude de 400 L para um local situado a 300 S e a 800 L. Usando um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro da Terra e um sistema de coordenadas esféricas, determine: a) O deslocamento entre os dois pontos; b) O comprimento da trajetória percorrida supondo que a pessoa viaje em linha reta sobre o círculo paralelo ao Equador situado a 300 S. Faça RT = 6 400 km. Resolução: Observando a figura, teremos: sites.google.com/site/profafguimaraes 4 0 1 2 6400 cos30 5568xy xyR R km= = ⋅ ≅ No eixo Z, os dois vetores possuem o mesmo componente. O que importa então é o que ocorre com os componentes no plano XY. Assim, no plano XY, teremos: ( ) ( ) 2 2 2 0 2 1 2 1 2 1 2 22 2 cos40 2 5568 2 5568 0,77 5568 0,46 3786 . xy xy xy xy xy xyR R R R R R R R R R km = − ⇒ = + − ⋅ ⋅ = − ⋅ = ≅ ? ? ? O comprimento do arco de circunferência vale: 0,7 5568 3897,6 .S km= ⋅ = Questão 6 Considere a figura ao lado. Sejam “b” e “c” as diagonais que se interceptam, pertencentes a um cubo de aresta “a”. a) Encontre os componentes do vetor “d” obtido pelo produto vetorial ;b c×? ? b) Calcule os valores b c⋅? ? , b d⋅? ? e c d⋅ ?? ; c) Determine o ângulo entre “b” e “c”, entre “b” e “d” e entre “c” e “d”; d) Determine o ângulo entre a diagonal de uma das faces (representada por “b”) e a diagonal do cubo “e”. S 6400⋅cos300 = 5568km 400 ≅ 0,7 rad R1 R2 S R2xy R1xy X Y 300 S;400L 300 S;800L 400 R a a b c e x y z a sites.google.com/site/profafguimaraes 5 Resolução: a) Da figura, temos: ( ) ( ), .b a i j c a j k= + = +? ? Agora, para encontrar os componentes do vetor “d”, faremos o produto vetorial: ( )20 . 0 i j k d b c a a a i k j a a = × = = + −? ? ? b) Os produtos escalares: ( ) ( ) ( )2 2 b c a i j a j k a i j i k j j j k b c a ⋅ = + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ∴ ⋅ = ? ? ? ? 0.b d c d⋅ = ⋅ =? ? ?? Obs.: O vetor “d” é perpendicular aos vetores “b” e “c”. c) Sabemos que 2b c a⋅ =? ? e que cosb c b c θ⋅ = ⋅? ? . Os módulos de “b” e “c” são dados por: 2.b c a= = Assim, utilizando esses resultados: 2 2 0 0 1 12 cos cos , arccos 2 2 60 ;0 90 . a a θ θ θ θ θ = ⇒ = = ∴ = < < O ângulo entre “d” e “b” e entre “d” e “c”, vide item b. d) O ângulo entre os vetores “b” e “e” é dado por: 0 2tan 0,71. arctan 0,71 22 35,4 . a a α α α = = ≅ = ≅ Questão 7 As faces de um tetraedro regular são triângulos eqüiláteros de lado “a”. Determine, por métodos vetoriais, o ângulo que cada lado faz com a face oposta e a distância entre um vértice e a face oposta. Resolução: b c a θ θ sites.google.com/site/profafguimaraes 6 Os vetores “b” e “c” representam os apótemas laterais opostos ao lado “a”. Observando a disposição dos vetores, concluímos se tratar de um triângulo isósceles. Os módulos dos vetores são: 3; . 2 aa a b c= = =?? ? Podemos tomar a seguinte operação: 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 3 2 3 cos 2 2 2 3 3 2 3 cos 4 4 2 3 3cos arccos 3 3 55 . a a aa b c a a a aa θ θ θ θ θ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟− = ⇒ = + −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ /= + − / = ⇒ = ∴ ≅ ?? ? O módulo de “e”: 3cos 3 ae a eθ= = = . Assim, podemos fazer: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 6 9 9 6 . 3 aa e h a h a ah a h ah ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + ⇒ = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ = − ⇒ = ∴ = ?? ? e h b c a θ θ
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