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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 1 – Questões 6 Questão 1 Um bloco apoiado sobre um plano inclinado, conforme indicado na figura, está na iminência de escorregar. a) Sendo o ângulo do plano inclinado igual a 300 qual seria o coeficiente de atrito estático deste bloco? b) Obtenha uma expressão para a determinação do coeficiente de atrito cinético em função da aceleração do bloco e do ângulo que o plano forma com a horizontal; c) Determine o coeficiente de atrito cinético sabendo que 23a m s−= ⋅ e 035θ= . Resolução: a) 0 . 330 0,58. 3 ate x e e e e f P N Psen P Psen µ θ µ θ θ µ θ µ = = / /= ∴ = = = ≅ cos tan tan b) . R x atc c c F P f ma mgsen mg gsen a g θ µ θ θµ θ = − = −/ / / −∴ = cos cos c) 0 0 9,8 35 3 0,32. 9,8 35c senµ −= ≅ cos Questão 2 Um bombeiro pesa 750 N. Quando ele desce de um mastro vertical com aceleração de 3,5 m⋅s‐2, o coeficiente de atrito cinético vale 0,4. Determine: a) A força de atrito média entre o bombeiro e o mastro; P Py Px fat θ N www.profafguimaraes.net 2 b) A força média perpendicular ao mastro exercida pelo bombeiro sobre o mastro. Resolução: a) 2; , 9,8 76,5 3,5 750 482,3 . R atc atc atc atc PF P f P mg m g m s g ma P f f f N −= − = ⇒ = = ⋅ = − ⋅ = − ≅ b) 482,3 0,4 1205,8 . atc cf N N N N µ= = ∴ ≅ Questão 3 Um cubo de massa “m” repousa sobre um plano inclinado rugoso, o qual forma um ângulo θ com a horizontal. a) Determine a força mínima paralela ao plano inclinado necessária para iniciar o movimento do cubo para baixo do plano; b) Ache a força mínima paralela ao plano inclinado necessária para iniciar o movimento do cubo para cima do plano. c) Calcule a força mínima paralela ao plano da base necessária para iniciar o movimento do cubo para cima do plano inclinado. d) Determine a força mínima paralela ao plano da base necessária para iniciar o movimento do cubo para baixo do plano inclinado. Resolução: a) ( ). x ate e e f P f f mg mgsen f mg sen µ θ θ µ θ θ + > > − ∴ > − min min min cos cos b) fmin Px fate fmin Px fate www.profafguimaraes.net 3 ( ). x ate e e f P f f mgsen mg f mg sen θ µ θ θ µ θ > + > + ∴ > + min min min cos cos c) ( ) ; . x ate e e e e e f P f f mgsen N N mg f sen f f sen mgsen mg mg sen f sen θ θ θ µ θ θ θ µ θ θ µ θ θ µ θ θ µ θ ′> + ′ ′> + = + − > + +∴ > − min min min min min min cos cos cos cos cos cos cos d) ( ) ; . ate e e e e e f mgsen f f mgsen N N mg f sen f f sen mg mgsen mg sen f sen θ θ θ θ µ θ θ θ µ θ µ θ θ µ θ θ θ µ θ ′′+ > ′′ ′′+ > = − + > − −∴ > + min min min min min min cos cos cos cos cos cos cos Questão 4 O cabo de um escovão de massa “m” forma um ângulo θ com a direção vertical. Seja µc o coeficiente de atrito cinético entre o escovão e o assoalho e o coeficiente de atrito estático é µe. Despreze a massa do cabo. a) Ache o módulo da força F, dirigida ao longo do cabo, necessária para que o escovão passe a deslizar com velocidade constante ao longo do assoalho; b) Calcule o ângulo limite θ0 tal que se o ângulo θ for menor do que θ0 o escovão não poderá deslizar sobre o assoalho, por maior que seja a força aplicada ao longo do cabo. fmin Px fate fmin Px fate θ F www.profafguimaraes.net 4 Resolução: a) ( ) . cos cos atc c c c Fsen f Fsen mg F mgF sen θ θ µ θ µ θ µ θ = = + ∴ = − b) ( ) . cos cos ate e e e Fsen f Fsen mg F mgF sen θ θ µ θ µ θ µ θ = = + = − Porém, se 0cosesen Fθ µ θ− → ⇒ →∞ . Assim, teremos: 0 0 0 0 0 . cos tan arctan e e e senθ µ θ θ µ θ µ − = = ∴ = Questão 5 Um bloco de massa m1 está ligado a um bloco de massa m2 por meio de uma corda de massa desprezível. Os dois blocos estão apoiados sobre um plano horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco de massa m1 vale µ1 e para o bloco m2 o coeficiente vale µ2. Sobre o bloco de m1 atua uma força F que forma um ângulo θ com a horizontal. Determine o módulo da aceleração dos blocos. Resolução: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 ; , . cos cosθ cos cos R at R at at at at at F F f T F T f m m a F f f f m g Fsen f m g m m a F Fsen m g m g F Fsen m g m ga m m θ µ θ µ θ µ θ µ µ θ µ θ µ µ = − − = − + = − − = − = + = + − − + − −∴ = + θ F P N fat 1 2 F θ P1 P2 N1 N2 fat1 fat2 T T www.profafguimaraes.net 5 Questão 6 Uma prancha de 40 kg de massa repousa sobre um assoalho sem atrito. Sobre a prancha existe um bloco de 10 kg de massa. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a prancha vale 0,55 enquanto o coeficiente de atrito cinético vale 0,35. O bloco de 10 kg sofre a ação de uma força horizontal de 100 N. Determine o módulo da aceleração: a) Do bloco; b) Da prancha; c) Qual seria a força máxima necessária para movimentar os blocos de modo que não existisse movimento relativo entre o bloco e a prancha? d) Suponha F = 10 N; calcule a aceleração do sistema nesse caso. Resolução: a) 100R atF f= − Como 53,9 100atef N N= < , Teremos: 2100 10 100 34,3 6,57 .R atcF f a a m s −= − ⇒ = − ∴ = ⋅ b) 240 34,3 0,86 .R atcF f a a m s −′ = ⇒ = ∴ ≅ ⋅ c) 53,9 .máx ateF f N= = d) 2150 10 . 5R F a a m s−= = ∴ = ⋅ Questão 7 Considere uma plataforma móvel de massa M e um bloco de massa m apoiado sobre a plataforma como o da questão anterior. Despreze o atrito entre a plataforma e o plano horizontal. O coeficiente de Sem atrito 100 N 10 kg 40 kg 100 N P N fat N N’ P’ fat www.profafguimaraes.net 6 atrito entre o bloco e a plataforma vale µ. Suponha que o coeficiente de atrito estático seja igual ao coeficiente de atrito cinético. Em vez de se aplicar uma força horizontal sobre o bloco, como no caso anterior, a força horizontal é aplicada na plataforma. Seja L a distância entre o centro de massa do bloco e a extremidade da plataforma. A força F é orientada da direita para a esquerda. a) Obtenha uma expressão para a força máxima que pode ser aplicada para que o bloco não deslize sobre a plataforma; b) Suponha que a plataforma seja submetida a uma força F maior do que a Fmáx calculada no item anterior; determine o tempo que o bloco leva para cair da extremidade da plataforma. Resolução: a) No bloco de massa “m”, a força resultante para que o mesmo seja acelerado sem escorregar vale: R ateF ma f ma mg a gµ µ= = ⇒ = ∴ = . Sendo esta a aceleração do sistema. Assim: ( )máxF M m gµ= + . b) Se F > Fmáx, os corpos terão acelerações diferentes. O bloco de massa “m” terá uma aceleração dada por: R atcF ma f mg a gµ µ= = = ⇒ = . (7.b.1)A plataforma terá uma aceleração dada por: R at F mgF Ma F f a M µ−′ ′ ′= = − ⇒ = . (7.b.2) Temos dois corpos sendo acelerados para a esquerda, porém, com acelerações diferentes. m N P fat N’ M F P’ N fat a a’ 1 2 L www.profafguimaraes.net 7 Para 1 teremos: 2 1 2 atx L= + . E para 2 teremos: 2 2 2 a tx ′= . Quando o ponto 1 coincidir com o ponto 2, o bloco começará a cair. Assim, teremos: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . x x at a tL a at L Lt a a = ′+ = ⎛ ⎞′− ⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ = ′− Utilizando as expressões de a e a’, dadas por (7.b.1) e (7.b.2), teremos: ( ) 2LMt F g m Mµ= − + . Questão 8 Um bloco pequeno de massa m, preso à extremidade de uma corda, gira com velocidade angular constante num círculo vertical de raio R. Determine a velocidade crítica, abaixo da qual a corda ficaria frouxa no ponto mais alto da trajetória. Desconsidere os efeitos da resistência do ar e qualquer variação nos efeitos da gravidade local. Resolução: No ponto mais alto da trajetória, a resultante centrípeta é a soma do peso com a tensão da corda. cpF P T= + . R TP vPonto mais alto da trajetória. www.profafguimaraes.net 8 No limite, para que nenhuma tensão atue na corda, teremos: 2 0 . cp c c T F P mv mg R v Rg → ⇒ = / = / ∴ = Questão 9 Um manual de motorista estabelece que quando se viaja a 50 km⋅h‐1 e se deseja parar tão rápido quanto possível, percorre‐se 10 m antes que a ação do freio comece a se fazer sentir. Depois que o freio começa a atuar o carro ainda percorre 20 m até parar. a) Calcule o coeficiente de atrito para estas condições; b) Determine o raio mínimo de uma curva circular que pode ser completada com 50 km⋅h‐1 sem que o carro derrape na curva. Resolução: a) A força resultante no carro, durante uma frenagem é exatamente igual à força de atrito. Assim: . R atF f ma mg a gµ µ = = ⇒ = Com 29,8g m s−= ⋅ . Utilizando a equação de Torricelli, teremos: 2 2 1 1 0 0 2 2 ; 50 13,9 0 13,9 2 9,8 20 0,49. v v a x v km h m s µ µ − −= − ∆ = ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅ ∴ = b) Durante a curva, a resultante centrípeta será igual à força de atrito. Assim, teremos: 2 2 40,3 . cp atF f mv mg R vR R m g µ µ = / = / = ∴ = Questão 10 Uma bola de 1,5 kg é ligada a uma haste vertical rígida, conforme indicado na figura. Cada cordão que liga a massa à haste possui comprimento de 1,0 m e massa desprezível. A distância entre os pontos de conexão dos cordões com a haste é de 1,0 m. O sistema gira em torno do eixo da haste com velocidade angular constante e ficam esticados formando um triângulo eqüilátero com a haste. O módulo da tração no cordão superior vale 30 N. a) Faça um diagrama de todas as forças que atuam sobre a bola; www.profafguimaraes.net 9 b) Calcule a tração no cordão inferior; c) Qual é nesse caso, a força resultante exercida sobre a bola? d) Qual é a velocidade da bola? Resolução: a) b) Observando a figura podemos concluir que: 0 0 1 2 2 2 30 30 15 14,7 0,5 0,6 . T sen P T sen T T N = + = + ⋅ ∴ = Esse resultado foi obtido com o valor de 29,8g m s−= ⋅ . Porém, para efeitos práticos, pode‐se considerar o valor 2 0T = ( 210g m s−= ⋅ ). c) A resultante é uma força centrípeta que vale: ( ) ( ) 0 1 2 30 30 0,6 0,87 26,6 . cp cp cp F T T cos F F N = + ⋅ = + ⋅ ∴ = Ou 26,1cpF N= se considerarmos 2 0T = . d) 2 2 1 3; 0,87 2 1,526,6 4 . 0,87 cp mv lF R m R v v m s− = = = = ∴ ≅ ⋅ P T1 T2 P T1y T1x T2y T2x 300 www.profafguimaraes.net 10 Questão 11 Uma garota está no interior de um elevador que sobe com aceleração a. Ela gira um balde contendo água num círculo vertical de raio R. Calcule o menor módulo da velocidade do balde para que a água não caia do balde na parte superior da circunferência. Resolução: A massa de água, para um referencial dentro do elevador, possui um peso aparente dado por: ( ). R ap F N P ma N mg P N m a g = − = − ∴ = = + Assim, repetindo o cálculo efetuado na questão 8, teremos: ( )v R a g= + . Questão 12 Um cubo muito pequeno, de massa m, é colocado no interior de um funil que gira em torno de um eixo vertical com uma frequência f. A parede do funil forma um ângulo θ com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o funil vale µ e o centro do cubo está situado a uma distância r do eixo de rotação. Determine o valor máximo e o valor mínimo de f para que o cubo permaneça em repouso em relação ao funil. Resolução: Para o cubo não escorregar para cima: N P a r θ r θ P N fate www.profafguimaraes.net 11 Para equilibrar o peso: . Ncos mg Nsen mgN cos sen θ µ θ θ µ θ = + = − Para fornecer a resultante centrípeta: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 . 2 Nsen Ncos m f r N sen cos m f r mg sen cos m f r cos sen g sen cos f r cos sen θ µ θ π θ µ θ π θ µ θ πθ µ θ θ µ θ π θ µ θ + = ⋅ + = ⋅ / ⋅ + = ⋅/− +∴ = − Para o cubo não escorregar para baixo: Para equilibrar o peso: . Ncos Nsen mg mgN cos sen θ µ θ θ µ θ + = = + Para fornecer a resultante centrípeta: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 1 . 2 Nsen Ncos m f r mg sen cos m f r cos sen g sen cos f r cos sen θ µ θ π θ µ θ πθ µ θ θ µ θ π θ µ θ − = ⋅ / − = ⋅/+ −∴ = + r θ P N fate
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