Física1-11

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 1 – Questões 11 
Questão  1  
 
Um disco gira em uma eletrola a 33 RPM. Qual a velocidade linear de um ponto do disco sob a 
agulha (a) no começo e (b) no fim do disco? Nestas duas posições, as distâncias da agulha ao eixo de 
rotação são 15 cm e 7 cm, respectivamente. 
Resolução: 
a) 
15
1
15
1
2 33 0,15
31
0,5 .
v
v m min
m s
π
−
−
= ⋅ ⋅
= ⋅
≅ ⋅
 
 
b) 
7
1
7
1
2 33 0,07
14,5
0,24 .
v
v m min
m s
π
−
−
= ⋅ ⋅
= ⋅
≅ ⋅
 
 
Questão  2  
 
A  hélice  de  um  aeroplano  tem  raio  de  1,3  m  e  gira  a  2500  RPM,  enquanto  o  aeroplano  se 
desloca com uma velocidade de 480 kmڄh‐1 em relação ao solo. Calcule a velocidade de um ponto da 
extremidade da hélice, quando ela for medida (a) pelo piloto e (b) por um observador situado no solo. 
Resolução: 
a) 
1 1 1
2 2 2500 1,3
20410 340 1224 .
v f r v
v m min m s km h
π π
− − −
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
≅ ⋅ = ⋅ = ⋅  
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
2 2 2
1
2
1
1498176 230400
1314,8 .
R R
R
R
V V v V V v
V
V km h−
= + ⇒ = +
= +
∴ ≅ ⋅
? ? ?
 
ۨ v
?
V
? V?
v?
RV
?
• 
 
 
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Questão  3  
 
A  velocidade  angular  de  uma  partícula,  em  radڄs  ‐1,  é  dada  por:  ω  =  kt,  onde  t  é  dado  em 
segundos e k = 2 radڄs  ‐2. No  instante  inicial a partícula está passando pelo eixo Ox (θ=0). Calcule o 
ângulo em que a partícula se encontra no instante t = 1s. 
Resolução: 
2
0
2
2
2 10
2
1 .
kt
rad
θ θ
θ
θ
= +
⋅= +
∴ =
 
 
Questão  4  
 
Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um ângulo θ, dado por: 
 
3 4at bt ctθ= + − , 
 
onde a, b e c são constantes. Qual é a expressão para sua aceleração angular? 
Resolução: 
2 3
2
3 4
6 12 .
d a bt ct
dt
d bt ct
dt
θω
ωα
= = + −
∴ = = −
 
 
Questão  5  
 
Uma roda gira com aceleração angular, α, dada por 
 
3 24 3at btα= − , 
 
onde t é o tempo e a e b são constantes. Se a roda tem uma velocidade angular inicial ω0, escreva as 
equações para (a) a velocidade angular e (b) o ângulo descrito, em função do tempo. 
Resolução: 
a) ω=? 
( )
0 0
3 2
4 3
0
4 3
t t
t t
dt at bt dt
at bt
ω α
ω ω
′ ′= = −
∴ = − +
∫ ∫  
 
b) θ=? 
( )
0 0
4 3
0
5 4
0 05 4
t t
t t
dt at bt dt
at bt t
θ ω ω
θ ω θ
′ ′= = − +
∴ = − + +
∫ ∫
 
 
 
 
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3 
Questão  6  
 
Um  volante  pesado,  girando  em  torno  de  seu  eixo,  perde  velocidade  devido  ao  atrito  nos 
mancais.  Ao  final  do  primeiro minuto,  sua  velocidade  angular  é  de  0,90  de  sua  velocidade  angular 
inicial, ω0. Supondo constantes as forças de atrito, determine a velocidade angular do volante no final 
do segundo minuto. 
Resolução: 
Previamente, determinaremos a aceleração angular do movimento. Assim, teremos: 
 
0
0 0
0
0,9 1
0,1 .
tω ω α
ω ω α
α ω
= +
= + ⋅
=−
 
 
Agora, poderemos determinar a velocidade angular no instante 2 min. Assim, temos: 
 
0 0 00,1 2 0,8 .ω ω ω ω ω= − ⋅ ∴ =  
 
Como era de se espera, afinal, o volante perde 10% de sua velocidade por minuto. 
 
Questão  7  
 
Um disco homogêneo gira  em  torno de um eixo  fixo,  partindo do  repouso  e  acelerando  com 
uma aceleração constante. Num dado instante, ele gira com uma frequência angular de 10 RPS. Após 
executar mais 65 revoluções completas, sua frequência passa para 18 RPS. Determine: (a) a aceleração 
angular, (b) o tempo necessário para completar 65 rotações mencionadas, (c) o tempo necessário para 
atingir a frequência angular de 10 RPS. e (d) o número de rotações no intervalo de tempo que vai do 
repouso até o momento em que o disco atinge a frequência angular de 10 rps. 
Resolução: 
a)  
2 2
0
2
2 , 2
12778 3943,8 2 408,2
10,8 .
f
rad s
ω ω α θ ω π
α
α −
= + ∆ =
= + ⋅
= ⋅
 
 
b) 
0
113,04 62,8 10,8
4,6 .
t
t
t s
ω ω α= +
= +
=
 
 
c) 
62,8 10,8
5,8 .
t t
t s
ω α= ⇒ =
=  
 
d) 
2 210,8 5,8 181,7181,7 º 29 .
2 2 2
t rad n voltasαθ θ π
⋅∆ = ⇒∆ = = ∴ = ≅  
 
 
 
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Questão  8  
 
Um volante  completa  45  rotações  quando  diminui  sua  velocidade  angular  de  2,0  radڄs  ‐1  até 
zero. Supondo uma desaceleração  angular  constante, determine:  (a) o  tempo necessário para que o 
volante  atinja  o  repouso,  (b)  a  aceleração  angular,  (c)  o  tempo  necessário  para  completar  as  30 
rotações finais. 
Resolução: 
a)  
0 , 45 2 282,6
2
282,6 0 2 282,6 .
2
rad
t
t s
t
ω ωθ θ π+∆ = ∆ = ⋅ =∆
+= ⇒∆ =∆
 
 
b)  
3 22 7,08 10 .
282,6
rad s
t
θα − −∆ −= = =− ⋅ ⋅∆  
 
c) O  volante  terá  completado  15  voltas  e  depois  mais  30  até  parar.  Completado  15  voltas,  a 
velocidade angular será dada por: 
 
2 3
1
4 2 7,08 10 94,2, 94,2 2 15
1,6 .rad s
ω π
ω
−
−
= − ⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅
= ⋅  
 
Para completar as 30 voltas finais, o volante terá descrito um ângulo de 188,4 rad. Assim, teremos: 
 
188,4 1,6 235,5 .
2
t s
t
= ∴∆ =∆  
 
Questão  9  
 
Um corpo move‐se no plano xOy, de tal modo que x = Rڄcosωt e y = Rڄsenωt. Nestas equações, x 
e y representam as coordenadas do corpo, t é o tempo e R e ω são constantes. (a) Elimine t entre essas 
equações  para  determinar  a  equação  da  curva  que  o  corpo  descreve.  Qual  é  esta  curva?  Qual  é  o 
significado da constante ω? (b) Derive, em relação ao tempo, as equações para x e y, a fim de obter os 
componentes vx e vy da velocidade do corpo. Combine vx e vy para obter o módulo e a direção de v. 
Descreva o movimento do  corpo.  (c) Derive  vx  e  vy,  em  relação  ao  tempo,  para obter  o módulo  e  a 
direção da aceleração resultante. 
Resolução: 
a)  
2 2 2 2 2 2
2 2 2.
x y R cos t R sen t
x y R
ω ω+ = +
∴ + =  
 
Que é a equação de uma circunferência com centro na origem. 
 
b)  
x y
dx dyv R sen t e v R cos t
dt dt
ω ω ω ω= =− = =  
 
 
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5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )12 2 2
.
x y x yv v v v v v
v R ω
= + ⇒ = +
= ⋅
? ? ?
 
 
 
c) 
2 2yx
x y
dvdv a R cos t e a R sen t
dt dt
ω ω ω ω= =− = =−  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )12 2 2
2.
x y x ya a a a a a
a Rω
= + ⇒ = +
∴ =
? ? ?
 
 
 
 
 
y 
x 
ax 
ay 
ωt 
a 
R 
y 
x 
vx 
vy 
ωt 
v 
R 
 
 
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6 
Questão  10  
 
A roda A, de raio rA = 10 cm, é acoplada por uma 
correia, B, à  roda C, de  raio  rC = 25 cm,  como mostra a 
figura.  A  roda  A  desenvolve,  a  partir  do  repouso,  uma 
velocidade  angular  à  taxa  uniforme  de  π/2  radڄs  ‐1. 
Determine  o  tempo  para  a  roda  C  atingir  a  velocidade 
angular de 100 RPM, supondo que a correia não deslize. 
Resolução: 
 
1
10 25
2
5
A C A A C C
C
C
a a r r
rad s
α α
π α
πα −
= ⇒ =
⋅ = ⋅
= ⋅
 
 
Assim, teremos: 
 
2
5
102
6 5
17 .
Cf t
t
t s
ππ
ππ
⋅ =
/⋅ =/
≅
 
 
Questão  11  
 
Um corpo rígido, partindo do repouso, gira em torno de um eixo  fixo com aceleração angular 
constante, α. Considere uma partícula a uma distância r do eixo. Expresse (a) a aceleração radial e (b) 
a  aceleração  tangencial  desta  partícula  do  corpo  em  termos  α,  r  e  do  tempo  t.  (c)  Se  a  aceleração 
resultante da partícula  em um certo  instante  forma um ângulo de 600  com a  aceleração  tangencial, 
determine o ângulo total descrito pelo corpo até aquele instante.Resolução: 
a)  
2
2 2
,
.
cp
cp
va v R
R
t
a t R
ω
ω α
α
= =
=
=
 
 
 
b)  
ta Rα=  
 
 
c)  
2 2
0 2 360 3 .cp
T
a t Rtan t
a R
α
α α
/ /= ⇒ = ⇒ =//  
rA 
rC 
A 
B
C 
aT 
acp 
a 
600 
Δθ 
 
 
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7 
2
0 2
3 3 .
2 2
tt
rad
αθ ω
αθ θα
∆ = +
∆ = ⋅ ⇒∆ =
 
 
Questão  12  
 
Um  inseto,  cuja  massa  é  de  8,0ڄ10‐2  g,  desloca‐se  radialmente  para  fora,  com  velocidade 
constante de 1,6 cmڄs ‐1, ao longo de uma linha traçada no prato de uma eletrola, que gira à velocidade 
angular constante de 33 1
3
RPM. Determine: (a) a velocidade e (b) a aceleração do inseto em relação a 
um observador na sala, no instante em que o inseto está a 12 cm do eixo de rotação. (c) Qual deve ser 
o coeficiente de atrito mínimo para que o inseto possa se deslocar até a extremidade do prato (raio = 
16 cm) sem deslizar? 
Resolução: 
a)  
1
1
2 3,52
3,52 12 42,2 .
f rad s
v r cm s
ω π
ω
−
−
= = ⋅
= = ⋅ = ⋅  
  
( )
( )
1
2 2 2
1
2
1
1780,8 2,56
42,2 .
R T R Tv v v v v v
v
v cm s−
= + ⇒ = +
= +
≅ ⋅
? ? ?
 
 
b) 
2
2
2 2R
d R dRa u R u R
dt dtθ
ω α ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟= − + + ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠
?  
 
Como, vR = constante ֜ 
2
2 0
d R
dt
=  e ω = constante ֜  0α= . Logo, 
 
( )
( )
2 2
1
2 2 22
2
148,7 11,3
148,7 11,3 149
1,49 .
Ra u cm s u cm s
a cm s
a m s
θ
− −
−
−
= − ⋅ + ⋅ ⋅
= + ≅ ⋅
∴ = ⋅
?
 
 
c) 
1,49 0,15.
9,8
atF f
ma N mg
a
g
µ µ
µ
=
= =/ /
= = =
 
vT 
vR 
v