geometria[1]

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 A palavra “geometria” vem do grego “geometrien” onde “geo” significa terra e “metrien” medida. Geometria foi, em sua origem, a ciência de medição de terras.
 O historiador grego Heródoto (500 a.C.) atribuiu aos egípcios o início da geometria, mas outras civilizações antigas (babilônios, hindus, chineses) também possuíam muitas informações geométricas.
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Ideias Primitivas
A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três ideias primitivas: 
ponto, reta e plano.
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EDIFICAÇÃO RACIONAL DA GEOMETRIA
A Geometria foi organizada de forma dedutiva pelos gregos.
Deduzir ou demonstrar uma verdade é estabelecê-la como consequência de outras
	verdades anteriormente estabelecidas. No entanto, num caminho de retrocesso, chegaremos a um ponto de partida, a uma verdade impossível de se deduzir de outra mais simples.
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NOTAÇÕES
A,B,C, ... pontos
r, s, t, ... retas
AÔB, O ângulo de vértice O ou medida de ângulo
α,β,, planos
 
AB reta determinada pelos pontos A e B
__
AB segmento de extremidades A e B 
 
AB semirreta de origem A contendo B
Δ ABC triângulo de vértices A,B,C
AB ≡ CD segmento AB congruente ao segmento CD
 ̯
M(AB) medida do arco AB
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 O termo axioma é originado da palavra grega αξιωμα (axioma), que significa algo que é considerado ajustado ou adequado, ou que tem um significado evidente. 
Axioma
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Axioma
São afirmações tantas vezes comprovadas na prática, que é muito pouco provável que
	alguém delas duvide. Deverão ser o menor número possível.
Entre os filósofos dos gregos antigos, um axioma era uma reivindicação que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade de prova.
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AXIOMAS X TEOREMAS(Proposições)
Esta é a estrutura da Geometria, desde "Elementos" de Euclides, escrito no século III a.C., onde ele tentou definir os conceitos fundamentais.
Atualmente, a Geometria aceita por normas:
- Enunciar, sem definição, os conceitos fundamentais.
- Admitir, sem demonstração, certas propriedades que relacionam estes conceitos,enunciando os axiomas correspondentes.
- Deduzir logicamente as propriedades restantes.
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GEOMETRIA PLANA
As figuras geométricas elementares, no plano, são os pontos e as retas. 
O plano é constituído de pontos e as retas são subconjuntos de pontos do plano. Pontos e retas do plano satisfazem a cinco grupos de axiomas que serão a seguir estudados.
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AXIOMAS DE INCIDÊNCIA
AXIOMA 1. Qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem à reta e pontos que não pertencem à reta.
AXIOMA 2. Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que contém estes pontos.
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PROPOSIÇÃO 1:
Duas retas distintas ou não se interceptam ou se interceptam em um único ponto.
Prova:
Sejam r e s duas retas distintas. A interseção destas duas retas não pode conter dois ou mais pontos, pois pelo Axioma 2 elas coincidiriam.
Logo, a interseção de r e s é vazia ou contém apenas um ponto.
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Definição 
de segmento de reta e de semirreta
Definição 1: O conjunto constituído por dois pontos A e B e por todos os pontos P tais que A-P-B é chamado de segmento AB. Os pontos A e B são denominados extremos ou extremidades do segmento.
Definição 2: Se A e B são pontos distintos, o conjunto constituído pelos pontos do segmento AB e por todos os pontos P, tais que A-B-P é chamado de semirreta de origem A, que contém o ponto B.
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OS AXIOMAS DE ORDEM
AXIOMA 3: Dados três pontos de uma reta, um e apenas um deles localiza-se entre os outros dois.
AXIOMA 4: Dados os pontos A e B, sempre existem: um ponto C tal que A-C-B e um ponto D tal que A-B-D.
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Definição de semi-plano 
Definição 3: Sejam uma reta r e um ponto A que não pertence a r. O conjunto constituído pelos pontos de r e por todos os ponto B tais que A e B estão em um mesmo lado da reta r é chamado de semi-plano determinado por r que contém A.
Axioma 5: Uma reta r determina dois semiplanos distintos, cuja interseção é a reta r.
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OS AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS
AXIOMA 6: Para cada par de pontos corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se e somente se os pontos são coincidentes. (conceito de distância ou comprimento).
AXIOMA 7:Existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos de uma reta. A diferença entre estes números mede a distância entre os pontos correspondentes.(conceito de coordenada).
AXIOMA 8: Se A-C-B, então AC +CB = AB.
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Ponto Médio
Definição 4: O ponto médio do segmento AB é um ponto C tal que A-C-B e AC = CB.
 C
A
B
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Proposição 2:
Se em AB considerarmos o segmento AC tal que AC < AB , então A-C-B.
Demonstração:
Como A é origem de AB não pode existir a relação B-A-C. Se A-B-C, então pelo Axioma 8, teríamos AB + BC = AC e como consequência AB < AC.Mas esta desigualdade é contrária à hipótese de que AC < AB.Portanto, teremos A-C-B.
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Observações: A noção de distância é uma das noções básicas da Geometria. Ela satisfaz às seguintes propriedades:
1. Para quaisquer dois pontos A e B do plano, temos que AB 0. AB=0 se, e somente se AB.
2. Para quaisquer dois pontos A e B temos que AB = BA.
3. Para quaisquer três pontos do plano A,B e C, tem-se AC AB + BC. A igualdade ocorre se, e somente se A,B e C estão alinhados (colineares) e A-C-B.
Distância
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Polígono
Definição 5: Chamamos de polígono uma figura plana delimitada por uma linha poligonal fechada simples.
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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
Definição 6: Sejam A um ponto do plano e R um número real positivo. Chamamos de circunferência de centro A e raio R o conjunto constituído por todos os pontos B do plano, tais que AB = R. A figura plana delimitada pela circunferência, ou seja, tal que AB  R é chamada de círculo.Todo ponto C tal que AC < R é dito interno à circunferência. Todo ponto D tal que AD > R é externo à circunferência. 
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Definição 7: Chamamos de ângulo a figura formada por duas semirretas com a mesma origem.
Elementos: lados, vértice e abertura (espaço angular)
Notação: AÔB, Ô
Definição 8: Chamamos de ângulo raso o ângulo formado por duas semirretas distintas de uma mesma reta.
Definição 9: Dizemos que uma semirreta divide um semi-plano determinado por uma reta r quando ela estiver contida no semi-plano e sua origem for um ponto da reta que o determina.
ÂNGULO
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OS AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS
AXIOMA 9:Todo ângulo tem uma medida em graus maior ou igual a zero. A medida de um ângulo é zero se e somente se ele é constituído por duas semirretas coincidentes. Todo ângulo raso mede 180º.
AXIOMA 10: É possível colocar, em correspondência biunívoca, os números reais entre zero e 180, e as semirretas de mesma origem que dividem um dado semi-plano, de tal forma que a diferença entre estes números seja a medida do ângulo formado pelas semirretas correspondentes.
AXIOMA 11: Se a semirreta OC divide um ângulo AÔB, então AÔB = AÔC + CÔB.
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Definição 10: Quando AÔC = CÔB dizemos que OC é chamada bissetriz de AÔB.
Definição 11: Dois ângulos são:
Consecutivos:quando possuem o mesmo vértice e têm um lado comum.
Adjacentes: quando são também consecutivos e não têm pontos internos comuns.
Complementares: quando a soma de suas medidas é igual a 90º.
Suplementares: quando a soma de suas medidas é igual a 180º.
Replementares: quando a soma de suas medidas é igual a 360º.
ÂNGULOS
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ÂNGULOS O.P.V.
Definição 12: Quando duas retas distintas se interceptam, formam-se quatro ângulos adjacentes. Ao ângulos AÔB e DÔC são opostos pelo vértice (o.p.v.). Do mesmo modo o são os ângulos AÔD e BÔC.
A
O
B
C
D
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PROPOSIÇÃO 3:
Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
Prova:
Se AÔB e DÔC são ângulos opostos pelo vértice, então têm o mesmo suplemento: AÔD.
Logo, AÔB + AÔD = 180º
 DÔC + AÔD = 180º
Assim AÔB = DÔC
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Definição 13: Um ângulo cuja medida é 90º é chamado de ângulo reto. O de medida maior do que 90º é chamado de obtuso e o de medida menor de agudo.
	 O suplemento de um ângulo reto é também um ângulo reto. Quando duas retas se interceptam, se um dos quatro ângulos formados por elas for reto, então todos os outros também o serão. Neste caso diremos que as retas são perpendiculares ( r  s).
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Teorema 1:
Por qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a esta reta.
a) Existência. Dada uma reta m e um ponto A sobre ela, as duas semirretas determinadas por A formam um ângulo raso.
	Considere um dos semi-planos determinados pela reta m. De acordo com o Axioma 10,entre todas as semirretas com origem A, que dividem o semi-plano fixado, existe uma cuja coordenada será o número 90º. Esta semirreta forma ângulos de 90º com as duas semirretas determinadas pelo ponto A sobre a reta m. Portanto, ela é perpendicular a reta m.
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Teorema 1:
b) Unicidade. Suponha que existam duas retas n e n’ passando por A e perpendiculares a m. Fixe um dos semi-planos determinados por m. As interseções das retas n e n’ com este semi-plano são semirretas que formam um ângulo a e formam outros dois ângulos b e g com as semirretas determinadas pelo ponto A em m.
Como n e n’ são perpendiculares a m, então b = g = 90º. Por outro lado, devemos ter a +b + g = 180º. Logo, a = 0º e as retas n e n’ coincidem.
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Ilustração do Teorema 1
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CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Definição 14: Os segmentos AB e CD são congruentes quando AB=CD. Os ângulos  e Ê são congruentes quando têm a mesma medida.
Definição 15: Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que os lados e ângulos correspondentes sejam congruentes.
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CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
AXIOMA 12: Se AB = DE , Â = ^D e AC = DF , então Δ ABC = Δ DEF.
Este axioma é conhecido como o primeiro caso de congruência de triângulos:
Lado-Ângulo-Lado (LAL).
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Teorema 2:
Se Â=D, AB=DE e B=E, então  ABC =  DEF. 
Este é o segundo caso de congruência de triângulos: ângulo-lado-ângulo (ALA).
Considere G um ponto da semirreta AC tal que AG = DF .
Comparando os triângulos ABG e DEF temos que, pelo Axioma 12 , 
 ABG =  DEF (AB = DE,Aˆ = Dˆ ,AG = DF ).
Como consequência, temos que ABˆG = Eˆ . Por hipótese, Eˆ = ABˆC, logo ABˆG = ABˆC e, portanto, as semirretas BG e BC coincidem.
Então G  C e, portanto, coincidem os triângulos ABC e  ABG. Como já provamos que  ABG =  DEF então  ABC =  DEF.
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Definição 16: Um triângulo é isósceles quando tem dois lados congruentes. Estes lados são denominados laterais e o terceiro lado base.
PROPOSIÇÃO 4: Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são iguais.
Seja ABC um triângulo isósceles de base BC . Logo AB = AC .
Queremos provar que ˆB = ˆC . Vamos comparar o triângulo ABC com ele mesmo,fazendo corresponder os vértices da seguinte maneira: A  A, B  C e C  B.
Pela hipótese temos que AB = AC e AC = AB . Como  = Â, pelo Axioma 12 temos uma correspondência que define  ABC =  ACB. Portanto, lados e ângulos correspondentes são
congruentes, ou seja, ˆB = ˆC .
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Proposição 5: Se num triângulo os ângulos da base são iguais, então o triângulo é isósceles.
Seja ABC um triângulo tal que ˆB = ˆ C . Vamos provar que ele é isósceles, ou seja, que AB = AC .
Vamos comparar o triângulo ABC com ele mesmo, fazendo corresponder os vértices como na prova da proposição anterior, isto é, A  A, B  C e C  B.
Como ˆB = ˆ C e Cˆ = Bˆ , por hipótese, e BC = CB esta correspondência define uma congruência pelo caso ALA. Logo, lados e ângulos correspondentes são congruentes, ou seja, AB = AC e o triângulo é isósceles. 
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Mediana, bissetriz e altura
Definição 17: Sejam ABC um triângulo e D um ponto da reta que contém os vértices B e C. Se D for o ponto médio de BC , o segmento AD chama-se mediana do triângulo relativamente ao lado BC. O segmento AD chama-se bissetriz do ângulo  se AD separa o ângulo CÂB em dois ângulos iguais, isto é, se CÂD = DÂB. O segmento AD chama-se altura do triângulo relativamente ao lado BC se a reta que contém AD for perpendicular à reta que contém BC .
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Proposição 6:Em um triângulo isósceles a mediana relativa à base é também bissetriz e altura.
Considere  ABC um triângulo isósceles de base BC e mediana relativa à base AD. Devemos provar que BÂD = DÂC (bissetriz) e que BDˆ A = 90º (altura).
Como BD = DC (pois AD é a mediana relativa ao lado BC ), AB AC = (pois o triângulo é isósceles de base BC ) e ˆ ˆB = C (de acordo com a proposição anterior), então  ABD =  ACD pelo critério LAL.
Logo, lados e ângulos correspondentes são congruentes, ou seja, BÂD = DÂC e BDˆ A = ADˆ C. A primeira igualdade nos diz que AD é bissetriz de ângulo BÂC.
Como BDˆ C é ângulo raso e BDˆ A+ADˆ C = BDˆ C = 180º . Como BDˆ A = ADˆ C então concluímos que BDˆ A = ADˆ C = 90º . Portanto AD é perpendicular a BC , ou seja, é a altura do triângulo ABC em relação à sua base.
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Teorema 3:
Se dois triângulos têm três lados correspondentes congruentes então os triângulos são congruentes.
Este é o terceiro caso de congruência de triângulos: Lado-Lado-Lado (LLL).
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Demonstração do Teorema 3
Sejam ABC e DEF dois triângulos tais que AB = DE , BC = EF , AC = DF . Vamos provar que DABC = DDEF.
Construa a partir da semirreta BC e no semi-plano oposto ao que contém o ponto A, um ângulo igual a ˆF . No lado deste ângulo que não contém o ponto B, marque G tal que CG = DF e ligue B a G.
Como BC = EF (hipótese), CG = DF (construção) e BCˆG = Fˆ (construção), então DGBC = DDEF por LAL. Logo lados e ângulos correspondentes são congruentes. Deste modo, GB = ED, mas ED = AB pela hipótese. Portanto, GB = AB .
Agora vamos mostrar que DGBC = DABC. Trace AG. Como AC = GC = DF e
AB = BG = DE então DAGC e DAGB são isósceles de base AG. Portanto BGˆ A = BAˆ G e
AGˆ C = GAˆ C , e concluímos que BGˆ C = BAˆ C. Pelo primeiro caso de congruência de triângulos podemos concluir que DGBC = DABC. Como já tínhamos provado que DGBC = DDEF, concluímos que DABC = DEFG.
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O AXIOMA DAS PARALELAS
Formulação de Playfair
AXIOMA 13:
		Por um ponto fora de uma reta m passa uma única reta paralela a reta m. (Unicidade)