Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Curso: Mestrado Profissional em Matema´tica Professora: Andre´ia Borges Avelar da Silva . Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear Prova 2 2o /2017 03/10/2017 Nome: Matr´ıcula: Resultado obtido: Instruc¸o˜es - leia atentamente: • A prova tera´ durac¸a˜o ma´xima de treˆs horas. • Mantenha o celular desligado. • Verifique a sua prova para erros de impressa˜o: ela deve ter 3 pa´ginas (em frente e verso) e 6 questo˜es. Caso note algum erro, comunique a` professora imediatamente. • Deixe sobre a carteira somente caneta, la´pis, borracha. • E´ proibido emprestar material ao colega durante a prova. • Recomenda-se que voceˆ entregue suas soluc¸o˜es escritas a` caneta, preferencialmente azul ou preta. Soluc¸o˜es escritas a` la´pis sera˜o consideradas para correc¸a˜o, pore´m na˜o sera˜o pass´ıveis de revisa˜o. • Leia atentamente cada questa˜o antes de respondeˆ-la. Verifique , revise e confira cuidado- samente suas respostas. Observac¸a˜o: • Justifique cuidadosamente todas as suas respostas de forma completa, ordenada, coerente e leg´ıvel. ooo justificar: Legitimar. Dar raza˜o a. Provar a boa raza˜o do seu procedimento. ooo cuidado: Atenc¸a˜o, cautela, desvelo, zelo. ooo cuidadoso: Quem tem ou denota cuidado. fonte: mini-Aure´lio 1a Questa˜o [1 pontos]: Verdadeiro ou falso: (a) ( ) Para quaisquer matrizes quadradas A e B tais que AB = BA = 0, enta˜o ou A = 0 ou B = 0. (b) ( ) Se detA = 0 enta˜o os vetores coluna da matriz A formam um conjunto LD. (c) ( ) Se A e´ uma matriz 3× 3 tal que detA = 2 enta˜o det(3A) = 6. (d) ( ) Se A = [aij ] e´ uma matriz de tamanho 6× 6 cujo termo geral e´ dado por aij = { sin(i · (pi/2)) se i ≤ j cos(j · pi + pi/2) se i > j , enta˜o detA = 0. (e) ( ) Dois vetores sa˜o LD se e somente se forem mu´ltiplos. (f) ( ) Quaisquer treˆs vetores u, v e w na˜o colineares entre si (isto e´ u e v na˜o sa˜o mu´ltiplos, u e w na˜o sa˜o mu´ltiplos e v e w na˜o sa˜o mu´ltiplos) sa˜o LI. (g) ( ) Qualquer conjunto contendo o vetor nulo e´ LD. (h) ( ) Na˜o existem vetores u e v tais que ‖u‖ = 2, ‖v‖ = 3 e u · v = −7. (i) ( ) Se u e v sa˜o vetores na˜o nulos de R3 o espac¸o gerado por u e v, G(u, v), e´ um plano em R3 passando pela origem. (j) ( ) Todo conjunto LI e´ uma base de algum espac¸o vetorial. 2a Questa˜o [1 pontos]: Sejam u, v e d vetores de Rn. Considere as seguintes afirmac¸o˜es a respeito de u, v e d e decida se sa˜o verdadeiras ou falsas. (a) ( ) Se u+ d = v + d enta˜o u = v. (b) ( ) Se u · d = v · d enta˜o u = v. (c) ( ) Projd(Projd(u)) = Projd(u). (d) ( ) (u− Projd(u)) · Projd(u) = 0. (e) ( ) O produto vetorial u× v sempre sera´ um vetor na˜o nulo ortogonal a u e v. 3a Questa˜o [2 pontos]: Considere a matriz A = 3 2 0 −1 1 −5 5 3 1 . (a) Encontre bases para Lin(A), Col(A), e Anul(A). (b) Mostre que dim(Col(A)) + dim(Anul(A)) = 3. (b) Descreva cada um dos espac¸os encontrados no item anterior. 4a Questa˜o [2 pontos]: Considere as retas r1 e r2 em R3 de equac¸o˜es vetoriais r1 : (0, 2, 0)+t(1, 1, 1) e r2 : (0, 0, 1) + t(2, 2, 2). (a) As retas r1 e r2 se intersectam ou na˜o? Justifique. (b) Fornec¸a a equac¸a˜o geral do plano que conte´m ambas as retas r1 e r2. 5a Questa˜o [2 pontos]: Mostre que o conjunto 1 1 0 , 0 1 1 (a) e´ LI. (b) na˜o gera R3. 6a Questa˜o [2 pontos]: Considere a seguinte afirmac¸a˜o: Dada uma matriz invert´ıvel A, o sistema linerar Ax = b tem somente a soluc¸a˜o trivial (A) m o sistema linear A−1x = 0 tem somente a soluc¸a˜o trivial (B) (a) Mostre que a “ida”, ou seja (A)⇒ (B), e´ va´lida. (b) Deˆ um exemplo mostrando que a “volta”, ou seja (A)⇐ (B), na˜o e´ va´lida.
Compartilhar