1º período - Lógica - Base 3 - Lógica Digital

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1.0 Lógica Digital
A Álgebra de Boole é um sistema matemático de análise lógica desenvolvido por
George Boole no Século XIX. Nela as variáveis só podem assumir dois valores
([V,F]; [Low,High], [0, 1]), na eletrônica digital, adota-se [0,1]. Assim, como o
número de valores que cada variável pode assumir é finito (e pequeno), o número
de estados que uma função Booleana pode assumir também será finito, o que
significa que podemos descrever completamente as funções Booleanas utilizando
tabelas (Güntzel, 2001), conhecidas como tabela verdade.
2.0 Funções Lógicas
Nas funções lógicas há apenas dois estados: 0 e 1. O estado zero pode
representar, por exemplo, ausência de energia, luz desligada, não, etc. O estado 1
pode representar, por exemplo, presença de energia, luz acessa, sim, etc. Se
representamos por 0 uma situação, representamos por 1 a situação contrária.
2.1 Função E/And
A função E ou And executa a multiplicação lógica (não a algébrica) de duas ou
mais variáveis e é representada por:
 S = A.B (lê-se A e B)
A operação E resulta em 0, se, pelo menos, uma das variáveis de entrada vale 0.
Sendo assim, a saída da função assumirá o valor 1, somente quando todas as
entradas forem 1.
Na Tabela 2.1 é apresentada a tabela verdade da função E. Nela são apresentadas
todas as possíveis situações de entrada com suas respetivas saídas.
1
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tabela 2.1: Tabela verdade da função “E”
2.1.1 A porta E
A porta E é um circuito que executa a função “E” e é representada da seguinte
forma:
Figura 2.1: Porta E (Güntzel, 2001)
Apesar de a função ter sido definida em termos de duas variáveis, o conceito pode
ser estendido para qualquer número de variáveis de entrada (maior ou igual a
dois). Na figura 2.1(b), a porta “E” tem três entradas e só apresentará o valor 1 na
saída, quando todas elas forem iguais a 1.
2.2 Função OU/OR
É conhecida também como adição lógica. Assume valor 1 quando uma ou mais
variáveis de entrada forem iguais a 1 e, valor 0, se, e somente se, todas as
variáveis de entrada forem iguais a zero (Idoeta, 1986). É representada por:
 S = A + B (lê-se, A ou B)
A Tabela 2.2 apresenta a tabela verdade com o comportamento da função OU
para todos as possíveis situações com duas entradas.
2
A B A + B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Tabela 2.2: Tabela verdade da função “OU”
2.2.1 Porta OU
É o circuito que executa a função “Ou” e é representada da seguinte forma:
Figura 2.2: Porta “Ou” (Güntzel, 2001)
Assim como na função “E”, a função “OU” aceita qualquer número de entradas
(maior ou igual a dois) e retornará valor 0, quando todas as entradas forem iguais
a 0 e 1, caso contrário.
2.3 Função NÃO/NOT
A função NOT é conhecida também como função complemento e inverte o estado
de uma variável. Representada por:
S = Ā ou S= A' (lê-se nãoA)
Assim se A = 0 A' = 1 e se A= 1 A'=0.
A Tabela 2.3 apresenta a tabela verdade da função NÃO para todas as entradas
possíveis.
3
A A'
0 1
1 0
Tabela 2.3: Tabela verdade da função NÃO
2.3.1 Porta NOT
Conhecida como inversor, é o circuito que executa a função “NOT” e pode ser
representado de três formas, apresentadas a seguir:
Figura 2.3: Três representações possíveis para o Inversor. (Güntzel, 2001)
Ao contrário das anteriores, a função NOT aceita apenas uma entrada.
2.4 Porta NAND
É o circuito que executa a função NAND (NOT AND), ou seja:
S = (A.B)'
A Tabela 2.4 apresenta o comportamento da função NAND para duas variáveis:
A B (A.B)'
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Tabela 2.4: Tabela verdade da função NAND
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A porta NAND é representada da seguinte forma:
Figura 2.4: Porta NAND
2.5 Porta NOR
É o circuito que executa a função NOR (NOT OR), ou seja:
S = (A+B)'
A Tabela 2.5 apresenta o comportamento da função NOR para duas variáveis:
A B (A+B)'
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Tabela 2.5: Tabela verdade da função NOR
A porta NOR é representada da seguinte forma:
Figura 2.5: Porta NOR
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3.0 Expressões Lógicas geradas por Circuitos Lógicos
É possível obter a expressão lógica associada a qualquer circuito. Para isso, temos
que determinar as entradas e saídas de cada porta presente no mesmo.
Exemplo 1: Para extraímos a expressão do circuito da Figura 3.1, devemos
encontrar o valor de S, que é a saída de uma porta NOR.
A porta NOR tem como entrada S1 e S2. S1 é a saída da porta AND e é
representada pela expressão S1 = A.B.C. Já S2 é a saída de uma porta NOR e é
representada por S2 = (B.C’)’. Assim, S = (S1+ S2)’. Substituindo pelas expressões
encontradas, temos S = ((A.B.C) + (B.C’)’)’
Figura 3.1: Circuito do Exemplo 1
Exemplo 2: A saída S da Figura 3.2 é dada por S = S1.S2.S3. Temos que 
S1 = A’+B’+C’; S2 = A + B’ + C’ e S3 = (A + B + C)’ .Assim
 S = (A’+B’+C’) . (A + B’ + C’) . (A + B + C)’
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Figura 3.2: Circuito do Exemplo 2
4.0 Circuitos Lógicos a partir de Expressões Lógicas
A partir de qualquer expressão lógica é possível obter o circuito associado. 
É importante conhecer a precedência dos operadores para a montagem do
circuito, que é: Negação; Multiplicação Lógica e Soma Lógica, podendo essa ser
alterada com a utilização de parêntesis. Assim na expressão S = A.B + C, primeiro
resolveremos o “E” e então, o “OU”. O circuito para essa expressão é apresentado
a seguir:
Figura 4.1: Circuito lógico da expressão S = A.B + C
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Exemplo 1: Encontre o circuito lógico para a expressão S = (A'+B+C)'.B'. Para
montar.
Para montar o circuito associado a S, primeiro devemos resolver os parêntesis,
que é a negação de um “OU”. Assim: (A' + B + C)' é expresso da seguinte forma:
Figura 4.2: Circuito da expressão (A' + B + C)'
A saída dessa porta, junto da entrada B' serão a entrada da porta “E”. Assim:
Figura 4.3: Circuito da expressão (A' + B + C)'. B'
5.0 Construção da Tabelas da Verdade a partir de Expressões Lógicas
Para a construção da tabela verdade de uma expressão, as seguintes regras
devem ser seguidas (Ideota, 1986)
• Montar o quadro de possibilidades. O número de linhas será igual 2n, onde
n é o número de variáveis distintas.
• Montar as colunas para os vários membros da expressão.
• Preencher as colunas com seus resultados
• Criar uma coluna para expressão final.
• Preencher a coluna final
Assim como na montagem dos circuitos, a criação da tabela verdade deve
respeitar a ordem de precedência.
8
Exemplo 1: Construir a tabela verdade para a seguinte expressão:
 S = A + B.C + (A'.B)'
A tabela terá 8 linhas, pois temos 3 variáveis: A, B e C. Devemos resolver B.C e
(A'.B)' para então obter o valor final de S. Em verde está o quadro de
possibilidades e em amarelo, o resultado final.
A B C B.C A' A'.B (A'.B)' A + B.C +
(A'.B)'
0 0 0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 0 1
1 0 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1
Tabela 5.1: Tabela verdade da expressão S = A + B.C + (A'.B)'
6.0 Circuitos Combinacionais
Um circuito combinacional é aquele em que a saída depende única e
exclusivamente das várias combinações entre as variáveis de entradas. (Idoeta,
1986)
6.1 Circuito Ou Exclusivo
O circuito Ou Exclusivo gera saída 1 quando suas variáveis de entrada são
diferentes entre si e 0, caso contrário. A Tabela 6.1 apresenta a tabela verdade
para esse circuito.
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Tabela 6.1: Tabela verdade do Ou Exclusivo
9
A expressão da função Ou Exclusivo é S = A'.B + A.B' e está associada ao circuito
da Figura 6.1
Figura 6.1: Circuito da Função Ou Exclusivo
6.1.1 Ou Exclusivo como Porta Lógica
A função Ou Exclusivo também pode ser representada da seguinte forma:
S = A⊕B (lê-se A ou exclusivo B).
Assim S = A⊕B = A'.B + A.B'A representação da Porta Lógica é dada por:
Figura 6.2: Porta Lógica Ou Exclusivo
6.2 Circuito Coincidência
O circuito coincidência gera saída 1 quando suas variáveis de entrada são iguais e
0, caso contrário. A Tabela 6.2 apresenta a tabela verdade para esse circuito.
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A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tabela 6.2: Tabela verdade do Circuito Coincidência
A expressão da função Ou Exclusivo é S = A.B + A'.B' e está associada ao circuito
da Figura 6.3
Figura 6.3: Circuito da Função Coincidência.
6.2.1 Coincidência como Porta Lógica
A função Coincidência também pode ser representada da seguinte forma:
S = A⊙B (lê-se A coincidência B).
Assim S = A⊙B = A.B + A'.B'
A representação da Porta Lógica é dada por:
Figura 6.5: Porta Lógica Coincidência.
Ao compararmos as funções Ou Exclusivo e Coincidência, conforme Tabela 6.3, 
verificamos que uma é a inversão da outra. Assim: A⊙B = (A⊕B)'.
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A B A⊕B A⊙B 
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
Tabela 6.3: Comparação entre as funções Ou Exclusivo e Coincidência.
 
7.0 Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos Lógicos
Simplificar um circuito implica na construção de um novo circuito com um
número de menor de portas lógicas, mas que ainda exibe o mesmo
comportamento do circuito original para qualquer combinação de entradas
possível.
Para alcançar a simplificação de um circuito, é necessário o conhecimento sobre a
Álgebra de Boole. A seguir serão apresentados algumas propriedades, postulados
teoremas e identidades importantes para a simplificação de circuitos.
• Postulados:
• Postulado da Complementação:
A'' = A
• Postulado da Adição:
• A + 0 = A
• A + 1 = 1
• A + A = A
• A + A' = 0
• Postulado da Multiplicação
• A . 1 = A
• A . 0 = 0
• A . A = A
• A . A' = 0
• Propriedades:
• Comutativa
A + B = B + A
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A . B = B . A
• Associativa na Multiplicação
A.(B .C) = (A.B).C = A.B.C
• Associativa na Adição
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
• Distributiva
A.(B + C) = A.B + A.C
• Teoremas de De Morgan:
• O complemento do produto é igual a soma dos complementos.
(A.B)' = A' + B'
• O complemento da soma é igual ao produto dos complementos.
(A + B)' = A'.B'
• Identidades Auxiliares
• A + AB = A
• A + A'B = A + B
• (A + B)(A + C) = A + BC
7.1 Simplificação de expressões Lógicas
A partir dos conceitos da Álgebra de Boole, podemos simplificar as expressões
associadas aos circuitos.
Exemplo 1: Seja a expressão S = ABC + AC' + AB'. Aplicando os conceitos, temos:
S = ABC + AC' + AB', aplicando a distributiva
S = A(BC + C' + B'), aplicando a identidade auxiliar
S = A(B + C' + B'), comutativa
S = A(C' + B + B') postulado da soma
S = A(C' + 1) postulado da soma
S = A.1 postulado da multiplicação
S = A
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8. Mapas de Karnaugh
Também conhecidos como Diagramas de Veitch-Karnaugh, permitem a
simplificação de expressões com 2 ou mais variáveis. Para cada quantidade de
variáveis, existe um mapa de Karnaugh apropriado.
8.1 Duas Variáveis
B' B
A'
A
No mapa, temos a área onde A = 1
B' B
A'
A
Área onde B =1
B' B
A'
A
Área onde A = 0 (A' =1)
B' B
A'
A
Área onde B = 0 (B' =1)
B' B
A'
A
Dadas todas as possibilidades de combinação de duas variáveis, temos:
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A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Tabela 8.1: Combinações possíves para duas variáveis.
Essas possibilidades, seriam distribuídas no mapa da seguinte maneira:
B' B
A' Caso 0
A'B'
0 0
Caso 1
A'B
0 1
A Caso 2
AB'
1 0
Caso 3
AB
1 1
Percebe-se, então que cada linha da tabela verdade apresenta uma região
correspondente no mapa da Karnaugh.
8.1.2 Simplificando Expressões com o Mapa de Karnaugh
Exemplo 1: Seja a expressão S = A'B + AB' + AB. 
Devemos colocar 1 nas regiões relativas a cada termo da expressão e 0, nas
demais. Assim:
B' B
A' 0 1
A 1 1
Para simplificar expressões com duas variáveis por meio do Mapa de Karnaugh, os
seguintes passos devem ser executados:
• Unir os blocos de 1' vizinhos (que tem um lado em comum) no menor
número de pares.
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• Escrever a expressão de cada par, ou seja, a região que o par ocupa no
diagrama.
• Escrever a expressão das regiões isoladas, ou seja, aquelas que possuem o
valor 1 e não fazem parte de nenhum par. 
Para o exemplo dado, temos dois pares e não há região isolada:
Par 1, na região onde A = 1
B' B
A' 0 1
A 1 1
Par 2, na região onde B = 1
B' B
A' 0 1
A 1 1
A expressão simplificada é, então S = A + B.
Exemplo 2: S = A'B + AB'
B' B
A' 0 1
A 1 0
Observando o mapa, verificamos que não é possível agrupar os 1, pois não são
vizinhos. Assim, as duas regiões são isoladas e a expressão não admite
simplificação.
8.2 Três Variáveis
O mapa utilizado para três variáveis é o seguinte:
B' B
A'
A
C' C C'
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Área onde A = 1
B' B
A'
A
C' C C'
Área onde A = 0 (A'=1)
B' B
A'
A
C' C C'
Área onde B = 1
B' B
A'
A
C' C C'
Área onde B = 0 (B'=1)
B' B
A'
A
C' C C'
Área onde C = 1
B' B
A'
A
C' C C'
Área onde C = 0 (C' =1)
B' B
A'
A
C' C C'
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Com três variáveis, temos 8 possibilidades de combinar as variáveis, conforme 
tabela abaixo:
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Tabela 8.2: Possíveis combinações para três variáveis.
No mapa, temos:
B' B
A' Caso 0
A'B'C'
0 0 0
Caso 1
A'B'C
0 0 1
Caso 3
A'BC
0 1 1
Caso 2
A'BC'
0 1 0
A Caso 4
AB'C'
1 0 0
Caso 5
AB'C
1 0 1
Caso 7
ABC
1 1 1
Caso 6
ABC'
1 1 0
C' C C'
Para simplificar uma expressão com três variáveis, os seguintes passos devem ser
executados:
• Encontrar o agrupamento de 4 regiões iguais a 1, vizinhas ou em
sequência.
• Escrever a expressão de cada quadra.
• Localizar os pares possíveis sem considerar aqueles já pertencentes a uma
quadra.
• Escrever a expressão de cada par.
• Escrever a expressão das regiões isoladas, ou seja, aquelas que possuem o
valor 1 e não fazem parte de nenhum par ou quadra.
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Exemplo 3: Simplificar a expressão S = A'B'C' + A'BC' + AB'C' + A'BC + ABC'
Preenchendo o mapa, temos:
B' B
A' 1 0 1 1
A 1 0 0 1
C' C C'
Identificando as quadras possíveis, temos:
B' B
A' 1 0 1 1
A 1 0 0 1
C' C C'
Que representa a região C'
Depois encontramos os pares. Sendo que, pelo menos, um elemento não pode
pertence a uma quadra. No exemplo:
B' B
A' 1 0 1 1
A 1 0 0 1
C' C C'
Essa região é representada por A'B. Note que esse par não depende de C, pois
está localizando tanto em C como em C'.
Como não há variáveis isoladas, o processo terminou e a expressão final
simplificada é S = A'B + C'.
Exemplo 4: S = A'B'C +A'BC + AB'C' + AB'C + ABC'.
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Representando no mapa:
B' B
A' 0 1 1 0
A 1 1 0 1
C' C C'
Não é possível encontrar quadras no mapa. Assim, buscaremos os pares:
Encontramos três pares: A'C + AB' + AC'
B' B
A' 0 1 1 0
A 1 1 0 1
C' C C'
A expressão simplificada é: S = A + B'C + BC'.
8.3 Quatro Variáveis
O mapa para 4 variáveis é apresentado a seguir:
C' C
A'
B'
B
A B'
D' D D'
Região A = 1
C' C
A'
B'
B
A B'
D' D D'
20
Região A'=1
C' C
A'
B'
B
A B'
D' D D'
Região B=1
C' C
A'
B'
B
A B'
D' D D'
Região B'=1
C' C
A'
B'
B
A B'
D' D D'
Região C=1
C' C
A'
B'
B
A B'
D' D D'
21
Região C' =1
C' C
A'
B'
B
A B'
D' D D'
Região D = 1
C' C
A'
B'
B
A B'
D' D D'
Região D'=1
C' C
A'
B'
B
A B'
D' D D'
Para simplificar uma expressão com 4 variáveis, os seguintes passos devem ser 
executados:
• Devemos encontrar 8, quadras e pares.
• Representamos cada uma delas.
• Por fim, representamos as regiões isoladas.
• É importante ressaltar quelados extremos opostos de comunicam.
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8.4 Cinco Variáveis
A'
D' D
B'
C'
C
B C'
E' E E'
A
D' D
B'
C'
C
B C'
E' E E'
O processo de simplificação é análogo aos demais, porém devemos encontrar 
primeiro as hexas (regiões com 16 uns), oitavas, quadras e pares.
9.0 Referências Bibliográficas:
Idoeta, F. V, Capuano, F. G. Elementos de Eletrônica Digital. 22ª Edição, Editora 
Érica, 1986.
Güntzel, J. L. Nascimento, F. A. Introdução aos Sistemas Digitais, 2001. 
Disponível em 
https://www.inf.ufes.br/~zegonc/material/Introducao_a_Computacao/isd2.pdf. 
Acesso em 09/11/16.
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