Lista 2 - Integrais de Linha e Teorema de Green

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Questões de Integrais de Linha e Teorema de Green
1. Calcule a massa de um pedaço de arame cuja forma é descrita pela curva
�!
 (t) =
D
6t2; 4
p
2t3; 3t4
E
; 0 � t � 1:
e a densidade é �(x; y; z) = 6 + jxj : Resp.: 84:
2. Calcule o comprimento da curva
�!
 (t) =
�
t2
2
; t3;
p
2t2
�
; 0 � t � 1:
Resp.: 2
p
2� 1:
3. Considere o campo vetorial
�!
F = hy;�x; ezi e a curva C; interseção do parabolóide z =
4� x2 � y2 com o plano z = 4� x: Calcule a integralZ
C
�!
F � d�!r :
Resp.: ��
2
:
4. Calcule a integral Z
C
(ey � xex � x5ex)dx+ (x+ y5)eydy
em que C é a parte da cuva y = x200 que liga o ponto (0; 0) ao ponto (1; 1) : Resp.: e� 1:
5. Calcule a integral Z
C
(1 + ln x+ ey)dx+ (xey + sen3(y))dy
em que C é segmento de reta que liga o ponto (1; 0) ao ponto (e; �) : Resp.: e+ e�+1 + 1
3
:
6. Calcule o trabalho realizado pelo campo
�!
F (x; y) = x(x2 + y2)
�!
i + y(x2 + y2)
�!
j para mover
uma partícula ao longo da curva dada por
9x2 + 4y2 = 36; x � 0;
do ponto (2; 0) até o ponto (0; 3) : Resp.:
65
4
:
,
7. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
�!
F (x; y) = �3y5�!i + 5y2x3�!j
para mover uma partícula ao longo da circunferência
x2 + y2 = 4;
partindo do ponto (2; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez. Resp.: 160�:
8. Calcule a integral Z
C
(xex
2
+ 2xy)dx+ (x2 + cos�y)dy
em que C é a parte da parábola y = x2 de (�1; 1) até (1; 1) : Resp.: 0:
9. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
�!
F (x; y) =
�
x4 � 3y4��!i + y(1 + 4x3)�!j
para mover uma partícula ao longo do quarto de círculo
x2 + y2 = 1 com x � 0 e y � 0;
do ponto (1; 0) até o ponto (0; 1) : Resp.:
27
10
:
10. Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo
�!
F (x; y) = � 3y
5
x2 + y2
�!
i +
5y2x3
x2 + y2
�!
j :
para mover uma partícula ao longo da circunferência
x2 + y2 = 1;
partindo do ponto (1; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-horário).
Resp.: 5
2
�: