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APOSTILA 2014 SEM 2 FIS III ETAPA 1

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MOVIMENTO PERIÓDICO – OSCILAÇÕES - 2014 sem 2
BIBLIOGRAFIA PARA AS ETAPAS 1 e 2:
HALLIDAY e outros – Fundamentos da Física; vol 2 – cap. 14; 16; 17
SERWAY, Raymond e outros. Princípios de Física, vol. 2. cap. 12; 13; 14 Ed. THOMSON
TREFIL James e Hazen Robert M. Física Viva – vol. 2, cap. 14; 15; 19. Ed. LTC
CUTNELL & JOHNSON – Física – vol. I – cap. 10; 16; 17. Ed. LTC
KNIGTH Randal. D.– Física - Uma abordagem estratégica. vol I – Ed. BOOKMAN
NOTAS DE AULA
Este material tem por objetivo auxiliá-lo nas anotações do conteúdo ministrado em sala de aula e não substitui o livro didático
Movimento Harmônico:
Movimento periódico que acontece devido a uma força restauradora
Sempre associado a uma força restauradora
⇒O corpo oscila em torno de uma posição de equilíbrio; as oscilações ocorrem porque existe uma força restauradora que obriga o sistema a voltar à posição de equilíbrio.
O movimento pode ser descrito matematicamente através de funções senoidais (seno ou cosseno)
Forças Restauradoras:
Forças que tendem a restaurar o equilíbrio do sistema
Ex: Sistema massa-mola, pêndulo simples
Atuam sempre em sentido contrário ao deslocamento.
Não são constantes no tempo
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Pode-se ignorar o atrito;
O corpo que oscila fica submetido a uma força restauradora;
O deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio tem módulo constante (a amplitude é constante)
Oscilador Harmônico Simples
Sistema que realiza um MHS
PRINCIPAIS PARÂMETROS DO MOVIMENTO HARMÔNICO
Amplitude ( A; Xm; YM)
módulo máximo do vetor deslocamento, sempre medido a partir da posição de equilíbrio
A ou Xm ⇒ deslocamento máximo (em relação ao ponto de equilíbrio)
unidade SI: metro (m)
Período ( T )
Tempo correspondente a um ciclo (percurso de ida e volta)
unidade SI: segundo
Frequência ( f )
número de ciclos (oscilações) na unidade de tempo
unidade SI: hertz (Hz) 
1 Hz (1 ciclo / segundo) → s-1 = 1/s
Frequência Angular ( w)
taxa de variação de uma grandeza angular
indica quão rápido o sistema oscila
unidade SI: rad/s→ s-1 = 1/s
REPRESENTACAO MATEMATICA DO MHS – Cinemática do MHS
Deslocamento de um corpo que executa um MHS
Equação que representa o MHS
	
ou
	xm= A = deslocamento máximo = amplitude de deslocamento
w = constante = frequência angular = 2 π f = 2 π / T
t = tempo
(wt + φ) = fase (sempre em rad!)
φ = fase inicial ou constante de fase (sempre em rad!)
Uma análise da equação permite concluir que
o corpo estará sempre entre as posições – xm e + xm
o deslocamento será máximo sempre que cos (wt + φ) = +1 ou –1
	Demonstrando a formula w =2 π /T
X(t) = X(t + T) A função se repete a cada T porque T = tempo necessário para 1 ciclo completo
Como
X(t) = Xm cos (w t + φ)
Então 
X(t+ T) = cos [w(t + T) + φ]
Logo
Xm cos (w t + φ) = Xm cos [w(t + T) + φ]
Xm cos (w t + φ) = Xm cos (wt +wT + φ)
Como a função cosseno se repete a cada 2π
X(t) = cos (wt + φ) = cos (wt + φ + 2π) = Xm cos (wt +wT + φ)
Se cos (α) = cos ( β) → α = β 
Pode-se tomar
(wt + φ + 2π) = (wt +wT + φ) 
2π = wT 
⇒w =2 π /T
c.q.d.
Exercício1: 
Um corpo oscila em MHS de acordo com a equação:
X(t) = (6,0m) cos [(3π rad/s) t + (π / 3) rad ]
Determine:
a) a amplitude, a frequência e o período
b) a fase inicial
c) a posição inicial
e) o deslocamento em t = 1,5 s
f) Construa o gráfico posição x tempo
Solução: gráfico
Exercício 2: (Halliday)
Um sistema massa-mola oscilante leva 0,75 s para começar a repetir seu movimento. Sabe-se que o deslocamento máximo é 0,4 m e que no instante inicial (t = 0) a elongação da mola é nula. Supondo que no instante inicial o corpo se movia no sentido de comprimir a mola, faça o desenho da situação descrita e determine:
a) o período; a frequência; a frequência angular; a amplitude de deslocamento e a fase inicial
c) a equação do deslocamento
d) a posição em t = 1,5 s
e) a elongação da mola em t = 2,2 s (a mola estava distendida ou comprimida?)
Construa o gráfico posição x tempo
Solução: gráfico posição x tempo
Exercício 3: 
Desenhe a situação descrita e determine a fase inicial de um oscilador sabendo que no instante t = 0 o corpo encontra-se a meio caminho entre o ponto de equilíbrio e deslocamento máximo e se move no sentido do ponto de equilíbrio.
Resp: O problema admite mais de uma resposta. Uma possibilidade é φ = π/3; outra é φ = 4π/3
Que alteração aconteceria caso o corpo se movesse no sentido do deslocamento máximo?
Resp: Soluções possíveis seriam φ = 2π/3; φ = - π/3; φ = 5π/3; 
Exercício 4: 
O gráfico abaixo mostra, em unidades SI, a posição em função do tempo para um corpo oscilante. 
Faça o desenho da situação descrita 
É correto afirmar que o corpo executa um MHS? Justifique
Escreva a equação da posição em função do tempo deste corpo
Determine a posição do corpo após 50 s de movimento
Qual a posição do corpo no instante t = 0?
Determine a posição do corpo nos instantes t1 = 1,0s; t2 = 5,0s; t3 = 10,5s; t1 = 11,3s. A cada um deles indique se o corpo se move no sentido do deslocamento máximo ou do ponto de equilíbrio.
Determine a fase inicial
Resp: X(t) = 0,4 cos(0,8πt); 0,4m; 0,4m; X(1,0)=-0,32m; X(5,0)=-0,5m; X(10,5)=0,12m; X(11,3)=-0,4m; zero
Exercício 5:
Você observa um oscilador que se move em MHS. Ao iniciar sua observação a mola encontrava-se comprimida e o corpo encontrava-se na posição 0,231 m, posição esta correspondente a 30% do deslocamento máximo e se movia no sentido da deformação máxima. 
Faça um desenho da situação descrita;
Determine a amplitude do movimento;
Determine a fase inicial;
Se o corpo demora 87 segundos para executar 3 ciclos completos, escreva a equação do deslocamento deste oscilador;
Expresse Hz e em ciclos/minutos a frequência deste oscilador.
Resp.: 0,77m; 0,40π; x(t) = 0,77cos(0,07π t+ 0,40π); 0,030 Hz; 2,07 ciclos/min.
Exercício 6:
Expresse em rad e em π rad os seguintes ângulos: 25o; 125o; 68,4o ; 579o ; 15o; 265o.
Calcule para cada um deles o seno e o cosseno. Utilize a calculadores em graus (DEG) e em radianos (rad). Compare os resultados
Resp: 25o = 0,44 rad; 0,14π rad
Exercício 7:
Suponha osciladores ideais que se movimentam de tal forma que seus movimentos podem ser descritos pelas as equações abaixo, dadas em unidades SI. Para cada um deles indique a amplitude, a fase inicial, o período, a freqüência e a posição em t = 0
X(t) = 0,67 cos (34,5 t)
X(t) = 4, 3 cos (14,5π t +0,5 π)
X(t) = 0,10 cos (3,146 t + 0,6 π)
X(t) = 0,25 cos (12,6 π t/ 3 + 1,571)
X(t) = 1,2 cos (4,5 t + π/3)
Resp a) 0,67m; zero; 0,18s; 5,49Hz; 0,67m b) 4,3m;0,5π; 0,14s; 7,25Hz; zero
Velocidade de um corpo que executa um MHS
Velocidade = taxa na qual a posição varia no tempo 
	
Como
	
ou
onde
(wt + φ) = fase
t = tempo
φ (fase inicial) = constante
wxm = wA = vm= velocidade máxima
w (freq. angular) = constante = 2 π f = 2 π /T
Uma análise da equação permite concluir que:
a velocidade de uma partícula qualquer que executa um MHS é função do tempo
a velocidade do corpo oscilante varia entre -Vm e + Vm, ou seja, entre - w A e + w A
a velocidade terá módulo máximo quando sen (wt + φ) = + ou -1
nestes instantes: (wt + φ) = nπ/2, para qualquer n inteiro impar 
nestes instantes a posição será nula → ponto de equilíbrio (confira!)
a velocidade será nula quando sen (wt + φ) = 0
nestes instantes: (wt + φ) = nπ, para qualquer n inteiro
nestes instantes a mola estará em sua deformação máxima
nestes instantes a posição será máxima em modulo (confira!)
Pense!: O que acontece com a força nos instantes em que a velocidade for máxima? E quando a velocidade for nula?
Aceleração de um corpo que executa um MHS
Aceleração de uma partícula qualquer que executa um MHS é função do tempo
	
Como
	
ou
onde
(wt + φ) = fase
t = tempo
φ (fase inicial) = constante
xmw2= Aw2 = am= aceleração máximaw (freq. angular) = constante = 2 π f = 2 π /T
Uma análise da equação permite concluir que:
a aceleração do corpo oscilante varia entre -am e + am, ou seja, entre - w2A e + w2 A
a aceleração terá módulo máximo quando cos (wt + φ) = ± 1
nestes instantes (wt + φ) = n π, para qualquer n inteiro
nestes instantes a velocidade será nula (confira!)
nestes instantes o deslocamento terá modulo máximo (confira!)
a aceleração será nula quando cos (wt + φ) = 0
nestes instantes o corpo passa pela posição de equilíbrio
nestes instantes (wt + φ) = n π/2 para qualquer n inteiro impar
nestes instantes a velocidade será máxima em modulo (confira!)
Exercício 8: (Halliday) Numa serra elétrica as lâminas movem-se para frente e para trás perfazendo uma distância de 2,0 cm. O movimento é harmônico simples (MHS) com frequência de 10 Hz.
a) Determine a amplitude do movimento; a velocidade máxima da lâmina; a aceleração máxima da lâmina
b) Supondo a fase inicial nula, determine as equações: x(t), v(t), a(t)
c) Faça os gráficos posição x tempo; velocidade x tempo e aceleração x tempo (utilize o programa DataStudio)
d) Determine, para t = 5 s, a posição, a velocidade e a aceleração da lâmina
Solução dos gráficos:
Oscilador Harmônico e o MHS
Sistema massa-mola (oscilador, uma partícula ligada a uma mola)
Um exemplo de MOVIMENTO HARMÔNICO é o oscilador massa-mola
Se pudermos desprezar o atrito → MHS
Um corpo, quando em MHS, oscila em torno de uma posição de equilíbrio, conseqüência da ação da força restauradora
No sistema massa-mola verifica-se a relação:
logo
Para um determinado oscilador k e m são constantes, 
k = constante característica da mola utilizada
m = massa do corpo oscilante 
A aceleração depende da deformação da mola → amax quando x = xmax
Logo, 
amax = constante. xmax
Para o MHS 
a(t) = -A w2 cos(wt + φ)
amax = Xm w2
Tem-se que 
w2 = k/m
Logo, 
	
(válida apenas no sistema massa-mola)
Pense e reponda!
A frequência angular depende do período de oscilação (w = 2πf); depende também da deformação da mola?
Um sistema massa-mola oscila devido à força restauradora; o peso de um corpo faz o sistema oscilar?
Relação entre o período (e frequência) e demais parâmetros de um oscilador em MHS
Para um sistema massa-mola:
Considerando 
 e w = 2π/T
Tem-se
Logo
	
massa-mola
Comof = 1/T
	
massa-mola
Para um pêndulo simples:
	
w = 2 π/ T
A frequência angular depende apenas do comprimento do fio e da aceleração da gravidade. NÃO depende da massa! 
Isto é válido para pêndulos simples oscilando em ângulos pequenos.
		
pêndulo simples
 g = aceleração da gravidade
L = comprimento do pêndulo
	
pêndulo simples
Movimento Harmônico Simples x Movimento Harmônico Amortecido
	MHS - Situações ideais
Amplitude constante
Energia mecânica constante
→enquanto o sistema oscila
a energia permanece constante
o atrito pode ser desprezado
não atuam forças resistivas
gráfico posição x tempo no MHS
	MHA - Situações reais
Amplitude diminui com o tempo
Energia mecânica diminui com o tempo
→enquanto o sistema oscila
o sistema perde energia
o atrito não pode ser desprezado
atuam forças resistivas
gráfico posição x tempo no MHA
	
	
Exercício 9: Um bloco de massa m = 400 g é conectado a uma mola horizontal cuja constante elástica e 1,60 N/m e está livre para oscilar sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco é deslocado 3,0 cm do equilíbrio e liberado, passando a oscilar em MHS.
a) Determine o período de oscilação.
b) Determine a amplitude de deslocamento
c) Determine o módulo da forca máxima que atua no bloco.
d) Em algum instante a força é nula?
Resp.: 3,14 s; 0,03m; 0,048N; sim
Exercício 10: Um corpo de massa m = 5,0kg oscila, preso a uma mola. Se for substituído por outro de massa 20,0 kg,
a) Que alteração acontecerá na frequência da oscilação?
b) Que alteração acontecerá no tempo necessário para executar 1 ciclo?
c) Que alteração acontecerá no tempo necessário para executar 3 ciclos completos?
Resp.: cai à metade; dobra; dobra
Exercício 11: Uma mola de constante elástica desconhecida tem comprimento 8,0 cm. Coloca-se em sua extremidade um corpo de massa 0,10 kg e, quando o sistema é suspenso verticalmente o comprimento da mola passa a ser 12 cm. Após o sistema alcançar o novo equilíbrio aplica-se uma força deformando-se a mola até que seu comprimento seja 14,0 cm quando então o sistema é solto para que possa oscilar em MHS. Determine:
	a) a amplitude do movimento
b) a constante elástica da mola
c) o período e a frequência do movimento
Resp: 0,02 m; 25,0 N/m; 0,40s; 2,5 Hz
	
Exercício 12: Suponha um oscilador linear. Qual a influência de cada uma das alterações abaixo
na taxa de oscilação?
a) Aumentar a amplitude do movimento;
b) Trocar a mola por outra mais “dura”;
c) Substituir o corpo por outro de maior massa;
Exercício 13: A corda de um piano emite uma nota dó quando vibrando com uma frequência de 220 Hz. Uma soprano é capaz de emitir um som também de dó, duas oitavas acima, cuja frequência é igual a 4 vezes a frequência da corda do piano. 
Determine a relação entre o tempo de vibração da corda do piano e da corda vocal da cantora. Qual deles e capaz de executar 1 oscilação mais rapidamente?
Exercício 14: Um corpo é ligado a uma mola ideal de constante elástica 120 N/m e o sistema é posto a oscilar. Verifica-se que o sistema oscila com uma frequência de 6,0 Hz. É correto afirmar que a massa do corpo e maior que 1.0 Kg? Resp.: Não
Exercício 15: (Knight) Um carrinho sobre um trilho de ar, preso a uma mola, oscila entre as marcas 10 cm e 60 cm da escala lateral do trilho. O carrinho completa 10 oscilações em 33 s.
a) Determine o período, a frequência e a amplitude do movimento.
b)Que alterações aconteceriam no período e na frequência caso a massa do carrinho fosse duplicada?
Resp.: a) 3,3 s; 0,303 Hz; 25 cm b) T’=aumentaria 40%; f’ = 0,71f;
Exercício 16: A figura mostra uma estrutura onde existem dois balanços, A e B, cujas correntes que os prendem apresentam comprimentos tais que LA = 1,4LB. Você empurra periodicamente uma criança de massa m que se encontra balanço A. A criança deseja que o balanço execute mais movimentos na unidade de tempo. Considere que o balanço se comporte como um pêndulo simples.
	a) A criança deseja aumentar ou diminuir a frequência do movimento?
b) Você lhe recomendaria passar para o balanço B?
c) Que alterações aconteceriam na frequência e no período caso fosse você a se balançar no balanço A?
Resp: aumentar; sim; nenhuma
	
CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA NO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
Consideremos o sistema massa-mola:
Energia potencial
	
	onde 
Ep = energia potencial
k = constante elástica da mola
X = posição (em relação ao equilíbrio) da massa oscilante
Como a posição (deformação = elongação) varia continuamente, pode-se considerar que aenergia potencial também é função do tempo e será dada pela equação:
	
porque a posição é função do tempo
	
Logo, 
	
	
	
A energia potencial varia com o tempo
	
 quando 
quando 
Energia cinética
	
	onde 
EC = energia cinética
m = massa do oscilador
V = velocidade do corpo oscilante
Como a velocidade varia continuamente, pode-se considerar que a energia cinética também é função do tempo e será dada pela equação:
	
Como a velocidade é função do tempo, 
tem-se
	
Logo, 
	
A energia cinética varia com o tempo 
	
 quando 
 quando 
Energia Mecânica
	
	EM = energia mecânica
EP = energia potencial
EC = energia cinética
Como as energias potencial e cinética variam continuamente, 
 e tem-se
Substituindo,
Tomando 
 e substituindo na equação acima,
Colocando em evidência o termo comum 
Considerando que 
tem-se:Lembrando que 
Como 
pode-se afirmar que
Então. 
	
	
Embora as energias potencial e cinética variem com o tempo, a energia mecânica permanece constante. Logo,
Os sistemas que executam MHS são sistemas conservativos!
Gráficos ilustrativos do sistema massa-mola em MHS
Análise da energia no MHS (sistema conservativo)
	
EMEC= EP + EC
ou
EMEC= (1/2) m(VMAX)2
ou
EM = (1/2) k A2
	Como
EP (t) = (1/2) k A2 cos2 (wt + φ)
EP = 0 →cos (wt + φ) = 0 
→sen (wt + φ) = ± 1
EP = 0 →EC =(1/2) m w2A2=(1/2) m(VMAX)2=ECMAX
De forma análoga,
EC(t) = (1/2) m w2A2 sen2 (wt + φ)
EC = 0 →sen (wt + φ) = 0 
→cos (wt + φ) = ± 1
EC = 0 →EP = (1/2) m(XMAX)2 = EPMAX
	
Sistemas Conservativos x Sistemas Dissipativos
MHS - Sistema conservativo:
MHA – Sistema Dissipativo:
Exercício 14 (Serway) Um sistema massa-mola oscila com uma amplitude de 3,50 m. Se a constante elástica da mola é 250 N/m e a massa e 0,500 kg, determine, utilizando o conceito
de conservação da energia
a) a energia mecânica do sistema;
b) a velocidade máxima do bloco
Exercício 15: Uma partícula de massa 0,600 kg presa a uma mola ideal executa um MHS de frequência 4,0 Hz e amplitude 0,20m. Em que posição a energia total do sistema se encontra igualmente distribuída entre energia potencial e cinética?
Exercício 16: Suponha um oscilador, constituído por um corpo de massa 0.600 kg preso a uma mola ideal, oscilando com amplitude 0,20 m e 4.0 Hz. Supondo a fase inicial nula, determine:
a) o período do movimento e a constante elástica da mola
b) a quantidade de energia que foi fornecida ao sistema 
c) a relação entre as energias potencial e cinética quando a deformação da mola for 15 cm. Qual delas será maior?
Exercício 17: A figura abaixo representa a posição x velocidade de um bloco de massa 6,0 kg que oscila preso a uma mola.
Determine a amplitude do movimento 
Determine a frequência do movimento
Determine a energia fornecida ao sistema 
Determine a energia potencial no instante em que a velocidade é igual a 80% da velocidade máxima
Qual a força necessária para deformar a mola na situação descrita?
Caso você utilizasse esta mola para construir uma balança que deformação uma pessoa de 50 kg provocaria na mola?
Resp: 5,0 m; 7,97 Hz; 187,5 kJ; 37,5 kJ; 75,0 kN; 3,3 cm
Exercício 18: Um sistema massa-mola e constituído por uma massa de 0,600kg preso a uma mola ideal e oscila de forma que a energia cinética pode ser descrita, em unidades SI, pela equação abaixo
Ec(t)= 180 sen2(4,4 π t + 0,8π)
Determine para este oscilador:
A velocidade máxima;
O deslocamento máximo
A energia cinética inicial
A energia potencial inicial
A expressão da energia potencial
A força que foi exercida na mola para que o sistema oscilasse conforme descrito
A energia fornecida ao sistema 
Resp.: a) vm=24,5m/s; b)xm=1,77m; c)Ec= 62,2J; Ep=117,8 J; e)Ep(t)= 180 sen2(4,4πt + 0,8π); F= 203N; g) E = 180 J
OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA
Nas oscilações amortecidas a força de atrito (força externa) age sobre o sistema oscilante de forma a dissipar energia. Existem, entretanto, situações onde uma forca externa pode atuar introduzindo energia no sistema. É o caso, por exemplo, dos balanços nos quais as crianças brincam nos parques. Se alguém (ou a própria criança) empurrar o balanço periodicamente de forma a introduzir energia no sistema, a amplitude do movimento pode aumentar. Observe que existe uma condição especial para que, ao se aplicar uma força no sistema, este oscile com amplitude crescente.
Trabalhamos então com duas frequências:
a frequência natural do oscilador, que representa a frequência na qual o sistema oscila, caso o possa fazer livremente
a frequência com a qual a força externa é aplicada
É usual referir-se a estas frequências através da grandeza frequência angular, desta forma, 
a frequência angular natural do oscilador, é denominada wo
a frequência do estímulo externo é denominada w
Se estímulo acontecer na mesma taxa com a qual o sistema oscila naturalmente (frequência natural), o movimento apresenta um aumento abrupto na amplitude de oscilação. Neste caso a absorção de energia será máxima; diz-se que o sistema está em ressonância. 
Condição de ressonância: 
w = wo
frequência do estímulo = frequência natural
Outra forma de se analisar a situação de ressonância é através da energia. Se energia do sistema aumenta, a amplitude do movimento deve também aumentar (EM = ½ K A2). 
O sistema absorverá o máximo da energia fornecida quando esta for fornecida na mesma taxa na qual o sistema oscila naturalmente (frequência natural).
	Movimento Harmônico Simples
O sistema não perde nem ganha energia
EM permanece constante
A amplitude permanece constante
	
	Movimento amortecido
Em sistemas reais forças resistivas atuam no oscilador
EM diminui com o tempo
A amplitude que diminui com o tempo
T permanece constante (praticamente)
	
	Ressonância
Aumento na amplitude →há um estímulo numa freqüência próxima à freqüência natural de vibração.
EM aumenta com o tempo
Condição de ressonância: w = wo
	
Todas as estruturas mecânicas têm uma ou mais frequências naturais. Deve-se cuidar para não submetê-las a estímulos externos em qualquer destas frequências naturais, pois a amplitude do movimento pode resultar tão grande que a estrutura chega a romper-se. Deve-se cuidar, por exemplo, para que nenhuma das frequências naturais em que as asas de um avião podem vibrar seja igual a uma das frequências dos motores na velocidade de cruzeiro.
Exercício 19: 
Um oscilador de massa 0,600 kg oscila em MHS de forma que sua posição pode ser descrita pela equação abaixo, dada em unidades SI:
X(t) = 0,05 cos (πt/4 + π/2)
Uma pessoa fornece 0,025 J de energia a cada 8,0 s durante 32 segundos e depois deixa o sistema novamente oscilar livremente. Se toda esta energia é utilizada para aumentar a amplitude do movimento, 
Pode-se afirmar que o sistema entrou em ressonância? Justifique
Calcule a relação entre as velocidades máximas do corpo quando em MHS nas duas situações (antes e depois de receber energia);
Calcule a relação entre as freqüências do oscilador quando em MHS nas duas situações (antes e depois de receber energia);
Escreva a equação da posição em função do tempo para este oscilador quando novamente em MHS (depois de receber os 256J de energia adicionais). 
Exercício 20: 
Uma massa de 200g pende em equilíbrio, verticalmente presa a uma mola ideal. Durante 15,0s, a cada 0,5s você fornece 1,0 J de energia. O sistema entra em ressonância e, após você cessar o fornecimento de energia, passa a vibrar em MHS. Faça um desenho da situação descrita e determine:
a velocidade máxima do oscilador
a frequência do oscilador
a constante elástica da mola
a amplitude do movimento do oscilador quando em MHS
a velocidade da massa quando seu deslocamento for xm/2
as energias cinética e potencial quando o deslocamento for xm/2
Resp.: a)vm= 17,32m/s; b) f = 2,0 Hz; k = 2,51 N/m; xm = 4,9m; v =15,0 m/s; 7,5 J e 22,5 J.
Exercício 21: 
A figura mostra um corpo de massa m=0,200 kg que oscila preso a uma mola ideal de forma que a energia cinética pode ser descrita pela equação abaixo, dada em unidades SI. 
Ec = 20,0 sen2 (2πt + π/10)
Determine a energia fornecida ao sistema;
É correto afirmar que no instante inicial o corpo se encontrava no ponto de equilíbrio?
O sistema é conservativo ou dissipativo? Justifique.
Como se encontravam distribuídas as energias potencial e cinética no instante inicial?
Escreva a expressão da energia potencial para este oscilador;
Após quanto tempo o corpo passará pela primeira vez pelo ponto de equilíbrio?
Após passar pelo ponto de equilíbrio, quanto tempo deve transcorrer para que a deformação da mola seja máxima?
Calcule a amplitude do movimento;
Caso se forneça energia durante 5,0s, numa taxa de 3,0 J/s, o sistema entrará em ressonância? Justifique. 
Qual será a nova amplitudedo movimento?
Respostas: a)20,0J; b)não; c)conservativo; d)18,0J e 2,0J; e)Ep = 20,0 cos2(2πt + π/10); f)0,2s; g)0,5s;h)2,25m i)sim; j)2,98m

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