Movimento Periódico

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Movimento Periódico
Oscilações
Mesmo que oscilatório
Se repete em intervalos regulares
Movimento Harmônico- 
funções senoidais (senos e cossenos)
Movimento periódico devido a uma força restauradora- corpo oscila em torno da posição de equilíbrio F = - K . X
Sistema massa-mola
	Movimento Periódico
Ignorar o atrito
Corpo que oscila sujeito a uma força restauradora
Deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio tem módulo constante
			M.H.S.
Amplitude: módulo máximo do deslocamento, a partir da posição de equilíbrio 
deslocamento máximo (em relação ao ponto de equilíbrio)
unidade SI: metro
		Parâmetros
Período ( T ) :
Tempo correspondente a um ciclo (percurso de ida e volta)
unidade SI: segundo
Frequência ( f ) :
número de ciclos (oscilações) na unidade de tempo
unidade SI: hertz (Hz) (1 ciclo / segundo) → s-1 = 1/s
			 f = 1 / T
Frequência Angular ( w)
representa a taxa de variação de uma grandeza angular 
indica quão rápido o sistema oscila
unidade SI: rad/s
			 w = 2  f  w = 2  / T
 
Oscilador Harmônico e o MHS
ma = - kX
a = (k/m) X
tem-se que (k/m) = constante
a = (constante) X
Tomando k/m = w2,
 
Tem-se a = - w2 X
  
w = (k/m) ½
E considerando que: w = 2  / T e T = 1 / f
Tem-se a relação entre o período (ou frequência) e os demais parâmetros de um sistema massa-mola
T = 2  (m/k) ½
	 		 f = (1/ 2 ) (k/m) ½
F = - k X
F = m a = m (d2X / dt2)
(d2X / dt2) = - (k/m) X
Tomando (k/m) = w2
Tem-se (d2X / dt2) = - w2 X
Logo, 
X = -(1/w2 ) (d2X / dt2)
Esta é uma equação diferencial de 2ª ordem
X(t) = Xm cos (wt + φ)
Deslocamento de um corpo que executa um MHS
onde
(wt + φ) = fase 
t = tempo
φ = fase inicial ou constante de fase
xm = A = deslocamento máximo = amplitude de deslocamento
W constante = frequência angular = 2 π /T
o corpo estará entre as posições – xm e + xm
o deslocamento máximo que cos (wt + φ) = +1 ou –1 
X(t) = Xm cos (wt + φ)
	Exercícios: Determine a equação
Amplitude = A = 7,5m
Período = T ~ 10 segundos 
frequência angular = w = 2π/T ~ 6,28/10 ~ 0,63 rad/s
Equação: X = A cos(w t + fo) = 7,5cos(0,63t + fo)
Gráfico da equação X = 7,5cos(0,63t) 
Determine a equação x(t)
Determine: 
1- a amplitude, a frequência e o período
2- a fase inicial
3- a posição inicial
4- o deslocamento entre t = 1,5 s e t=0s
5- o primeiro instante em que passará pela posição de equilíbrio
6- após quanto tempo passará novamente pelo ponto de deslocamento nulo, em relação ao item 5?
7- Construa o gráfico posição x tempo
Exercício: Um corpo oscila MHS de acordo com a equação:X(t) = (6,0m) cos [(3π rad/s) t + (π / 3) rad ]
Velocidade = taxa na qual a posição varia no tempo (V = dX / dt)
é função do tempo 
 V = dX / dt = d[Xm cos (wt + φ)] / dt 
V(t) = - w Xm sen (wt + φ)
V(t) = - w A sen (wt + φ), onde:
(wt + φ) = fase 
t = tempo
φ (fase inicial) = constante 
wxm = wA = Vm = velocidade máxima 	
w (frequência angular)= constante = 2 π f = 2 π/ T
 
	Velocidade de um MHS 
taxa na qual a velocidade varia no tempo (a = dV / dt)
a(t) = d[- w Xm sen (wt + φ)] /dt
a(t) = - w2 Xm cos (wt + φ)
 ou
a(t) = - w2 A cos (wt + φ)
	ou ainda
a(t) = - w2 X(t)
a aceleração do corpo oscilante varia entre -am e + am, ou seja, entre - w2 A e + w2 A
a aceleração terá módulo máximo quando cos (wt + φ) = ± 1
Aceleração de um corpo c/um MHS
Exercício: Um corpo oscila MHS de acordo com a equação:
V(t) = -(10) sen [(3π rad/s) t + (π / 3) rad ]
Determine: 
1- a amplitude, a frequência e o período
2- a fase inicial
3- a velocidade inicial
4- a velocidade em t = 1,5 s
5- o primeiro instante em que passará pela velocidade nula
6- após quanto tempo passará novamente pelo ponto de velocidade nula?
Gráfico da aceleração. Determine a equação
Determine a aceleração máxima
Determine a frequência angular.
Calcule a amplitude  
Escreva a equação da posição em função do tempo
Escreva a equação da velocidade em função do tempo
Amplitude do movimento permanece constante
Energia mecânica do sistema é constante
EP = (½) k X2= EP (t) = (½) k A2 cos2 (wt + φ)
EC= (½) m V2 = EC(t) = (½) m w2A2 sen2 (wt + φ)
EM = EP + EC 
EM = (½) k A2 cos2 (wt + φ) + (½) m w2A2 sen2 (wt + φ)
w2 = k/m
EM = [(½) k A2] [cos2 (wt + φ) + sen2 (wt + φ)]
EM = (½) k A2
Movimento Harmônico Simples
Movimento Harmônico Amortecido
A amplitude varia com o tempo (o sistema perde energia)
O período do movimento permanece constante (característica do oscilador) 
a frequência (f = 1/T) também é uma característica do oscilador e será alterada apenas se forem alteradas as características do oscilador
Em situações reais, se deixarmos um corpo oscilar a amplitude não será constante diminuirá com o tempo- forças dissipativas – forças resistivas e de atrito
NÃO É M.H.S.
Sist. conservativos x dissipativos
	Um sistema massa-mola oscila com uma amplitude de 3,50 m. Se a constante elástica da mola é 250 N/m e a massa é 0,500 kg, determine, utilizando o conceito de conservação da energia
1- a energia mecânica do sistema;
2- a velocidade máxima do bloco
3- a aceleração máxima do bloco;
4- suponha a constante de fase nula e escreva as expressões para x(t), v(t) e a(t) e confira as respostas anteriores.
Exercício 10 
Nas oscilações amortecidas a força de atrito é uma força externa age de forma a dissipar energia.
Algumas vezes força externa pode atuar introduzindo energia no sistema- amplitude crescente. Ex: balanços
a frequência angular natural do oscilador, wo
 frequência angular na qual o sistema oscila, caso o possa fazer livremente
a frequência angular da força externa na qual o estímulo é acrescentado, w.
um oscilador forçado sempre oscilará na frequência angular da força externa.
A amplitude máxima se wo = w Ressonância.  
Mov. Amortecido X Ressonância
Condição de ressonância
w = wo
Eletromag. são perturbações de campo que se propagam sem a necessidade de existência de um meio material
ex: raio X, luz
Se propagam no ar ou no vácuo com velocidade constante 3,0 x108 m/s
Mec. são perturbações que se propagam através da perturbação do meio material
ex: som, ondas numa corda, terremotos
Eletromagnéticas X mecânicas
	Parâmetros de uma onda
 v = l . f
d = v . t
l = v . T 
Espectro eletromagnético