Ondas 2etapa

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Ondas
BIBLIOGRAFIA:
HALLIDAY e outros; Fundamentos da Física; vol 2 
SERWAY, Raymond e outros. Princípios de Física, Ed. THOMSON 
TREFIL, James e Robert Hazen. Física Viva; vol 2, Ed. LTC
Energia associada a uma onda eletromagnética
As ondas eletromagnéticas transportam energia através de fótons e a energia transportada por cada fóton encontra-se relacionada à freqüência da onda através da relação
 E = h f 
E = energia
h = 6,63 x 10–34 J. s (constante de Planck)
f = frequência
EE. formado por ondas eletromagnéticas se propagando no vácuo (v = c 3,00 x 108m/s)
Espectro eletromagnético
Espectro Eletromagnético
Onda mecânica: perturbação que se propaga nos meios materiais através da oscilação das moléculas do meio
Onda eletromagnética: perturbação que se propaga através da oscilação de campos elétricos e magnéticos 
Mecânicas X Eletromagnéticas
Fazendo oscilar as moléculas de um meio obtém-se uma perturbação que se propaga neste meio 
Ondas mecânicas
ar
luz
som
ar
vácuo
luz
Quando uma onda mecânica senoidal se propaga em um meio, todas as partículas do meio executam um MHS com mesma freqüência.
ONDAS NUMA CORDA ESTICADA 
Em cordas a velocidade de propagação é dada por:
v = (T/)1/2 sendo  = m / L
Onde:
v = velocidade de propagação
T = tensão na corda
 = densidade linear de massa
m = massa da corda
L = comprimento da corda
Velocidade de uma onda que se propaga em uma corda
Para ondas eletromagnéticas se propagando no ar ou vácuo:
v = c = 3,0 x 108 m/s;
em qualquer outro meio a onda eletromagnética se propaga com velocidade v < c
Velocidade de propagação de uma onda:
V = λ f
Varia de acordo com o meio, sendo constante para meios homogêneos
Para ondas mecânicas se propagando em cordas:
v = (T/)1/2
para ondas sonoras se propagando no ar (0oC) 
v = 340 m/s
Problema 1
Determine a frequência de uma onda cujo comprimento de onda é igual 5,0 m considerando que:
A) esta é uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo; 
B) esta é uma onda mecânica que se propaga numa corda de densidade linear 0,20 kg/m tensionada a 10 N.
C) esta é uma onda sonora que se propaga no ar com velocidade 340 m/s
D) Determine para cada caso a energia em Joule
Problema 2
Determine a frequência de uma onda cujo comprimento de onda é igual 3,0 m considerando que:
A) esta é uma onda eletromagnética que se propaga no ar; 
B) esta é uma onda mecânica que se propaga numa corda de densidade linear 0,60 kg/m tensionada a 15 N.
C) esta é uma onda sonora que se propaga no ar com velocidade 340 m/s
Função de onda 
Função que descreve o valor da grandeza que oscila em qualquer ponto do meio em função do tempo Y = Y (x, t) 
equação matemática que fornece, a qualquer tempo, o deslocamento y de uma partícula em relação à sua posição de equilíbrio como função da coordenada x
 Y(x,t) = Ym sen (kx – t)
 = 2/T e k= 2/
Descrição matemática de uma onda mecânica
Y(x,t) = Ym sen (kx – t)
 = 2/T e k= 2/
Grandeza
Unidade SI
Y = deslocamento na direção de vibração
m
Ym= deslocamento máximo (amplitude de deslocamento)
m
=frequênciaangular
rad/s
f =frequência
Hz
k = número de onda angular (não confundir com constante elástica)
rad/m
= comprimento de onda
m
x = posição do ponto do meio que vibra
m
t = tempo
s
T = período
s
(kx -t) = fase da onda
rad
Y(x,t) = Ym sen (kx – wt)
 = 2/T e k= 2/
Exercícios:
2- Dada as ondas descritas, em SI, pelas equações abaixo:
Y1 (x,t) = 0,08 sen  [ (x / 4) – (t / 6) ]
Y2 (x,t) = 0,08 sen  [ (8 x) – (4 t) ]
Qual delas apresenta maior frequência?
Qual delas apresenta maior comprimento de onda?
Qual delas se desloca com maior velocidade?
3- Dada a onda que apresenta:
Amplitude: 0,05 m; Frequência: 0,25 Hz ; Comprimento de onda: 0,6 m
a) escreva a equação da onda 
b) determine a velocidade de propagação
c) faça o gráfico para o tempo t = 0
d) faça o gráfico o ponto x = 0
 
4- Uma onda de frequência 20 Hz propaga-se ao longo de um fio tensionado a 5 N com velocidade 31 m/s. Sabendo que a amplitude de deslocamento é 0,003m, 
a) escreva a equação desta onda
b) determine a massa de 5,0 m deste fio
Equação de uma onda linear
A equação Y(x,t) = Ym sen (kx – wt) é uma das inúmeras formas de se descrever uma onda mecânica. 
Na verdade, para que uma função descreva uma onda que se propaga numa determinada direção deve satisfazer a condição:
2 Y (x, t) /x2 = (1/vx2) (2 Y (x, t) /t2)
Qualquer equação que satisfaça à condição acima descreve uma onda progressiva linear, seja ela uma onda que se propaga numa corda, uma onda sonora que se propaga em um meio qualquer ou uma onda eletromagnética.
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Uma onda que se propaga na superfície de um lago, no sentido positivo do eixo x, pode ser descrita pela função de onda abaixo, dada em unidades SI: 
Y (x,t) = 0,008 sen  [ (x / 4) – (t / 6) ]
Determine:
a altura da crista desta onda
a frequência angular
o período
o número de onda angular
faça a “fotografia” desta onda no tempo t = 0 s. 
Exercício 5:
INTERAÇÃO ENTRE DUAS OU MAIS ONDAS
Interferência / Superposição de ondas
Fenômeno de cancelamento e reforço resultante da superposição de ondas;
Aplica-se a ondas mecânicas e a ondas eletromagnéticas. 
Após interferirem, cada onda continua a se propagar como antes;
Qualquer onda pode ser descrita como uma superposição diversas ondas.
 
 
O deslocamento de cada ponto do meio é a soma dos deslocamentos que cada ponto sofreria caso cada onda agisse sozinha.
Princípio de Fourier (Princípio da Superposição): 
A perturbação resultante em cada ponto do meio, durante a superposição, é a soma das perturbações individuais.
 
Y (x, t) = Y1 (x, t) + Y2 (x, t) + Y3 (x, t) + Y4 (x, t) + ... + Yn (x, t)
 
As ondas que se superpõem podem:
Apresentar amplitudes diferentes;
 Apresentar frequências diferentes; 
Apresentar comprimentos de onda diferentes; 
Ser idênticas.
2. Duas ondas de mesma amplitude e frequências diferentes
1. Duas ondas de mesma amplitude e frequências diferentes
3. batimentos: ondas com frequências ligeiramente diferentes f = Δf
ym1 = ym2 = ym w1 = w2 = w k1 = k2 = k
 
Para um estudo geral consideremos que exista uma diferença de fase entre elas
A onda resultante também será uma onda viajante
Y1 (x, t) = ym sen (kx – wt)
 
Y2 (x, t) = ym sen (kx – wt + )
 
(kx – wt) = fase da onda 1
(kx – wt + ) = fase da onda 2
 = diferença de fase entre as ondas
Y (x, t) = Y1 (x, t) + Y2 (x, t)
 
Superposição de 2 ondas idênticas que se propagam na mesma direção e sentido
sen (a) + sen (b) = 2sen(a+b)/2*cos(a-b)/2
2 ym {sen [(kx - wt) + (kx - wt + )] /2 } 
cos [(kx - wt) - (kx - wt + )] /2]
Relação trigonométrica
Y (x, t) = 2 ym {sen [(kx - wt) + (kx - wt + )] /2 } 
cos [(kx - wt) - (kx - wt + )] /2]
 
Y (x, t) = 2 ym sen [(kx - wt +  /2)] [cos ( - ) /2]
 
Como cos (- ) = cos ( )
 
Eq. de uma onda que se propaga, resultado da superposição de duas ondas idênticas
 
Y (x, t) = 2 ym cos ( /2) sen (kx - wt +  /2)
 nova amplitude: 2 ym cos ( /2)
Superposição de 2 ondas idênticas c/ mesma direção e sentidos contrários
ym1 = ym2 = ym w1 = w2 = w; k1 = k2 = k
Nesta condição podem ser criadas as ondas denominadas ondas estacionárias. 
Não se considera a diferença de fase entre elas porque esta muda a cada instante uma vez que se propagam em sentidos contrários. 
Y1 (x, t) = ym sen (kx – wt)
onda se propagando no sentido crescente de x
Y2 (x, t) = ym sen (kx + wt )
onda refletida – extremidade fixa onda se propagando no sentido -x
Y (x, t) = Y1 (x, t) + Y2 (x, t)
Y (x, t) = ym sen (kx – wt) + ym sen (kx + wt)
Relembrando a identidade trigonométrica:
sen  + sen  = 2 [sen ( + ) / 2] [cos ( -
) / 2 ]
e considerando:
(kx - wt) =  (kx + wt) = 
 
Y (x, t) = 2 ym {sen [(kx - wt) + (kx + wt)] /2 }{ cos [(kx - wt) - (kx + wt)] /2]
 
Y (x, t) = 2 ym [sen ( kx ) ][cos ( -wt)] 
 
Eq. de uma onda estacionária em uma corda, extremidade fixa
 Y (x, t) = 2 ym sen (kx) (cos wt)
 nova amplitude: 2 ym sen (kx)
Estudo da superposição de ondas que se propagam na mesma direção e sentidos contrários:
A onda resultante pode ser uma onda estacionária que apresenta:
mesmo comprimento de onda que as ondas individuais, 
mesma frequência das ondas individuais
a amplitude passa a ser 2 ym sen (kx) → cada ponto do meio vibra com uma amplitude diferente, que varia de zero a 2 ym
EXERCÍCIOS
1- Dadas as ondas, descritas pelas equações abaixo, em unidades SI: 
Y1 (x,t) = 0,5 sen (2  x - 6 t); 
Y2 (x,t) = 0,5 sen (2  x - 6 t + 2 )
a) Determine para cada uma das ondas: a direção de propagação; a amplitude; a frequência; período; o comprimento de onda; a velocidade de propagação; a fase
b)Determine a diferença de fase entre as ondas
c)Determine, para a onda resultante da superposição: a direção de propagação; a amplitude; o comprimento de onda; a frequência; o período; a fase; a equação; a velocidade de propagação
 
2- Determine a diferença de fase entre duas ondas idênticas que se deslocam na mesma direção e sentido sabendo que, quando superpostas, apresentam amplitude 50% maior que suas amplitudes individuais.
3- A equação abaixo, dada em unidades SI, descreve uma onda que se propaga numa corda muito maior que seu comprimento de onda.
Y(x,t) = 0,3 sen (4  x/3 – 0,8 t/2)
Ao encontrar um obstáculo, ela reflete(com inversão de fase) sobre si mesma. 
a) Escreva a equação da onda refletida
b) Escreva a equação da onda resultante desta superposição
c) Determine seu comprimento de onda, sua frequencia, sua amplitude máxima e mínima
d) Localize pelo menos 3 nós.
Exercícios
A equação abaixo, dada em unidades SI, descreve uma onda que se propaga numa corda muito maior que seu comprimento de onda.
Y(x,t) = 0,7 sen (2  x/3 – 0,5 t/2)
Ao encontrar um obstáculo, ela reflete(com inversão de fase) sobre si mesma. 
a) Escreva a equação da onda refletida
b) Escreva a equação da onda resultante desta superposição
c) Determine seu comprimento de onda, sua frequencia, sua amplitude máxima e mínima
d) Localize pelo menos 3 nós.
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4- A equação abaixo, dada em unidades SI, descreve uma onda que se propaga numa corda muito maior que seu comprimento de onda.
Y(x,t) = 0,45 sen (7  x/2 – 0,4 t/5)
Ao encontrar um obstáculo, ela reflete(com inversão de fase) sobre si mesma. 
a) Escreva a equação da onda refletida
b) Escreva a equação da onda resultante desta superposição
c) Determine seu comprimento de onda, sua frequencia, sua amplitude máxima e mínima
d) Localize pelo menos 3 ventres.
Exercícios
5- Dadas as ondas, descritas pelas equações abaixo, em unidades SI: 
Y1 (x,t) = 0,2 sen (3  x - 10 t); 
Y2 (x,t) = 0,2 sen (3  x - 10 t + 2 )
a) Determine para cada uma das ondas: a direção de propagação; a amplitude; a frequência; período; o comprimento de onda; a velocidade de propagação; a fase
b)Determine a diferença de fase entre as ondas
c)Determine, para a onda resultante da superposição: a direção de propagação; a amplitude; o comprimento de onda; a frequência; o período; a fase; a equação; a velocidade de propagação
 
Exercícios
Os pontos que permanecem em repouso (pontos onde sen (kx) = 0 ) e são denominados nós (ou nodos). 
Para localizar os nós (ponto de amplitude nula):
Condição: sen (kx) = 0  kx = n 
(2 /) x = n   x = n.. / 2  x = n /2
x = n /2,
sendo n = inteiro
Localização dos nós de uma onda estacionária
Nós X Ventres
Para localizar os ventres (ponto de amplitude máxima):
Condição: sen (kx) = ±1  kx = n /2, sendo n ímpar
(2 /) x = (2n-1)  / 2  x = (n-1/2) / 2
x = (n-1/2) / 2,
sendo n = inteiro
Localização dos ventres de uma onda estacionária
Nós X Ventres
caracterizam-se por cada ponto da onda realizar um MHS com amplitudes diferentes → existem pontos que não se movem.
resultam da superposição de duas ondas idênticas (mesmo , mesma f, mesma A), propagando-se em sentidos opostos
podem acontecer em extremidades fixas quanto nas extremidades livres
Ondas estacionárias:
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Ondas estacionárias
MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO
Determinação das frequências naturais de uma corda de comprimento L
Condição de formação de ondas estacionárias (para extremidades fixas):
possuir nós em ambas as extremidades da corda
distância entre 2 nós consecutivos:  / 2
Ondas estacionárias
onde:
 
n= comprimento de onda possível
L = comprimento da corda
n = número inteiro
1f11o. harmônico (frequênciafundamental)
2f22o. harmônico
nfnenésimo harmônico
frequência fundamental + seus harmônicos = frequências naturais de vibração
As frequências naturais dependem ainda das propriedades físicas do meio, portanto, são alteradas se a velocidade de onda for modificada.
v = .f n = 2L/n fn = n. v/2L
Ex 23: Uma corda vibra com ambas as extremidades fixas de forma que se estabelece uma onda estacionária. A equação abaixo representa o 6o. harmônico. 
Y (x, t) = 2 sen (20.π.x) cos (4.π.t)
Determine: 
o comprimento de onda desta onda
o comprimento da corda
a frequência fundamental 
a posição de cada um dos nós
a frequência correspondente ao 5o. harmônico
a posição de cada um dos nós caso a corda vibre em seu 5º. harmônico
Uma mangueira de jardim quando vazia tem massa de 3,100 kg e, esticada, comprimento de 40,6 m. Você deseja gerar nesta corda ondas senoidais que tenham amplitude 0,300 m e e comprimento de onda de 0,80 m. Se as ondas se propagam com velocidade 20m/s na situação descrita,:
determine a frequência da vibração com a qual você deve agitar a mangueira.
calcule a taxa na qual você deve fornecer energia à mangueira
a energia que você fornece em 2 minutos é suficiente para elevar a mangueira verticalmente a que altura?
Se você aumentasse o comprimento de onda da onda gerada para 0,90 m, que alteração aconteceria na frequencia com a qual você deveria fazer oscilar a mangueira? Que alteração aconteceria na potência formecida? Suponha que a velocidade permaneça constante
Se a mangueira estivesse cheia de água a potência a ser fornecida sofreria alteração?
Alterações no meio, uma fronteira, um obstáculo, uma fenda ou mesmo uma segunda onda, são suficientes para alterar uma onda que se propaga
Reflexão, refração, polarização, difração e interferência
INTERAÇÃO DE ONDAS C/ O MEIO 
		 DIFRAÇÃO DE ONDAS
DIFRAÇÃO É A PROPRIEDADE QUE UMA ONDA POSSUI DE CONTORNAR OBSTÁCULOS.
Podemos acentuar a difração de uma onda fazendo-a passar por um orifício, pois assim terá que contornar dois obstáculos:
Acontece interferência quando uma onda se encontra com uma ou mais ondas. Uma vez cessada a interferência a superposição se encerra e cada uma das ondas segue inalterada. 
PRINCÍPIO DE FOURIER 
Se a onda, ao atravessar uma fenda, sofrer restrição ao movimento em alguma direção, diz-se que foi polarizada. A polarização acontece apenas em ondas transversais; nas ondas longitudinais o movimento de oscilação dá-se na mesma direção que a propagação. 
 
Polarização
Se uma onda encontra uma fronteira e o comprimento de onda for desprezível em relação às dimensões de todas as partes do sistema no novo meio no qual a onda se propagará haverá uma refração. Como a mudança de meio provoca uma alteração na velocidade de propagação, o comprimento de onda também será alterado.  
V1 = λ1 f, V2 = λ2 f
V1 / λ1 = V2 / λ2 
mas a frequência é característica da fonte que emitiu a onda e constante
A refração pode ser acompanhada de uma mudança de direção, caso a incidência não seja normal na fronteira.
Refração
Quando uma onda atinge as fronteiras do meio no qual ela se propaga, pode
retornar completa ou parcialmente: este fenômeno recebe o nome de reflexão e pode acontecer total ou parcialmente, com ou sem inversão de fase, dependendo das propriedades dos meios.
Reflexão
acontece quando a extremidade encontra-se rigidamente fixa. O pulso refletido se move no sentido oposto ao pulso incidente e seu deslocamento é também oposto. É como se a onda continuasse normalmente, porém se propagando em sentido contrário. 
Reflexão com inversão de fase
Reflexão com inversão de fase
		 INTERFERÊNCIA
Vamos bater com dois dedos, ao mesmo tempo, na superfície da água.
 Duas ondas serão criadas.Criaremos cristas e vales simultaneamente nas duas ondas. 
As ondas estarão em fase. As duas ondas irão se sobrepor ao se propagarem na superfície do líquido.
mecânicas  necessitam de um meio material para sua propagação
longitudinais  a direção de propagação coincide com a direção de vibração
tridimensionais  propagam-se nas três dimensões do espaço
ONDAS SONORAS
Ruído:“som indesejável, ondas sonoras que não obedecem a nenhuma periodicidade, som que interfere
som musical: ondas sonoras produzidas pela vibração periódica de uma fonte
infrassom:som com freqüência inferior àquela capaz de provocar sensação auditiva no ser humano (f  20 Hz)
ultrassom:som com freqüência superior àquela capaz de provocar sensação auditiva no ser humano (f  20.000 Hz)
Ondas Sonoras
homem: ouvem se 20 Hz  f  20.000 Hz
morcegos: percebem frequências até 120.000 Hz
cães: percebem frequências até 50.000 Hz
homem: percebem f entre 20 e 20.000 Hz
 v (sólidos)  v (líquidos)  v (gases)
meio material
velocidade do som (m/s)
ouro
3,2 x 103
ferro
5,0 x 103
água
1,5 x 103
ar
340
Altura: 
Sensação subjetiva de ordenação dos sons
Caracteriza-se pela frequência da onda sonora
baixa frequência  som grave
alta frequência  som agudo
NÍVEL DE INTENSIDADE DO SOM
Graves e agudos
Intensidade: é a qualidade que permite ao ouvido diferenciar os sons fracos dos sons fortes. A experiência mostra que o nível de intensidade sonora varia aprox. com o logaritmo de intensidade do som.
 Considerando Io como a menor intensidade de som audível (Io =10-12 W/m2) e I a intensidade do som
que se quer determinar, define-se: nível de intensidade = log(I/Io)
A unidade de medida é o bel em homenagem a Alexander Grahan Bell
Intensidade
Relaciona-se à amplitude da onda sonora
I = potência / área
Como P = dE / dt  I = dE/ dt dA
Unidade SI: J/s m2 = W/m2
Intensidade mínima sonora audível depende: 
da pessoa
da freqüência
IO = 10-12 W/m2 (para 100 Hz, ouvido humano normal)
IO = 10-12 W/m2 referência (intensidade mínima audível)
Intensidade: I
uma relação entre intensidades, para quantificá-la utiliza-se a expressão bel (B) 
 = log I / Io 
É comum utilizar o decibel (dB): 1dB = 0,1B
1- Se I = IO   = 0
 ( = log I / Io = log 1 = 0)
2- Se I = 2 IO   = 0,3 B
 ( = log I / Io = log 2Io / Io = log 2 = 0,3)
3-Se I = 3 IO   = 0,5 B
 ( = log I / Io = log 3Io / Io = log 3 = 0,5 )
4-Se I = 100 IO   = 2 B
 = log I / Io = log 100Io / Io = log 100 = log 102 = 2 log 10)
 
Nível de Intensidade
1-Se o nível de intensidade de um som é 50 dB, 
a) Quantas vezes a intensidade sonora deste som é maior que a intensidade de referência? 
b) Se o nível de intensidade de um som é 50 dB, qual é a intensidade deste som?
2-Qual a relação entre as intensidades de um som de 60 db e a intensidade de um som de 70 dB
3- Duas máquinas, juntas, apresentam nível de intensidade de 92 dB. Se uma deles apresenta nível sonoro de 75 dB, determine o nível sonoro da outra máquina.
 
EXERCÍCIOS
A legislação brasileira proíbe o uso de buzinas em regiões próximas a hospitais, escolas e dentro de túneis. Se um motorista buzinar dentro de um túnel com um nível de intensidade sonora igual a 90dB. Determine qual será o nível de intensidade sonora dentro do mesmo túnel se 10 motoristas buzinarem simultaneamente, com a mesma intensidade sonora?
Exercício
Resolução
9 = log I / Io 
109 = I/ 10-12
I= 10-3 W/m2
Para resolver este problema devemos considerar a equação que descreve a intensidade do nível sonoro, ou seja:
 = log I / Io 
Lembrando que a intensidade sonora equivalente ao limiar da sensação audível (LSA) é igual a:
IO = 10-12 W/m2
Usando estes dados e o que já foi dito no problema podemos calcular qual será a intensidade sonora de cada buzina:
Conhecendo a intensidade de cada buzina podemos descobrir a intensidade resultante das 10 buzinas funcionando simultaneamente:
Então basta calcularmos o nivel da intensidade sonora para as 10 buzinas: R= 10B
Duas máquinas, juntas, têm apresentam nível de intensidade de 92 dB. Se uma deles apresenta nível sonoro de 75 dB, determine o nível sonoro da outra máquina.