Geometria Analítica: Equação da Circunferência

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12- EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
12.1- EQUAÇÃO REDUZIDA 
 
No caso de uma circunferência de centro C(x0, y0) e raio r, dados, temos: 
 
P(x, y)  curva  dCP = r  
2
CPd
 
= r2 
 
Usando a fórmula da distância entre dois pontos, vem: 
 
dCP = 
2
0
2
0 )()( yyxx 
 
2
CPd
 
= 
 22020 )()( yyxx 
 = r2 
 
daí, resulta a equação reduzida da circunferência, dada por 
 
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 
 
Exemplos: 
 
1- Dê a equação reduzida da circunferência de centro C(3, -1) e raio r = 2: 
 
 
 
 
 
 
2- Dê o centro e o raio da circunferência dada pela equação (x + 4)2 + (y – 7)2 = 25: 
 
 
 
 
 
 
12.2- EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 Partindo da equação reduzida, temos: 
 
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 
x2 – 2x0x + 
2
0x
 + y2 – 2y0y + 
2
0y
 – r2 = 0 
x2 + y2 – 2x0x – 2y0y + (
2
0x
 + 
2
0y
 – r2) = 0 
 
fazendo – 2x0 = a, – 2y0 = b e 
2
0x
 + 
2
0y
 – r2 = c, obtemos assim a equação geral da circunferência, 
dada por 
x2 + y2 + ax + by + c = 0 
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 Observe que – 2x0 = a  x0 = 
2
a
 
 – 2y0 = b  y0 = 
2
b
 
 
 
2
0x
 + 
2
0y
 – r2 = c  r = 
cyx  20
2
0
 
 
Exemplos: 
 
1- Obtenha a equação geral da circunferência de centro C(2, 3) e raio 1. 
 
 
 
 
 
2- Obtenha o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 – 8x + 12y + 3 = 0. 
 
 
 
 
 
12.3- A CIRCUNFERÊNCIA DEFINIDA POR TRÊS PONTOS 
 
 Caso nem o centro e nem o raio sejam conhecidos, temos assim três incógnitas a determinar: x0, 
y0 e r. O objetivo é determinar tais incógnitas a partir das condições a que a circunferência deve 
satisfazer. 
 
Exemplos: 
 
1- Determine a equação da circunferência de centro C(2, 0) e que passa pelo ponto P(4, 1). 
 
 
 
 
 
2- Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(2, 0) e N(4, -2) e tem centro na 
reta s: y = 2x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3- Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(3, -1), N(0, 8) e P(0, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.4- POSIÇÕES RELATIVAS E INTERSECÇÕES 
 
 12.4.1- Reta e Circunferência 
 
 Uma reta t e uma circunferência  do plano podem apresentar as seguintes posições 
relativas: 
 
 Secantes Tangentes Exteriores 
 P P P 
 
 Q t t 
 C t C C 
    
 
 d < r e t   = {P, Q} d = r e t   = {P} d > r e t   =  
 
 Dada a equação de t, ax + by + c = 0, o centro e o raio de , C(x0, y0) e r, pode-se estabelecer 
a posição relativa calculando a distância d entre o centro e a reta: 
 
d = 
22
00
ba
cbyax


 
 
 Comparando d com r, temos: 
 
d < r  t e  são secantes 
d = r  t e  são tangentes 
d > r  t e  são exteriores 
 
Exemplo: Considere a reta t: x + y – 4 = 0 e a circunferência  = x2 + y2 = 16 e verifique a 
posição relativa entre t e . 
 
 
 
 
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 12.4.2- Duas Circunferências 
 
 Duas circunferências 1 e 2 do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições 
relativas: 
 
Exteriores Tangentes Exteriormente Secantes 
1 2 1 2 1 2 
 d P P 
 r1 r2 r1 r2 
 
 Q 
d > r1 + r2 e 1  2 =  d = r1 + r2 e 1  2 = {P} r1 – r2 < d < r1 + r2 e 1  2 = {P, Q} 
 
 Uma no Interior da Outra Tangentes Interiormente Concêntricas 
 
 1 1 1 
 
 2 2 2 
 
d < r1 – r2 e 1  2 =  d < r1 – r2 e 1  2 = {P} d < r1 – r2 e 1  2 =  
 caso particular de uma no interior da outra com r1 ≠ r2 
 Quando r1 = r2, 1 e 2 são coincidentes 
 
Exemplo: Verifique qual é a posição relativa das circunferências 1: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 e 
2: (x – 3)2 + (y – 3)2 = 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.5- POSIÇÕES DE UM PONTO EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 Dada uma circunferência , de centro C(x0, y0) e raio r, e um ponto P(xP, yP) temos: 
 
1- P    dCP = r  (xP – x0)2 + (yP – y0)2 = r2  (xP – x0)2 + (yP – y0)2 – r2 = 0. 
2- P  interior de   dCP < r  (xP – x0)2 + (yP – y0)2 < r2  (xP – x0)2 + (yP – y0)2 – r2 < 0. 
3- P  exterior de   dCP > r  (xP – x0)2 + (yP – y0)2 > r2  (xP – x0)2 + (yP – y0)2 – r2 > 0. 
 
 P P P 
 C C CP   P  interior de  P  exterior de  
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Exemplo: Verifique a posição dos pontos M(1, 2), N(√3, -1) e P(0, √2) em relação à circunferência 
: x2 + y2 – 4 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1- Dar a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos casos: 
 
a) C = (3, 5) e r = 2 b) C = (0, 2) e r = 5 
 
2- Escrever na forma geral a equação da circunferência de centro C e raio r nos casos: 
 
a) C = (1, -2) e r = 4 b) C = (2, 0) e r = 1 
 
3- Dar o centro e o raio das circunferências: 
 
a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4 b) x2 + y2 = 1 
 
4- Determinar o centro e o raio da circunferência de equação 4x2 + 4y2 + 8x – 4y – 3 = 0. 
 
5- Determinar a equação da circunferência de centro C(3, 2) e que passa pelo ponto P(5, 5). 
 
6- Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos P(-2, 0), Q(0, 2) e R(4, 0). 
 
7- Verificar a posição relativa de t e  nos casos: 
 
a) t = x + y + 1 = 0 e : x2 + y2 = 2 
b) t = x + y + 2 = 0 e : x2 + y2 = 2 
c) t = x + y + 3 = 0 e : x2 + y2 = 2 
 
8- Dar a posição de P em relação a  nos casos: 
 
a) P(4, 4) e : (x – 3)2 + (y – 2)2 – 4 = 0 
b) P(3, 1) e : x2 + y2 – 4x – 2y + 4= 0 
c) P(5, 3) e : x2 + y2 – 8x = 0 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) (x – 3)2 + (y – 5)2 = 4; b) x2 + (y – 2)2 = 25. 2- a) x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0; b) x2 + y2 – 4x + 3 = 0. 3- C(2, 3) e 
r = 2; b) C(0, 0) e r = 1. 4- C(-1, 1/2) e r =√2. 5- (x – 3)2 + (y – 2)2 = 13. 6- (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10. 7- a) secantes; 
b) tangentes; c) exteriores. 8- a) exterior; b) pertence; c) interior.