Superfícies Quádricas

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Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
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14- SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 
Def.: É o conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio 
de segundo grau de no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície: 
 
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 
 
Se o termo J da equação acima for nulo, a quádrica passa pela origem, pois o ponto O = (0, 0, 0) 
satisfaz a equação. 
Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se 
movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x, y, z é 
possível representar uma superfície quadrática. 
Observe que se a superfície quadrática formada pela equação geral for cortada por um plano, a 
curva de interseção será uma cônica. 
 
 
14.1- SUPERFÍCIE ESFÉRICA 
 
Considere a superfície esférica (ou esfera) de centro C(x0, y0, z0) e raio r, representada por . 
Seja P(x, y, z) um ponto genérico do IR3, então 
 
P    dCP = r  
2
CPd
 
= r2 
 
Usando a fórmula da distância entre dois pontos, vem: 
 
dCP = 
2
0
2
0
2
0 )()()( zzyyxx 
 
2
CPd
 
= 
 2202020 )()()( zzyyxx 
 = r2 
 
daí, resulta a equação reduzida da esfera, dada por 
 
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2= r2 
 
Exemplos: 
 
1- Dê a equação reduzida da esfera de centro C(2, 0, -1) e raio r = 4: 
 
 
 
 
 
 
2- Dê o centro e o raio da esfera dada pela equação (x – 3)2 + (y – 5)2 + (z + 2)2 = 1: 
 
 
 
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 14.1.1- EQUAÇÃO GERAL DA ESFERA 
 
 Partindo da equação reduzida, temos: 
 
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2 
x2 – 2x0x + 
2
0x
 + y2 – 2y0y + 
2
0y
 + z2 – 2z0z + 
2
0z
 – r2 = 0 
x2 + y2 + z2 – 2x0x – 2y0y – 2z0z + (
2
0x
 + 
2
0y
 + 
2
0z
 – r2) = 0 
 
fazendo – 2x0 = a, – 2y0 = b, – 2z0 = c e 
2
0x
 + 
2
0y
 + 
2
0z
– r2 = d, obtemos assim a equação geral 
da esfera, dada por 
x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 
 
 Observe que x0 = 
2
a
, y0 = 
2
b
 e z0 = 
2
c
 
 
 
 r = 
dzyx  20
2
0
2
0
 
 
Exemplos: 
 
1- Obtenha a equação geral da esfera de centro C(2, -1, 1) e raio 3. 
 
 
 
 
 
 
2- Obtenha o centro e o raio da esfera de equação x2 + y2 + z2 – 4x – 6y + 12z – 15 = 0. 
 
 
 
 
 
 
3- Determine a equação geral da superfície esférica de centro C(-1, 0, 1) e que passa pelo ponto 
P(0, 2, 3). 
 
 
 
 
 
 
4- Determinar os pontos de intersecção do eixo das abscissas com a superfície esférica x2 + y2 + 
z2 – 4x – 4y + 3 = 0. 
 
 
 
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14.2- SUPERFÍCIE CÔNICA 
 
Def.: Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto P não 
pertencente a C tal que S é a união das retas PQ, onde Q percorre C. 
 
Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço. 
 
Elipsóide 
1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
 
 
Elipsóide de Revolução 
(caso particular do elipsóide) 1
2
2
2
2
2
2

b
z
a
y
a
x
 
 
Esfera 
(caso particular do elipsóide de 
revolução) 
1
2
2
2
2
2
2

a
z
a
y
a
x
 
 
Parabolóide elíptico 
0
2
2
2
2
 z
b
y
a
x
 
 
Parabolóide de revolução (caso 
particular do parabolóide elíptico) 0
2
2
2
2
 z
a
y
a
x
 
Parabolóide hiperbólico 
0
2
2
2
2
 z
b
y
a
x
 
 
Hiperbolóide de uma folha 
1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
 
 
Hiperbolóide de duas folhas 
1
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
 
 
Cone 
0
2
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
 
 
 
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14.3- SUPERFÍCIE CILÍNDRICA 
 
Def.: Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a 
união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas 
paralelas a r são geratrizes de S. 
 
Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço. 
 
 
Cilindro elíptico 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
 
Cilindro Circular 
1
2
2
2
2

a
y
a
x
 
Cilindro hiperbólico 
1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
 
Cilindro parabólico x2 + 2y = 0 
 
 
Exercícios 
 
1- Identifique e esboce as seguintes quádricas: 
 
a) x2 + y2 + z2 – 4x – 6y – 10z + 13 = 0 
 
b) 
2
16259
222

zyx
 
 
c) x2 + y2 – z = 4 
 
d) x3 – z3 + 3xz2 – y – z = 0 
 
e) 4x2 + 4y2 – z2 = 4 
 
f) z = 4x2 – y2