TRANSLAÇÕES DE GRÁFICOS ETC

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UEM – CCE – DMA – Cálculo Diferencial e Integral I –2013 
 
IGUALDADE DE FUNÇÕES 
 
Definição: Duas funções f e g são iguais se possuem o mesmo domínio A e se, para todo x em A , 
( ) ( )f x g x= . 
 
FUNÇÕES GERADAS POR OUTRAS FUNÇÕES 
 
 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
 
Considere f : A⊂ ℜ→ℜ e g : B ⊂ ℜ→ℜ. Definimos, 
 
Função multiplicação do escalar k pela função f: kf (x) = (kf )(x), com Dom(kf ) = A 
 
Função soma de f e g: ( f + g)(x) = f (x) + g(x), com Dom( f + g) = A ∩ B. 
 
Função diferença de f e g: ( f − g)(x) = f (x) − g(x), com ( f − g) = A ∩ B 
 
Função produto de f e g: ( f g)(x) = f (x) , g(x), com Dom( f g) = A ∩ B . 
 
Função quociente de f e g: ( )( ) ( )
f f x
xg g x
 
= 
 
, com ( / ) { ; ( ) 0}Dom f g A B x B g x= ∩ − ∈ ≠ 
 
Função composta: Considere f e g com g : A⊂ ℜ→ ℜ e f : B ⊂ ℜ→ℜ , isto é, duas funções f 
 
A função composta de f com g , denotada por f g� , é a função :f g C ⊂ ℜ → ℜ� definida como 
( )( ) = ( ( ))f g x f g x� com ( ) = { ; ( ) } .Dom f g x Domg g x Dom f∈ ∈� 
 
 
 
 
 
 
Note que, 
 
1 – A operação de composição não é comutativa, isto é, f g g f≠� � 
 
2 – É possível fazer a composta de mais de duas funções. Se f : A→B , g : B→C e h :C →D , então a 
composta h g f� � é definida como 
 
( )( ) ( ( ( )))h g f x h g f x=� � com ( ) { | ( ) e g( ( )) }Dom h g f x Domf f x Domg f x Dom h= ∈ ∈ ∈� � 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTRUÇÕES DE GRÁFICOS A PARTIR DE TRANSFORMAÇÕES 
 
 Dadas uma função f e uma constante real positiva c , segue que: 
 
(1) o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x f x c= − , é obtido por uma translação horizontal do gráfico 
de f , de c unidades à direita. 
(2) o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x f x c= + , é obtido por uma translação horizontal do gráfico 
de f , de c unidades à esquerda. 
(3) o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x f x c= − , é obtido por uma translação vertical do gráfico de 
f , de c unidades para baixo. 
(4) o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x f x c= + , é obtido por uma translação vertical do gráfico de 
f , de c unidades para cima. 
(5) se 0 1c< < , o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x f cx= , é obtido por uma expansão horizontal 
do gráfico de f . 
(6) se 1c > , o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x f cx= , é obtido por uma contração horizontal do 
gráfico de f . 
(7) se 0 1c< < , o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x c f x= , é obtido por uma contração vertical do 
gráfico de f . 
(8) se 1c > , o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x c f x= , é obtido por uma expansão vertical do 
gráfico de f . 
(9) o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x f x= − , é obtido por uma reflexão do gráfico de f em torno 
do eixo x . 
(10) o gráfico da função g definida por ( ) ( )g x f x= − , é obtido por uma reflexão do gráfico de f em 
torno do eixo y . 
 
ALGUMAS SIMETRIAS 
 
Dado o ponto P de coordenadas ( , )P x y= , seu simétrico 'P em relação: 
(1) ao eixo y tem coordenadas ' ( , )P x y= − . 
(2) ao eixo x tem coordenadas ' ( , )P x y= − . 
(3) à origem ( , )0 0 tem coordenadas ' ( , )P x y= − − . 
(4) à reta de equação x a= tem coordenadas ' ( , )2P a x y= − . 
(5) à reta de equação y b= tem coordenadas ' ( , )2P x b y= − . 
(6) ao ponto ( , )a b tem coordenadas ' ( , )2 2P a x b y= − − . 
(7) à reta de equação y x= tem coordenadas ' ( , )P y x= . 
 
 
 
ALGUMAS DEFINIÇÕES IMPORTANTES 
 
(1) Dizemos que uma função f é limitada se, existe uma constante real positiva k tal que 
( ) , .f x k x Dom f≤ ∀ ∈ 
(2) Dizemos que uma função :f D → ℝ é crescente em D se, ( ) ( )
1 2 1 2
x x f x f x< ⇒ < , ,
1 2
x x D∀ ∈ . 
(3) Dizemos que uma função :f D → ℝ é decrescente em D se, ( ) ( )
1 2 1 2
x x f x f x< ⇒ > , ,
1 2
x x D∀ ∈ . 
(4) Dizemos que uma função :f D → ℝ é não decrescente em D se, ( ) ( )
1 2 1 2
x x f x f x< ⇒ ≤ , ,
1 2
x x D∀ ∈ . 
(5) Dizemos que uma função :f D → ℝ é não crescente em D se, ( ) ( )
1 2 1 2
x x f x f x< ⇒ ≥ , ,
1 2
x x D∀ ∈ . 
(6) Dizemos que uma função :f D → ℝ é monótona em D se, f é crescente ou decrescente ou não 
decrescente ou não crescente em D. 
(7) Dizemos que uma função f é injetora (um a um) se, ( ) ( ) , ,
1 2 1 2 1 2
x x f x f x x x Dom f≠ ⇒ ≠ ∀ ∈ . Ou 
equivalentemente se, ( ) ( ) , ,
1 2 1 2 1 2
f x f x x x x x Dom f= ⇒ = ∀ ∈ . 
(8) Dizemos que uma função f é sobrejetora se, para todo real y, existir x Dom f∈ tal que ( )y f x= . 
(9) Dizemos que uma função f é bijetora se, f é injetora e sobrejetora. 
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
Consideremos uma função f injetora. Assim, para cada Imy f∈ , existe um único x Dom f∈ tal que 
( )y f x= . Dessa forma, existe uma função definida na Im f , denotada por 1f − , chamada de função inversa 
de f , dada por 
( ) ( )1y f x x f y−= ⇔ = . 
 
Note que Im1Dom f f− = e Im 1f Dom f− = . 
 
Além disso: 
� ( )( ) ,1 1f f u u u Dom f− −= ∀ ∈� e ( )( ) ,1f f v v v Dom f− = ∀ ∈� . 
� O gráfico da função inversa 1f − é simétrico ao gráfico da função f em relação à reta de equação .y x= 
 
Dizemos que uma função f é invertível se, existe sua inversa 1f − . 
OBS: 1 1f f
− ≠