Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS MAURO C. M. CAMPOS Suma´rio 1. Cap´ıtulo 5 - Probabilidade 1 2. Cap´ıtulo 6 - Varia´veis Aleato´rias Discretas 4 3. Cap´ıtulo 7 - Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas 9 Refereˆncias 11 Observac¸a˜o 1. A maioria dos exerc´ıcios dessa lista foram tirados do nosso livro- texto (refereˆncia [1]), entretanto a numerac¸a˜o aqui na˜o e´ equivalente a` numerac¸a˜o do livro. 1. Cap´ıtulo 5 - Probabilidade Exerc´ıcio 1. Lance um dado ate´ que a face 5 aparec¸a pela primeira vez. Enumere os poss´ıveis resultados desse experimento. soluc¸a˜o. O nu´mero 5 representa a face 5 e a letra Q representa qualquer face diferente da face 5. Assim o espac¸o amostral e´ dado pelo conjunto S = {5, Q5, QQ5, QQQ5, . . .} Exerc´ıcio 2. Treˆs jogadores A, B e C disputam um torneio de teˆnis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando sa˜o disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais sa˜o os resultados poss´ıveis do torneio? soluc¸a˜o. O espac¸o amostral e´ dado pelo conjunto S = {(AA), (BB), (ACC), (BCC), (ACBB), (ACBA), (BCAA), (BCAB)} Exerc´ıcio 3. Considere o exerc´ıcio 1. Atribua probabilidade (5/6)k(1/6) a cada ponto de S com k letras iguais a Q seguidas de 5. (1) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos amostrais e´ igual a um; (2) Calcule a probabilidade de que a face 5 aparec¸a apo´s treˆs lanc¸amentos do dado. soluc¸a˜o. Seja sk = Q k vezes· · · Q5. Assim P (sk) = (5/6)k(1/6). Assim∑ k≥0 P (sk) = ∑ k≥0 ( 5 6 )k 1 6 = 1/6 1− (5/6) = 1. Ale´m disso, P (De que a face 5 aparec¸a apo´s 3 lanc¸amentos) = P (s2) = ( 5 6 )2 1 6 . Date: 15 de abril de 2007. 1 2 MAURO C. M. CAMPOS Exerc´ıcio 4. Dentre seis nu´meros positivos e oito negativos, dois nu´meros sa˜o escolhidos ao acaso, sem reposic¸a˜o e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo? soluc¸a˜o. Sejam x e y os nu´meros escolhidos ao acaso e sem reposic¸a˜o e considere o evento A = {(x, y) ∈ S;xy > 0}. Segue que P (A) = 1− P (Ac) = 1− C 6 1C 8 1 C142 = 43 91 Observac¸a˜o 2. Ao longo do texto temos que Cyx = y! x!(y − x)! . Exerc´ıcio 5. Considere a figura ao lado do exerc´ıcio 20 do cap´ıtulo 5 do livro-texto. Essa figura apresenta um sistema com treˆs componentes funcionando independen- temente, com confiabilidades p1, p2 e p3. Obtenha a confiabilidade do sistema. soluc¸a˜o. Seja C a confiabilidade do sistema, isto e´, C = P (Do sistema funcionar). Considere Ai = o componente i esta´ funcionando, onde i = 1, 2, 3. Assim C = P (A1 ∩ (A2 ∪A3)) = P (A1 ∩A2) + P (A1 ∩A3)− P (A1 ∩A2 ∩A3) Como os eventos Ai sa˜o independentes, segue que C = P (A1)P (A2) + P (A1)P (A3)− P (A1)P (A2)P (A3) = p1(p2 + p3 − p2p3). Observe que C e´ uma func¸a˜o de p1, p2 e p3, ou seja, C = h(p1, p2, p3) = p1(p2 + p3 − p2p3). Exerc´ıcio 6. Um empresa produz circuitos em treˆs fa´bricas, denotadas por I, II e III. A fa´brica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito produzido por essas fa´bricas na˜o funcione sa˜o 0,01, 0,04 e 0,03 respectivamente. (1) Escolhido ao acaso um circuito da produc¸a˜o conjunta das treˆs fa´bricas, qual a probabilidade do circuito na˜o funcionar; (2) Suponha que o circuito escolhido ao acaso seja defeituoso. Determine qual a probabilidade do circuito ter sido fabricado por I. soluc¸a˜o. Considere os eventos Ai = O circuito escolhido da produc¸a˜o conjunta foi fabricado pela fa´brica I, onde i = 1, 2, 3 e B = O circuito escolhido da produc¸a˜o conjunta na˜o funciona. Assim P (B) = 3∑ i=1 P (Ai)P (B|Ai) = 0, 4(0, 01) + 0, 3(0, 04) + 0, 3(0, 03) = 140 = 0, 025. Ale´m disso, segue do teorema de Bayes que P (A1|B) = P (A1)P (B|A1)∑3 i=1 P (Ai)P (B|Ai) = 4/1000 25/1000 = 0, 16. I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 3 Exerc´ıcio 7. Suponha que de N objetos, n (admita n < N) sejam escolhidos ao acaso e com reposic¸a˜o. Qual e´ a probabilidade de que nenhum objeto seja escolhido mais de uma vez? soluc¸a˜o. O = {o1, . . . , oN} representa o o conjunto dos N objetos. Assim o espac¸o amostral pode ser escrito como S = {s = (s1, . . . , sn); si ∈ O, i = 1, . . . , n}. e observe que |S| = Nn. Agora considere o evento A = A amostra na˜o conte´m objetos repetidos, que na notac¸a˜o de conjunto pode ser escrito como A = {(s1, . . . , sn) ∈ S; s1 6= . . . 6= sn}. Agora observe que |A| = N(N − 1)(N − 2) · . . . · [N − (n− 1)]. Assim P (A) = |A| |S| = N(N − 1)(N − 2) · . . . · (N − n+ 1) Nn Observac¸a˜o 3. O exerc´ıcio 7 e´ equivalente ao exerc´ıcio 53 do cap´ıtulo 5 do livro- texto. Ale´m disso, o exerc´ıcio 62 do cap´ıtulo 5 do livro-texto e´ uma aplicac¸a˜o do exerc´ıcio 53. Exerc´ıcio 8. Mostre que se P (A|B) > P (A), enta˜o P (B|A) > P (B). soluc¸a˜o. De fato P (B|A) = P (A ∩B) P (A) = P (B)P (A|B) P (A) > P (B)P (A) P (A) = P (B). Exerc´ıcio 9. Existem 4 bolas numa urna, numeradas por 000, 011, 101 e 110. Selecione uma bola ao acaso da urma e considere os eventos Ai = Na bola selecionada, o nu´mero 1 aparece na posic¸a˜o i, onde i = 1, 2, 3 e B = A1 ∩A2 ∩A3. (1) Calcule P (Ai) e P (A); (2) Mostre que os eventos Ai sa˜o mutuamente independentes, mas na˜o sa˜o independentes. soluc¸a˜o. De fato P (Ai) = 2 4 = 1 2 para todo i e P (A) = P (∅) = 0. Os eventos Ai sa˜o mutuamente independentes, pois P (Ai ∩Aj) = 14 = 1 2 · 1 2 = P (Ai)P (Aj) para todo i 6= j. Mas P (A1 ∩A2 ∩A3) = 0 6= 18 = P (A1)P (A2)P (A3). Portanto, os eventos A1, A2 e A3 na˜o sa˜o independentes. 4 MAURO C. M. CAMPOS 2. Cap´ıtulo 6 - Varia´veis Aleato´rias Discretas Exerc´ıcio 10. Considere uma urna contendo treˆs bolas vermelhas e cinco pretas. Retire treˆs bolas, sem reposic¸a˜o, e defina uma v.a. aleato´ria X igual ao nu´mero de bolas pretas. Obtenha a distribuic¸a˜o de X. soluc¸a˜o. Observe que X assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}. Portanto a distribuic¸a˜o de X e´ dada por P (X = x) = C5xC 3 3−x C83 para x = 0, 1, 2, 3. Explicitamente temos X 0 1 2 3 P (X = x) 1/56 15/56 30/56 10/56 Tabela 1. A dstribuic¸a˜o de X Exerc´ıcio 11. Repita o problema anterior, mas considerando extrac¸o˜es com re- posic¸a˜o. soluc¸a˜o. Novamente observe que X assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}. Pore´m, nesse caso, a distribuic¸a˜o de X e´ dada por P (X = x) = C3x ( 5 8 )x(3 8 )3−x para x = 0, 1, 2, 3. Explicitamente temos X 0 1 2 3 P (X = x) (3/8)3 3(5/8)(3/8)2 3(5/8)2(3/8) (5/8)3 Tabela 2. A distribuic¸a˜o de X Exerc´ıcio 12. Suponha que uma moeda perfeita e´ lanc¸ada ate´ que cara aparec¸a pela primeira vez. Seja X o nu´mero de lanc¸amentos ate´ que isso acontec¸a. Obtenha a distribuic¸a˜o de X. soluc¸a˜o. Observe que X assume valores no conjunto {1, 2, 3, . . .}. Portanto a distribuic¸a˜o de X e´ dada por P (X = x) = ( 1 2 )x−1(1 2 ) = 1 2x para x = 0, 1, 2, 3, . . .. Exerc´ıcio 13. Repita o problema anterior, considerando agora que a moeda e´ viciada, sendo a probabilidade de cara dada por p, onde 0 < p < 1. soluc¸a˜o. Nesse caso, a distribuic¸a˜o de X e´ dada por P (X = x) = (1− p)x−1p para x = 0, 1, 2, 3, . . .. Exerc´ıcio 14. Uma moeda perfeita e´ lanc¸ada quatro vezes. Seja Y o nu´mero de caras obtidas. Calcule a distribuic¸a˜o de Y . I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 5 soluc¸a˜o. Observe que Y assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Portanto a distribuic¸a˜o de Y e´ dada por P (Y = y) = C4y ( 1 2 )y ( 1− 1 2 )4−y = C4y 24 para y = 0, 1, 2, 3, 4. Exerc´ıcio 15. Repita o problema anterior, considerando agora que a moeda e´ viciada, sendo a probabilidade de cara dada por p, onde 0 < p < 1. soluc¸a˜o. Observeque Y assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Portanto a distribuic¸a˜o de Y e´ dada por P (Y = y) = C4yp y(1− p)4−y para y = 0, 1, 2, 3, 4. Exerc´ıcio 16. Generalize o problema anterior para n lanc¸amentos da moeda. soluc¸a˜o. Observe que Y assume valores no conjunto {0, 1, . . . , n}. Portanto a distribuic¸a˜o de Y e´ dada por P (Y = y) = Cny p y(1− p)n−y para y = 0, 1, . . . , n. Exerc´ıcio 17. Seja X uma v.a. discreta assumindo valores no conjunto {1, 2, 3} e com distribuic¸a˜o de probabilidade dada por X 1 2 3 P (X = x) 1/3 1/6 1/2 Tabela 3. A distribuic¸a˜o de X (1) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X; (2) Calcule a me´dia e a variaˆncia de X; (3) Calcule P (X ≥ 2) e P (X > 2). soluc¸a˜o. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X e´ definida por FX(x) = P (X ≤ x) = ∑ y;y≤x P (X = y) para todo x ∈ R. Portanto FX(x) = 0 se x < 1 1/3 se 1 ≤ x < 2 1/2 se 2 ≤ x < 3 1 se x ≥ 3. A me´dia de X e´ dada por E(X) = ∑ x xP (X = x) = 1 · 1 3 + 2 · 1 6 + 3 · 1 2 = 13 6 . Como E(X2) = ∑ x x2P (X = x) = 1 · 1 3 + 4 · 1 6 + 9 · 1 2 = 33 6 , segue que a variaˆncia de X e´ dada por V (X) = E(X2)− [E(X)]2 = 33 6 − ( 13 6 )2 = 29 36 . 6 MAURO C. M. CAMPOS Outra forma de encontrar a V (X) seria calcular a soma V (X) = E[(X − E(X))2] = ∑ x (x− (13/6))2P (X = x). Finalmente, P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 2 3 e P (X > 2) = P (X = 3) = 1 2 . Exerc´ıcio 18. Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por 50 mil u.m. (com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total de vendas dia´rias desse vendedor, escreva a func¸a˜o de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de vendas dia´rias. soluc¸a˜o. Seja N uma v.a. discreta que modela o nu´mero dia´rio de clientes visitados pelo vendedor. A distribuic¸a˜o de N e´ dada por N 1 2 P (N = n) 1/3 2/3 Tabela 4. A distribuic¸a˜o de N Agora, defina uma outra v.a. V que modela o nu´mero de vendas dia´rias do vendedor. Na˜o e´ dif´ıcil ver que V assume valores no conjunto {0, 1, 2} e que P (V = v) = P ( 2⋃ n=1 [N = n, V = v] ) (Obs.: A v´ırgula representa ∩) = 2∑ n=1 P (N = n, V = v) = 2∑ n=1 P (N = n)P (V = v|N = n) P (V = v) = P (N = 1)P (V = v|N = 1) + P (N = 2)P (V = v|N = 2) para v = 0, 1, 2. Assim P (V = 0) = 1 3 · 9 10 + 2 3 · 9 10 · 9 10 = 126 150 P (V = 1) = 1 3 · 1 10 + 2 · ( 2 3 · 1 10 · 9 10 ) = 23 150 P (V = 2) = 1 3 · 0 + 2 3 · 1 10 · 1 10 = 1 150 . Como Y = 50000V , segue imediatamente que a distribuic¸a˜o de Y e´ dada por Y 0 50000 100000 P (Y = y) 126/150 23/150 1/150 Tabela 5. A distribuic¸a˜o de Y e que o valor total esperado de vendas dia´rias e´ E(Y ) = 0 · 126 150 + 50000 · 23 150 + 100000 · 1 150 = 8333,33 u.m.. I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 7 Exerc´ıcio 19. O tempo T , em minutos, necessa´rio para um opera´rio processar certa pec¸a e´ uma v.a. com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade T 2 3 4 5 6 7 P (T = t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 Tabela 6. A distribuic¸a˜o de T (1) Calcule o tempo me´dio de processamento; (2) Para cada pec¸a processada, o opera´rio ganha um fixo de 2,00 u.m., mas, se ele processa a pec¸a em menos de seis minutos, ganha 0,50 u.m. em cada minuto poupado. Encontre a distribuic¸a˜o, a me´dia e a variaˆncia da v.a. G que modela o ganho por pec¸a. soluc¸a˜o. O tempo me´dio de processamento e´ dado por E(T ) = ∑ t tP (T = t) = 2(0, 1) + 3(0, 1) + 4(0, 3) + 5(0, 2) + 6(0, 2) + 7(0, 1) = 4, 6 min. A v.a. G e´ uma func¸a˜o de T (G = f(T )) definida por G = { 2 se T ≥ 6 2 + 0, 5(6− T ) caso contra´rio. A distribuic¸a˜o de G e´ dada por P (G = g) = { P (T ≥ 6) se g = 2 P (T = t) se g = 2 + 0, 5(6− t) para t = 2, 3, 4, 5. Explicitamente G 2 2,5 3 3,5 4 P (G = g) 0,3 0,2 0,3 0,1 0,1 Tabela 7. A distribuic¸a˜o de G Finalmente e´ simples ver que E(G) = 2, 75 u.m. e que V (G) = 0, 4125 (u.m)2. Exerc´ıcio 20. Considere um lote contendo 25 pec¸as das quais 5 sa˜o defeituosas. Quatro pec¸as foram escolhidas ao acaso e seja X o nu´mero de pec¸as defeituosas encontradas nessa amostra. (1) Determine a distribuic¸a˜o de X se a amostra foi obtida com reposic¸a˜o; (2) Determine a distribuic¸a˜o de X se a amostra foi obtida sem reposic¸a˜o. soluc¸a˜o. Se a amostra foi obtida com reposic¸a˜o, enta˜o X ∼ Binomial(4, 1/5), ou seja, P (X = x) = C4x ( 1 5 )x(4 5 )4−x para x = 0, 1, 2, 3, 4. Se a amostra foi obtida sem reposic¸a˜o, enta˜o X ∼ Hipergeome´trica(25, 5, 4), ou seja, P (X = x) = C5xC 20 4−x C254 para x = 0, 1, 2, 3, 4. 8 MAURO C. M. CAMPOS Exerc´ıcio 21. Um lote de dez motores ele´tricos deve ser totalmente rejeitado ou vendido, dependendo do resultado do seguinte experimento: • Dois motores sa˜o escolhidos ao acaso e inspecionados. Se pelo menos um motor apresentar problemas no seu funcionamento, o lote sera´ rejeitado. Caso contra´rio, o lote sera´ vendido. Considere que cada motor custe 75 u.m. para ser fabricado e seja vendido por 175 u.m.. Se o lote de dez motores conte´m treˆs defeituosos, calcule: (1) o lucro esperado do fabricante se a amostra e´ feita com reposic¸a˜o; (2) o lucro esperado do fabricante se a amostra e´ feita sem reposic¸a˜o. soluc¸a˜o. Seja X o nu´mero de motores defeituosos encontrados na amostra de tamanho 2 e observe que X ∈ {0, 1, 2}. A varia´vel lucro, denotada por L, e´ definida por L = { −10(75) se X ≥ 1 10(175− 75) se X = 0. Portanto, o lucro esperado do fabricante e´ dado por E(L) = −750 · P (X ≥ 1) + 1000 · P (X = 0). Se a amostra foi obtida com reposic¸a˜o, enta˜o X ∼ Binomial(2, 3/10), ou seja, P (X = x) = C2x ( 3 10 )x( 7 10 )2−x para x = 0, 1, 2. Nesse caso, E(L) = −750 · 51 100 + 1000 · 49 100 = 107,5 u.m.. Se a amostra foi obtida sem reposic¸a˜o, enta˜o X ∼ Hipergeome´trica(10, 3, 2), ou seja, P (X = x) = C3xC 7 2−x C102 para x = 0, 1, 2. Nesse caso, E(L) = −750 · 24 45 + 1000 · 21 45 = 66,67 u.m.. Exerc´ıcio 22. Em momentos de pico, a chegada de avio˜es a um aeroporto se da´ segundo o modelo de Poisson com taxa de dois avio˜es por minuto. (1) Determine a probabilidade de cinco chegadas em um minuto qualquer do hora´rio de pico; (2) Se o aeroporto pode atender no ma´ximo quatro avio˜es por minuto, qual e´ a probabilidade de haver avio˜es sem atendimento?; (3) Previso˜es para os pro´ximos anos indicam que o tra´fego ae´reo deve dobrar nesse aeroporto, enquanto que a capacidade de atendimento podera´ ser no ma´ximo ampliada em 50%. Como ficara´ a probabilidade de espera por atendimento? soluc¸a˜o. Seja X o nu´mero de avio˜es por minuto que chegam nesse aeroporto no momento de pico. Temos que X ∼ Poisson(2), ou seja, P (X = x) = 2xe−2 x! para x = 0, 1, 2, . . .. Assim P (X = 5) = 25e−2 5! = 8e−2 6 ≈ 0, 036. I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 9 Considere o evento A = Existem avio˜es sem atendimento. Assim P (A) = P (X > 4) = 1− P (X ≤ 4) = 1− e−2 ( 20 0! + 21 1! + 22 2! + 23 3! + 24 4! ) P (A) ≈ 0, 05265302. Agora considere as previso˜es para os pro´ximos anos, que indicam que o tra´fego ae´reo deve dobrar nesse aeroporto e capacidade de atendimento podera´ ser no ma´ximo ampliada em 50%. Nesse cena´rio a probabilidade de espera por atendimento e´ dada por P (A) = P (X > 6) = 1− P (X ≤ 6) ≈ 0, 1106740 ondeX ∼ Poisson(4) (lembre-se queX e´ o nu´mero de avio˜es por minuto que chegam no aeroporto no momento de pico). Exerc´ıcio 23. O custode realizac¸a˜o de um experimento e´ 1000 u.m.. Se o expe- rimento falha, um custo adicional de 300 u.m. tem de ser imposto. Qual o custo esperado do experimento se a probabilidade de sucesso em cada prova e´ 2/10 e se as provas sa˜o independentes e continuadas ate´ a ocorreˆncia do primeiro sucesso? soluc¸a˜o. Seja X o nu´mero de experimentos ate´ que o primeiro sucesso ocorra. Temos que X ∼ Geome´trica(2/10), ou seja, P (X = x) = (0, 8)x−1(0, 2) para x = 0, 1, 2, . . .. A varia´vel custo e´ definida por C = 1300(X − 1) + 1000 = 1300X − 300 e o custo esperado do experimento e´ dado por E(C) = 1300 · E(X)− 300. Como E(X) = 10/2, segue que E(C) e´ de 6200 u.m.. 3. Cap´ıtulo 7 - Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas Exerc´ıcio 24. Encontre o valor da constante c para que f(x) = { cx−2 se x ≥ 10 0 caso contra´rio. seja uma func¸a˜o densidade de probabilidade de uma v.a. X. Calcule P (X > 15). soluc¸a˜o. A func¸a˜o f sera´ uma densidade se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ R e se∫ ∞ −∞ f(x)dx = 1. Assim temos que c = 1∫∞ 10 dx x2 = 10. Assim P (X > 15) = ∫ ∞ 15 10x−2dx = 10 · 1 15 = 2 3 . Exerc´ıcio 25. Considere a v.a. X do exerc´ıcio anterior. Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X. 10 MAURO C. M. CAMPOS soluc¸a˜o. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X e´ definida por F (x) = P (X ≤ x) = ∫ x −∞ f(t)dt para todo x ∈ R. Assim F (x) = { ∫ x −∞ 0dt se x < 10∫ 10 −∞ 0dt+ 10 ∫ x 10 t−2dt se x ≥ 10. Portanto F (x) = { 0 se x < 10 1− (10/x) se x ≥ 10. Observe que f(x) = dF (x) dx , que limx→−∞ F (x) = 0 e que limx→∞ F (x) = 1. Exerc´ıcio 26. A proporc¸a˜o de impurezas em certo mineral, extra´ıdo da natureza, pode ser considerada uma v.a. com a seguinte func¸a˜o densidade de probabilidade f(x) = { 1 se 0 < x < 1 0 caso contra´rio. E´ razoa´vel admitir que o prec¸o de venda desse mineral dependa da proporc¸a˜o de impurezas. Suponha que o mercado estabelec¸a que o kilo desse mineral seja vendido a 100 u.m. se 0 < X < 1/3. Caso contra´rio, o kilo e´ vendido a 60 u.m.. Se o custo de extrac¸a˜o e´ de 30 u.m., encontre a distribuic¸a˜o do lucro por kilo e calcule o lucro esperado por kilo. soluc¸a˜o. Observe que X ∼ Uniforme(0, 1) e que o lucro por kilo, denotado por L, e´ definido por L = { 70 se 0 < X < 1/3 30 caso contra´rio. Assim L 30 70 P (L = l) 2/3 1/3 Tabela 8. A distribuic¸a˜o de L e E(L) = (60/3) + (70/3) ≈ 43,3 u.m.. Exerc´ıcio 27. Suponha que um mecanismo eletroˆnico tenha um tempo de vida T (em 1000 horas) que pode ser considerado uma v.a. cont´ınua com densidade f(t) = { e−t se t > 0 0 caso contra´rio. Admita que o custo de fabricac¸a`o do mecanismo seja 2 u.m. e o prec¸o de venda seja de 5 u.m.. O fabricante garante total devoluc¸a˜o se T ≤ 0, 9. Qual o lucro esperado por item? soluc¸a˜o. Observe que T ∼ Exponencial(1) e que o lucro por item, denotado por L, e´ definido por L = { −2 se T ≤ 0, 9 3 caso contra´rio. Como P (T ≤ 0, 9) = 1− e−0,9, segue que o lucro esperado por item e´ dada por E(L) = −2P (T ≤ 0, 9) + 3P (T > 0, 9) = 5e−0,9 − 2 ≈ 0,0328 u.m.. I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 11 Exerc´ıcio 28. Seja X ∼ N(µ, σ2). Calcule: (1) P (X ≤ µ+ 2σ); (2) P (|X − µ| ≤ σ); (3) O nu´mero a tal que P (µ− aσ ≤ X ≤ µ+ aσ) = 0, 95; (4) O nu´mero b tal que P (X > µ+ bσ) = 0, 05; soluc¸a˜o. Basta lembrar que Z = X − µ σ ∼ N(0, 1) se X ∼ N(µ, σ2). Assim, temos que: • P (X ≤ µ + 2σ) = P (Z ≤ 2) = 0, 5 + P (0 < Z ≤ 2) = 0, 97725 pois P (0 < Z ≤ 2) = 0, 47725. • P (|X − µ| ≤ σ) = P (−1 ≤ Z ≤ 1) = 2P (0 < Z ≤ 1) = 0, 68268 pois P (0 < Z ≤ 1) = 0, 34134. • a = 1, 96 pois a e´ tal que P (0 < Z ≤ a) = (0, 95/2) = 0, 475. • b = 1, 64 pois b e´ tal que P (0 < Z ≤ b) = 0, 45. Refereˆncias [1] W. Bussab & P. Morettin. Estat´ıstica Ba´sica, 5a. edic¸a˜o. Ed Saraiva, Sa˜o Paulo (2002). Departamento de Estat´ıstica, CCE - UFES. E-mail address: maurocmc@cce.ufes.br
Compartilhar