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I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS
MAURO C. M. CAMPOS
Suma´rio
1. Cap´ıtulo 5 - Probabilidade 1
2. Cap´ıtulo 6 - Varia´veis Aleato´rias Discretas 4
3. Cap´ıtulo 7 - Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas 9
Refereˆncias 11
Observac¸a˜o 1. A maioria dos exerc´ıcios dessa lista foram tirados do nosso livro-
texto (refereˆncia [1]), entretanto a numerac¸a˜o aqui na˜o e´ equivalente a` numerac¸a˜o
do livro.
1. Cap´ıtulo 5 - Probabilidade
Exerc´ıcio 1. Lance um dado ate´ que a face 5 aparec¸a pela primeira vez. Enumere
os poss´ıveis resultados desse experimento.
soluc¸a˜o. O nu´mero 5 representa a face 5 e a letra Q representa qualquer face
diferente da face 5. Assim o espac¸o amostral e´ dado pelo conjunto
S = {5, Q5, QQ5, QQQ5, . . .}
Exerc´ıcio 2. Treˆs jogadores A, B e C disputam um torneio de teˆnis. Inicialmente,
A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina
quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando sa˜o disputadas, ao
todo, quatro partidas. Quais sa˜o os resultados poss´ıveis do torneio?
soluc¸a˜o. O espac¸o amostral e´ dado pelo conjunto
S = {(AA), (BB), (ACC), (BCC), (ACBB), (ACBA), (BCAA), (BCAB)}
Exerc´ıcio 3. Considere o exerc´ıcio 1. Atribua probabilidade (5/6)k(1/6) a cada
ponto de S com k letras iguais a Q seguidas de 5.
(1) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos amostrais e´ igual a um;
(2) Calcule a probabilidade de que a face 5 aparec¸a apo´s treˆs lanc¸amentos do
dado.
soluc¸a˜o. Seja sk = Q
k vezes· · · Q5. Assim P (sk) = (5/6)k(1/6). Assim∑
k≥0
P (sk) =
∑
k≥0
(
5
6
)k 1
6
=
1/6
1− (5/6) = 1.
Ale´m disso,
P (De que a face 5 aparec¸a apo´s 3 lanc¸amentos) = P (s2) =
(
5
6
)2 1
6
.
Date: 15 de abril de 2007.
1
2 MAURO C. M. CAMPOS
Exerc´ıcio 4. Dentre seis nu´meros positivos e oito negativos, dois nu´meros sa˜o
escolhidos ao acaso, sem reposic¸a˜o e multiplicados. Qual a probabilidade de que o
produto seja positivo?
soluc¸a˜o. Sejam x e y os nu´meros escolhidos ao acaso e sem reposic¸a˜o e considere
o evento
A = {(x, y) ∈ S;xy > 0}.
Segue que
P (A) = 1− P (Ac) = 1− C
6
1C
8
1
C142
=
43
91
Observac¸a˜o 2. Ao longo do texto temos que
Cyx =
y!
x!(y − x)! .
Exerc´ıcio 5. Considere a figura ao lado do exerc´ıcio 20 do cap´ıtulo 5 do livro-texto.
Essa figura apresenta um sistema com treˆs componentes funcionando independen-
temente, com confiabilidades p1, p2 e p3. Obtenha a confiabilidade do sistema.
soluc¸a˜o. Seja C a confiabilidade do sistema, isto e´,
C = P (Do sistema funcionar).
Considere Ai = o componente i esta´ funcionando, onde i = 1, 2, 3. Assim
C = P (A1 ∩ (A2 ∪A3))
= P (A1 ∩A2) + P (A1 ∩A3)− P (A1 ∩A2 ∩A3)
Como os eventos Ai sa˜o independentes, segue que
C = P (A1)P (A2) + P (A1)P (A3)− P (A1)P (A2)P (A3) = p1(p2 + p3 − p2p3).
Observe que C e´ uma func¸a˜o de p1, p2 e p3, ou seja,
C = h(p1, p2, p3) = p1(p2 + p3 − p2p3).
Exerc´ıcio 6. Um empresa produz circuitos em treˆs fa´bricas, denotadas por I, II
e III. A fa´brica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem 30%
cada uma. As probabilidades de que um circuito produzido por essas fa´bricas na˜o
funcione sa˜o 0,01, 0,04 e 0,03 respectivamente.
(1) Escolhido ao acaso um circuito da produc¸a˜o conjunta das treˆs fa´bricas, qual
a probabilidade do circuito na˜o funcionar;
(2) Suponha que o circuito escolhido ao acaso seja defeituoso. Determine qual
a probabilidade do circuito ter sido fabricado por I.
soluc¸a˜o. Considere os eventos
Ai = O circuito escolhido da produc¸a˜o conjunta foi fabricado pela fa´brica I,
onde i = 1, 2, 3 e
B = O circuito escolhido da produc¸a˜o conjunta na˜o funciona.
Assim
P (B) =
3∑
i=1
P (Ai)P (B|Ai) = 0, 4(0, 01) + 0, 3(0, 04) + 0, 3(0, 03) = 140 = 0, 025.
Ale´m disso, segue do teorema de Bayes que
P (A1|B) = P (A1)P (B|A1)∑3
i=1 P (Ai)P (B|Ai)
=
4/1000
25/1000
= 0, 16.
I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 3
Exerc´ıcio 7. Suponha que de N objetos, n (admita n < N) sejam escolhidos ao
acaso e com reposic¸a˜o. Qual e´ a probabilidade de que nenhum objeto seja escolhido
mais de uma vez?
soluc¸a˜o. O = {o1, . . . , oN} representa o o conjunto dos N objetos. Assim o
espac¸o amostral pode ser escrito como
S = {s = (s1, . . . , sn); si ∈ O, i = 1, . . . , n}.
e observe que |S| = Nn. Agora considere o evento
A = A amostra na˜o conte´m objetos repetidos,
que na notac¸a˜o de conjunto pode ser escrito como
A = {(s1, . . . , sn) ∈ S; s1 6= . . . 6= sn}.
Agora observe que
|A| = N(N − 1)(N − 2) · . . . · [N − (n− 1)].
Assim
P (A) =
|A|
|S| =
N(N − 1)(N − 2) · . . . · (N − n+ 1)
Nn
Observac¸a˜o 3. O exerc´ıcio 7 e´ equivalente ao exerc´ıcio 53 do cap´ıtulo 5 do livro-
texto. Ale´m disso, o exerc´ıcio 62 do cap´ıtulo 5 do livro-texto e´ uma aplicac¸a˜o do
exerc´ıcio 53.
Exerc´ıcio 8. Mostre que se P (A|B) > P (A), enta˜o P (B|A) > P (B).
soluc¸a˜o. De fato
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
=
P (B)P (A|B)
P (A)
>
P (B)P (A)
P (A)
= P (B).
Exerc´ıcio 9. Existem 4 bolas numa urna, numeradas por 000, 011, 101 e 110.
Selecione uma bola ao acaso da urma e considere os eventos
Ai = Na bola selecionada, o nu´mero 1 aparece na posic¸a˜o i,
onde i = 1, 2, 3 e
B = A1 ∩A2 ∩A3.
(1) Calcule P (Ai) e P (A);
(2) Mostre que os eventos Ai sa˜o mutuamente independentes, mas na˜o sa˜o
independentes.
soluc¸a˜o. De fato
P (Ai) =
2
4
=
1
2
para todo i e P (A) = P (∅) = 0. Os eventos Ai sa˜o mutuamente independentes,
pois
P (Ai ∩Aj) = 14 =
1
2
· 1
2
= P (Ai)P (Aj)
para todo i 6= j. Mas
P (A1 ∩A2 ∩A3) = 0 6= 18 = P (A1)P (A2)P (A3).
Portanto, os eventos A1, A2 e A3 na˜o sa˜o independentes.
4 MAURO C. M. CAMPOS
2. Cap´ıtulo 6 - Varia´veis Aleato´rias Discretas
Exerc´ıcio 10. Considere uma urna contendo treˆs bolas vermelhas e cinco pretas.
Retire treˆs bolas, sem reposic¸a˜o, e defina uma v.a. aleato´ria X igual ao nu´mero de
bolas pretas. Obtenha a distribuic¸a˜o de X.
soluc¸a˜o. Observe que X assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}. Portanto a
distribuic¸a˜o de X e´ dada por
P (X = x) =
C5xC
3
3−x
C83
para x = 0, 1, 2, 3. Explicitamente temos
X 0 1 2 3
P (X = x) 1/56 15/56 30/56 10/56
Tabela 1. A dstribuic¸a˜o de X
Exerc´ıcio 11. Repita o problema anterior, mas considerando extrac¸o˜es com re-
posic¸a˜o.
soluc¸a˜o. Novamente observe que X assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}.
Pore´m, nesse caso, a distribuic¸a˜o de X e´ dada por
P (X = x) = C3x
(
5
8
)x(3
8
)3−x
para x = 0, 1, 2, 3. Explicitamente temos
X 0 1 2 3
P (X = x) (3/8)3 3(5/8)(3/8)2 3(5/8)2(3/8) (5/8)3
Tabela 2. A distribuic¸a˜o de X
Exerc´ıcio 12. Suponha que uma moeda perfeita e´ lanc¸ada ate´ que cara aparec¸a
pela primeira vez. Seja X o nu´mero de lanc¸amentos ate´ que isso acontec¸a. Obtenha
a distribuic¸a˜o de X.
soluc¸a˜o. Observe que X assume valores no conjunto {1, 2, 3, . . .}. Portanto a
distribuic¸a˜o de X e´ dada por
P (X = x) =
(
1
2
)x−1(1
2
)
=
1
2x
para x = 0, 1, 2, 3, . . ..
Exerc´ıcio 13. Repita o problema anterior, considerando agora que a moeda e´
viciada, sendo a probabilidade de cara dada por p, onde 0 < p < 1.
soluc¸a˜o. Nesse caso, a distribuic¸a˜o de X e´ dada por
P (X = x) = (1− p)x−1p
para x = 0, 1, 2, 3, . . ..
Exerc´ıcio 14. Uma moeda perfeita e´ lanc¸ada quatro vezes. Seja Y o nu´mero de
caras obtidas. Calcule a distribuic¸a˜o de Y .
I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 5
soluc¸a˜o. Observe que Y assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Portanto a
distribuic¸a˜o de Y e´ dada por
P (Y = y) = C4y
(
1
2
)y (
1− 1
2
)4−y
=
C4y
24
para y = 0, 1, 2, 3, 4.
Exerc´ıcio 15. Repita o problema anterior, considerando agora que a moeda e´
viciada, sendo a probabilidade de cara dada por p, onde 0 < p < 1.
soluc¸a˜o. Observeque Y assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Portanto a
distribuic¸a˜o de Y e´ dada por
P (Y = y) = C4yp
y(1− p)4−y
para y = 0, 1, 2, 3, 4.
Exerc´ıcio 16. Generalize o problema anterior para n lanc¸amentos da moeda.
soluc¸a˜o. Observe que Y assume valores no conjunto {0, 1, . . . , n}. Portanto a
distribuic¸a˜o de Y e´ dada por
P (Y = y) = Cny p
y(1− p)n−y
para y = 0, 1, . . . , n.
Exerc´ıcio 17. Seja X uma v.a. discreta assumindo valores no conjunto {1, 2, 3} e
com distribuic¸a˜o de probabilidade dada por
X 1 2 3
P (X = x) 1/3 1/6 1/2
Tabela 3. A distribuic¸a˜o de X
(1) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X;
(2) Calcule a me´dia e a variaˆncia de X;
(3) Calcule P (X ≥ 2) e P (X > 2).
soluc¸a˜o. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X e´ definida por
FX(x) = P (X ≤ x) =
∑
y;y≤x
P (X = y)
para todo x ∈ R. Portanto
FX(x) =

0 se x < 1
1/3 se 1 ≤ x < 2
1/2 se 2 ≤ x < 3
1 se x ≥ 3.
A me´dia de X e´ dada por
E(X) =
∑
x
xP (X = x) = 1 · 1
3
+ 2 · 1
6
+ 3 · 1
2
=
13
6
.
Como
E(X2) =
∑
x
x2P (X = x) = 1 · 1
3
+ 4 · 1
6
+ 9 · 1
2
=
33
6
,
segue que a variaˆncia de X e´ dada por
V (X) = E(X2)− [E(X)]2 = 33
6
−
(
13
6
)2
=
29
36
.
6 MAURO C. M. CAMPOS
Outra forma de encontrar a V (X) seria calcular a soma
V (X) = E[(X − E(X))2] =
∑
x
(x− (13/6))2P (X = x).
Finalmente,
P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 2
3
e
P (X > 2) = P (X = 3) =
1
2
.
Exerc´ıcio 18. Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um
ou dois clientes, com probabilidade 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato,
pode resultar a venda de um equipamento por 50 mil u.m. (com probabilidade
1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total
de vendas dia´rias desse vendedor, escreva a func¸a˜o de probabilidade de Y e calcule
o valor total esperado de vendas dia´rias.
soluc¸a˜o. Seja N uma v.a. discreta que modela o nu´mero dia´rio de clientes
visitados pelo vendedor. A distribuic¸a˜o de N e´ dada por
N 1 2
P (N = n) 1/3 2/3
Tabela 4. A distribuic¸a˜o de N
Agora, defina uma outra v.a. V que modela o nu´mero de vendas dia´rias do
vendedor. Na˜o e´ dif´ıcil ver que V assume valores no conjunto {0, 1, 2} e que
P (V = v) = P
(
2⋃
n=1
[N = n, V = v]
)
(Obs.: A v´ırgula representa ∩)
=
2∑
n=1
P (N = n, V = v)
=
2∑
n=1
P (N = n)P (V = v|N = n)
P (V = v) = P (N = 1)P (V = v|N = 1) + P (N = 2)P (V = v|N = 2)
para v = 0, 1, 2. Assim
P (V = 0) =
1
3
· 9
10
+
2
3
· 9
10
· 9
10
=
126
150
P (V = 1) =
1
3
· 1
10
+ 2 ·
(
2
3
· 1
10
· 9
10
)
=
23
150
P (V = 2) =
1
3
· 0 + 2
3
· 1
10
· 1
10
=
1
150
.
Como Y = 50000V , segue imediatamente que a distribuic¸a˜o de Y e´ dada por
Y 0 50000 100000
P (Y = y) 126/150 23/150 1/150
Tabela 5. A distribuic¸a˜o de Y
e que o valor total esperado de vendas dia´rias e´
E(Y ) = 0 · 126
150
+ 50000 · 23
150
+ 100000 · 1
150
= 8333,33 u.m..
I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 7
Exerc´ıcio 19. O tempo T , em minutos, necessa´rio para um opera´rio processar
certa pec¸a e´ uma v.a. com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade
T 2 3 4 5 6 7
P (T = t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
Tabela 6. A distribuic¸a˜o de T
(1) Calcule o tempo me´dio de processamento;
(2) Para cada pec¸a processada, o opera´rio ganha um fixo de 2,00 u.m., mas, se
ele processa a pec¸a em menos de seis minutos, ganha 0,50 u.m. em cada
minuto poupado. Encontre a distribuic¸a˜o, a me´dia e a variaˆncia da v.a. G
que modela o ganho por pec¸a.
soluc¸a˜o. O tempo me´dio de processamento e´ dado por
E(T ) =
∑
t
tP (T = t)
= 2(0, 1) + 3(0, 1) + 4(0, 3) + 5(0, 2) + 6(0, 2) + 7(0, 1)
= 4, 6 min.
A v.a. G e´ uma func¸a˜o de T (G = f(T )) definida por
G =
{
2 se T ≥ 6
2 + 0, 5(6− T ) caso contra´rio.
A distribuic¸a˜o de G e´ dada por
P (G = g) =
{
P (T ≥ 6) se g = 2
P (T = t) se g = 2 + 0, 5(6− t) para t = 2, 3, 4, 5.
Explicitamente
G 2 2,5 3 3,5 4
P (G = g) 0,3 0,2 0,3 0,1 0,1
Tabela 7. A distribuic¸a˜o de G
Finalmente e´ simples ver que E(G) = 2, 75 u.m. e que V (G) = 0, 4125 (u.m)2.
Exerc´ıcio 20. Considere um lote contendo 25 pec¸as das quais 5 sa˜o defeituosas.
Quatro pec¸as foram escolhidas ao acaso e seja X o nu´mero de pec¸as defeituosas
encontradas nessa amostra.
(1) Determine a distribuic¸a˜o de X se a amostra foi obtida com reposic¸a˜o;
(2) Determine a distribuic¸a˜o de X se a amostra foi obtida sem reposic¸a˜o.
soluc¸a˜o. Se a amostra foi obtida com reposic¸a˜o, enta˜o X ∼ Binomial(4, 1/5),
ou seja,
P (X = x) = C4x
(
1
5
)x(4
5
)4−x
para x = 0, 1, 2, 3, 4.
Se a amostra foi obtida sem reposic¸a˜o, enta˜o X ∼ Hipergeome´trica(25, 5, 4), ou
seja,
P (X = x) =
C5xC
20
4−x
C254
para x = 0, 1, 2, 3, 4.
8 MAURO C. M. CAMPOS
Exerc´ıcio 21. Um lote de dez motores ele´tricos deve ser totalmente rejeitado ou
vendido, dependendo do resultado do seguinte experimento:
• Dois motores sa˜o escolhidos ao acaso e inspecionados. Se pelo menos um
motor apresentar problemas no seu funcionamento, o lote sera´ rejeitado.
Caso contra´rio, o lote sera´ vendido.
Considere que cada motor custe 75 u.m. para ser fabricado e seja vendido por 175
u.m.. Se o lote de dez motores conte´m treˆs defeituosos, calcule:
(1) o lucro esperado do fabricante se a amostra e´ feita com reposic¸a˜o;
(2) o lucro esperado do fabricante se a amostra e´ feita sem reposic¸a˜o.
soluc¸a˜o. Seja X o nu´mero de motores defeituosos encontrados na amostra de
tamanho 2 e observe que X ∈ {0, 1, 2}. A varia´vel lucro, denotada por L, e´ definida
por
L =
{ −10(75) se X ≥ 1
10(175− 75) se X = 0.
Portanto, o lucro esperado do fabricante e´ dado por
E(L) = −750 · P (X ≥ 1) + 1000 · P (X = 0).
Se a amostra foi obtida com reposic¸a˜o, enta˜o X ∼ Binomial(2, 3/10), ou seja,
P (X = x) = C2x
(
3
10
)x( 7
10
)2−x
para x = 0, 1, 2. Nesse caso,
E(L) = −750 · 51
100
+ 1000 · 49
100
= 107,5 u.m..
Se a amostra foi obtida sem reposic¸a˜o, enta˜o X ∼ Hipergeome´trica(10, 3, 2), ou
seja,
P (X = x) =
C3xC
7
2−x
C102
para x = 0, 1, 2. Nesse caso,
E(L) = −750 · 24
45
+ 1000 · 21
45
= 66,67 u.m..
Exerc´ıcio 22. Em momentos de pico, a chegada de avio˜es a um aeroporto se da´
segundo o modelo de Poisson com taxa de dois avio˜es por minuto.
(1) Determine a probabilidade de cinco chegadas em um minuto qualquer do
hora´rio de pico;
(2) Se o aeroporto pode atender no ma´ximo quatro avio˜es por minuto, qual e´
a probabilidade de haver avio˜es sem atendimento?;
(3) Previso˜es para os pro´ximos anos indicam que o tra´fego ae´reo deve dobrar
nesse aeroporto, enquanto que a capacidade de atendimento podera´ ser no
ma´ximo ampliada em 50%. Como ficara´ a probabilidade de espera por
atendimento?
soluc¸a˜o. Seja X o nu´mero de avio˜es por minuto que chegam nesse aeroporto
no momento de pico. Temos que X ∼ Poisson(2), ou seja,
P (X = x) =
2xe−2
x!
para x = 0, 1, 2, . . .. Assim
P (X = 5) =
25e−2
5!
=
8e−2
6
≈ 0, 036.
I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 9
Considere o evento
A = Existem avio˜es sem atendimento.
Assim
P (A) = P (X > 4)
= 1− P (X ≤ 4)
= 1− e−2
(
20
0!
+
21
1!
+
22
2!
+
23
3!
+
24
4!
)
P (A) ≈ 0, 05265302.
Agora considere as previso˜es para os pro´ximos anos, que indicam que o tra´fego ae´reo
deve dobrar nesse aeroporto e capacidade de atendimento podera´ ser no ma´ximo
ampliada em 50%. Nesse cena´rio a probabilidade de espera por atendimento e´ dada
por
P (A) = P (X > 6) = 1− P (X ≤ 6) ≈ 0, 1106740
ondeX ∼ Poisson(4) (lembre-se queX e´ o nu´mero de avio˜es por minuto que chegam
no aeroporto no momento de pico).
Exerc´ıcio 23. O custode realizac¸a˜o de um experimento e´ 1000 u.m.. Se o expe-
rimento falha, um custo adicional de 300 u.m. tem de ser imposto. Qual o custo
esperado do experimento se a probabilidade de sucesso em cada prova e´ 2/10 e se
as provas sa˜o independentes e continuadas ate´ a ocorreˆncia do primeiro sucesso?
soluc¸a˜o. Seja X o nu´mero de experimentos ate´ que o primeiro sucesso ocorra.
Temos que X ∼ Geome´trica(2/10), ou seja,
P (X = x) = (0, 8)x−1(0, 2)
para x = 0, 1, 2, . . .. A varia´vel custo e´ definida por
C = 1300(X − 1) + 1000 = 1300X − 300
e o custo esperado do experimento e´ dado por
E(C) = 1300 · E(X)− 300.
Como E(X) = 10/2, segue que E(C) e´ de 6200 u.m..
3. Cap´ıtulo 7 - Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Exerc´ıcio 24. Encontre o valor da constante c para que
f(x) =
{
cx−2 se x ≥ 10
0 caso contra´rio.
seja uma func¸a˜o densidade de probabilidade de uma v.a. X. Calcule P (X > 15).
soluc¸a˜o. A func¸a˜o f sera´ uma densidade se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ R e se∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1.
Assim temos que
c =
1∫∞
10
dx
x2
= 10.
Assim
P (X > 15) =
∫ ∞
15
10x−2dx = 10 · 1
15
=
2
3
.
Exerc´ıcio 25. Considere a v.a. X do exerc´ıcio anterior. Obtenha a func¸a˜o de
distribuic¸a˜o acumulada de X.
10 MAURO C. M. CAMPOS
soluc¸a˜o. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X e´ definida por
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f(t)dt
para todo x ∈ R. Assim
F (x) =
{ ∫ x
−∞ 0dt se x < 10∫ 10
−∞ 0dt+ 10
∫ x
10
t−2dt se x ≥ 10.
Portanto
F (x) =
{
0 se x < 10
1− (10/x) se x ≥ 10.
Observe que
f(x) =
dF (x)
dx
,
que limx→−∞ F (x) = 0 e que limx→∞ F (x) = 1.
Exerc´ıcio 26. A proporc¸a˜o de impurezas em certo mineral, extra´ıdo da natureza,
pode ser considerada uma v.a. com a seguinte func¸a˜o densidade de probabilidade
f(x) =
{
1 se 0 < x < 1
0 caso contra´rio.
E´ razoa´vel admitir que o prec¸o de venda desse mineral dependa da proporc¸a˜o de
impurezas. Suponha que o mercado estabelec¸a que o kilo desse mineral seja vendido
a 100 u.m. se 0 < X < 1/3. Caso contra´rio, o kilo e´ vendido a 60 u.m.. Se o custo
de extrac¸a˜o e´ de 30 u.m., encontre a distribuic¸a˜o do lucro por kilo e calcule o lucro
esperado por kilo.
soluc¸a˜o. Observe que X ∼ Uniforme(0, 1) e que o lucro por kilo, denotado por
L, e´ definido por
L =
{
70 se 0 < X < 1/3
30 caso contra´rio.
Assim
L 30 70
P (L = l) 2/3 1/3
Tabela 8. A distribuic¸a˜o de L
e E(L) = (60/3) + (70/3) ≈ 43,3 u.m..
Exerc´ıcio 27. Suponha que um mecanismo eletroˆnico tenha um tempo de vida T
(em 1000 horas) que pode ser considerado uma v.a. cont´ınua com densidade
f(t) =
{
e−t se t > 0
0 caso contra´rio.
Admita que o custo de fabricac¸a`o do mecanismo seja 2 u.m. e o prec¸o de venda seja
de 5 u.m.. O fabricante garante total devoluc¸a˜o se T ≤ 0, 9. Qual o lucro esperado
por item?
soluc¸a˜o. Observe que T ∼ Exponencial(1) e que o lucro por item, denotado
por L, e´ definido por
L =
{ −2 se T ≤ 0, 9
3 caso contra´rio.
Como P (T ≤ 0, 9) = 1− e−0,9, segue que o lucro esperado por item e´ dada por
E(L) = −2P (T ≤ 0, 9) + 3P (T > 0, 9) = 5e−0,9 − 2 ≈ 0,0328 u.m..
I LISTA DE EXERCI´CIOS RESOLVIDOS 11
Exerc´ıcio 28. Seja X ∼ N(µ, σ2). Calcule:
(1) P (X ≤ µ+ 2σ);
(2) P (|X − µ| ≤ σ);
(3) O nu´mero a tal que P (µ− aσ ≤ X ≤ µ+ aσ) = 0, 95;
(4) O nu´mero b tal que P (X > µ+ bσ) = 0, 05;
soluc¸a˜o. Basta lembrar que
Z =
X − µ
σ
∼ N(0, 1)
se X ∼ N(µ, σ2). Assim, temos que:
• P (X ≤ µ + 2σ) = P (Z ≤ 2) = 0, 5 + P (0 < Z ≤ 2) = 0, 97725 pois
P (0 < Z ≤ 2) = 0, 47725.
• P (|X − µ| ≤ σ) = P (−1 ≤ Z ≤ 1) = 2P (0 < Z ≤ 1) = 0, 68268 pois
P (0 < Z ≤ 1) = 0, 34134.
• a = 1, 96 pois a e´ tal que P (0 < Z ≤ a) = (0, 95/2) = 0, 475.
• b = 1, 64 pois b e´ tal que P (0 < Z ≤ b) = 0, 45.
Refereˆncias
[1] W. Bussab & P. Morettin. Estat´ıstica Ba´sica, 5a. edic¸a˜o. Ed Saraiva, Sa˜o Paulo (2002).
Departamento de Estat´ıstica, CCE - UFES.
E-mail address: maurocmc@cce.ufes.br

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