provsb

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC - UFABC
Pro´-Reitoria de Graduac¸a˜o
Prova Substitutiva de Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Seja f : D ⊂ R2 → R, (x, y) 7→ sen y
x2+|y| . Determine o domı´nio ma´ximo de f e diga se o mesmo pode
ser estendido continuamente a R2.
2. Mostre que os planos tangentes a` superf´ıcie S =
{
(x, y, z) ∈ R3 : √x+√y +√z = 1} cortam os
eixos coordenados em valores cuja soma e´ uma constante.
3. Determine os extremos de f(x, y, z) = xyz condicionados a x+ y = 3 e y(1 + z) = 6.
4. Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pela curva C =
{
(x, y) ∈ R2 : x = t− sen t, y = 1− cos t, 0 ≤ t ≤ 2pi},
0 ≤ t ≤ 2pi e reta r : y = 0.
5. Prove que F = (2xz3 + 6y, 6x− 2yx, 3x2z2 − y2) e´ conservativo e calcule
∫
C
F · nˆdr, onde C e´ uma
curva qualquer de (1,−1, 1) a (2, 1,−1).
6. Um plano secante a uma esfera de raio R forma uma calota de altura h, onde 0 < h ≤ R. Calcule
o volume e a a´rea externa da calota.