Cálculo de Integrais e Funções de Várias Variáveis

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Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Segunda Avaliac¸a˜o - 10 de julho de 2013
Nome:
1) Determine as seguintes integrais.
a)
∫∫
B1
∫
e
−‖x‖2
dΩ sendo B1 =
{
x ∈ R3 : ‖x‖ 6 1};
b)
∫ 2
1
∫ 2
0
(x2 + 2x1e
x2)dx1dx2;
c)
∫ 1
0
∫
x2
0
∫ 1
x1
6x1x2x3dx3dx2dx1;
d)
∫∫
R
x1e
x
2
1dΩ, R = [0, 1]× [0, 1];
e)
∫ 1
0
∫ 1
x21
x
3
1sen
(
x
3
2
)
dx2dx1;
f)
∫ 2
0
∫√4−x21
−
√
4−x21
√
x21 + x
2
2dx2dx1.
2) Seja a func¸a˜o f : Rn → R, x 7→ ‖x‖2.
a) Determine f ′ (x;y) , y ∈ Rn.
b) Determine g = grad (f).
c) O campo escalar f tem ponto crı´tico? Se sim, determine-o. Jus-
tifique sua resosta.
d) Determine g ′ (x;y).
e) Determine D2xf.
f) Determine uma matriz Hessiana H (f).
g) f tem extremo(s) local(is)? Se sim, indique-o(s). Justifique sua
resposta.
3) Determine
a) min
(x1,x2,x3)∈R2
{2x3 (x1 + x2) + 10x1x2} sujeito a x1x2x3 = 10;
1
b) Treˆs nu´meros positivos x1, x2 e x3 cuja soma e´ 100 e o produto
x1x2x3 seja ma´ximo.
Formula´rio: Seja f : S ⊂ Rn → Rm
f ′ (x;y) = d
dt
∣∣
t=0
f (x + ty);
f (x + y) = f (x) + Tx (y) +
1
2!
Bx (y,y) + r (x,y) : lim
y→0
r (x,y)
‖y‖2 = 0, Tx
e´ linear e Bx e´ bilinear;
‖u‖ = √u · u;
Dx (f ◦ g) (x) = Dyf
∣∣
y=g(x)
Dxg (x);∫
R
f (x)dΩ =
∫
T−1(R)
(f ◦ T) (u) (x) |DuT |dω sendo dΩ = dx1...dxn e
dω = du1...dun
2