E- 2013 - T2

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EXAME - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Maicon Soˆnego - 10/07/2013 - T2
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
• A prova pode ser feita a la´pis.
• Coloque seu nome completo na folha de questo˜es e na folha de resoluc¸a˜o da prova.
• No final, entregue a folha de resoluc¸a˜o e a folha de questo˜es.
Questo˜es
1. (a) (10 pontos) Resolva pelo me´todo de Gauss-Jordan, da maneira mais detalhada pos-
s´ıvel, o seguinte sistema:


−x +3y −z = −3
−2x +5y +z = 0
x −3y −2z = −3
(b) (10 pontos) Mostre que se as matrizes M e N sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo
AX = 0¯ (isto e´, AM = AN = 0¯), enta˜o a matriz C = αM −N (α e´ um nu´mero real
qualquer) tambe´m e´ uma soluc¸a˜o do sistema.
(c) (15 pontos) Prove que se os vetores U, V,W sa˜o l.i. enta˜o os vetores 2U, U − V +
W, 2W − U tambe´m sa˜o l.i.. O que se pode dizer, quanto a` dependeˆncia linear, dos
vetores U + V +W,U + V,W ?
2. (a) (15 pontos) Encontre a equac¸a˜o vetorial da reta r que passa por P = (−1, 3, 1) e e´
perpendicular a` reta s :
{
x− 1− 2z = 0
y − 1− 3z = 0
.
(b) (10 pontos) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta r = π1 ∩ π2 sendo π1 :
x− 2y+2z = 0 e π2 : 3x− 5y+7z = 0. Qual a posic¸a˜o relativa da reta r e do plano
π3 : y + z = 0.
(c) (15 pontos) Prove que se U + V +W = ~0 enta˜o U × V = V ×W = W × U .
3. (a) (10 pontos) Encontrar uma equac¸a˜o da elipse com focos nos ve´rtices da hipe´rbole
y2
4
−
x2
5
= 1
e ve´rtices nos focos dessa hipe´rbole.
(b) (10 pontos) Obtenha a equac¸a˜o reduzida e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da para´bola
que tem foco no ponto F = (−7, 3) e reta diretriz x+ 3 = 0.
(c) (10 pontos) Identifique a qua´drica y2 − 4z2 − 4x− 6y − 24z − 31 = 0 e determine o
centro.
Boa prova!