aula-41

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IFBA
Processos Estoca´sticos
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2014
Aula 4
0.1 Varia´veis Aleato´rias Discretas e Func¸o˜es Massa de Probabilidade
Seja X uma v.a. com fcd FX(x). Se FX(x) muda seus valores apenas em saltos ( no ma´ximo um nu´mero conta´vel
deles) e e´ constante entre os saltos, isto e´, FX(x) e´ uma func¸a˜o escada, enta˜o X e´ chamada de varia´vel aleato´ria
discreta.
Suponha que os saltos em FX(x) da v.a. discreta X ocorra nos pontos x1, x2, . . . formando uma sequeˆncia finita
ou contv´el, e assuma que xi < xj se i < j. Enta˜o,
FX(xi)− FX(xi−1) = P (X ≤ xi)− P (X ≤ xi−1) = P (X = xi).
Seja pX(x) = P (X = x), a qual chamaremos de func¸a˜o massa de probabilidade (fmp) da v.a. discreta X.
A func¸a˜o PX(x) satisfaz algumas propriedades:
i) 0 ≤ pX(xk) ≤ 1;
ii) pX(x) = 0 se x 6= xk, (k = 1, 2, . . .);
iii)
∑
k pX(xk) = 1.
A fcd FX(x) da v.a. discreta X pode ser obtida da seguinte forma:
FX(x) = P (X ≤ x) =
∑
xk≤x
pX(xk).
Exemplo 1. a) Verifique que a func¸a˜o p(x) definida por
p(x) =
 34
(
1
4
)x
, x = 0, 1, 2, . . .
0, do contrario
e´ uma fmp de uma v.a. discreta X.
b) Encontre i) P (X = 2), ii) P (X ≤ 2), iii) P (X ≥ 1).
Soluc¸a˜o:
a) Note que 0 ≤ p(x) ≤ 1 e
∞∑
i=0
3
4
(
1
4
)x
=
3
4
∞∑
i=0
(
1
4
)x
=
3
4
1
1− 14
=
3
4
1
3
4
= 1.
Logo, p(x) e´ uma fmp.
b) i) P (X = 2) = p(2) = 34
(
1
4
)2
= 34
1
16 =
3
64 .
ii) P (X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 34
(
1
4
)0
+ 34
(
1
4
)1
+ 34
(
1
4
)2
= 34 +
3
16 +
3
64 =
63
64 .
iii) P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− p(0) = 1− 34 = 14 .
Exemplo 2. A v.a. X tem fmp
pX(x) =
 cx , x = 1, 2, 30, do contrario
a) Calcule o valor da constante c;
b) Calcule P (X ≥ 2).
Soluc¸a˜o:
a) Temos que
3∑
k=1
pX(xk) = 1⇒ c
1
+
c
2
+
c
3
= 1⇒ 11c
6
= 1⇒ c = 6
11
.
b) Temos que
P (X ≥ 2) = pX(2) + PX(3) = 6/11
2
+
6/11
3
=
3
11
+
2
11
=
5
11
.
1
0.2 Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas e Func¸o˜es Densidade de Probabili-
dade
Seja X uma v.a. com fcd FX(x). Se FX(x) e´ cont´ınua e possui derivada
(
dFX(x)
dx
)
exceto num nu´mero finito de
pontos e e´ cont´ınua por partes, enta˜o X e´ chamada varia´vel aleato´ria cont´ınua. Temos que, se X e´ uma v.a., enta˜o
P (X = x) = 0.
Note que P (X = x) = 0 quer dizer que o evento tem probabilidade 0 o que na˜o e´ o mesmo que dizer que ele na˜o pode
ocorrer.
Seja fX(x) =
dFX(x)
dx a qual chamaremos de func¸a˜o densidade de probabilidade (fdp) da v.a. cont´ınua X.
A func¸a˜o fX(x) satisfaz as seguintes propriedades:
i) fX(x) ≥ 0;
ii)
∫∞
−∞ fX(x)dx = 1;
iii) fX(x) e´ cont´ınua por partes;
iv) P (a < Xb) =
∫ b
a
fX(x)dx.
A fcd FX(x) de uma v.a. cont´ınua X pode ser obtida por
FX(x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
fX(ξ)dξ.
Temos ainda que
P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) =
∫ b
a
FX(a)− FX(b).
Exemplo 3. A fdp de uma v.a. cont´ınua X e´ dada por
fX(x) =

1
3 , 0 < x < 1
2
3 , 1 < x < 2
0, do contrario
Exiba a fcd correspondente a FX(x) e esquematize fX(x) e FX(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que
FX(x) =

0, x < 0∫ x
0
1
3dξ =
x
3 , 0 ≤ x < 1∫ 1
0
1
3dξ +
∫ x
1
2
3dξ =
2
3x− 13 , 1 ≤ x < 2∫ 1
0
1
3dξ +
∫ 2
1
2
3dξ = 1, x ≥ 2
As func¸o˜es fX(x) e FX(x) sa˜o esta˜o esquematizadas a seguir:
(1)
2
0.3 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. • Suponha que uma v.a. discreta X com a sua fmp assumindo os seguintes valores:
pX(1) =
1
2
, pX(2) =
1
4
, pX(3) =
1
8
, pX(4) =
1
8
a) Determine a fmp FX(x) da v.a. X.
b) Calcule i) P (X ≤ 1), ii) P (1 < X ≤ 3), iii) P (1 ≤ X ≤ 3).
Respostas: a) FX(x) =

0 x < 1
1
2 1 ≤ x < 2
3
4 2 ≤ x < 3
7
8 3 ≤ x < 4
1 x ≥ 4
b) i) 0, ii) 38 , iii)
7
8 .
Exerc´ıcio 2. • Considere a experieˆncia de jogar uma moeda honesta repetidamente. Seja X a v.a. denotando o
nu´mero de lanc¸amentos necessa´rios ate´ a primeira face cara aparecer.
a) Determine a fmp pX(x) e a fcd FX(x) de X.
b) Encontre i) P (1 < X ≤ 4), ii) P (X > 4).
Respostas: a) pX(k) = P (X = k) =
(
1
2
)k
, k = 1, 2, . . . FX(x) =

0 x < 1
1
2 1 ≤ x < 2
3
4 2 ≤ x < 3
...
...
1− ( 12)n n ≤ x < n+ 1
...
...
b) i) 716 , ii)
1
16 .
Exerc´ıcio 3. • Seja X uma v.a. cont´ınua com fdp
fX(x) =
 kx, 0 < x < 10, do contrario
onde k e´ uma constante.
a) Determine o valor de k.
b) Encontre a fcd FX(x).
c) Encontre P
(
1
4 < X ≤ 2
)
.
Respostas: a) k = 2,
b) FX(x) =

0 x < 0
x2 0 ≤ x < 1
1 1 ≤ x
c) 1516
Exerc´ıcio 4. • Considere uma func¸a˜o
f(x) =
1√
pi
e(−x
2+x−a), −∞ < x <∞.
Encontre o valor de a tal que f(x) seja uma fdp de uma v.a. cont´ınua X.
Resposta: a = 14 .
3
Exerc´ıcio 5. • Uma v.a. X e´ chamada uma v.a. Rayleigh se a sua fdp e´ dada por
fX(x) =
 xσ2 e−x
2/(2σ2), x > 0
0, x < 0
a) Determine a correspondente fcd FX(x).
b) Esboce fX(x) e FX(x) para σ = 1.
Respostas: a) FX(x) =
 1− e−x
2/(2σ2) x > 0
0 x < 0
b) fX(x) =
 xe−x
2/2, x > 0
0, x < 0
FX(x) =
 1− e−x
2/2 x > 0
0 x < 0
Use um software para saber o esboc¸o dos gra´ficos acima ou consulte o professor.
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