aula-7

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IFBA
Processos Estoca´sticos
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2014
Aula 7
0.1 Varia´veis Aleato´rias Duplas
Seja S um espac¸o amostral simples de um experimento aleato´rio. Sejam X e Y duas v.a.. Enta˜o o par (X,Y ) e´
chamado de v.a. dupla se cada um dos X e Y associa um nu´mero real com cada elemento de S. Portanto, a v.a. (X,Y )
pode ser considerada como uma func¸a˜o que a cada elemento ξ em S associa um ponto (x, y) do plano. A imagem da
v.a. dupla (X,Y ) e´ denotada por RXY e definida por
RXY = {(x, y); ξ ∈ S e X(ξ) = x, Y (ξ) = y} .
Se as v.a. X e Y sa˜o discretas, enta˜o (X,Y ) e´ dita uma v.a. discreta. Se as v.a. X e Y sa˜o cont´ınuas, enta˜o (X,Y )
e´ dita uma v.a. cont´ınua. Se X e´ uma v.a. cont´ınua e Y e´ uma v.a. discreta (ou vice-versa) enta˜o (X,Y ) e´ dita uma
v.a. mista.
0.2 Func¸o˜es de Distribuic¸a˜o Conjuntas
A func¸a˜o cumulativa de distribuic¸a˜o conjunta (ou fcd conjunta) de X e Y , denotada por FXY (x, y) e´ a func¸a˜o
definida por
FXY = P (X ≤ x, Y ≤ y).
Entenda P (X ≤ x, Y ≤ y) como sendo equivalente a´ intersecc¸a˜o A ∩ B, onde A = {ξ ∈ S;X(ξ) ≤ x} e B =
{ξ ∈ S;Y (ξ) ≤ y}. Neste caso, P (A) = FX(x) e P (B) = FY (y) e portanto FXY = P (A ∩B).
Duas v.a. X e Y sa˜o chamadas independentes se
FXY (x, y) = FX(x)FY (y)
para todo x e y.
A func¸a˜o FXY (x, y) apresenta algumas propriedades
i) 0 ≤ FXY (x, y) ≤ 1;
Se x1 ≤ x2 e y1 ≤ y2, enta˜o
ii.1) FXY (x1, y1) ≤ FXY (x2, y2) ≤ FXY (x2, y2);
ii.2) FXY (x1, y1) ≤ FXY (x1, y2) ≤ FXY (x2, y2);
iii) lim(x,y)→(∞,∞)FXY (x, y) = FXY (∞,∞) = 1;
iv.1) limx→−∞FXY (x, y) = FXY (−∞, y) = 0;
iv.2) limy→−∞FXY (x, y) = FXY (x,−∞) = 0;
v.1) limx→a+FXY (x, y) = FXY (a+, y) = FXY (a, y);
v.2) limy→b+FXY (x, y) = FXY (x, b+) = FXY (x, b);
vi.1) P (x1 ≤ X ≤ x2, Y ≤ y) = FXY (x2, y)− FXY (x1, y);
vi.2) P (X ≤ x, y1 ≤ Y ≤ y2) = FXY (x, y2)− FXY (x, y1);
vii) Se x1 ≤ x2 e y1 ≤ y2, enta˜o
P (x1 < X ≤ x2, y1 ≤ Y ≤ y2) = FXY (x2, y2)− FXY (x2, y1)− FXY (x1, y2) + FXY (x1, y1) ≥ 0.
Suponha que a condic¸a˜o
limy→∞(X ≤ x, Y ≤ y) = (X ≤ x, Y ≤ ∞) = (X ≤ x)
seja satisfeita desde que y ≤ ∞. Enta˜o,
FX(X) = limy→∞FXY (x, y) = FXY (x,∞).
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Analogamente,
FY (y) = limx→∞FXY (x, y) = FXY (∞, y).
As fcd FX(x) e FY (y) sa˜o chamadas de func¸o˜es marginais de X e Y respectivamente.
Exemplo 1. Considere o experimento de lanc¸ar uma moeda honesta duas vezes. Seja (X,Y ) a v.a. dupla, onde X e´
o nu´mero de caras que ocorre nos dois lanc¸amentos e Y e´ o nu´mero de caroas que ocorre nos dois lanc¸amentos.
a) Determine RX , RY e RXY .
b) Encontre P (X = 2, Y = 0), P (X = 0, Y = 2), P (X = 1, Y = 1).
Soluc¸a˜o:
a) RX = {0, 1, 2}, RY = {0, 1, 2} e RXY = {(0, 2), (1, 1), (2, 0)}.
b)
P (X = 2, Y = 0) = P {CaCa} = 14
P (X = 0, Y = 2) = P {CoCo} = 14
P (X = 1, Y = 1) = P {CaCo,CoCa} = 12
Exemplo 2. A fcd conjunta da v.a. dupla (X,Y ) e´ dada por
FXY (x, y) =
 (1− e−αx)(1− e−αy), x ≥ 0, y ≥ 0, α, β > 00, do contrario
a) Encontre as fcd marginais de X e Y .
b) Mostre que X e Y sa˜o independentes.
c) Encontre P (X ≤ 1, Y ≤ 1), P (X ≤ 1), P (Y > 1) e P (X ≥ x, Y ≥ y).
Soluc¸a˜o:
a) De acordo com a definic¸a˜o, temos
FX(x) = FXY (x,∞) =
 1− e−αx, x ≥ 00, x < 0
FY (y) = FXY (∞, y) =
 1− e−αy, y ≥ 00, y < 0
b) Desde que FXY (x, y) = FX(x)FY (y) temos que X e Y sa˜o independentes.
c)
P (X ≤ 1, Y ≤ 1) = FXY (1, 1) = (1− e−α)(1− e−β)
P (X ≤ 1) = 1− e−α
P (Y > 1) = 1− P (Y ≤ 1) = 1− (1− e−β) = e−β
P (X > x) = 1− P (X ≤ x) = e−αx e P (Y > y) = 1− P (Y ≤ y) = e−βy
Assim, P (X > x, Y > y) = P ((X > x) ∩ (Y > y)) = P (X > x)P (Y > y) = e−αxe−βy.
0.3 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. • Considere a func¸a˜o
F (x, y) =
 1− e−(x+y), x ≥ 0, y ≥ 00, do contrario
Podemos dizer que a func¸a˜o F (x, y) caracteriza uma fcd conjunta de alguma v.a. dupla (X, y)?
Resposta: Na˜o.
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Exerc´ıcio 2. • A fcd conjunta da v.a. dupla (X,Y ) e´ dada por
FXY (x, y) =

0, x < 0 ou y < 0
p1, 0 ≤ x < a, 0 ≤ y < b
p2, x ≥ a, 0 ≤ y < b
p3, 0 ≤ x < a, y ≥ b
1, x ≥ a, y ≥ b
a) Encontre as fcd marginais de X e Y .
b) Estabelec¸a as condic¸o˜es sobre p1, p2 e p3 para que X e Y sejam independentes.
Respostas:
a)
FX(x) =

0, x < 0
p3, 0 ≤ x < a
1, x ≥ a
FY (y) =

0, y < 0
p2, 0 ≤ y < b
1, y ≥ b
b) p1 = p2p3
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