Estudo das funções PROVA

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Funções e Limites
Números e funções reais
Conjunto dos Números Naturais (N)
◦ N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
◦ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
◦ Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}
◦ Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0}
◦ Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
◦ N  Z (N está contido em Z)
Conjunto dos Números Racionais (Q)
◦ Q = {a/b | a,b  Z, b  0}
◦ Z  Q (Z está contido em Q)
Números e funções reais
Conjunto dos Números Irracionais ()
◦ É o conjunto formado por números cuja representação decimal é não exata e não 
periódica
◦ Exemplo:  = 3,141592653589...
Conjunto dos Números Reais (R)
◦ É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos números racionais e 
irracionais

R
Q
Z
N
Números e funções reais
Reta Real
◦ Cada ponto de uma reta real representa um número real
◦ Numa reta real os números estão ordenados de maneira crescente
da esquerda para a direita.
◦ Um número a é menor que qualquer número b colocado a sua direita e maior que qualquer número c a sua
esquerda.
543210-1-2-3-4
R
a bc
Números e funções reais
Plano Cartesiano
◦ O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais
◦ Eixo x é o eixo das abscissas
◦ Eixo y é o eixo das ordenadas
◦ A origem do sistema é o ponto O
◦ As coordenadas do ponto P são os números reais x1 e y1
◦ Par ordenado (x1 , y1)
x
y
x1
y1
P(x1, y1)
O
Números e funções reais
Domínio
◦ É o conjunto de valores assumidos por x.
Imagem
◦ É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de
correspondência para os elementos do domínio.
Gráfico
◦ É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano.
Retas
Coeficiente angular da reta R:
Obs.:
◦ Retas horizontais: m = 0
◦ Retas verticais: Não têm m
12
12
horizontal variação
 verticalvariação
xx
yy
x
y
m
m







X
R
Y
12 yyy 
12 xxx 
),(P 111 yx
),(P 222 yx
1x
2x
1y
2y
Retas
Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular
◦ A equação abaixo é a equação na forma ponto 
– coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem 
coeficiente angular m.
 
11
11
)(
ou
yxxmy
xxmyy


Retas
Exemplo 1
◦ Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) 
com coeficiente angular -3/2.
◦ x1 = 2
◦ y1 = 3
◦ m = -3/2
 
 
6
2
3
3
2
3
3
2
2
3
3
11




xy
xy
xy
xxmyy
Retas
Exemplo 2
◦ Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e 
P2(3, 4).
◦ x1 = -2
◦ y1 = -1
◦ x2 = 3
◦ y2 = 4
◦ m = ?
 
 
1
21
)2(1)1(
11




xy
xy
xy
xxmyy
retadaequaçãodaCálculo
1
5
5
23
14
)2(3
)1(4
12
12










m
xx
yy
m
angularecoeficientdoCálculo
Retas
Equação reduzida da reta:
◦ m - coeficiente angular
◦ b - coeficiente linear
Equação geral da reta:
◦ A e B diferentes de zero.
bmxy 
CByAx 
R
b)(0,
X
Y ),( yx
b
Aplicações
Muitas variáveis importantes são relacionadas por equações
lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de
temperatura Fahrenheit e Celsius.
)32(
9
5
32
5
9
 FCouCF
m
b
Funções e Gráficos
Os valores de uma variável frequentemente dependem dos valores de outra variável
◦ A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui
quando a altitude aumenta)
◦ O rendimento anual de suas economias depende da taxa de juros oferecida pelo banco
Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de outro
conjunto B é chamada de função.
BA
OBS:
A é o domínio
B é a imagem (contra-domínio)
Funções e Gráficos
Nomenclatura (Leonhard Euler)
◦ y é igual a f de x
)(xfy 
Variável independente (domínio)
Variável dependente (contra-domínio ou imagem)
X (domínio)
Y (imagem)
Funções
Definição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma
função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y =
f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função
real de uma variável real
e denotamos por:
• x é chamada de variável independente.
• y é chamada de variável dependente.
• A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f).
• B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f).
Funções e Gráficos
Domínios e imagens
◦ Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio não é citado
explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto
de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínio natural.
◦ Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo.
◦ Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números reais. Se queremos somente
valores positivos de x devemos escrever y = x2, x > 0.
◦ Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são
intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e
finitos ou infinitos.
Funções e Gráficos
As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos
restantes são chamados pontos interiores.
Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são
abertos.
◦ Aberto AB
◦ A < x < B ou (A, B)
◦ Fechado AB
◦ A ≤ x ≤ B ou [A, B]
◦ Fechado em A e aberto em B
◦ A ≤ x < B ou [A, B)
◦ Aberto em A e fechado em B
◦ A < x ≤ B ou (A, B]
x
A B
x
A B
x
A B
x
A B
Gráfico de uma função
Uma função pode ser representada por pares ordenados e seu gráfico é um
subconjunto do ℝ2, isto é:
Gr(f) = {(x,y)  ℝ2/x𝔻(f) e y = f(x)  𝕀m(f)} ou
Gr(f) = {(x,f(x))  ℝ/ x 𝔻(f) }
(x,y)
y1
x1 x2
y2
y=f(x)
x
y
𝔻(f)={x∊ℝ/x1  x  x2}=[x1 , x2]
𝕀m(f)=[y1 , y2]
Zeros e sinais de uma função
x
y
Zeros ou raízes da função são os pontos de 
interseção do gráfico da função com o eixo Ox, 
ou seja, f(x)=0, ou ainda, onde y=0.
y=f(x)
Os sinais da função: Acima do 
eixo Ox ela é positiva e abaixo 
é negativa.
x1 x2 x3
]-∞,x1]  y<0
[x1,x2]  y>0
[x2,x3]  y<0
[x3,+∞[  y>0
++
▁ ▁
Função do 1º Grau
baxy 
Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo :
Onde:
 a = taxa de variação da função;
 b = ponto onde a reta toca o Eixo Y;
R
b)(0,
X
Y
),( yx
b
Propriedades da Reta
 É definida por um polinômio de 1o grau;
 Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em apenas um ponto;
 O sinal da taxa de variação a fornece a informação sobre o crescimento ou decrescimento
da função:
 a < 0 função decrescente;
 a > 0 função crescente;
Propriedades da Reta
Só tocam o eixo X uma vez.
Se a < 0, a função decresce.
Se a > 0, a função cresce.
-
-
-
As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é
justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau)
cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero.
a
bxbaxbaxy  00
Raízes da Função de 1º Grau
Função Afim
y = ax + b 
∀a≠0 e bℝ
θ
a>0  reta crescente
b
a  coeficiente angular  a = tgθ
b  coeficiente linear
a<0  reta decrescente
θ
b
 Função do 1º grau 
Função Linear
y = ax + b 
θ
a>0  reta crescente a<0  reta decrescenteθ
y = ax 
Até 40h  3,00 por hora
Acima de 40h  + 50% (4,50 por hora)
Salário Bruto = (até 40h) + (acima de 40h)
Sendo x o número total de horas,
S(x) = 40.3 + (x – 40).4,5
S(x) = 120 + 4,5x – 180 = 4,5x - 60
Exercícios
Fixa ...... 4,60 + 0,96 por quilômetro
Para um valor de 19,00
F(x) = 4,60 + 0,96.x
19 = 4,6 + 0,96.x
14,4 = 0,96.x
15 = x
Exercícios
X – preço de tabela
À vista: (30% de desc) = 0,7.x
Cartão de crédito: 1,1.x
Logo 0,7.x = 7000
x = 10.000
E portanto, no cartão 1,1.10000 = 11000
Exercícios
cbxax  2y
Uma função de 2º grau, também chamada de função QUADRÁTICA,
representada por uma PARÁBOLA, é toda função real do tipo:
Desde que a ≠ 0;
Função de 2º Grau
 É definida por um polinômio de 2o grau;
 Pode possuir:
 Duas raízes reais e distintas;
 Duas raízes reais e iguais;
 Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X).
 O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função:
 a < 0  concavidade para baixo;
 a > 0  concavidade para cima;
Propriedades da Parábola
Propriedades da Parábola
Podem ter três tipos de raízes.
Se a < 0, a concavidade é para baixo.
Se a > 0, a concavidade é para cima.
Para encontrar as raízes de funções de 2º Grau, resolvemos a
equação:
02  cbxax
Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:
acbcom
a
b
x 4,
2
2 


Raízes da Função de 2º Grau
Função Quadrática  Função do 2º grau
a>0  concavidade para cima a<0  concavidade para baixo
Função Quadrática
 > 0  = 0
 <0x1 x2 x1 = x2
Propriedades das Funções
-4
-2
-1
-3
Propriedades das Funções
1-1
f(x+a) com a>0 
deslocamento para a 
esquerda
f(x-a) com a>0 
deslocamento para a 
direita
Propriedades das Funções
Propriedades das Funções
2
-2
2
4f(x) e –f(x) são 
simétricas em 
relação ao eixo Ox
-4
f(x) e f(-x) são 
simétricas em 
relação ao eixo Oy
Função Polinomial
3 raízes reais 
diferentes
2 raízes reais 
iguais e 1 
diferente
2 raízes complexas e 
1 real
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Racional
São função do tipo , onde g(x) e h(x) são polinômios na
mesma variável.
Exemplo: Dada a função , determine o domínio, a imagem e
esboce o gráfico das seguintes funções:
1
-1
-1
-1
1
Função Logarítmica
1
1
Função Exponencial
1 1
1
Função definida por Sentença Aberta
1
0
2
-1
Função Modular
1/2
1/4
Círculo Trigonométrico
e os eixos das funções trigonométricas
Seno e 
Cossecante
Cosseno e 
Secante
Tangente
Cotangente
0
+
-
Seno e 
Cossecante
0
Funções sen(x) e cossec(x)
θ
y
x
0 /2
 3/2
2 5/2
3
1
-1
-/2
-
-3/2
-2
Função Seno
y
x
0 /2 
3/2 2
5/2
3
1
-1
-/2
--3/2
-2
cosseno e 
secante
0
Funções cos(x) e sec(x)
θ
y
x
0 /2

3/2
2
5/2
3
1
-1
-/2
-
-3/2
-2
Função Cosseno
y
x
0 /2

3/2
2
5/2
3
1
-1
-/2-
-3/2
-2
Função Secante
0
Funções tg(x) e cotg(x)
θ
Eixo da 
tangente
Eixo da 
cotangente
Função Tangente
y
x
0 /2

3/2
2
5/2-/2
-
y
x
0 /2

3/2
2
-/2
-
-3/2
Função cotangente
Função Inversas das funções sen(x), cos(x) e tg(x)
y
x
0 /2
 3/2
2 5/2
3
1
-1
-/2
-
-3/2
-2
/2
1-1
-/2
f(x)=sen(x)
f -1(x)=arcsen(x)
/2
1-1

f(x)=cos(x)
f -1(x)=arccos(x)
y
x
0 /2

3/2
2
5/2
3
1
-1
-/2
-
-3/2
-2
y
x
0 /2

3/2
2
5/2-/2
-
f(x)=tg(x)
/2
-/2
f-1 (x)=arctg(x)
Funções Hiperbólicas
Das funções trigonométricas, temos que P(x,y)=(cosθ,senθ) está
sobre uma circunferência de equação x2+y2=1. .
θ
P(x,y)
x
y
1
Para as funções hiperbólicas, temos que P(x,y)=(coshθ,senhθ) está
sobre uma hipérbole de equação x2-y2=1.
P(x,y)=(coshθ,senhθ)
θ
x
y
Definições:
1
 Seno hiperbólico
 Cosseno hiperbólico
Outras funções hiperbólicas
Tangente hiperbólica
1
-1
Cotangente hiperbólica
1
-1
cotgh(x)tgh(x)
Secante hiperbólica
1
Cossecante hiperbólica
sech(x) cosech(x)