Limites Introdução

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Noção 
Sucessões 
numéricas
Dizemos 
que:
1, 2, 3, 4, 5, ....
Os termos tornam-se cada vez 
maiores, sem atingir um limite x  + 
Os números aproximam-se 
cada vez mais de 1, sem 
nunca atingir esse valor
x  1
1, 0, -1, -2, -3, ...
Os termos tornam-se cada vez 
menor, sem atingir um limite x  - 
Os termos oscilam sem tender 
a um limite
,.....
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
,...7,
7
6
,5,
4
5
,3,
2
3
,1
Definição informal de limite 0x x
limf(x) L


O limite da função f(x), quando x tende para um valor x0, é o
número L (se existir) e é representado por:
Nota-se que quando x tende para 1, pelos
dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3,
ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim,
diz-se que:
3)12(lim)(lim
11


xxf
xx
Neste caso o limite é igual ao valor da função. 
f(x) = f(1) = 3
1
lim
x
Limites
 Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a,
está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -
 Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a,
está-se calculando o limite lateral direito. x a +
 Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
[f(x)] = [f(x)]
ax
lim
ax
lim
Limites Laterais
x f(x) = x + 3
2 5
1,5 4,5
1,25 4,25
1,1 4,1
1,01 4,01
1,001 4,001
1,0001 4,0001
4)(lim
1


xf
x
4)(lim
1


xf
x
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver
próximo de 1, mas não for igual a 1.
x f(x) = x + 3
0 3
0,25 3,25
0,75 3,75
0,9 3,9
0,99 3,99
0,999 3,999
Dada a função f: IR  IR, definida por f(x) = x + 3.
4
1 x
y
Pela esquerda
Pela direita
)(lim
1
xf
x
Determinar, graficamente,
Dada a função f: IR  IR, definida por






1,3
1,1
)(
xparax
xparax
xf
4)(lim
1


xf
x
2)(lim
1


xf
x
1
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1
2
4
“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.

 2
x 2
lim(x)=4
Limites Intuitivos

=
0)(lim)(
0)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
0
0










xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b

)(a

)(d

)(c

<
1)(lim)(
0)(lim)(
1)(lim)(
0)(lim)(
0
0










xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b

)(a

)(d

)(c

>
]1 ,1[ )(lim)(
0)(lim)(
]1 ,1[ )(lim)(
0)(lim)(
0
0










entrexfd
xfc
entrexfb
xfa
x
x
x
x
)(b

)(a

)(d

)(c

)(lim
0)(lim
2)(lim
3
3
3
xf
xf
xf
x
x
x












 existe não
diferentessão
0)(lim
0)(lim
0)(lim
3
3
3












xf
xf
xf
x
x
x
 
iguaissão
Limites laterais




)(lim)(
0)(lim)(
1
xfb
xfa
x
x
)(b

)(a

Limites infinitos
2 2
x1 x1
2
x1
2 2
lim elim
(x1) (x1)
2
lim
(x1)
  

 
 
 

2
2
y
(x 1)


y = tg x 
Limites infinitos
xtg
xtgextg
x
xx
2
22
lim
limlim







existenão
x x
limf(x)1elimf(x)1
 
 
Limites infinitos
Limites nos extremos do domínio da 
Função Exponencial
Limites nos extremos do domínio da 
Função Logarítmica
Limite trigonométrico fundamental x 0
senx
lim 1
x

EXERCÍCIO 1
y
x1 5
2
1
O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?
Lim f(x) não existe
x 1
O que ocorre com f(x) quando x = 1?
y
x1 5
3
2
EXERCÍCIO 2
Lim f(x) = L = 2
x 1
Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1)
x 1
x1
y
5
2
1
EXERCÍCIO 3
O que ocorre com f(x) quando x = 1?
Dado o gráfico de f(x):
3
5
-3
3
-2
x
f(x)
3.5
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x


Encontre:
EXERCÍCIO 4
Limite Exponencial Fundamental
x
x
1
lim1 e
x
 
   
Uma função f é contínua em um número x0 se
)()(lim 0
0
xfxf
xx


Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.
Continuidade de uma função em um número
a) b) c)
Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
 ba,Continuidade de uma função em um intervalo aberto