AULA 4 - MEDIDAS DE DISPERSÃO E VARIABILIDADE

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Medidas de Dispersão
• Suponha as notas de 2 grupos de
Estudantes, cada qual com4 alunos.
Grupo “A” : 4, 5, 5, 6 � média: 5
Grupo “B” : 0, 0, 10, 10 � média: 5
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Medidas de Dispersão
• Os dois grupos apresentam a mesma média
• O comportamento dos 2 grupos são bem 
distintos.
GRUPO “A”: valores são mais homogêneos
GRUPO “B”: valores são dispersos em
relação à média
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Medidas de Dispersão
• Dentre as medidas de dispersão pode-se citar 
algums delas:
– a) Amplitude Total
– b) Desvio Médio
– c) Variância
– d) Desvio Padrão
– e) Coeficiente de variação
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a) AMPLITUDE TOTAL - R
– é a diferença entre o maior e o menor valor 
observados.
R = Limite superior - Limite Inferior
• Exemplo 5: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
R = 9 – 1 = 8
4
2
b) DESVIO MÉDIO - DM
– É a média aritmética dos valores absolutos
dos desvios tomados em relação a uma das
seguintes medidas de tendência central: média
ou mediana
� DM = Σ Xi – µµµµ_���� população
n 
Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável
n = nº elementos
µµµµ = média aritmética
b) DESVIO MÉDIO - DM
EXEMPLO: Dado o levantamento: 
Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média X = = = 4
b) Montar a tabela a seguir:
ΣΣ XiXi
nn
4040
1010
b) DESVIO MÉDIO - DM
Xi Xi - x Xi – x 
2 2 – 4 = - 2 2
2 2 – 4 = - 2 2
3 3 – 4 = - 1 1
3 3 – 4 = - 1 1
3 3 – 4 = - 1 1 DM = = 
4 4 – 4 = 0 0
4 4 – 4 = 0 0 DM = 1,56
4 4 – 4 = 0 0
5 5 – 4 = 1 1
10 10 – 4 = 6 6
Σ 14
Σ Xi – x_
n - 1
14
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Considerando uma amostra
c) VARIÂNCIA – população: σ2 amostra: s2
– é a média dos quadrados dos afastamentos entre 
as os valores da variável e sua média aritmética
– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
3
� Para uma amostra
s2 = Σ (Xi – X )2_
n – 1
Sendo: s2= variância amostra n = nº elementos
X = média aritmética Xi = valor da variável
� Para uma população
σ2 = Σ (Xi – µµµµ )2_
n 
Sendo: σ2 = variância população Xi = valor variável
n = nº elementos µ = média aritmética
c.1) Variância - σ2 – dados simples
Exemplo 7: Dado o levantamento: 
Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média X = = = 4
b) Montar a tabela a seguir:
ΣΣ XiXi
nn
4040
1010
c.1) Variância - s2 – dados simples
Xi Xi - x ( Xi – x )2
2 2 – 4 = - 2 22 = 4
2 2 – 4 = - 2 22 = 4
3 3 – 4 = - 1 12 = 1
3 3 – 4 = - 1 12 = 1
3 3 – 4 = - 1 12 = 1 s2 = = 
4 4 – 4 = 0 02 = 0
4 4 – 4 = 0 02 = 0
4 4 – 4 = 0 02 = 0 s2 = = 5,33
5 5 – 4 = 1 12 = 1
10 10 – 4 = 6 62 = 36
Σ 48
ΣΣ ( Xi ( Xi –– x )x )22
n n -- 11
4848
99
c.2) Variância - s2 – dados agrupados
Xi fi Xi . fi Xi - x ( Xi – x )2 ( Xi – x )2 . fi
2 2 2 . 2 = 4 2 – 4 = -2 (-2)2 = 4 4 . 2 = 8
3 3 3 . 3 = 9 3 – 4 = -1 (-1)2 = 1 1 . 3 = 3
4 3 4 . 3 = 12 4 – 4 = 0 02 = 0 0 . 3 = 0
5 1 5 . 1 = 5 5 – 4 = 1 12 = 1 1 . 1 = 1
10 1 10 . 1 = 10 10 - 4 = 6 62 = 36 36 . 1 = 36 
Σ fi = 10 Σ fi = 40 Σ fi = 48
se amostra
s2 = 
s2 = = 5,33
ΣΣ ( Xi ( Xi –– x )x )2 2 . fi. fi
ΣΣ fi fi -- 11
4848
99
4
c.2) Variância - s2 – dados agrupados em 
classes
Xi PM fi PM.fi PM-x ( PM–x )2 ( PM–x )2.fi
0 2..... 1 2 1.2 = 2 1-5= -4 (-4)2 = 16 16 . 2 = 32
2 4..... 3 4 3.4 = 12 3-5= -2 (-2)2 = 4 4 . 4 = 16
4 6..... 5 8 5.8 = 40 5-5= 0 02 = 0 0 . 8 = 0
6 8..... 7 6 7.6 = 42 7-5= 2 (2)2 = 4 4 . 6 = 24
8 10.... 9 1 9.1 = 9 9-5= 4 (4)2 = 16 16 . 1 = 16
total .... 21 105 88
Σ ( PM – x )2 . fi 
Σ fi - 1
Σ ( PM.fi) 
Σ fi
X = = 105 
21
X = 5
s2 = =
88 
20s
2
=
s2 = 4,4
d) DESVIO PADRÃO
– Por definição, é a raiz quadrada da média
aritmética dos quadrados dos desvios
– É a mais utilizada
– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
� para uma população σ = σ2
� para uma amostra s = s2
d) Desvio Padrão - “σ” ou “s”
– Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão 
é nulo.
– quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é 
a distribuição, significa que os valores são mais 
dispersos em torno da média
– MEDIA ± 1 σ => 68,26% dos valores
– MEDIA ± 2 σ => 95,44% dos valores
– MEDIA ± 3 σ => 99,74% dos valores
e) Coeficiente de Variação - CV
CV = σσσσ σ - desvio padrão
X X - média artitmética
– o CV mede o grau de heterogeneidade da
distribuição
– Valor máximo é CV = 1
0 ≤ CV ≤ 1
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5
Coeficiente de Variação - CV
– Quanto mais próximo de 1:
�mais heterogênea é a distribuição
�Os valores estão mais dispersos
– Quanto mais próximo de 0:
�mais homogênea é a distribuição
�Os valores da variável estão mais próximos em torno 
da média
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Coeficiente de Variação - CV
– Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais 
foram:
• “a”: 60; 40; 50; 50
• “b”: 70; 70; 30; 30
• Qual foi mais regular ?
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Coeficiente de Variação - CV
Na comparação de variabilidade de dois 
ou mais conjuntos de dados:
1. expressos em diferentes unidades de 
medida
2. expressos nas mesmas unidades, mas 
com médias diferentes.
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Coeficiente de Variação - CV
Comparação de valores expressos em 
diferentes unidades de medida
Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia 
mais: PESO ou COMPRIMENTO
XPESO = 20 kg XCOMPRIMENTO = 50 metros
σσσσPESO = 2 kg σσσσCOMPRIMENTO = 4 metros
20
6
Coeficiente de Variação - CV
XXPESOPESO
σσPESOPESOCVCVPP =
CVCVCC = σσCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO
XXCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO
44
22
2020CVCVPP =
5050CVCVCC =
CVCVPP = 0,10
CVCVCC = 0,08
CVCVPESOPESO = 0,10 ≥ CVCVCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO= 0,08
PESO varia mais que o comprimentoPESO varia mais que o comprimento
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Coeficiente de Variação - CV
expressos nas mesmas unidades, mas 
com médias diferentes
Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo “ A ” 
ou “ B “ tem mais variação de rendimento em um 
processo:
XA = 80 % XB = 50 %
σσσσA = 2 % σσσσB = 1 %
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Coeficiente de Variação - CV
σσAACVCVAA=
XXAA
σσBBCVCVBB =
XXBB
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8800CVCVPP =
11
5050CVCVBB =
CVCVAA= 0,025
CVCVBB = 0,020
CVCVAA = 0,025 ≥ CVCVBB= 0,020
O rendimento do Produto A varia mais que o O rendimento do Produto A varia mais que o 
rendimento do produto B no decorrer do processorendimento do produto B no decorrer do processo
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