RESMAT ESTABILIDADE - Anotações de Aula 4

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Notas de Aula 
 
 
 
 
Sumário 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................. 1 
2. TENSÕES E DEFORMAÇÕES ........................................................................... 2 
2.1. Conceitos ................................................................................................................................................... 2 
2.1.1. Deformação (Rodrigues, 2015) ......................................................................................................... 2 
2.1.2. Elasticidade (Mascia, 2006) .............................................................................................................. 3 
2.1.3. Tensões (Leggerini P. M., Faculdade de Engenharia, 2011) ............................................................. 3 
2.1.4. Resistência (Baeta, 1999) .................................................................................................................. 4 
2.1.5. Deformações e Elasticidade (Leggerini P. M., Faculdade de Engenharia, 2011).............................. 5 
A. Deformações Elásticas ........................................................................................................................... 5 
B. Deformações Plásticas ........................................................................................................................... 6 
2.1.6. Lei de Hooke (Leggerini P. M., Faculdade de Engenharia, 2011) .................................................... 6 
2.1.7. Lei de Poisson (Leggerini P. M., Faculdade de Engenharia, 2011) .................................................. 6 
2.2. Propriedades Mecânicas dos Materiais (Leggerini P. M., Faculdade de Engenharia, 2011; Paliga, 
2014) 7 
2.2.1. Ensaio de Materiais ........................................................................................................................... 8 
2.2.2. Materiais Dúcteis: ............................................................................................................................. 8 
A. Dúctil com escoamento real: ................................................................................................................. 8 
B. Dúctil com escoamento convencional ................................................................................................... 9 
2.2.3. Materiais Frágeis ............................................................................................................................... 9 
2.3. Critério de Resistência - Coeficiente de Segurança ............................................................................... 9 
2.4. Tensão Admissível (Mascia, 2006) ........................................................................................................ 10 
2.5. Estados Limites Últimos ........................................................................................................................ 10 
2.6. Tensões Normais (Leggerini P. M., Notas de Aula, 2011) .................................................................. 11 
2.6.1. Esforço Normal ............................................................................................................................... 11 
2.6.2. Tensão Normal ................................................................................................................................ 12 
2.7. Tensões Tangenciais (Leggerini P. M., Notas de Aula, 2011) ............................................................. 12 
2.8. Cisalhamento (Leggerini P. M., Notas de Aula, 2011) ........................................................................ 13 
2.9. Tensões Normais – Seções Sujeitas a Esforços Normais ..................................................................... 14 
2.9.1. Exemplos de Aplicação ................................................................................................................... 14 
3. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS (VARELA, 2014) .... 18 
3.1. Área (A) .................................................................................................................................................. 18 
3.2. Momento Estático (M) ........................................................................................................................... 18 
3.3. Centro de Gravidade ou Baricentro (CG) ........................................................................................... 20 
3.3.1. Propriedades do centro de gravidade ............................................................................................... 20 
A. Centro de gravidade de área composta ................................................................................................ 21 
3.4. Momento de Inércia (I) .......................................................................................................................... 23 
3.4.1. Momento de inércia de um elemento .............................................................................................. 23 
3.4.2. Momento de inércia de uma superfície ........................................................................................... 23 
 
A. Propriedade: ......................................................................................................................................... 23 
3.5. Translação de eixos ou Teorema de Steiner......................................................................................... 24 
3.6. Módulo de Resistência (W).................................................................................................................... 25 
3.7. Raio de Giração (r) ................................................................................................................................ 26 
4. FLEXÃO SIMPLES (BORJA, 2016) .................................................................... 28 
4.1. Preâmbulo............................................................................................................................................... 28 
4.2. Tensão de Flexão em Uma Viga ............................................................................................................ 28 
4.3. Diagrama de Tensões Resultante .......................................................................................................... 28 
4.4. Hipótese Fundamental da Teoria da Flexão - Lei de Navier .............................................................. 29 
4.5. Superfície Neutra ................................................................................................................................... 29 
4.6. Análise das Distâncias das Fibras em Relação a L.N. ......................................................................... 30 
4.7. Tensão de Flexão .................................................................................................................................... 30 
4.7.1. Tensões de Flexão de Viga Sujeita a Momento Fletor (M) Positivo. .............................................. 30 
4.7.2. Exemplo – Determinação das Tensões de Flexão ........................................................................... 31 
4.8. Verificação da Estabilidade................................................................................................................... 32 
4.8.1. Tensão Máxima de Flexão .............................................................................................................. 32 
4.8.2. Exemplo – Verificação da Estabilidade à Flexão (de uma viga) ..................................................... 33 
4.9. Tensão de Cisalhamento ........................................................................................................................ 34 
4.9.1. Momento Estático de Área – Seção Transversal Retangular ...........................................................34 
4.9.2. Exemplo – Determinação da Tensão de Cisalhamento ................................................................... 35 
4.9.3. Verificação da estabilidade ............................................................................................................. 35 
4.9.4. Tensão Máxima de Cisalhamento ................................................................................................... 36 
4.9.5. Exemplo .......................................................................................................................................... 36 
4.10. REVISÃO: .............................................................................................................................................. 37 
5. TENSÕES NAS SEÇÕES SUJEITAS À FLEXÃO COMPOSTA (CARVALHO, 2007) 
(SPOHR, 2012) (BEER, 2011) ................................................................................... 38 
5.1. Conceituação .......................................................................................................................................... 38 
5.2. Solução Geral ......................................................................................................................................... 38 
6.1.1. Diagrama de Tensões .............................................................................................................................. 38 
6.1.2. Equação da Linha Neutra ........................................................................................................................ 39 
6.1.3. Equação da Tensão - Considerações ....................................................................................................... 39 
5.3. 6.1.3. Exemplos ....................................................................................................................................... 40 
Bibliografia .......................................................................................................................................................... 45 
 
 
1 
 
1. Introdução 
Os textos a seguir são notas extraídas de materiais disponíveis na internet, conforme bibliografia, não sendo, por 
tanto, fruto de minha autoria. Me limitei apenas a compilação deste material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
2. Tensões e Deformações 
2.1. Conceitos 
2.1.1. Deformação (Rodrigues, 2015) 
Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o tamanho 
dele. Essas mudanças são denominadas deformação e podem ser perfeitamente 
visíveis ou praticamente imperceptíveis sem o uso de equipamento para fazer 
medições precisas. 
O alongamento ou a contração de um segmento de reta por unidade de 
comprimento é denominado deformação normal. 
A deformação normal é uma grandeza adimensional, pois representa a relação 
entre dois comprimentos. 
𝜺𝒎é𝒅 =
∆𝒔′ − ∆𝒔
∆𝒔
 
∆𝒔′ = (𝟏 + 𝜺) ∙ ∆𝒔 
 
 
Figura 2 - Ensaio de deformação. (Paliga, 2014) 
 
 
Figura 1 - Deformação em pilar. 
(Desconhecido, 2011) 
3 
 
 
2.1.2. Elasticidade (Mascia, 2006) 
Quando um corpo de prova de um material durante um ensaio, por exemplo, de tração, é descarregado, a 
deformação sofrida durante o carregamento pode desaparecer parcial ou totalmente. A propriedade do material, 
pela qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta totalmente à 
forma original, ela é perfeitamente elástica, mas se não retornar ela é parcialmente elástica e a deformação que 
fica é a deformação permanente. 
 
 
Figura 3 - Corpo de prova submetido a tração. 
Alguns materiais elásticos apresentam uma relação essencialmente linear entre tensão e deformação. Tais 
materiais são chamados de linearmente elásticos (aço). Outros são não linearmente elásticos (borracha), como 
mostra a figura. 
 
 
Figura 4 - Comportamento de alguns materiais. 
Define-se limite elástico o ponto em que a tensão induz uma deformação permanente. Para os aços essa tensão é 
equivalente a do limite de proporcionalidade. Para a borracha o limite elástico pode continuar muito além do 
limite de proporcionalidade. 
 
2.1.3. Tensões (Leggerini P. M., Faculdade de Engenharia, 2011) 
As tensões que se desenvolvem entre as partículas de um corpo são consequência dos esforços internos 
desenvolvidos. Como os esforços são elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como 
consequência também o será. 
De acordo com o método das seções: 
"Supõe-se um corpo carregado e em equilíbrio estático. Ao se cortar este corpo por uma 
seção qualquer "S" isolando, como exemplo, a parte da esquerda, pode-se dizer que na seção 
cortada devem se desenvolver esforços que se equivalham aos esforços da parte da direita 
retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços, 
convenientemente decompostos, se constituem nas solicitações internas fundamentais. O 
isolamento da parte da esquerda foi um exemplo, pois com a parte da direita o mesmo pode 
ser feito." 
Partindo deste raciocínio pode-se afirmar que em cada elemento de área que constitui a seção cortada está sendo 
desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (resultante) mantém o equilíbrio do corpo isolado. A tensão 
(σ) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a distribuição do efeito da força pela área de 
atuação da mesma. 
 
4 
 
 
Figura 5 - Tensão. 
Substituindo-se a representação da força pela tensão que ela provoca, obtém-se o representado na figura. Como a 
tensão é um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço segundo 3 direções 
ortogonais convenientes, e, faz-se esta decomposição em direções convenientes levando-se em consideração as 
deformações que provocadas. 
De uma forma simplificada, pode-se dizer que a tensão é a força e a quantidade de material onde essa força atua 
(Tensão e pressão tem o mesmo significado). 
Adiante estão apresentados os dois tipos de tensões que solicitam os materiais, ou sejam as tensões normais e as 
tensões tangenciais. 
 As tensões normais são indicadas pela letra grega σ (sigma) 
 As tensões tangenciais são indicadas pela letra grega τ (tau) 
 
Figura 6 - Tensões normais e tangenciais. 
De uma forma bem geral e simplista, podemos resumir o conceito de tensão a uma fórmula: 
𝝈 =
𝑵
𝑨
 
ou seja: tensão = força sobre área 
A resistência de um material é dada pela tensão máxima que esse material resiste. Ou seja, quando se afirma que 
um determinado material tem uma resistência X, na verdade estamos dizendo que a tensão máxima que esse 
material é capaz de resistir é X. 
Isso quer dizer, de uma forma geral, que a tensão máxima que um material é capaz de resistir é dada pela relação 
entre a força máxima aplicada no material e a área em que essa força é aplicada. A esse valor dão-se vários 
nomes: “tensão máxima”, “tensão limite” ou mesmo “resistência do material”. 
 
2.1.4. Resistência (Baeta, 1999) 
Um elemento estrutural pode ser levado à ruptura de diversas maneiras, de modo que se podem distinguir 
diversos tipos de resistência a serem oferecidas por estes elementos. 
5 
 
 Resistência à tração: ocorre em tirantes, hastes de treliça, pendurais, armaduras de concreto armado, etc. 
 Resistência à compressão: ocorre em paredes, pilares, apoios, fundações, etc. 
 Resistência ao cisalhamento ou corte: ocorre no corte de chapas, nos rebites, pinos, parafusos, nós de 
tesoura de telhados, etc. 
 Resistência à flexão: ocorre em vigas, postes engastados, etc. 
 Resistência a flambagem: ocorre nos elementos solicitantes à compressão e que apresentam seção 
transversal com dimensões reduzidas quando comparadas com o comprimento, Porexemplo: colunas, 
escoras, pilares, hastes e outros elementos estruturais com cargas de compressão atuando paralelamente 
ao eixo longitudinal da peça. 
 Resistência à torção: ocorre com menor frequência em elementos de construção. A torção produz um 
deslocamento angular de uma seção transversal em relação à outra. A resistência à torção está relacionada 
à resistência ao cisalhamento e ocorre em vigas com cargas excêntricas, vigas curvas, eixos, parafusos, 
etc. 
 Resistência composta: ocorre em elementos estruturais que são submetidos simultaneamente por diversos 
tipos de solicitações. 
As resistências dos materiais de construção são determinadas por ensaios em Maquinas Universais de Ensaios, 
obedecendo a procedimentos rotineiros, que são padronizados pela ABNT (Associação Brasileira de Normas 
Técnicas). 
Os valores obtidos variam de acordo com o material, de material para material, e de acordo com o tipo de carga 
aplicada. Em algumas estruturas como, por exemplo, pontes, deve-se considerar, além da resistência estática a 
resistência do material à fadiga, aplicando-se cargas variáveis, alternadas e oscilantes. 
Cada material tem sua própria resistência, ou suas próprias tensões máximas ou limites. Só podemos comparar a 
resistência de dois materiais comparando as máximas tensões que eles podem resistir, ou em outras palavras, o 
quanto de força por unidade de área eles suportam. Portanto, quando se quer saber se um material tem condições 
de resistir aos esforços aplicados, calcula-se a tensão que está sendo aplicada e compara-se com as tensões 
máximas que o material resiste. 
 
2.1.5. Deformações e Elasticidade (Leggerini P. M., Faculdade de 
Engenharia, 2011) 
Deformação é a alteração da forma que sofre um corpo submetido a solicitações, devido aos movimentos das 
partículas que o constituem. Existe a tendência dos corpos de voltarem à forma original devido á força de atração 
entre as partículas. 
Podem-se diferenciar os tipos de deformações durante o ensaio simples de uma mola presa a uma superfície fixa, 
e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores, até a sua ruptura. 
 
A. Deformações Elásticas 
 
Figura 7 - Princípio da constante da mola. 
Iniciando o ensaio observa-se que a mola se distende sob a ação das cargas, e se medidos numericamente o valor 
da carga e sua respectiva distensão tem-se: 
6 
 
𝑃1
𝑑1
=
𝑃2
𝑑2
= ⋯ =
𝑃𝑛
𝑑𝑛
= 𝑘 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎) 
Além disto, se o ensaio for interrompido durante esta fase, a mola voltará a ter sua forma e seu comprimento 
inicial. Este comportamento caracteriza uma deformação elástica, cujas propriedades são: 
 deformações reversíveis 
 proporcionalidade entre carga e deformação. 
 
B. Deformações Plásticas 
 
Figura 8 - Deformação residual ou plástica. 
Se aumentada a carga sobre esta mola, depois de um limite terminaria a proporcionalidade entre carga e 
deformação e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam as chamadas 
Deformações Residuais. 
Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico. Note-se então que no 
regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das deformações. Aumentada ainda mais a carga, 
o próximo limite seria a Ruptura. 
 
2.1.6. Lei de Hooke (Leggerini P. M., Faculdade de Engenharia, 2011) 
Conforme se vê, a maioria dos projetos de peças é tratada no regime elástico do material, sendo os casos mais 
sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de mais moderno e ainda em estudo no 
campo da Resistência dos Materiais. 
Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento dos corpos em 
regime elástico. 
"As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas consequentes são proporcionais 
enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material." 
Expressões analíticas: 
𝝈
𝜺
= 𝑬 (𝑚𝑜𝑑. 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙) 
O módulo de elasticidade é a constante elástica de um material e é determinado experimentalmente. Os módulos 
são tabelados. 
Exemplo: Aço Comum → 𝐸 ≅ 2,1 ∙ 104𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
2.1.7. Lei de Poisson (Leggerini P. M., Faculdade de Engenharia, 2011) 
Estudos realizados por POISSON determinam que ao mesmo tempo em que as tensões normais provocam 
deformação em sua direção também o fazem em direções perpendiculares a sua: 
7 
 
 
Figura 9 - Deformações sofridas por um corpo comprimido. 
Observando o modelo acima, pode-se notar que enquanto o corpo sofre um encurtamento (diminuição no seu 
comprimento), as dimensões de sua seção transversal aumentam. Se fosse observado um corpo tracionado, o 
aumento de seu comprimento viria acompanhado de uma diminuição nas dimensões de sua seção transversal. 
 
Figura 10 - Deformações sofridas por um corpo tracionado. 
Além disso, os estudos de Poisson conduzem a uma proporcionalidade entre as deformações longitudinais e 
transversais, definindo a constante μ chamada de coeficiente de Poisson, e se constituindo na terceira constante 
elástica de um material, também determinada experimentalmente. 
𝜺𝒕
𝜺
= −𝝁 
Foi observado que em qualquer direção perpendicular a da tensão, a deformação específica transversal tem o 
mesmo valor. 
Assim como o módulo de elasticidade o coeficiente de Poisson é tabelado. 
TENSÃO EM UMA SÓ DIREÇÃO NÃO IMPLICA EM DEFORMAÇÃO EM UMA SÓ DIREÇÃO. 
A tensão nominal, ou tensão de engenharia, é determinada pela divisão da carga aplicada P pela área original da 
seção transversal do corpo de prova, A0. 
𝝈 =
𝑷
𝑨𝟎
 
A deformação nominal, ou deformação de engenharia, é determinada pela divisão da variação, δ, no 
comprimento de referência do corpo de prova, pelo comprimento de referência original do corpo de prova, L0. 
𝜺 =
𝜹
𝑳𝟎
 
 
2.2.Propriedades Mecânicas dos Materiais (Leggerini P. M., Faculdade de 
Engenharia, 2011; Paliga, 2014) 
Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais, são realizados em laboratório, ensaios com 
amostras do material, chamadas de corpos de prova. No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se 
métodos padronizados e regulamentados pela ABNT. 
O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinamos TENSÕES LIMITES dos diversos materiais. 
Indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório, sem que se inicie o seu processo de ruptura. 
Com a realização destes ensaios já se podem separar os materiais em dois grandes grupos: DÚTEIS E FRÁGEIS 
8 
 
2.2.1. Ensaio de Materiais 
Uma maneira de se conhecer o comportamento de cada material é o de submeter um pedaço desse material a um 
ensaio de laboratório, onde é aplicada uma força crescente e medida a deformação do material. Esse ‘pedaço’ do 
material é denominado “corpo de prova”, e o ensaio é denominado “ensaio de ruptura” do corpo de prova. 
 
 
Figura 11 - Corpo de prova (esquerda). Máquina para ensaio de tração e compressão (direita). (Paliga, 2014) 
 
2.2.2. Materiais Dúcteis: 
São considerados materiais dúcteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura. Dentre os materiais 
dúcteis ainda tem-se duas categorias: 
A. Dúctil com escoamento real: 
Exemplo: aço comum 
Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados através de um diagrama tensão x 
deformação específica (σ x ε). No caso de material dúctil com escoamento real a forma deste diagrama segue o 
seguinte modelo: 
 
Figura 12 - Diagrama Tensão X Deformação 
 
do regime elástico. Nota-se que neste trecho as deformações residuais são ainda pequenas, apesar de irreversíveis. 
σe - Tensão de escoamento: quandoé atingida a tensão de escoamento o material 
se desorganiza internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao 
qual ele é submetido, aumenta grandemente a deformação que ele apresenta. 
Trecho CD: Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam 
a aparecer falhas no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a 
função resistente. 
Reta AB: Indica a proporcionalidade entre σ x ε , portanto o 
período em que o material trabalha em regime elástico (lei de 
Hooke). Deformações reversíveis. 
σp - Tensão de proporcionalidade: Representa o limite do 
regime elástico. 
Curva BC: A curvatura indica o fim da proporcionalidade, 
caracterizando o regime plástico do material. Pode-se notar 
que as deformações crescem mais rapidamente do que as 
tensões e cessado o ensaio já aparecem as deformações 
residuais. Graficamente pode-se calcular a deformação 
residual traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à 
Figura 13 - Estricção. 
9 
 
Curva D: Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico, porém agora 
com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora perceptíveis nitidamente. Não se admitem 
estruturas com esta ordem de grandeza para as deformações residuais. 
σR - Tensão de ruptura: conforme se analisou no ensaio acima, para estruturas, o material pode ser aproveitado até 
o escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO. 
 
B. Dúctil com escoamento convencional 
Exemplo: aços duros 
Comportam-se de maneira semelhante ao anterior, mas não apresentam patamar de escoamento. Como em 
estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona este limite, ficando a tensão 
correspondente convencionada como TENSÃO DE ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do 
material. 
 
Observações: 
 Os materiais dúcteis de uma maneira geral são classificados como 
aqueles que apresentam grandes deformações antes da ruptura, podendo também 
ser utilizados em regime plástico com pequenas deformações residuais. 
 Apresentam uma propriedade importantíssima que é resistirem 
igualmente a tração e a compressão, Isto quer dizer que o escoamento serve como 
limite de tração e de compressão. 
 
2.2.3. Materiais Frágeis 
Exemplo: concreto 
São materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a 
ruptura. O diagrama s x e é quase linear sendo quase global a aplicação 
da lei de Hooke. 
Nestes casos a TENSÃO LIMITE é a TENSÃO DE RUPTURA. Ao 
contrário dos materiais dúcteis, eles resistem diferentemente à tração e à 
compressão, sendo necessários os dois ensaios e obtendo-se assim dois 
limites: limite de ruptura a tração (σT) e limite de ruptura a 
compressão (σC). 
Em geral estes materiais resistem melhor a compressão do que a tração. 
 
 
2.3. Critério de Resistência - Coeficiente de Segurança 
Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Deve-se adotar um índice que 
otimize este binômio. Diz-se também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensão limite 
em projetos é arriscada, pois existem diversos fatores de incerteza. 
Em vista do que foi exposto adota-se o seguinte critério: 
 A tensão limite é reduzida dividindo-a pôr um número que chamaremos de coeficiente de segurança (S). 
 Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a unidade. 
Figura 14 - Diagrama Tensão x Deformação. 
Figura 15 - Diagrama Tensão x Deformação. 
10 
 
Então, para que haja segurança: 𝑺 ≥ 𝟏. 
As tensões assim reduzidas, que são as que realmente podemos utilizar, são chamadas de TENSÕES 
ADMISSÍVEIS ou TENSÕES DE SERVIÇO que para serem diferenciadas das tensões limites são assinaladas 
com uma barra (S). 
�̅�𝒂𝒅𝒎 =
�̅�𝒍𝒊𝒎
𝑺
 
Pode-se resumir analiticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos: 
 
 
2.4. Tensão Admissível (Mascia, 2006) 
O dimensionamento é a determinação das dimensões das peças. Para tanto é preciso fixar, para cada material, a 
tensão máxima que pode ser atingida, mantendo condições de segurança, quando da aplicação de esforços. Esta 
tensão recebe o nome de tensão admissível (𝝈𝒂𝒅𝒎 ou �̅�). 
A relação entre a tensão máxima que o material poderia suportar e a tensão admissível é definida como 
coeficiente de segurança (S): 
𝑺 =
𝝈𝒎𝒂𝒙
�̅�
 ou �̅� =
𝝈𝒎𝒂𝒙
𝑺
 
O coeficiente de segurança deve cobrir as falhas existentes nas suposições de cálculo; nas variações involuntárias 
dos materiais e os excessos excepcionais das cargas previstas. 
O dimensionamento no caso de esforço axial de tração ou de compressão é a determinação da área da seção 
transversal (A) de modo que: 
 
onde σ é a tensão atuante. 
Quando se faz o dimensionamento de um elemento de uma estrutura é realizada uma simulação do carregamento 
mais desfavorável que pode agir sobre a estrutura, e para aquela situação são calculados os esforços decorrentes 
que estarão atuando naquele elemento. Se para aquela situação as tensões que solicitarem a seção transversal do 
elemento forem inferiores às tensões máximas que o material resiste, então as dimensões são suficientes. 
Entretanto, se as tensões superarem as tensões limites do material, será necessário redimensionar o elemento, 
aumentando suas dimensões para que a área aumente, provocando a diminuição da tensão atuante, até que esta 
resulte um valor inferior à tensão limite. 
 
2.5. Estados Limites Últimos 
De acordo com a NBR 6118/14, estados limites últimos são aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra 
forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. A segurança das estruturas de concreto 
deve sempre ser verificada em relação aos seguintes estados limites últimos: 
11 
 
 Estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; 
 Estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, 
devido às solicitações normais e tangenciais; 
 Estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, 
considerando os efeitos de segunda ordem; 
 Estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 
 Casos especiais. 
Já os estados limites de serviço são aqueles que correspondem à 
impossibilidade do uso normal da estrutura, estando relacionados à 
durabilidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e a boa 
utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários, seja às 
maquinas e aos equipamentos utilizados. Podem se originar de uma 
das seguintes causas: 
 Estado limite de formação de fissuras; 
 Estado limite de abertura de fissuras; 
 Estado limite de deformações excessivas; 
 Estado limite de vibrações excessivas; 
 Casos especiais. 
 
2.6. Tensões Normais (Leggerini P. M., Notas de Aula, 2011) 
2.6.1. Esforço Normal 
Esforço normal é a resultante das forças que atuam na direção normal ao plano da seção, sobre o eixo centroidal 
da estrutura. 
 
Figura 17 - Esforço Normal. 
 
O esforço normal será positivo se estiver saindo do plano da seção. Neste 
caso é chamado de esforço de tração. 
O esforço normal será negativo se estiver entrando no plano da seção. 
Neste caso será chamado de esforço de compressão. 
Quando as estruturas estão sob a ação de esforços normais, devemos 
consideras as seguintes hipóteses: 
 O eixo da barra inicialmente reto permanece reto após a 
deformação; 
 A seção transversal inicialmente plana permanece plana após a 
deformação; 
Figura 16 - Ruptura em concreto. (R2Eng, 2017)Figura 18 - Esforços de tração e 
compressão. 
12 
 
 A força normal está aplicada no centróide da seção; 
 O material é elástico, homogêneo e isotrópico. 
E, como consequência, teremos que: 
 a deformação da seção será uniforme; 
 a tensão normal na seção será uniforme. 
Para que as estruturas possam resistir aos carregamentos a elas impostos, devemos levar em consideração as 
condições abaixo: 
 
Figura 19 - Condições de resistência. 
 
2.6.2. Tensão Normal 
A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de provocar alongamento ou 
encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas. 
Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica longitudinal (ε). 
 
Figura 20 - Tensão normal de tração (esquerda); tensão normal de compressão (direita), 
No dimensionamento dos elementos estruturais, de uma forma bastante genérica, as tensões normais são as mais 
preocupantes na maioria das vezes, embora haja vários casos onde o dimensionamento seja definido pelas tensões 
tangenciais. Por esse motivo daremos mais destaque às verificações das tensões normais, não obstante sempre 
haja necessidade da verificação de todas as tensões aplicadas em todos os elementos da estrutura para o seu 
dimensionamento. 
 
2.7. Tensões Tangenciais (Leggerini P. M., Notas de Aula, 2011) 
As tensões tangenciais são as provocadas por esforços que são tangentes à superfície resistente, ou seja, a seção 
transversal do elemento. Elas são indicadas pela letra grega τ (tau). Para facilitar a compreensão, pode-se 
representa-la graficamente: 
13 
 
 
Figura 21 - Tensões tangenciais. 
A figura (b) demonstra o desenvolvimento das tensões de cisalhamento longitudinais, recíprocas às tensões de 
cisalhamento desenvolvidas pelo esforço cortante. 
 
2.8. Cisalhamento (Leggerini P. M., Notas de Aula, 2011) 
O cisalhamento V é o resultado de uma distribuição de tensões de cisalhamento transversal que age na seção da 
viga. Devido à propriedade complementar de cisalhamento, as tensões de cisalhamento longitudinais associadas 
também agirão ao longo dos planos longitudinais da viga. Por exemplo, um elemento retirado de um ponto 
interno está sujeito a tensões de cisalhamento transversal e longitudinal. 
 
Figura 22 - Tensões de cisalhamento. 
Os esforços suportados por uma viga são de dois tipos: 
 Tensões normais causadas pelo momento fletor; 
 Tensões cisalhantes causadas pelo esforço cortante. 
É possível explicar fisicamente por que a tensão de cisalhamento se desenvolve nos planos longitudinais de uma 
viga considerando ela composta por três tábuas. Se as superfícies forem lisas e as tábuas estiverem soltas, 
deslizarão. Do contrário, surgirão tensões que impedirão que deslizem e a viga agirá como uma unidade única. 
 
Figura 23 - Exemplo de cisalhamento. 
14 
 
2.9. Tensões Normais – Seções Sujeitas a Esforços Normais 
Anteriormente já estudamos os conceitos de esforço normal, tensão normal, tensão admissível, tração e 
compressão. Neste iremos aplicar entes conceitos a problemas relacionados a estruturas, como pilares, sapatas, 
cabos, dentre outros. 
Além dos conceitos vistos nesta disciplina, precisaremos de conceitos como: volume de uma peça, peso 
específico de um material, peso de uma estrutura, carga concentrada, carga distribuída, reações de apoio. 
 
2.9.1. Exemplos de Aplicação 
1. Calcular a tensão normal de compressão que está solicitando o pilar da figura abaixo, submetido a uma 
força normal centrada de 300 tf. O pilar tem seção transversal retangular, de 20 cm x 40 cm. Desprezar o 
peso próprio do pilar. 
 
Figura 24 - Exemplo 1. 
Primeiramente devemos listar os dados que temos: 
• Força normal: 300 tf; 
• Área de aplicação: seção transversal do pilar → 𝐴 = 20 × 40 = 800 𝑐𝑚²; 
• Desconsiderar o peso próprio do pilar. 
Uma vez que a tensão normal é a razão entre a força aplicada em uma dada seção e a área da seção onde essa 
força é aplicada e que já estamos de posse destes valores, basta aplicarmos a fórmula: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
300 𝑡𝑓
800 𝑐𝑚²
= 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 𝒕𝒇/𝒄𝒎² 
Se quisermos, essa tensão pode ser representada em outras unidades. Basta que as unidades dos elementos da 
equação estejam coerentes. Por exemplo, se utilizarmos P em kgf, teríamos P = 300.000 kgf, e o valor da tensão 
seria: 
𝜎 =
300.000 𝑘𝑔𝑓
800 𝑐𝑚²
= 𝟑𝟕𝟓 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎² 
Ou ainda: 
𝜎 =
300 𝑡𝑓
0,08 𝑚²
= 𝟑. 𝟕𝟓𝟎 𝒕𝒇/𝒎² 
𝜎 =
300.000 𝑘𝑔𝑓
0,08 𝑚²
= 𝟑. 𝟕𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇/𝒎² 
É importante observar as unidades, e de preferência fazer os ajustes às unidades desejadas antes de aplicar as 
fórmulas, para não correr risco de engano nas unidades depois de feitas as contas. (observar que 1 m = 100 cm, 
mas 1 m² ≠ 100 cm². O correto é 1 m² = 10000 cm², ou seja 10.000 cm²) 
15 
 
 
2. O pilar abaixo esquematizado possui seção circular com 40 cm de diâmetro e é feito de um material cujo 
peso específico é 2,5 tf/m³ e tem resistência à compressão de 100 kgf/cm² e resistência à tração de 10 
kgf/cm². 
Verificar se, para a condição de carregamento indicada (carga de vertical de 20 tf aplicada no topo, 
centrada), o pilar tem condição de resistir aos esforços. 
Nesse caso, embora o enunciado não seja específico, temos os dados referentes 
ao peso específico do material do pilar. Portanto devemos considerar o peso 
próprio do pilar. Para tanto precisamos do peso específico do material (que foi 
fornecido no problema) e do volume do pilar. 
Cálculo do volume do pilar: 
𝑉 = ℎ ∙ 𝐴 = ℎ ∙ (𝜋 ∙ 𝑟2) 
𝑉 = 5 ∙ (𝜋 ∙ 0,22) ≅ 𝟎, 𝟔𝟐𝟖 𝐦² 
Cálculo do peso próprio: 
𝑃𝑃 = 𝛾 ∙ 𝑉 = 2,5 ∙ 0,628 = 𝟏, 𝟓𝟕 𝒕𝒇 
Obs.: Note que as unidades foram ajustadas antes dos valores serem incluídos 
nos cálculos de acordo com a necessidade. 
O cálculo do peso próprio foi necessário, pois o mesmo exerce uma força na área 
da base do pilar, além da carga aplicada, ou seja, a base do pilar “sofre” com a soma destas duas cargas. 
Para sabermos se a estrutura resistirá às condições de carregamento devemos verificar se a tensão aplicada é 
inferior às tensões admissíveis, ou seja, devemos calcular a tensão suportada pela base e compararmos os valores 
com os valores das tensões admissíveis. Devemos analisar o tipo de força aplicada ao pilar para podermos saber a 
qual tensão admissível vamos comparar ao final do cálculo. 
A carga total aplicada ao pilar será a soma das cargas, ou seja: 
𝑃 = 𝑁 + 𝑃𝑃 = 20 + 1,57 = 𝟐𝟏, 𝟓𝟕 𝒕𝒇 
Analisando o esquema ao lado é possível constatar que a carga que atua no 
pilar é um esforço de compressão, portanto, ela não poderá ser superior à 
tensão máxima à compressão, que é 100 kgf/cm². 
Para fazer a comparação, precisamos trabalhar nessa mesma unidade, então 
na fórmula da tensão, a carga normal deverá estar expressa em kgf e a área 
em cm². 
Ou seja: 
P = 21,57 tf = 21.770 kgf 
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2 = 𝜋 ∙ 202 ≅ 1.257 cm² 
Com estes valores é possível o cálculo da tensão normal: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
21.770
1.257
≅ 𝟏𝟕, 𝟑𝟐𝒌 𝒈𝒇/𝒄𝒎² 
Como essa tensão é menor que a resistência do pilar à compressão, pode‐se afirmar que o pilar tem condição de 
resistir aos esforços aplicados. 
17,32 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² < 100𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 
 
Figura 25 - Exemplo 2. 
Figura 26 - Esquema exemplo 2. 
16 
 
 
3. O pilar do exemplo anterior está apoiado diretamente no solo por meio de uma sapata circular. Sabendo 
que o solo possui tensão admissível de 2 kgf/cm², e desprezando o peso próprio da sapata, calcular qual 
deve ser seu diâmetro mínimo para que o solo possa suportar o pilar. 
Nesse caso a área da sapata deverá ser tal quedistribua a mesma carga 
do pilar no solo de forma que a tensão aplicada seja no máximo igual a 2 
kgf/cm². 
Se, por acaso a tensão no solo fosse algo igual a 17,17 kgf/cm², não seria 
necessário criar a sapata para distribuir o esforço e consequentemente 
diminuir a tensão de compressão no solo, porque já estaria resistindo a 
tensão aplicada. 
Nesse caso a resolução do problema se inverte: temos a força de 
compressão e a tensão, e necessitamos da área do circulo que forma a 
sapata. Ou seja, a fórmula: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
→ 𝐴 =
𝑃
𝜎
 
onde P = 21.570 kgf e σ = 2 kgf/cm². 
𝐴 =
21.570
2
= 𝟏𝟎. 𝟕𝟖𝟓 𝒄𝒎² 
O diâmetro da sapata pode ser calculado a partir da fórmula de sua área: 
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 =
𝜋∙𝐷²
4
→ 𝐷 = √
4∙𝐴
𝜋
 logo: 𝐷 = √
4∙10.785
𝜋
≅ 𝟏𝟏𝟕, 𝟐𝒄𝒎 
A sapata deverá ter um diâmetro mínimo de 1,18 m (ou, mais precisamente 1,172 m). 
 
 
4. A viga representada está apoiada em 2 pilares e 
suporta uma parede feita em blocos de concreto de 19 
cm de largura com 3,5m de altura. Essa parede é feita 
em blocos de concreto, cujo peso específico é 1,4 tf/m³. 
A viga tem seção transversal de 25 cm de largura e 
40cm de altura, e seu material possui peso específico de 
3,0 tf/m³. Os pilares tem seção quadrada de 20cm de 
lado. Calcular qual resistência devem ter os pilares 
para poder dar apoio a essa estrutura. 
Em primeiro lugar vamos desenhar o esquema estático da 
viga: 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 - Exemplo 3. 
Figura 28 - Exemplo 4. 
17 
 
O valor da carga p, distribuída ao longo da extensão da viga é p = Pviga + Palv, onde Pviga é o peso próprio da viga 
distribuído ao longo de sua extensão e Palv é o peso próprio da alvenaria distribuído ao longo da extensão da viga. 
 
Observação Importante: os esquemas das estruturas e seus carregamentos, utilizados nos cálculos estruturais, 
geralmente são unifilares e normalmente se referem aos eixos das estruturas e eixos dos apoios. Assim, todos os 
cálculos são feitos a partir dos esquemas estáticos unifilares, e portanto usando as distâncias entre eixos. 
Cálculo da carga distribuída devida ao peso próprio da viga: 
𝑃𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑏𝑣𝑖𝑔𝑎 × ℎ𝑣𝑖𝑔𝑎 × 𝛾𝑣𝑖𝑔𝑎 = 0,25 × 0,40 × 3,00 = 𝟎, 𝟑𝟎 𝒕𝒇/𝒎 
De forma análoga: 
𝑃𝑎𝑙𝑣 = 𝑏𝑎𝑙𝑣 × ℎ𝑎𝑙𝑣 × 𝛾𝑎𝑙𝑣 = 0,19 × 3,0 × 1,40 = 𝟎, 𝟗𝟑 𝒕𝒇/𝒎 
 
Desta forma temos que: 
𝑝 = 0,30 + 0,93 = 𝟏, 𝟐𝟑 𝐭𝐟/𝐦 
E a reação de apoio em cada um dos dois pilares será: 
𝑅𝑉1 = 𝑅𝑉2 =
𝑞 ∙ 𝑙
2
=
1,23 ∙ 5,3
2
= 𝟑, 𝟐𝟔 𝒕𝒇 
Portanto a carga de compressão aplicada em cada pilar será de 3,26 tf, ou se tomarmos a unidade kgf (apenas 
mantendo a mesma unidade dos outros exercícios), será 3.260 kgf. 
Como a seção do pilar é quadrada, com lado de 20 cm, a área da seção transversal do pilar será: 
Apil= 20 x 20 = 400 cm² 
E a tensão de compressão aplicada em cada pilar será: 
𝜎 =
3.260
400
≅ 𝟖, 𝟏𝟓 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎² 
Portanto para poder dar apoio a essa estrutura o material do pilar deverá ter resistência igual ou maior que 8,15 
kgf/cm². 
Observação: essa resposta pode ser fornecida em qualquer unidade, por exemplo: 0,0815 tf/cm²; ou 81,50 tf/m². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
3. Propriedades Geométricas das Figuras 
Planas (Varela, 2014) 
O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de qualquer elemento estrutural 
dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. 
Daí vem a necessidade de se conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que 
formam essas seções transversais. 
A figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada barra prismática. O lado da barra 
que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a 
altura (h) é chamado de seção transversal. 
 
Figura 29 - Momento fletor. 
As principais propriedades geométricas de figuras planas são: 
Área (A) Momento de Inércia (I) 
Momento estático (M) Módulo de resistência (W) 
Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i) 
 
3.1. Área (A) 
A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para contornos complexos, a área pode ser 
obtida aproximando-se a forma real pela justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, 
triângulos, etc). 
A unidade de área é [L]
2
 (unidade de comprimento ao quadrado). 
A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e das tensões de transversais ou 
de corte. 
 
 
3.2. Momento Estático (M) 
Momento estático de um elemento de uma superfície plana em relação a um eixo é o produto da área do elemento 
pela sua distância ao eixo considerado. Logo o momento estático do elemento será: 
→ em relação ao eixo x: →em relação ao eixo y: 
 M’x = y dA M’y = x dA 
19 
 
 
Figura 30 - Momento estático (M). 
Momento estático de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos estáticos, em relação 
ao mesmo eixo, dos elementos que formam a superfície total. Logo o momento estático da superfície será: 
→ em relação ao eixo x: → em relação ao eixo y: 
 Mx = Ʃy dA My = Ʃx dA 
Momento estático é uma grandeza escalar com dimensão M = [L]
3
, podendo ser positivo, negativo ou nulo. É 
utilizado para a determinação das tensões transversais que ocorrem em uma peça submetida à flexão. 
O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a somatória dos Momentos 
Estáticos de cada figura. 
 
Figura 31 - Momento estático – figura composta. 
 
 
Figura 32 - Momento estático – figura vazada. 
 
 
20 
 
3.3. Centro de Gravidade ou Baricentro (CG) 
Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da gravidade, isto é, em todas estas 
partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais 
e paralelas entre si, constitui o peso do corpo. 
Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá sempre sujeito à ação da 
gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e 
verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, 
chama-se Centro de Gravidade (CG). 
 
Figura 33 - Centro de gravidade ou baricentro (CG). 
Portanto, atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser representada por uma única força P. Esta 
força, chamada peso do corpo, é aplicada no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade 
pode localizarse dentro ou fora da superfície. 
Sendo CG o centro de gravidade de uma superfície plana de área A definido pelo par ordenado (x,y) tem-se as 
seguintes expressões: 
Mx = yCG . A e My = xCG . A 
que exprimem o chamado teorema dos momentos estáticos e possibilitam determinar o centro de gravidade da 
superfície plana, ou seja: 
yCG = Mx/A e xCG = My/A 
onde: 
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
My = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = área da Figura. 
 
3.3.1.Propriedades do centro de gravidade 
 O momento estático de uma superfície em relação a qualquer eixo baricêntrico (que passe pelo CG) é 
nulo. 
 Se existe um eixo de simetria na peça, então o CG está contido neste eixo. 
21 
 
A. Centro de gravidade de área composta 
Qualquer polígono pode ser decomposto em retângulos ou triângulos, cujos CGs podem ser facilmente 
determinados. 
 
Figura 34 - Centro de gravidade de figuras compostas. 
O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
22 
 
 
 
Figura 35 - Centro de gravidade de algumas figuras. 
 
 
23 
 
3.4. Momento de Inércia (I) 
3.4.1. Momento de inércia de um elemento 
O momento de inércia de um elemento de uma superfície plana em relação a um eixo qualquer é o produto da 
área do elemento pelo quadrado de sua distância ao eixo considerado. O momento de inércia do elemento será: 
→ em relação ao eixo x: → em relação ao eixo y: 
 I’x = y
2
 . dA I’y = x
2
 . dA 
Por analogia, o momento de inércia de um elemento em relação ao ponto “o” (origem do sistema de eixos) será: 
I’o = r
2
 dA 
Como r
2
= x
2
+ y
2
, tem-se: 
I’o = (x
2
+ y
2
) dA = x
2
dA + y
2dA = I’x + I’y 
O produto de inércia de um elemento em relação a um par de eixos é o produto da área do elemento pelos eixos 
considerados. 
I’xy = x y dA 
 
3.4.2. Momento de inércia de uma superfície 
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos de inércia dos 
elementos que a constituem, em relação ao mesmo eixo. O momento de inércia da superfície será: 
→ em relação ao eixo x: → em relação ao eixo y: 
Ix = Ʃy
2
 . dA Iy = Ʃx
2
 . dA 
A unidade do momento de inércia é [L]
2
×[L]
2
=[L]
4
. 
O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos 
estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da 
seção transversal de uma peça, maior a sua resistência. 
 
A. Propriedade: 
O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a compõe. 
 
Figura 36 - Cálculo do momento de inércia de figuras compostas. 
 
 
 
 
24 
 
Exemplos 
 
 
3.5. Translação de eixos ou Teorema de Steiner 
O momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo qualquer é igual ao momento de inércia em 
relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto da área (A) pelo quadrado da 
distância que separa os dois eixos. 
 
Figura 37 - Translação de eixos. 
Onde: 
Ix = momento de inércia da figura em relação ao eixo x. 
Iy= momento de inércia da figura em relação ao eixo y. 
ICGx = momento de inércia da figura em relação ao eixo CG x que passa pelo CG da figura. 
ICGy = momento de inércia da figura em relação ao eixo CG y que passa pelo CG da figura. 
xCG = distância do eixo y até o eixo CG y . 
yCG = distância do eixo x até o eixo CG x . 
 
Exemplo: 
Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos: 
a) x, passando pela base inferior. 
b) xCG, passando pelo CG. 
25 
 
 
b) Momento de inércia do retângulo em relação ao seu CG: 
 
 
3.6. Módulo de Resistência (W) 
Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que contém o CG como sendo a razão 
entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a 
extremidade da seção estudada. 
 
Figura 38 - Módulo de resistência. 
onde: 
ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura 
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da peça. 
 
A unidade do módulo resistente é: [L]
3
 
O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à flexão. 
 
Exemplo: 
Para o retângulo, tem-se: 
 
26 
 
3.7. Raio de Giração (r) 
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a área da 
superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de giração é utilizado para o estudo da 
flambagem. 
Para o raio de giração em relação ao eixo x temos: 
Ix = r
2
x . A, logo: 
rx = √(Ix/A) 
Para o raio de giração em relação ao eixo y temos: 
Iy = r
2
y . A, logo: 
ry = √(Iy/A) 
 
Exemplo: 
A figura representa a seção transversal de uma viga “T”. Para a figura, determinar: o centro de gravidade; o 
momento de inércia em relação ao eixo x; os módulos resistentes (superior e inferior) e o raio de giração. 
 
Figura 39 - Viga "T". 
Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras compostas, convém montar a seguinte 
tabela: 
 
Centro de gravidade (CG) 
 
Como o eixo de referência passa pela base da figura, então yinf = 4,65cm e ysup = 2,35cm. 
Na coluna ICGi (cm
4
) foi determinado o momento de inércia de cada figura, passando pelo respectivo centro de 
gravidade. Por se tratar de retângulos, utilizou-se a expressão Ix = (bh
3
)/12. Em seguida, deve-se proceder à 
translação destes momentos de inércia para eixo x de referência para determinar a sua somatória. 
A translação de eixos é feita por meio da expressão: Ix = ICG + y
2
. A 
Obtido o momento de inércia total em relação ao eixo x, deve-se agora proceder à translação para o eixo x que 
passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da seguinte expressão: 
27 
 
 
O momento de inércia da figura em relação ao seu centro de gravidade é ICG =101,55cm
4
. 
Em seguida, calculam-se os momentos resistentes: 
 
Finalmente, determina-se o raio de giração. 
 
 
 
 
 
28 
 
4. Flexão Simples (Borja, 2016) 
4.1. Preâmbulo 
 
TENSÃO (para qualquer elemento estrutural) 
Resposta dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações), aos esforços internos aplicados - força 
normal (N) que dá origem à tração ou à compressão, momento fletor (M) que dá origem à flexão, momento torçor 
(Mt) que dá origem à torção e força cortante (Q) que dá origem ao cisalhamento. 
A fórmula geral para qualquer que seja a tensão (Normal, flexão, torção ou cisalhamento) é: 
 
 
 
Esforço Interno 
 Normal; 
 Momento Fletor; 
 Momento Torçor; 
 Esforço Cortante. 
Característica Geométrica da Seção Transversal 
 Área (A); 
 Momento de Inércia (I); 
 Momento Estático (MS); 
 Base (b); 
 Altura (h). 
 
4.2. Tensão de Flexão em Uma Viga 
Em vigas, quando submetidas a esforços externos (carregamentos transversais com relação ao seu eixo 
longitudinal), ocorrem deformações de flexão devido ao esforço de momento fletor, surgindo desta forma as 
tensões de flexão. 
As fibras superiores tendem a se aproximar (tensões de compressão) e as fibras inferiores tendem a se afastar 
(tensões de tração), quando ocorre o momento fletor positivo e o contrário, quando ocorre o momento fletor 
negativo, conforme ilustrado na Figura 40, respectivamente. 
 
(a) momento fletor positivo. (b) momento fletor negativo. 
Figura 40 - Tensões de flexão em viga. 
4.3. Diagrama de Tensões Resultante 
Ao analisarmos a Figura 40 (a), observamos que a tensão máxima de compressão ocorre na fibra superior e a 
tensão máxima de tração ocorre na fibra inferior da viga (Figura 41). 
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 =
𝐸𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
𝐶𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑆𝑒çã𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙
 
29 
 
 
Figura 41 - Fibra central. 
Colocando-se os esforços de compressão nas fibras superiores, tração nas fibras inferiores e ainda nenhum 
esforço na fibra central, pode-se obter o diagrama de tensões, conforme ilustrado na Figura 42 (lembrando que a 
viga está submetida a esforço de momento fletor positivo). 
 
Figura 42 - Diagrama de tensões de flexão. 
 
4.4. Hipótese Fundamental da Teoria da Flexão - Lei de Navier 
As seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à 
flexão. Essa conclusão é válida para vigas de qualquer material, seja ele elástico ou inelástico, linear ou não-
linear. 
As propriedades dos materiais, assim como as dimensões, devem ser simétricas em relação ao plano de flexão. 
As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas (tracionadas), enquanto aquelas na parte superior 
são diminuídas (comprimidas). 
 
4.5. Superfície Neutra 
É uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em que as linhas longitudinais não mudam de 
comprimento. 
Linha Neutra – é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção transversal. Na LN, não há 
esforço, nem de tração, nem de compressão. Para materiais homogêneos (aço, madeira, concreto simples), a LN 
passa no centro de gravidade (CG) da seção transversal (Figura 43). 
 
 
 
Figura 43 - Identificação da superfície e linha Neutra. 
Plano 
Neutro 
30 
 
4.6. Análise das Distâncias das Fibras em Relação a L.N. 
Façamos agora a análise das distâncias entre as seções transversais e consequentemente dos esforços nas fibras 
superiores, inferiores e na LN em alguns pontos da viga ilustrada na Figura 44: 
 
Figura 44 - Seções planas em vigas. 
 Sobre o apoio Meio do vão 
Fibras superiores Fibras se afastam: tração Fibras se aproximam: compressão 
Linha Neutra Não há alteração Não há alteração 
Fibras inferiores Fibras se aproximam: compressão Fibras se afastam: tração 
 
4.7. Tensão de Flexão 
Esta tensão é a resposta da viga decorrente da flexão. A flexão aparece em uma viga devido ao esforço interno 
aplicado - momento fletor (M). 
 
4.7.1. Tensões de Flexão de Viga Sujeita a Momento Fletor (M) Positivo. 
 
 
Convenção das tensões de flexão: 
→ tensão de flexão/compressão: positiva; 
→ tensão de flexão/tração: negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M M
L
N
Tensao de Flexão
+
-
fc
ft
Figura 45 - Diagrama de tensões de flexão (viga de seção transversal retangular). 
Fórmula Geral da Tensão de flexão 
LN
I
yM
 


f

 
 
Onde: 
σf: tensão de flexão (σfc σft); 
M: Momento fletor na seção considerada; 
y: distância da LN à fibra considerada; 
ILN: momento de Inércia em relação à Linha Neutra 
31 
 
4.7.2. Exemplo – Determinação das Tensões de Flexão 
Determinar as tensões de flexão nas fibras 1e 2, superior e inferior dos pontos D e B da viga abaixo. 
 
Ponto D: 
Momento de Inércia (em rel. à LN): 
4
33
LN
cm 104167 
12
5010
 
12
b.h
 I 


 
Fibras acima da LN: 
Fibra 1 
kN/cm² 0,36 
104167
(100)12,530
 
LN
I
M.y
 
f



 
Fibra Superior 
kN/cm² 0,72 
104167
(100)2530
 
LN
I
M.y
 
f



 
 
Obs.: o valor 100 na fórmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm. O resultado foi positivo, 
logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto D (meio do vão) é de compressão. 
 
Fibras abaixo da LN: 
Fibra 2 
kN/cm² 0,36- 
104167
(100)12,5)(30
 
LN
I
M.y
 
f



 
Fibra Inferior 
kN/cm² 0,72- 
104167
(100)25)(30
 
LN
I
M.y
 
f



 
 
O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto D (meio do vão) é de tração. 
Diagrama das tensões de flexão no ponto D: 
 
Figura 46 - Diagrama das tensões de flexão no ponto D. 
 
 
 
 
fibra superior
fibra inferior
fibra 1
fibra 2
L N
12,5
12,5
12,5
12,5
10
A
M = 30kN.m
C
D
D
B
M = -20kN.m
B
32 
 
Ponto B: 
Fibras acima da LN: 
Fibra 1 
kN/cm² 0,24- 
104167
(100) 12,5(-20)
 
LN
I
M.y
 
f



 
Fibra Superior 
kN/cm² 0,48- 
104167
(100) 25(-20)
 
LN
I
M.y
 
f



 
 
Obs.:O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto B (apoio) é de tração. 
 
Fibras abaixo da LN: 
Fibra 2 
kN/cm² 0,24 
104167
(100) (-12,5)(-20)
 
LN
I
M.y
 
f



 
Fibra Inferior 
kN/cm² 0,48 
104167
(100) (-25)(-20)
 
LN
I
M.y
 
f



 
O resultado foi positivo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto B (apoio) é de compressão. 
 
4.8. Verificação da Estabilidade 
Para não haver rompimento, ou para que haja estabilidade, é necessário que a seguinte inequação seja verificada: 
Tensão admissível > Tensão máxima . Coeficiente de segurança 
Portanto, para que se verifique a estabilidade à flexão de uma viga, as inequações abaixo devem ser obedecidas, 
tanto para a seção de momento fletor máximo positivo como para a seção de momento fletor máximo negativo. 
Fórmula 
1.4 atuante máx.
cf
 
cf
 
 
1.4 atuante máx.
tf
 
tf
 
 
Observação: 
A barra acima dos símbolos de tensão de flexão ( f ), indica que esta tensão é uma tensão admissível. 
Na verificação da estabilidade à flexão, o que interessa são as tensões máximas de flexão (tração ou compressão). 
 
4.8.1. Tensão Máxima de Flexão 
 
Fórmula 
LN
I
M.y
 
c ou tf

 
As tensões máximas de flexão ocorrem nas seções de momento fletor máximo positivo e negativo nas fibras 
superior e inferior da seção transversal de uma determinada viga. 
33 
 
As fibras superiores e inferiores são definidas a partir da LN (ysup e yinf), que passa pelo centro de gravidade da 
seção transversal, conforme ilustrado na Figura 47. 
 
Figura 47 - Viga "T". 
 
4.8.2. Exemplo – Verificação da Estabilidade à Flexão (de uma viga) 
Seja o Diagrama de momentos fletores de uma viga: 
 
 
Onde: 
kN/cm² 2,00 
cf kN/cm² 1,75 tf 
Características geométricas da seção transversal – Momento de Inércia (retangular): 
4
33
LN
cm 104167 
12
5010
 
12
b.h
 I 


 
Flexão: 
Fórmula 
Para 

máx
M
= 50 kN 
LN
inf ou sup.
 ou 
máx
máx 
I
M
 
C ou T 
y
f




 
 
Fibras superiores: 
kN/cm² 1,20 
104167
25100)(50
 
I
M
 
LN
supmáx
máx C ou T 





 y
f
 (compressão) 
 f c max = 1,20 kN/cm² 
Fibras inferiores: 
kN/cm² 1,20- 
104167
25)100)(50
 
I
M
 
LN
infmáx
máx C ou T 






(y
f

( tração) 
σf Tmax = -1,20 kN/cm² 
10
A
M = 50kN.m
MÁX
B
25
25
fibra superior
fibra inferior
L N
34 
 
 
Verificação (utiliza-se os valores das tensões em módulo, pois não teria sentido comparar uma tensão máxima 
com valor negativo com uma tensão admissível que é sempre positiva). 
Comparação 
Compressão  f C max . 1,4  2,00  1,20 . 1,4  2,00  1,68 verifica 
Tração  f T max . 1,4 1,75  1,20 . 1,4 1,75  1,68 verifica 
 
Conclusão: Como as inequações relativas à flexão se verificaram, chega-se a conclusão de que a viga é estável 
considerando-se a flexão. 
 
4.9. Tensão de Cisalhamento 
Esta tensão é a resposta da viga decorrente do cisalhamento. O cisalhamentoaparece em uma viga devido ao 
esforço interno aplicado - força cortante (V). 
A tensão de cisalhamento é paralela ao plano da seção transversal, ao contrário da tensão de flexão que é normal 
ao plano da seção transversal. 
Fórmula Geral da Tensão de Cisalhamento 
Q 
I b
V
 
LNw



 
Onde: 
τ: tensão de cisalhamento. 
V: força cortante na seção considerada. 
Q: momento estático da área, definida pela fibra considerada, em relação à linha neutra. 
bw: largura da seção transversal na fibra considerada. 
ILN: momento de inércia em relação à Linha Neutra. 
 
4.9.1. Momento Estático de Área – Seção Transversal Retangular 
 
Momento estático – produto entre área (A) e distância (d) = A x d. 
A - Área compreendida entre a fibra analisada e a fibra superior. 
d – distância compreendida entre o centro de gravidade e a linha neutra. 
 
d )
4
h
(b Q 
 
d )
2
h
(b Q 
 
d )
2
3h
(b Q 
 
 
fibra 1
L N
1
2
,5
10
L N
2
5
10
fibra 2
L N3
7
,5
10
d
d
d
fibra 1
L N
1
2
,5
10
L N
2
5
10
fibra 2
L N3
7
,5
10
d
d
d
fibra 1
L N
1
2
,5
10
L N
2
5
10
fibra 2
L N3
7
,5
10
d
d
d
35 
 
4.9.2. Exemplo – Determinação da Tensão de Cisalhamento 
Determinar as tensões cisalhantes nas fibras 1 e 2 e na fibra da LN na seção A da viga abaixo: 
 
 
Seção A: 
Fibra 1 kN/cm² 0,056 
12
350 10
 10
(18,75)) 12,5) ((10(25)
 
LN
I 
w
b
1
Q 
A
V
 
1








 
Fibra LN kN/cm² 0,075 
12
350 10
 10
(12,5)) 25) ((10(25)
 
LN
I 
w
b
LN
Q 
A
V
 
LN








 
Fibra 2 kN/cm² 0,056 
12
350 10
 10
(6,25)) 37,5) ((10(25)
 
LN
I 
w
b
2
Q 
A
V
 
2








 
 
Diagrama das tensões de cisalhamento no ponto A: 
Obs.: nas fibras superior e inferior a tensão de cisalhamento é nula. 
 
 
4.9.3. Verificação da estabilidade 
Para não haver rompimento, ou para que haja estabilidade, é necessário que a seguinte inequação seja verificada: 
Fórmula 
Tensão admissível > Tensão máxima . Coeficiente de segurança 
 
Verificação da estabilidade de uma viga 
Portanto, para que se verifique a estabilidade ao cisalhamento de uma viga, a inequação abaixo deve ser 
obedecida, para a seção de Força Cortante máxima. 
Fórmula 
 
Observação 
A barra acima do símbolo de tensão de cisalhamento ( ), indica que esta tensão é uma tensão admissível. 
Na verificação da estabilidade ao cisalhamento, o que interessa é a tensão máxima de cisalhamento. 
fibra 1
fibra 2
L N
12,5
12,5
12,5
12,5
10
A
V = 25kN
C
A
B
36 
 
4.9.4. Tensão Máxima de Cisalhamento 
 
Fórmula 
Q 
I b
V
 
LNw



 
 
Define-se o centro de gravidade (CG) da seção transversal da viga. 
Por este centro de gravidade passa a LN que define o momento de inércia em relação à LN (ILN). 
A partir da LN, define-se a largura da seção transversal em relação à LN (bw) e o momento estático em relação à 
LN (QLN). 
 
 
4.9.5. Exemplo 
Verificar a estabilidade da viga quanto a tensão de cisalhamento, conhecendo-se o diagrama do esforço cortante e 
dimensões da seção transversal: 
 
Seção Transversal: 
 
Onde: 
= 0,25 
Características geométricas da seção transversal: 
bw = 10 cm ; 
4
33
104167cm
12
5010
12
hb,


I
; 
4
22
cm 3125
8
5010
8
hb




Q
 
As fórmulas acima são validas somente para seção transversal retangular. 
Fórmula 
Q 
I b
V
 
LNw



 
2
LNw
máx
max 0,21kN/cm
10416710
312570
 Q 
 b
V
 





I

 
 
bw 
37 
 
Verificação: 
Cálculo 
max . 1,4  0,25  0,21 . 1,4  0,25  0,30 não verifica 
 
Conclusão: 
Como a inequação relativa ao cisalhamento não se verificou, chega-se a conclusão de que a viga não é estável 
considerando-se o cisalhamento. 
 
IMPORTANTE: 
Para que uma viga seja estável, tanto as inequações relativas à flexão quanto à inequação relativa ao 
cisalhamento devem ser verificadas. Portanto se uma das inequações não for verificada, a viga "rompe". 
 
4.10. REVISÃO: 
Para que uma estrutura qualquer seja estável, a seguinte inequação, válida para qualquer tipo de esforço, deve ser 
verificada: 
Tensão admissível  Tensão máxima . 1,4 
A tensão admissível é uma característica do material, ou seja, cada material tem a sua tensão admissível para cada 
tipo de esforço. 
A tensão máxima é uma relação entre o esforço interno máximo que dá origem a esta tensão e uma característica 
geométrica da seção transversal (área, momento de inércia, momento estático, etc.). 
O esforço interno máximo é obtido através do cálculo e desenho dos diagramas dos respectivos esforços. 
Para que seja possível o cálculo dos diagramas é necessário que se faça previamente o cálculo das reações de 
apoio da estrutura em questão. 
 
Resumindo 
 dados o carregamento e a geometria, calcula-se as reações de apoio; 
 com as reações de apoio, faz-se o cálculo e desenho dos diagramas; 
 com os diagramas, obtém-se os esforços internos máximos; 
 a partir dos esforços internos máximos e com a geometria da seção transversal, calcula-se a tensão 
máxima; 
 uma vez obtida a tensão máxima, faz-se a comparação com a tensão admissível (que é uma característica 
do material), levando-se em consideração também o coeficiente de segurança através da seguinte 
inequação: 
Tensão admissível  Tensão máxima . 1,4 
Se a inequação for verificada, logo a estrutura é estável. 
 
 
38 
 
5. Tensões nas seções sujeitas à flexão 
composta (Carvalho, 2007) (Spohr, 2012) 
(Beer, 2011) 
5.1. Conceituação 
A distribuição de tensões na seção transversal de uma viga sob carregamento axial pode ser considerada uniforme 
somente quando a linha de ação das cargas (linha entre os pontos A e B da figura) passa pelo centroide (ponto C 
da figura) da seção transversal. 
 
Figura 48 - Carregamento excêntrico. 
 
 
 
 
 
A flexão composta é a ação combinada de força normal e momentos fletores (como na Figura 48). Os momentos 
fletores podem decorrer da excentricidade, com relação ao eixo do elemento, de força atuando na direção 
longitudinal. Na prática, a flexão composta ocorre frequentemente em pilares, em vigas protendidas, em muros de 
arrimo, etc. 
5.2. Solução Geral 
6.1.1. Diagrama de Tensões 
 (𝜎𝑥)𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 + (𝜎𝑥)𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 = 𝜎𝑥 
 
Figura 49 - Distribuição das tensões. 
𝐹 = 𝑃 
𝑀 = 𝑃 ∙ 𝑑 
𝜎𝑥 = (𝜎𝑥)𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 + (𝜎𝑥)𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝝈𝒙 =
𝑷
𝑨
+
𝑴 ∙ 𝒚
𝑰
 
39 
 
A distribuição de tensões em uma viga devido a um carregamento excêntrico pode ser obtida com a superposição 
da distribuição uniforme de tensões correspondentes as forças concentradas e da distribuição linear 
correspondente aos momentos fletores (Figura 49). Em forma de equação temos: 
𝝈𝒙 =
𝑷
𝑨
+
𝑴 ∙ 𝒚
𝑰
 
em que A é a área da seção transversal e I seu momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centroide da 
seção transversal, e na qual y é medido a partir desse eixo da seção transversal. A relação obtida mostra que a 
distribuição de tensões ao longo da seção é linear, mas não uniforme. Dependendo da geometria da seção 
transversal e da excentricidade da força, as tensões combinadaspodem ter todas elas o mesmo sinal, como mostra 
a Figura 49, ou algumas podem ser positivas e outras negativas, como mostra a Figura 50. Nesse último caso, 
haverá uma linha na seção ao longo da qual σx = 0. Essa representa a linha neutra (L.N.) da seção. Notamos que a 
linha neutra não coincide com o eixo que passa pelo centroide da seção, pois σx ≠ 0 para y = 0. 
 
Figura 50 - Distribuição de tensões. 
Os resultados obtidos são válidos somente quando satisfeitas as condições de aplicabilidade da superposição, ou 
seja, as tensões envolvidas não devem ultrapassar o limite de proporcionalidade do material. 
Obs.: o método da superposição não pode ser aplicado às deformações plásticas 
 
6.1.2. Equação da Linha Neutra 
 
Pode ser determinada igualando-se a tensão na linha neutra igual a zero. Por meio da equação geral escrevemos: 
𝜎𝑥 =
𝑃
𝐴
+
𝑀 ∙ 𝑦0
𝐼
 
𝜎𝑥 = 0 → 0 =
𝑃
𝐴
+
𝑀 ∙ 𝑦0
𝐼
 
𝒚𝟎 = −
𝑷
𝑨
∙
𝑰
𝑴
 
 
6.1.3. Equação da Tensão - Considerações 
 
Para a simplificação dos cálculos em nosso estudo algumas considerações devem ser feitas: 
 O material da estrutura estudada é homogêneo; 
 A seção da estrutura estudada é uniforme; 
 O momento fletor é constante; 
 As tensões a serem consideradas serão as tensões máximas, que ocorrem nas fibras mais afastadas. 
Poderíamos, assim, escrever a equação da tensão conforme abaixo: 
𝝈𝒙 =
𝑷
𝑨
±
𝑴 ∙ 𝒚
𝑰
 
40 
 
Relembrando o item 3.6, o módulo de resistência é dado pela equação: 
𝑾 =
𝑰𝑪𝑮
𝒚𝒎𝒂𝒙
 
Substituído esta equação na anterior obtemos que: 
𝝈𝒙 =
𝑷
𝑨
±
𝑴
𝑾
 
5.3. 6.1.3. Exemplos 
Nos exemplos abaixo as letras P, N e F representam a força aplicada na estrutura. 
 
 Figura 51 – Flexão composta em pilar curto 
 
EXEMPLO 01 
Calcular as tensões (σ) que atuam na seção do pilar, sabendo que a mesma está sujeita uma força normal centrada 
(N) de 45 tf e um momento fletor (M) de 5 tf.m e que sua seção é de 20 cm X 45 cm. O resultado deve ser 
expresso em kgf/cm². 
Os dados fornecidos precisam possuir as mesmas unidades, para que possamos 
realizar os cálculos. Por isso, fique muito atento as transformações de unidade. 
𝑁 = 45 𝑡𝑓 = 45 × 1 000 𝑘𝑔𝑓 = 𝟒𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇 
𝑀 = 5 𝑡𝑓. 𝑚 = 5 × 1 000 𝑘𝑔𝑓 × 100 𝑐𝑚 
𝑴 = 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇. 𝒄𝒎 
Como 𝜎 =
𝑁
𝐴
±
𝑀
𝑊
 e já possuímos os valores de N e M precisamos encontrar os valores 
de A e W. 
𝐴 = 𝑏𝑃 × ℎ𝑃 = 20 𝑐𝑚 × 45 𝑐𝑚 = 𝟗𝟎𝟎 𝒄𝒎² 
𝑊 =
𝑏 × ℎ²
6
=
20 𝑐𝑚 × (45 𝑐𝑚)²
6
= 𝟔 𝟕𝟓𝟎 𝒄𝒎³ 
 
Substituindo todos os valores na equação original temos: 
𝜎 =
𝑁
𝐴
±
𝑀
𝑊
=
45 000 𝑘𝑔𝑓
900 𝑐𝑚²
±
500 000 𝑘𝑔𝑓. 𝑐𝑚
6 750 𝑐𝑚³
 
𝜎 = 50𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² ± 74 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 
𝜎1 =
𝑁
𝐴
−
𝑀
𝑊
 
A face ① está sendo “puxada” pelo 
momento fletor, ou seja, está na 
direção oposta a força normal. Desta 
forma temos: 
𝜎2 =
𝑁
𝐴
+
𝑀
𝑊
 
A face ② está sendo “empurrada” pelo 
momento fletor, ou seja, está na mesma 
direção da força normal. Desta forma 
temos: 
41 
 
O giro provocado pelo momento fletor “aperta” a face ① e “estica” a face ②, ou 
seja, o pilar está sendo comprimido na face ① na mesma direção que a força normal; 
e tracionado na face ②, o que significa que está na direção oposta a força normal. 
Por isso temos: 
𝜎1 = 50 + 74 = 𝟏𝟐𝟒 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎² (compressão) 
𝜎2 = 50 − 74 = −𝟐𝟒 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎
𝟐(tração) 
 
 
EXEMPLO 02 
Calcular as tensões (σ) que atuam na seção do pilar, sabendo que a mesma está sujeita uma força normal centrada 
(N) de 30 tf e um momento fletor (M) de 6 tf.m e que sua seção é de 30 cm X 60 cm. Os resultados deves ser 
expressos em kgf/cm². 
 
 
 
EXEMPLO 03 
Calcular as tensões (σ) que atuam na seção do pilar, sabendo que a mesma está sujeita uma força normal centrada 
(N) de 35 tf e um momento fletor (M) de 8 tf.m e que sua seção é de 20 cm X 50 cm. Os resultados deves ser 
expressos em kgf/cm². 
 
 
Figura 52 - Exemplo 02 
Figura 53 - Exemplo 03 
42 
 
EXEMPLO 04 
O pórtico da figura está submetido a duas cargas P1, aplicada no ponto A, e P2, aplicada no ponto B. Calcular as 
tensões na seção de engastamento da estrutura, sabendo que as dimensões do pilar são de 12 cm x 50 cm. 
Demais dados: 
• 𝐿 = 2,5 𝑚 
• 𝑃1 = 4 𝑡𝑓 
• 𝑃2 = 20 𝑡𝑓 
 
Uma vez que a análise das tensões 
corresponde apenas a seção de engastamento 
da estrutura, ou seja, a base do pilar, devemos 
reduzir todas as cargas ao centroide do 
mesmo. 
Para tanto, devemos encontrar a força normal 
total e o momento fletor total em relação ao 
centro do pilar. 
 
Se fizermos um esquema da estrutura teremos: 
 
Com o esquema acima podemos determinar os valores da força normal e do momento fletor. 
Calculando a força normal (N) e o momento fletor (M), lembre-se que os resultados das tensões devem ser dadas 
em kgf/cm², logo, não deixe de adequar as unidades. 
𝑁 = 𝑃1 + 𝑃2 = 4 𝑡𝑓 + 20 𝑡𝑓 
𝑁 = 24 𝑡𝑓 = 24 × 1 000 𝑘𝑔𝑓 
𝑵 = 𝟐𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇 
𝑀 = (𝑃1 × 𝐿) + (𝑃2 × 0) = 𝑃1 × 𝐿 
𝑀 = 4 𝑡𝑓 × 2,5 m = 10 tf. m 
𝑀 = 10 × 1 000 𝑘𝑔𝑓 × 100 𝑐𝑚 
𝑴 = 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇. 𝒄𝒎 
Como 𝜎 =
𝑁
𝐴
±
𝑀
𝑊
 e já possuímos os valores de N e M precisamos encontrar os valores de A e W. 
𝐴 = 𝑏𝑃 × ℎ𝑃 = 12 𝑐𝑚 × 50 𝑐𝑚 = 𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎² 
Figura 54 - Exemplo 04 
43 
 
𝑊 =
𝑏 × ℎ²
6
=
12 𝑐𝑚 × (50 𝑐𝑚)²
6
= 𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎³ 
Substituindo todos os valores na equação original temos: 
𝜎 =
𝑁
𝐴
±
𝑀
𝑊
=
24 000 𝑘𝑔𝑓
600 𝑐𝑚²
±
1 000 000 𝑘𝑔𝑓. 𝑐𝑚
5 000 𝑐𝑚²
 
𝝈 = 𝟒𝟎𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎² ± 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎² 
O giro provocado pelo momento fletor “aperta” a face ① e “estica” a face ②, ou 
seja, o pilar está sendo comprimido na face ① na mesma direção que a força normal; 
e tracionado na face ②, o que significa que está na direção oposta a força normal. 
Por isso temos: 
𝜎1 = 40 + 200 = 𝟐𝟒𝟎 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎² (compressão) 
𝜎2 = 40 − 200 = −𝟏𝟔𝟎 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎
² (tração) 
 
 
 
EXEMPLO 05 
O pórtico da figura está submetido a duas cargas P1, aplicada no ponto A, e P2, aplicada no ponto B. Calcular as 
tensões na seção de engastamento da estrutura, sabendo que as dimensões do pilar são de 16 cm x 40 cm. 
Demais dados: 
• 𝐿 = 3 𝑚 
• 𝑃1 = 4 𝑡𝑓 
• 𝑃2 = 12 𝑡𝑓 
 
 
 
EXEMPLO 06 
O pórtico da figura está submetido a duas cargas P1, aplicada no ponto A, e P2, aplicada no ponto B. Calcular as 
tensões na seção de engastamento da estrutura, sabendo que as dimensões do pilar são de 20 cm x 80 cm. 
Demais dados: 
• 𝐿 = 4 𝑚 
• 𝑃1 = 30 𝑡𝑓 
• 𝑃2 = 8 𝑡𝑓 
 
Figura 55 - Exemplo 05 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 56 - Exemplo 06 
45 
 
 
Bibliografia 
Baeta, F. d. (1999). AmbiAgro. Acesso em 5 de julho de 2017, disponível em Universidade Federal de Viçosa: 
http://arquivo.ufv.br/dea/ambiagro/arquivos/resistencia.pdf 
Beer, F. P. (2011). Mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH. 
Borja, E. V. (2016). IFRN. Acesso em 24 de julho de 2017, disponível em IFRN: 
https://docente.ifrn.edu.br/edilbertoborja/disciplinas/construcoes-em-concreto-armado/tensoes-de-flexao-
e-de-cisalhamento-1/tensoes-de-flexao-e-de-cisalhamento 
Carvalho, E. M. (2007). Resistência dos Materiais - Departamento de Engenharia Civil. Acesso em 1 de agosto 
de 2017, disponível em UFF: http://www.uff.br/resmatcivil/pdf%27s/Flex_Comp.pdf 
Desconhecido. (19 de julho de 2011). Acesso em 5 de julho de 2017, disponível em Conexão Engenharia do 
Futuro: http://eng-civilsergiopeixotto.blogspot.com.br/2011/07/encurvadura-da-estrutura-de-um-