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UNIVERSIDADE SALVADOR Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Semestre: 2017.1 LISTA I Vetores Vetores: Tratamento Geométrico 1.Na f igura ao lado, determine as coordenadas dos pontos , , e . 2.Com base na figura, julgue os itens em verdadeiro ou falso: a) b) , e são coplanares c) , e são coplanares d) e são coplanares e) e são coplanares f) , e não são coplanares g) é oposto a h) , , , , , são coplanares A B C P → AB = →GH = →LJ → LM → GH → FA → LE → JI → IH ( →BC + →CI + →IB) →MF → GM 2 →AH → FA → FE → FM → FA → JL → ML → GM → IJ → AB → FE → CD 1 EAETI Escola de Engenharia, Arquitetura e Tecnologia da Informação i) j) 3.A figura abaixo apresenta o losango inscrito no retângulo , sendo o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 4.O paralelogramo abaixo é determinado pelos vetores e , sendo e pontos médios dos lados e , respectivamente. Determine: a) b) c) d) e) f) Vetores: Tratamento Algébrico 5.Dados os vetores e , determine o vetor tal que . 6.Dados os vetores , e , determine: F = E + →LM H = I + →LM EFGH ABCD O → EO = →OG → AF = →CH → DO = →HG C − O = O − B H − O = H − D H − E = O − C → AC = →BD → OA = 1 2 → DB → AF// →CD → GF// →HG → AO// →OC → AB ⊥ →OH → EO ⊥ →CB → AO ⊥ →HF → OB = − →FE ABCD → AB → AD M N DC AB → AD + →AB → BA + →DA → AC − →BC → AN + →BC → MD + →MB → BM − 1 2 → DC →u = (3, − 1) →v = (1, − 2) →w 2 3 →u + 1 2[2(→u +→v ) −→w] = →v +→u 2 →u = 2→i − 3→j →v = →i −→j →w = − 2→i +→j 2 a) b) c) d) 7. Encontre o vértice oposto a , no paralelogramo , para: a) , e b) , e 8. Dados os vetores , e , calcule: a) b) c) d) e) 9.Calcule os valores de para que o vetor tenha módulo 4. 10.Considere os vetores , e . Determine: a) b) As coordenadas do ponto , onde e . c) As coordenadas do ponto , onde é o ponto médio do segmento do item b). d) O versor de , sendo paralelo a . 11.Determine o valor de para que o vetor seja unitário. 12.Dado o vetor , determine o vetor paralelo a que tenha: a) Sentido contrário ao de e três vezes o módulo de ; b) O mesmo sentido de e módulo ; c) Sentido contrário ao de e módulo . 13.Num paralelogramo sabe-se que e que as diagonais são e Calcule as coordenadas dos outros três vértices. 14.Determine os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são , e . 2→u −→v 1 2 →u − 2→v −→w →v −→u + 2→w 3→u − 1 2 →v − 1 2 →w B ABCD A( − 3, − 1) B(4, 2) C(5, 5) A(5, 1) B(7, 3) C(3, 4) →u = (1, − 1) →v = ( − 3, 4) →u = (8, − 6) →u →w 2→u −→w →v →v →u →u a →u = (a, 2) →u = →i − 3→j − 2→k →v = 2→i +→j − 2→k →w = − 2→i + 5→j 2→u −→v + 3→w B A(1, 0, − 2) →u = →AB M M AB → b → b →v n →v = (n, − 12 , 34) →v = (2, − 1, − 3) →v →v →v →v 4 →v 5 ABCD A(1,3, –2) →AC = (4,2, –3) → BD = (−2,0, 1) . M(5, 0, − 2) N(3, 1, − 3) P(4, 2, 1) 3 15. Encontre o vértice oposto a , no paralelogramo , para: a) b) 16.Dados os pontos e , determinar os pontos e pertencentes ao segmento tais que e . Construir o gráfico, marcando os pontos , , , e , devendo ser tal que . 17.Considere o triângulo cujos vértices são , e . Represente o triângulo no plano cartesiano e calcule comprimento da mediana , sendo o ponto médio do lado . 18.Considere no plano os pontos e e o vetor . a) Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) e um representante do vetor , com origem no ponto , indicando o ponto tal que . b) Determine o ponto (algebricamente), sabendo que , , e são vértices consecutivos de um paralelogramo. Represente o paralelogramo no plano cartesiano. 19.Do cubo ao abaixo, sabemos que , e . Determine as coordenadas do: a) vetor b) ponto c) vetor , sabendo que . Produto Escalar 20.Dados os vetores e , calcule: B ABCD A(−1, 0, 3), B(1, 1, 2) e C (3, − 2, 5) A(4, 0, 1), B(5, 1, 3)e C(3, 2, 5) A( − 3, 2) B(5, − 2) M N AB → AM = 1 2 → AB → AN = 2 3 → AB A B M N P P → AP = 3 2 → AB ABC A(1,2) B(–2,3) C(0,5) AM M → BC A(1,1), B(1,3) C(3, − 2) →v = →AB →v = →AB →v A1( − 3,1) B1 →v = →A1B1 D A B C D A(2,1, 0) B(2,4, 0) →AD 0 = (0,0, 1) → AC E → AL → FL = − 1 3 → EF →u = (2, − 3, − 1) →v = (1, − 1, 4) 4 a) b) c) d) 21. Os pontos são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm. Calcule e . 22.Qual deve ser o valor de para quem os vetores e sejam ortogonais? 23. Determine o ângulo entre os vetores: a) e b) e 24.O quadrilátero abaixo é um losango de lado 2. Calcule: a) b) c) d) e) f) 25.Seja o cubo de aresta representado na figura abaixo, determine: a) b) c) d) e) f) 2→u ∙ ( −→v ) (→u + 3→v ) ∙ (→v − 2→u ) (→u +→v ) ∙ (→u −→v ) (→u +→v ) ∙ (→v −→u ) A, B e C → AB ∙ →AC →AB ∙ →CA α →a = α→i + 2→j − 4→k → b = 2→i + (1 − 2α)→j + 3→k →u = (2, − 1, − 1) →v = ( − 1, − 1, 2) →u = (1, − 2, 1) →v = ( − 1, 1, 0) ABCD → AC . →BD → AB . →AD → BA . →BC → AB . →BC → AB . →DC → BC . →DA a → OA ∙ →OC → OA ∙ →OD → OE ∙ →OB → OB ∙ →OG → EG ∙ →CG (→ED ∙ →AB) →OG 5 g) o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma aresta h) o ângulo agudo formado por duas diagonais do cubo. 26.Determinar o valor de , de modo que o ângulo do triângulo , seja 600. Considere , e . 27.Determinar o vetor tal que , o ângulo entre e é 45º e é ortogonal a . 28.Calcular o valor de de modo que seja 120 graus o ângulo entre os vetores e . 29. Os vértices de um triângulo são , e . Calcule as coordenadas do vetor , onde é o pé da altura relativa ao lado . 30. De um triângulo , sabemos que , e Determine a altura do triângulo em relação à base . 31. Considere os pontos , e . a) mostre que . b) verifique se o triângulo é isósceles. 32.Calcule os ângulos diretores do vetor . 33.Determine o que se pede: a) os ângulos diretores de . b) determine sabendo que os ângulos diretores de um vetor são , 45° e 60°. c) calcule o vetor sabendo que , , é obtuso e . 34. Do cubo a abaixo, sabemos que: , e . Determine as coordenadas: a  ABC A(1,0, 2) B(3,1, 3) C(a + 1,–2,3) →u →u = 2 →u →v = (1, − 1,0) →u →w = (1,1, 0) m →u = (1, − 2, 1) →v = ( − 2, 1, m + 1) M(1,1, 2) N(5,1, 3) Q(–3,9, 3) → MH H NQ ABC A(1,0, 2) B(3,1, 1) →AC o = ( 22 , 0, 22 ) . ABC AC A(1,0, 1) B( − 2,0, − 3) C(1,5, 1) → AB ⊥ →AC ABC →v = (6, − 2, 3) →v = (1, − 1,0) α α →u cos(→u ,→i ) = 22 cos(→u , → j ) = 0 (→u ,→k ) →u = 5 A(2,1, 0) B(2,4, 0) →AD = (0,0, 3) 6 a) Do vetor ; b) Do ponto ; c) Do vetor projeção na direção . 35.Para cada um dos pares de vetores e , encontrar a projeção ortogonal de sobre e decompor como soma de com , sendoe . a) e b) e c) e d) e 36. Sejam , e vértices de um triângulo, conforme figura a seguir a) Para qual valor de o triângulo é retângulo em ? b) Qual a medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa ? c) Qual o ponto , pé da altura relativa ao vértice ? d) ? Produto Vetorial 37.Dados os vetores e , determine: a) b) um vetor unitário ortogonal a e a c) área do triângulo , sendo e . 38.Se , e , determine: a) b) c) d) e) f) 39. Simplifique cada expressão a seguir: a) b) c) → AC E → EF → EG →u →v →v →u →v →v 1 →v 2 →v 1//→u →v 1 ⊥ →u →u = (1, 2, − 2) →v = (3, − 2, 1) →u = (1, 1, 1) →v = (3, 1, − 1) →u = (2, 0, 0) →v = (3, 5, 4) →u = (3, 1, − 3) →v = (2, − 3, 1) A(2, 1, 3) B(m, 3, 5) C(0, 4, 1) m ABC A AB BC H A → AH ⊥ →BC →u = →i +→j →v = →i − 2→j +→k →u × →v →u →v ABC →u = →AB →v = →AC →u = 3→i −→j − 2→k →v = 2→i + 4→j −→k →w = −→i +→k →u × →u (2→v ) × (3→v ) (→u −→v ) × →w (→u × →v ) × →w (→u × →v ) ∙ →v (→u × →v ) ∙ →w → i × →k →j × (2→i ) (3→i ) × (2→k ) 7 d) e) f) g) h) i) j) k) l) � 40. Dados os pontos , e , determine o ponto tal que . 41. Considerando a figura abaixo, calcule: a) b) c) d) e) f) 42.Determine um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos , e . 43.Dados os pontos e , determinar o ponto do eixo de modo que a área do triângulo seja 1,5 44.Com base na figura a seguir, calcule: a) b) c) d) e) f) → i ∙ (→j × →k ) (3→i ) ∙ (2→j ) (3→i ) × (2→j ) → i ∙ (→j × →i ) → j ∙ (→j × →k ) (→i × →j ) × →k (→i × →j ) × →j → i × (→j × →j ) (→j × →k ) ∙ →i A(2, 1, − 1) B(3, 0, 1) C(2, − 1, − 3) D → AD = →BC × →AC → OF × →OD → AC × →FA → AB × →AC → EC × →EA → OA ∙ (→OC × →OE) → GB × →AF A(2, 3, 1) B(1, − 1, 1) C(4, 1, − 2) A(2, 1, − 1) B(0, 2, 1) C Oy ABC u . a . → AB × →AD → BA × →BC → AB × →DC → AB × →CD → BD × →AC → BD × →CD 8 45.Dados os vetores e , calcule: a) a área do paralelogramo determinado por e b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor . 46.Sabendo que os pontos , , e são coplanares, calcular a área do quadrilátero . 47.Dados os vetores e , calcule: a) a área do paralelogramo determinado por e . b) a altura do paralelogramo determinado por e . 48.Determinar o vetor , sabendo que ele é ortogonal ao vetor e ao vetor e que satisfaz a seguinte condição . 49.Os pontos , , e são vértices consecutivos de um paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e o valor do seno de . Produto Misto 50.Dados os vetores , e , calcule: a) b) 51.Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores , e seja igual a 33 Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por e . 52.Calcule o volume do tetraedro de base e vértice , sendo , , e . Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice ? Aplicações →u = (3, − 1, 2) →v = ( − 2, 2, 1) →u →v →v A(4, 0, 0) B(0, 0, 2) C(0, 3, 0) D(4, 3, − 2) ABCD →u = (1, − 1,1) →v = (2, − 3,4) →u →v →u →v →v →a = (2, − 3,1) → b = (1, − 2,3) →v ∙ (→i + 2→j − 7→k ) = 10 A(2,3, 0) B(2,5, 0) C(0,6, 2) D (→AB, →AD) →u = (3, − 1, 1) →v = (1, 2, 2) →w = (2, 0, − 3) (→u , →v , →w) (→w , →u , →v ) m →v 1 = (0, − 1, 2) →v 2 = ( − 4, 2, − 1) →v 3 = (3, m, − 2) u . v . →v 1 →v 2 ABC P A(2, 0, 0) B(2, 4, 0) C(0, 3, 0) P(2, − 2, 9) P 9 53.O gancho abaixo está sujeito a duas f o r ç a s , e . D e t e r m i n e a intensidade e a direção da força resultante. 54. Duas forças atuam sobre o gancho. Determine a intensidade da força resultante. 55. A força atua sobre a estrutura. Decompondo essa força nas componentes que atuam ao longo dos membros e , determine a intensidade de cada componente. 56. Decomponha a força de 300 nas componentes ao longo dos eixos e , e determine a intensidade de cada uma dessas componentes. 57. A viga deve ser içada usando-se duas correntes. Se a força resultante for de 600 , orientada ao longo do eixo positivo, determine as intensidades das forças e que atuam em cada corrente e o ângulo de , para que a intensidade de seja mínima. 58. A caminhonete precisa ser rebocada usando duas cordas. Se a força resultante deve ser de 950 , orientada → F 1 → F 2 F = 900 N AB AC N u v N y → F A → F B θ → F B → F B N 10 ao longo do eixo positivo, determine as intensidades das força s e que atuam sobre cada corda e o ângulo de de modo que a intensidade de seja mínima. 59. Decomponha cada força que atua sobre o poste em suas componentes e . 60. Determine a intensidade da força resultante e a sua direção , medida no sentido anti-horário a partir do eixo . 61. Determine a intensidade e os ângulos diretores da força resultante que atua sobre o anel da figura abaixo. 62.Duas forças atuam sobre o gancho abaixo. Especifique a intensidade de e seus ângulos diretores, de modo que a força resultante atue ao longo do eixo positivo e tenha intensidade de . 63. Expresse cada uma das forças a seguir como um vetor cartesiano. x → F A → F B θ → F B → F B x y θ x → F 2 y 800 N 11 a) b) c) d) 64. Determine o ângulo entre a linha . 65.Determine o ângulo entre a linha . 66.Determine a componente da projeção da força ao longo da linha na figura abaixo. θ AO θ AB OA 12 67. Encontre a intensidade da componente da força projetada ao longo do tubo. 68. Uma força de intensidade igual a 80 é aplicada no cabo da chave, conforme figura abaixo. Determine o ângulo entre a origem da força e o cabo da chave . Questões Objetivas 69.(Mackenzie 98) Com seis vetores de módulo iguais a 8 u.c., construiu-se o hexágono regular abaixo. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: a) 40 u.c. b) 32 u.c. c) 24 u.c. d) 16 u.c. e) 0 u.c. 70. (Unifesp 2002) Na figura, são dados os vetores , e . N θ A¯B →a →w →v 13 Sendo u.c. a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor tem módulo: a) 2 u.c., e sua orientação é vertical para cima. b) 2 u.c., e sua orientação é vertical para baixo. c) 4 u.c., e sua orientação é horizontal para a direita. d) u.c., e sua orientação forma 45° com a horizontal no sentido horário. e) u.c., e sua orientação forma 45° com a horizontal no sentido anti-horário. 71. (PUC-SP) Uma senhora sai de casa para fazer uma caminhada num circuito retangular cujos lados possuem 300 m e 400 m. Ela inicia a caminhada por uma das entradas do circuito que corresponde ao vértice do circuito. Após completar 10,5 voltas, podemos dizer que a distância percorrida e o módulo do deslocamento vetorial foram, respectivamente, de: a) 14700 m e 700 m b) 7350 m e 700 m c) 700 m e 14700 m d) 700 m e 7350 m e) 14700 m e 500 m 72.Uma das aplicações importantes do produto vetorial à Física é no cálculo do torque, que é uma grandeza definida peloproduto vetorial, representado , e está relacionado com a possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar seu movimento de rotação. A equação para o cálculo do torque é , em que é a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. Sendo assim, se uma força vetorial dada por Newtons é aplicada em uma barra, onde , ao longo de uma barra (linha reta), então a intensidade (módulo) do torque sobre a barra é: a) mN b) 6 mN c) mN d) 2 mN e) mN 73. Uma partícula está sujeita a duas forças, conforme a figura. Considere , e . →a −→w +→v 2 2 →τ →τ = →r × →F →r → F → F = 3→k →AB = →r = (0,2, 0) −6→k 6→i −6→i sen(53o) = 0,8 cos(53o) = 0,6 →F1 = →F2 = 10 N 14 Julgue as afirmativas a seguir. I. A componente da força é II. A componente da força é igual a 6 . III.A resultante de e é o vetor . São verdadeiras apenas: a) I b) I e II c) I e III d) II e III e) I, II e III 74.Se , e são vetores de , então para que , deve ser igual a: a) 2 b) 6 c) 0 d) 12 e) 18 x → F1 → F1x = → F1 cos(37o) . y → F1 N → F1 → F2 → R = (10,14) →u = (1,2) →v = ( − 2, 5) w = (x, y) ℝ2 →w = 3→u –→v x + y 15 Gabarito Vetores: Tratamento Geométrico 1.A(2,4,0), B(2,0,3), C(0,4,3), P(2,4,3) 2. 3.a) V b) F c) V d) V e) F f) F g) V h) V i) V j) F k) V l) V m)V n) F o) V 4.a) b) c) d) e) f) Vetores: Tratamento Algébrico 5. a b c d e f g h i j F V F V V V V V F V → AC → CA → AB → NC → MN → BD w = (8, − 13 3 ) 16 6.a) (3,-5) b) (-5,4) c) (1,-1/2) d) (13/2,-9) 7. a) (12,8) b) (5,6) 8. a) b) 10 c) 2 d) (-3/5,4/5) e) 5 f) g) h) 1 9. 10. a) (8,11,6); b) (3,-1,0); c) (2, -1/2, -1); d) (2/3, -1/3, 2/3) ou (-2/3, 1/3, -2/3) 11. 12.a) (-6,3,9) b) (8,-4,-12) c) (-10,5,15) 13. B(3,3,-7), C(5,5,-5), D(3,5,-4) 14. (4,-1,-6), (6,1,2) e (2,3,0) 15. a) D(1,-3,6) b)(2,1,3) 16. 17. e 18. b) 19. a) b) c) Produto Escalar 2 13 13 34 ±2 3 ± 3 4 M = (1,0), N = ( 7 2 , − 2 3 ) M = (−1,4) |AM | = 2 2 D = (2,0) AC = (0,3,3) E = (5,1,0) FL = (0, − 1,0) 17 20.a)-2 b)21 c) -4 d)4 21. 200 e -200 22. 23. a) 120º b) 150º 24.a) 0 b) 2 c) -2 d) 2 e) 4 f) -4 25.a) 0 b) 0 c) 0 d) e e) f) ( , , ) g) 54º 34’ h) 70º 31’ 26. ou 27. 28. m=0 ou m = -18 29. 30. 31. a) Verifique que . α = − 5 a 2 a 3 a2 a3 a3 a3 arccos 3 3 ≅ arccos 1 3 ≅ a = 13 5 a = − 1 v = (1, − 1, ± 2) MH = (2,2,1) m = 22 2 AC . AB = 0 18 b) Verifique que 32. 31º, 107º , 65º 34. a) b) c) 35. a) = (-1/3,-2/3, 2/3), = (10/3, - 4/3, 1/3) b) = (1,1,1), = (2,0,-2) c) = (3,0,0), = (0,5,4) d) = (0,0,0) ( e são ortogonais) e = 36. a) m = 3 b) c)H(51/26,87/26,94/26) Produto Vetorial 37. a) (1,-1,-3) b) c) 38.a) 0 b) c) (-5,0,-5) d) (-1,-23,-1) e) 0 f) 5 39. a) - b) -2 c) -6 d) 1 |AB | = |AC | α = arccos 6 7 ≅ β = arccos − 2 7 ≅ γ = arccos 3 7 ≅ AC = (0,3,3) E = (5,1,0) projEGEF = (0, 3 2 , 3 2 ) →v 1 →v 2 →v 1 →v 2 →v 1 →v 2 →v 1 →u →v →v 2 →v 9 26 26 1 11 (1, − 1, − 3) 11 2 → 0 → j → k → j 19 e) 0 f) 6 g) 0 h) 0 i) j) - k) l) 1 40. D(-4,-1,1) 41. a) (- ,- , ) b) (- ,- ,0) c) (0,0, ) d) (- ,- ,- ) e) f) 42. Múltiplos de (12,-3,10) 43.C(0,1,0) ou C(0,5/2,0) 44.a) b) c) 0 d) 0 e) f) 45.a) b) 46. 47. a) b) 48. 49. , A = u.a e → k → 0 → i → 0 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a3 → 0 2 3 2 3 4 3 2 3 3 10 10 2 61 6 u . a 2 u . c v = (7,5,1) D = (0,4,2) 4 2 sen(AB, AD) = 2 2 3 20 Produto Misto 50.a) -29 b) -29 51. m = 4 ou m = -17/4 e h = 52. V = 12 u.v e h = 9 u.c Aplicações 53.O 54. D 55.a 56.a 57.a 58.a 59.a 60.a 61.a 62.a 63.a 64.aa 65.a a 66.a 67.aa 68.a Questões Objetivas 69. 70. ( 71. ( 72.U 73. U 33 89 21 74.S 22
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