Lista 3

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Lista 3 – Vetores no Espaço (R3) 
 
1) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é 
ktjtittr ˆ2ˆ)1(ˆ)1()( 2 
 . 
(a) Calcule os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula. 
(b) Calcule o módulo 
|)(| tv

da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da 
velocidade) 
)(ˆ tv
, ambos no instante 
1t
. Lembre-se: 
|(|
)(
)(ˆ
tv
tv
tv 


. 
 
2) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é 
k
t
j
t
ittr ˆ
3
ˆ
2
ˆ)1()(
32

 . 
(a) Calcule os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula. 
(b) Calcule o módulo 
|)(| tv

da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da 
velocidade) 
)(ˆ tv
, ambos no instante 
2t
. 
 
 
3) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é 
k
t
jtittr ˆ
2
ˆˆ)1ln(2)(
2
2 
 . 
(a) Calcule os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula. 
(b) Calcule o módulo 
|)(| tv

da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da 
velocidade) 
)(ˆ tv
, ambos no instante 
0t
. 
 
 
4) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é 
ktsenjtietr t ˆ)32(ˆ)3cos2(ˆ)()(  
 . 
(a) Calcule os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula. 
(b) Calcule o módulo 
|)(| tv

da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da 
velocidade) 
)(ˆ tv
, ambos no instante 
0t
. 
 
 
5) O vetor 
ktjtittr ˆ)(ˆ)3(ˆ)13()( 2
 define a posição de uma partícula que se move no espaço 
tridimensional. Calcule o ângulo entre os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula, no 
instante 
0t
. 
 
6) O vetor 
jttittr ˆ16
2
2ˆ
2
2
)( 2 
















 define a posição de uma partícula que se move no espaço 
tridimensional. Calcule o ângulo entre os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula, no 
instante 
0t
. 
 
7) O vetor 
ktjtittr ˆ
3
1ˆ)1(
9
4ˆ)1(
9
4
)( 2/32/3 

 define a posição de uma partícula que se move no 
espaço tridimensional. Calcule o ângulo entre os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula, 
no instante 
0t
. 
 
8) O vetor 
jtisentttr ˆ)cos1(ˆ)()( 
 define a posição de uma partícula que se move no espaço 
tridimensional. Calcule o instante (ou os instantes), no intervalo 
20  t
, em que os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula são ortogonais. 
 
9) O vetor 
ktjtisenttr ˆ)(cosˆˆ)()( 
 define a posição de uma partícula que se move no espaço 
tridimensional. Calcule o instante (ou os instantes), no intervalo 
0t
, em que os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula são ortogonais. 
 
10) Calcule cada integral abaixo: 
 
(a) 
 
1
0
3 ]ˆ)1(ˆ7ˆ[ dtktjit
 (b) 
 












2
1
2
ˆ4ˆ3ˆ)66( dtk
t
jtit
 (c) 
 








4
1
ˆ
2
1ˆ
5
1ˆ1 dtk
t
j
t
i
t
 
 
(d) 
 









1
0
22
ˆ
1
3ˆ
1
2
dtk
t
i
t
 (e) 
 
3/
0
]ˆ)cos2(ˆ)(ˆ)[(sec

dtktsentjtgtitgtt
 
 
Lembre-se: no item (d), use as fórmulas 
 







C
a
u
arcsen
ua
du
22
, 
 







C
a
u
arctg
aua
du 1
22
, 
2/1 arcsen
, 
00 arcsen
, 
4/1 arctg
 e 
00 arctg
. 
No item (e), use as definições 
t
t
cos
1
sec 
 e 
t
sent
tgt
cos

 e o método de integração por mudança de 
variável (ou substituição de variável). 
 
11) Resolva o problema de valor inicial abaixo, para determinar o vetor 
)(tr

: 
 
ktjtit
dt
rd ˆˆˆ 
 , 
kjir ˆ3ˆ2ˆ)0( 
 . 
 
12) Resolva o problema de valor inicial abaixo, para determinar o vetor 
)(tr

: 
 
ktjtitt
dt
rd ˆ2ˆˆ)4( 23 
 , 
jir ˆˆ)0( 
 . 
 
13) Resolva o problema de valor inicial abaixo, para determinar o vetor 
)(tr

: 
 
k
dt
rd ˆ32
2
2

 , 
kr ˆ100)0( 
 , 
ji
dt
rd
t
ˆ8ˆ8
0


 . Lembre-se: 
dt
vd
ta
dt
rd



 )(
2
2 e 
dt
rd
v



. 
 
 
 
Respostas 
 
1) (a) 
kjtitv ˆ2ˆ2ˆ)( 
 
jta ˆ2)( 
 
 
(b) 
3|)1(| v

 
kjiv ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1
)1(ˆ 
 
 
 
2) (a) 
ktjtitv ˆˆ2ˆ)( 2
 
ktjta ˆ2ˆ2)( 
 
 
(b) 
5|)2(| v

 
kjiv ˆ
5
4ˆ
5
22ˆ
5
1
)2(ˆ 
 
 
3) (a) 
ktjti
t
tv ˆˆ2ˆ
1
2
)( 



 
kji
t
ta ˆˆ2ˆ
)1(
2
)(
2




 
 
(b) 
2|)0(| v

 
iv ˆ)0(ˆ 
 
 
 
 
4) (a) 
ktjtsenietv t ˆ3cos6ˆ36ˆ)(  
 
ksenjieta t ˆ318ˆ3cos18ˆ)(  
 
 
(b) 
37|)0(| v
 
kiv ˆ
37
376ˆ
37
37
)0(ˆ 
 
 
 
5) 
 90)0arccos(
 6) 








 135
2
2
arccos
 7) 
 90)0arccos(
 
 
 
8) 
 2,,0t
 9) 
0t
 
 
 
10) (a) 
kji ˆ
2
3ˆ7ˆ
4
1

 (b) 
kji ˆ2ˆ)224(ˆ3 
 (c) 
kji ˆ)2(lnˆ)2ln2(ˆ)2ln2( 
 
 
(d) 
ki ˆ
4
3ˆ  
 (e) 
kji ˆ
4
3ˆ)2(lnˆ 
 
 
 
11) 
k
t
j
t
i
t
tr ˆ
2
3ˆ
2
2ˆ
2
1)(
222



















 12) 
ktj
t
it
t
tr ˆ
3
2ˆ
2
1ˆ12
4
)( 3
2
2
4













 
 
 
13) 
 ktjtittr ˆ16100ˆ)8(ˆ)8()( 2