ADM-web-matematica etapa 2

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NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Números racionais são os que podem ser escritos na forma fracionária, na forma decimal ou percentual. Como por exemplo, 0,5 ou 50%.
Iniciaremos os estudos na forma fracionária.
Números Fracionários são todos os números resultantes da divisão de dois números inteiros. Como 0, 1, -2, -27,35, , ..., podemos observar que o conjunto dos números racionais contêm os números inteiros.
Analisando a figura a seguir, ela foi dividida em 8 partes iguais, dizemos que ela representa um inteiro. Das 8 partes iguais, três foram pintadas. A representação na forma fracionária é  .
Na representação da fração  , temos que o número 3 representa o numerador, o número 8 o denominador, e o traço de fração (divisão). Eles são chamados de termos da fração.
Transformação de fração em número misto e vice-versa
 
Transformação de fração em número misto
 =    
 1ª maneira
Observe a representação gráfica anterior, o número de vezes em que o todo está dividido é representado pelo denominador, por este motivo, mesmo na forma de número misto, o denominador não se altera.
2ª maneira
NOTA
Fazendo a leitura da divisão: o quociente é o número inteiro que a fração representa, o divisor continua sendo o denominador e o resto é o numerador.
Então: 
Transformação de número misto em fração
1ª maneira
 
2ª maneira 
ATENÇÃO
Observe que foi efetuada a operação inversa da divisão do caso anterior, pois antes se dividia denominador por numerador e encontrava-se a forma do número misto. Agora multiplicamos a parte inteira pelo denominador e somamos com o numerador; lembrando que o denominador não se altera, pois ele continua dividindo o todo em partes iguais.
Novamente observe que o denominador não se altera, pois a quantidade de partes em que o todo está dividido é a mesma.
 
Frações Equivalentes 
Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor em relação a uma fração para a outra, só que representada de forma equivalente (igual, mesmo valor).
 
Exemplo: 
, essas frações são frações equivalentes, pois todas equivalem à metade. 
Vejamos isso em uma representação gráfica, cada parte representa uma parte de um todo.
Assim:
Para podermos entender um pouco melhor essa situação, vamos conhecer a simplificação de fração.
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO 
Simplificar uma fração é dividir o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero e de um, tornando essa fração mais simples. A fração estará na sua forma mais simples quando não é mais possível dividi-la, deixando-a em sua forma irredutível.
Exemplo: 
(a)
 
 
(b)
  , a fração não pode ser simplificada, pois não existe um mesmo número que divida o 4 e o 7 simultaneamente. Sendo assim, é uma fração irredutível.
 NÚMERO RACIONAL (Q)
Número Racional é todo número que pode ser representado por uma fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisão por zero).
 
NOTA
O símbolo dos números racionais Q vem da inicial da palavra quociente, que significa razão ou fração.
Exemplo :
3 é um número racional, pois 3 = 
-12,75 é um número racional, pois -12,75 = , etc
Todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal, por meio de uma decimal exata ou de uma dizima periódica.
Exemplo:
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
NOTA - LEMBRANDO
O conjunto formado pelos  números racionais é indicado pela letra Q:
Então, para ser um número racional, deve ser um valor de x tal que x seja igual a uma fração com numerador e denominador inteiro e que o denominador seja diferente de zero.
A Relação entre os conjuntos dos números. 
Observe através do diagrama a relação entre conjuntos
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, indica o conjunto dos números naturais;
 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, indica o conjunto dos números inteiros;
Q = , indica o conjunto dos números racionais.
NOTA - ATENÇÃO
Com isso podemos dizer que todo número natural é também um número inteiro e todo número inteiro é um número racional, ou ainda, que N está contido em Z e que N e Zestão contidos em Q.
COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS 
Comparar dois números racionais significa dizer se o primeiro é maior (>), menor (
Exemplo:
, pois todo número negativo é menor que um número positivo.
 , pois 0 é maior do que qualquer número negativo.
, pois quanto mais próximo do 0 maior será o número negativo.
A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS NA RETA NÚMERICA
Como todo número racional pode ser representado na sua forma decimal existe uma relação de ordem em Q e, portanto, podemos localizá-lo na reta real.
 
Lembrando que primeiramente precisamos localizar o ponto de origem na reta e, como acabamos de ver, os números inteiros estão dentro do conjunto dos números racionais.
 
Depois de marcados os números inteiros na reta, podemos localizar os números racionais.
Exemplo:
(a) 
 é um número racional entre 0 e 1, pois  = 0,75                 
 
(b)
- 0,27 é um número racional entre – 1  e 0, pois – 0,27 =  
  
 
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO RACIONAL
Já estudamos módulo nos números inteiros. Só para relembrar: módulo é a distância do  ponto que representa esse número até a origem.
Exemplo:
 
                                
A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é representada por  que é de  da unidade.
A distancia do ponto B até a origem 0 (zero) é representada por  que é de  da unidade.
Então:
 é um número racional, pois 
 é um número racional, pois 
 
 
 
 
NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Nesse mesmo exemplo, podemos identificar também os números opostos ou simétricos, que são representados por dois pontos que estão à mesma distância da origem.
INVERSO DE UM NÚMERO RACIONAL
De todos os números racionais, o único que não tem inverso é o zero.
Exemplo:
, o inverso de .
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OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A adição de números inteiros pode ser realizada pela redução das frações ao mesmo denominador positivo e pela soma dos numeradores, conservando o denominador.
Exemplo:
 
No entanto, se observarmos a fração , é uma fração equivalente a , ou seja, a primeira fração foi multiplicada por 2, por esse processo chegamos num mesmo denominador e, então, podemos fazer as soma dos numeradores, conservando o denominador.
 
 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
COMUTATIVA
Numa adição de números racionais, a ordem das parcelas não altera seu resultado.
 
 
 
Exemplo:
          ou          
 
ASSOCIATIVA
Na adição de mais de dois números racionais, não importa a ordem em que forem feitas as adições, pois podemos agrupar valores e chegarmos aos mesmos resultados.
Exemplo:
ELEMENTO NEUTRO 
Qualquer número racional somado ao 0 (zero), resulta nele mesmo.
 
 
 
OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
Qualquer número racional somado a seu oposto resulta em zero.
Exemplo:
SUBTRAÇÃO 
A subtração dos números racionais pode ser realizada somando o primeiro número com o oposto do segundo, desse modo resolvemos pelo mesmo método da adição.
Exemplo:
 
Operações de números racionais com decimais
Para realizarmos este tipo de operação, podemos optar entre duas formas de resolução:
1ª maneira
Transformar todos os valores em fração
Exemplo:
NOTA - LEMBRANDO
Utiliza-se a simplificação de frações para tornar as operações mais fáceis.
2ª maneira
Transformar todos os valores em decimal (usamos a regra do arredondamento no caso dos números decimais).
Exemplo:
 
Observe:
NOTA - LEMBRANDO
Toda fração é uma divisão, então transformar uma fração em número decimal é dividir o seu numerador pelo seu denominador.
MULTIPLICAÇÃO 
Na multiplicação de números racionais, multiplicamos os numeradores e os denominadores da seguinte forma. Numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador.
Exemplo:    
           
 
 
Para multiplicação de números racionais na forma decimal, basta multiplicar seus valores absolutos.
Exemplo:
(-0,876).(-0,87) = +0,76212               ou(0,87) . (0,876) = + 0,76212
 
(0,876).(-0,87) = - 0,76212                ou                    (-0,87).(+0,876) = - 0,76212
 
 
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
COMUTATIVA
Na multiplicação de números racionais, a ordem dos fatores não altera o produto.
Exemplo:
(0,876) . (-0,87) = - 0,76212                ou                    (-0,87) . (+0,876) = - 0,76212
ASSOCIATIVA
Na multiplicação de números racionais com mais de dois fatores, não importa a ordem em que efetuamos as multiplicações.
Exemplo:
 
DISTRIBUTIVA
O produto de um número racional por uma soma de racionais é igual à soma dos produtos resultantes da multiplicação entre o primeiro racional e cada uma das parcelas.
Exemplo:
ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO
Como vimos na adição, o elemento neutro é o zero. Já na multiplicação, o elemento neutro é o 1 (um), pois qualquer número multiplicado por 1 resulta nele mesmo.
Exemplo:
                   ou                   35 . 1 = 35
 
Veja a pura álgebra desta propriedade:
INVERSO 
Todo número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1.
Exemplo:
, para cada fração pertencente aos números inteiros, representamos seu inverso  por 
DIVISÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Na divisão de fração, trabalhamos com a multiplicação inversa. Você deve estar se perguntando: se é uma divisão, como vou resolver uma multiplicação?
 NOTA - IMPORTANTE
  Através da multiplicação de fração, multiplicamos o numerador pelo numerador. Assim, obtemos o produto do numerador e, multiplicando denominador pelo denominador, obtemos o produto do denominador, ou seja, a segunda fração deve ser invertida, veja os exemplos a seguir:
Exemplo:
 
POTENCIAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Para elevarmos uma fração a um expoente, basta elevarmos o numerador e denominador a esse expoente.
Exemplo: 
 
RADICIAÇÃO
NOTA
A palavra Radical vem do latim radix, que significa raiz. O símbolo  de radical foi introduzido em 1525, por Christoff Rudolff.
Raiz enésima de um número.
 
Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima desse número será representada da seguinte maneira:
          
Quando o índice for par.
Exemplo:
A raiz quadrada dos números negativos não existe no conjunto dos números racionais. Isto também se estende a todas as raízes pares. Assim, qualquer número elevado ao quadrado resulta em um número positivo.
NOTA - ATENÇÃO
Exemplo:
  é o oposto de e  não existe para índices pares no conjunto dos números Q!
Quando o índice for ímpar.
Exemplo:
, pois 3.3.3 = 3³ = 27
= 2, pois 2.2.2.2.2.2.2 = 27 = 128
= -3, pois, (-3).(-3).(-3) = (-3)3 = - 27
= – 2 , pois (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = (-2)7 = - 128
 
Qualquer raiz de índice impar com radicando positivo ou negativo existe.
RAIZ COM ÍNDICE NATURAL E ZERO NO RADICANDO
Para raízes com o radicando zero e qualquer índice, o resultado sempre será zero.
Exemplo:
, pois 0 . 0 = 0
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita na forma de radical e todo radical pode ser escrito na forma de uma potência com expoente fracionário.
Exemplo: 
NOTA - LEMBRANDO
Os números inteiros também são racionais, por isso as propriedades estudadas para expoentes inteiros devem ser preservadas quando se amplia o campo do expoente para os racionais.
Exemplo:
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS COM EXPOENTE FRACIONÁRIO
Multiplicação de potências de mesma base; conserva a base e soma os expoentes.
Exemplo:
 
Divisão de potências de mesma base; conserva a base e subtrai os expoentes.
Exemplo:
 
Potência de potência
Exemplo: