Introdução à Trigonometria

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!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!FUNÇÕES!ELEMENTARES!E!TRIGONOMETRIA!
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Trigonometria 
Razões Trigonométricas 
 
Histórico da Trigonometria 
A Trigonometria nasceu entre os gregos para resolver problemas de Astronomia Pura. Suas primeiras aplicações 
práticas ocorreram com Ptolemaios, por volta do ano 150 d.C., que a usou para determinar a latitude e a longitude de 
cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas. 
Até cerca de 1600, todas as aplicações da Trigonometria (Astronomia, Cartografia e Navegação Oceânica) nada 
tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. 
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu 
significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as 
medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular 
distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da 
terra, largura de um rio, entre outras. A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na 
Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, 
Engenharia entre outros. 
 
Origem das palavras 
 
Curiosidade: 
 
A palavra cateto vem de Kátetos e quer dizer vertical ou perpendicular. 
 
A palavra hipotenusa vem de hypoteínousa e significa linha estendida por baixo. 
 
Precisamos conhecer um pouco mais da trigonometria: 
O elemento base para nosso estudo é o triângulo retângulo, triângulo que possui um ângulo reto, ângulo de 90°, 
conforme mostra a figura abaixo: 
 
No vértice “A” do triângulo, temos o ângulo de 90°. 
Como é habitual, vamos utilizar a notação seguinte para os elementos de um triângulo ABC: 
Lados: AB; AC; BC 
Ângulos internos: !!!;!!!;!!! 
Medida dos lados: 
AB= c (u.c.)* 
AC= b (u.c.) 
BC= a (u.c.) 
• u.c.- Unidade de comprimento 
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Medida dos ângulos: !!! = ! !!! = ! !!! = ! 
É importante fixarmos alguns elementos do triângulo retângulo: 
 
Deste objeto temos um importante teorema da matemática: 
TEOREMA DE PITÁGORAS: 
(Hipotenusa)²= (cateto)² + (cateto)² ou 
a² = b² + c² 
Outro ponto importante é a definição de cateto oposto e cateto adjacente, que observaremos na figura abaixo: 
 
Triângulo retângulo: razões trigonométricas 
Dado um ângulo agudo D, ângulo menor que 90°, vamos marcar sobre um de seus lados os pontos A’, B’, C’,.... e 
vamos conduzir, por eles, as perpendiculares A’A, B’B, C’C,.... conforme mostra a figura abaixo: 
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Os triângulos DAA’, DBB’, DCC’, etc. são todos semelhantes entre si. Retomando o assunto semelhança, temos por 
definição que, triângulos semelhantes tem ângulos internos iguais e lados correspondentes proporcionais. 
Então: 
1°) ...
'''
===
DC
CC
DB
BB
DA
AA
 
Fixado D, o cateto oposto a D e a hipotenusa são diretamente proporcionais. 
2°) ...''' ===
DC
DC
DB
DB
DA
DA
 
Fixado D, o cateto adjacente a D e a hipotenusa são diretamente proporcionais. 
3°) ...
'
'
'
'
'
'
===
DC
CC
DB
BB
DA
AA
 
Fixado D, o cateto oposto a D e o cateto adjacente a D são diretamente proporcionais. 
Verificamos desta forma que as relações acima não dependem dos tamanhos dos triângulos, mas dependem apenas 
do valor do ângulo D. 
Assim temos: 
 
Para facilitar a lembrança das razões trigonométricas, basta memorizar uma palavra: SohCahToa 
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As razões trigonométricas especiais de 30º, 45º e 60º 
Considere as figuras: 
 
Seno, cosseno e tangente de 30º 
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos: 
 
Seno, cosseno e tangente de 45º 
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, temos: 
 
Seno, cosseno e tangente de 60º 
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos: 
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Resumindo 
 
Grau/Radianos 
Grau (°) e radiano (rad) são diferentes unidades de medida de ângulo que podem ser relacionadas por meio do 
círculo. Sabe-se que 1° é a fração correspondente a de um círculo, portanto, um círculo, em graus, corresponde 
ao ângulo de 360° (I). 
Sabemos ainda, da definição de radiano, que a medida de ângulo θ em radianos é dada por: 
 
E que o comprimento, c, do perímetro de um círculo de raio r é C = 2πr. 
Desta forma, podemos escrever: 
 
Portanto, um círculo em radianos corresponde ao ângulo: 
 
De (I) e (II) podemos concluir então que: 
 
Então, através da regra de três simples, temos: 
 
 
 
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Vejamos um exemplo: 
Para obter o valor do ângulo α, em graus, correspondente ao ângulo , aplicamos a relação (V), obtendo: 
 
Para obter o ângulo , em radianos, correspondente ao ângulo aplicamos a relação (VI), obtendo: 
 
Ciclo Trigonométrico 
O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada, com raio unitário, associada a um sistema de coordenadas 
cartesianas. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano. Dessa forma, o círculo fica 
dividido em quatro quadrantes, identificados de acordo com o sentido anti-horário a partir do ponto A. 
 
Considerando x a medida de um arco no ciclo trigonométrico, então os valores de x, tais que 0º < x < 360º, estão 
presentes nos seguintes quadrantes: 
Primeiro quadrante: 0º < x < 90º 
 
 
Segundo quadrante: 90º < x < 180º 
 
Terceiro quadrante: 180º < x < 270º 
 
 
Quarto quadrante: 270º < x < 360º 
 
 
 
 
 
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Os valores dos arcos também podem aparecer em radianos, 0 < x < 2π: 
Primeiro quadrante: 0 < x < π/2 
 
Segundo quadrante: π/2 < x < π 
 
Terceiro quadrante: π < x < 3π/2 
 
Quarto quadrante: 3π/2 < x < 2π 
 
É importante conhecer a localização dos ângulos nos quadrantes, isto facilitará a construção dos arcos 
trigonométricos, pois cada ponto no ciclo está associado a um arco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ponto móvel sobre uma curva 
 
Arcos da circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Arcos côngruos: 
 
 
 
 
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Lei dos senos: 
Usamos a lei dos senos em situações problemas que envolvam triângulos quaisquer, que tenhamos como 
informação dois ângulos e um lado. 
r
senC
c
senB
b
senA
a 2===
 
 
 
Lei dos co-senos: 
Usamos a lei dos co-senos em situações problemas que envolvam triângulos quaisquer, que tenhamos como 
informação um ângulos e dois lados. 
Obs: Começar pelo lado oposto ao ângulo. 
Abccba cos2²²² −+= 
 
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Relações Fundamentais: 
No estudo das funções trigonométricas pertencentes a um mesmo arco, utilizamos as seguintes relações 
trigonométricas fundamentais: 
sen2x + cos2 x =1 
x
senxtgx
cos
= 
senx
xgx coscot = 
x
x
cos
1sec = 
senx
x 1seccos =
 
As relações trigonométricas fundamentais originam outras expressões, que são importantes e aplicáveis nos casos 
envolvendo funções de um mesmo arco. Veja as relações decorrentes das fundamentais: 
I
(sen2x + cos2 x =1)/ (sen2x)
1+ cotg2x = cossec2 x
II
(sen2x + cos2 x =1)/ (cos2 x)
tg2x +1= sec2 x
 
Adição/Subtração de Arcos 
asenbbsenabasen coscos)( ±=± 
senasenbbaba coscos)cos( =± 
tgbtga
tgbtgabatg
.1
)(

±
=±
 
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Transformação de somas em produto 
 
Funções Trigonométricas ou circulares: 
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua 
periodicidade poiselas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura 
terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, 
etc.
a) f(x) = senx 
- D = R 
- Im = [-1,1] 
- Período = 2π 
- Paridade – ímpar 
- 1ºQ e 2ºQ (+) 3ºQ e 4ºQ(-) 
- 1ºQ e 4ºQ (C) 2ºQ e 3ºQ (D) 
OBS: y = a + b.sen(cx+d) 
P = c/2π Im = [a-b,a+b] 
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b) f(x) = cosx 
- D = R 
- Im = [-1,1] 
- Período = 2π 
- Paridade – Par 
- 1ºQ e 4ºQ (+) 2ºQ e 3ºQ (-) 
- 3ºQ e 4ºQ (C) 1ºQ e 2ºQ (D) 
OBS: y = a + b.cos(cx+d) 
P = c/2π Im = [a-b,a+b] 
 
 
 
 
 
 
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c) f(x) = tgx 
- }2//{ ππ kxRxD +≠∈= 
- Im = R 
- Período - π 
- Paridade – Ímpar 
- 1ºQ e 3ºQ (+) 2ºQ e 4ºQ (-) 
- crescente em todos os quadrantes 
 
 
d) f(x) = cotagx 
- }/{ πkxRxD ≠∈= 
- Im = R 
- Período - π 
- Paridade – Ímpar 
- 1ºQ e 3ºQ (+) 2ºQ e 4ºQ (-) 
- decrescente em todos os quadrantes 
 
 
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e) f(x) = secx 
- }2//{ ππ kxRxD +≠∈= 
- [,1[]1,]Im +∞∪−∞−= 
- Período = 2π 
- Paridade – Par 
- 1ºQ e 4ºQ (+) 2ºQ e 3ºQ (-) 
- 1ºQ e 2ºQ (C) 3ºQ e 4ºQ (D) 
 
f) f(x) = cossecx 
- }/{ πkxRxD ≠∈= 
- [,1[]1,]Im +∞∪−∞−= 
- Período = 2π 
- Paridade – ímpar 
- 1ºQ e 2ºQ (+) 3ºQ e 4ºQ(-) 
- 1ºQ e 4ºQ (D) 2ºQ e 3ºQ (C) 
 
 
 
 
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Funções circulares inversas 
 
Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo nem todas 
as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos 
tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função que possuam inversas. 
Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos 
números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se 
cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2 , x=4 , x=-2 , etc, isto é x=2k , onde k é um número 
inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x)=cos(x) em seu domínio. 
Devemos então restringir o domínio para um subconjunto dos números reais onde a função é 
bijetora. 
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são 
bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo 
esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem. 
Função arco-seno: 
Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [- /2, /2] e imagem no intervalo 
[-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por f-1:[-1,1] [- /2, /2] é 
denotada por: 
f-1(x) = arcsen(x) 
 
Função arco-cosseno: 
Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0, ] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, 
denominada arco cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1] [0, ] e denotada por: 
g-1(x) = arccos(x) 
 
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Função arco-tangente: 
Dada a função f(x)=tan(x), com domínio (- /2, /2) e imagem em R, a função inversa de f, 
denominada arco-tangente é definida por f-1:R (- /2, /2) e denotada por: 
f-1(x) = arctan(x) 
 
Função arco-cotangente: 
Dada a função f(x)=cot(x), com domínio (0, ) e imagem em R, a função inversa de f, 
denominada arco-cotangente é definida por f-1:R (0, ) e denotada por: 
f-1(x) = arccot(x) 
 
Equações Trigonométricas 
 Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma 
função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma equação, dizemos que esta 
equação é trigonométrica. 
Exemplos: 
1) sen x + cos x = e sen 2x = cos2x são equações trigonométricas. 
2) x + ( tg 30º) . !! e x + sen 60º = não são equações trigonométricas. 
Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento do 
domínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira. O conjunto S de todas as raízes da equação é o 
seu conjunto solução ou conjunto verdade. 
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EXERCÍCIOS DE SALA 
1) Calcule o valor numérico da expressão 
°°+°
°−°°−°
225cot.60300sec
)330cot150sec).(cos120cos30(sen
gtg
g
. 
Resp. 1 
2) No intervalo [0,3π], o número de soluções da equação sen2x = xcos2 é: 
Resp. 7 
3) O valor numérico da expressão 
xxgx
xxtgx
y
8secseccos.cot
2sen
2
24cos
+
−"
#
$
%
&
'+
= para 
2
π
=x é: 
Resp. 3 
4) Sabendo que 
4
5seccos =x e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 
9.(sec²x + tg²x) é: 
Resp. 41 
 
5) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
01. Se 
4
3
=tgx e 
2
3π
π << x , então o valor de senx – cosx é igual a 1/5. 
02. A menor determinação positiva de um arco de 1000° é 280°. 
04. Os valores de m, de modo que a expressão senx = 2m – 5 exista, estão no intervalo 
[2,3]. 
08. senx > cosx para 
44
ππ
≤≤− x . 
16. A medida em radianos de um arco de 225° é 
6
11π
 rad. 
32. Se senx > 0, então cossecx < 0. 
64. A solução da equação 2sen²x + 3senx = 2 para 0 ≤ x ≤ 2π é x = π/6 ou x = 5π/6. 
 
Resp. 71 
6) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver 
um bote B na outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos α=21ˆPPB e 
β=12ˆ PPB e que tgα = 2 e tgβ = 4, a distância entre as margens ( em metros) é: 
Resp. 84 
 
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7) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
01. O domínio da função f(x) = tg(x - 
6
π
) é D = { },
3
2/ Ζ∈+≠ℜ∈ kkxx ππ . 
02. O período da função g(x) = 2sen3x é 2π/3. 
04. O número de raízes da equação cos3x = 
2
3
, compreendidas entre [0,2π] é 4. 
08. O gráfico abaixo representa a função sen2x. 
 
 
 
16. Se 
!
"
#
=
=−
− 819
2logloglog
yx
yx
, então o valor de x + y é 6. 
Resp. 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
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